Ⅰ 假如你是一名小学数学老师,如何根据维果斯基的最近发展区进行课堂教学
“最近发展区”是前苏联心理学家维果茨基提出的，其涵义是指学生的发展有两种水平，第- 一种称为现有发展水平，表现 为学生能运用已有的知识经验独立完成;第二种是潜在的发展水平，是那些尚处于形成状态，表现为学生还不能独立地完成，但在教师的帮助下，通过训练和自己的努力，才能完成的学习任务。 这两个水平 的幅度即为“最近发展区。
一在教学层次中引入“最近发展区”
在数学教学中，随着 知识面的扩展以及深度地进-一步深入，一定要适应学生的思维发展要求，使 学生接受知识，掌握基 本技能以及数学思想方法。换言之，成功的数学教学应置于学生思维的“ 最近发展区”。然而，目前有不少老师在数学教学中忽视了“最近发展区” ，其表现在运用高考尺度要求学生。当然这个“尺度”落实在学生的很多方面，主要方面是-一味采用高考的试题作为课堂讲解例子、练习、作业，尽管这种做法对高考备考有利，让学生体会到高考的紧迫性，但滥用高考试题往往超越了学生的“最近发展区”。对小部分学有余力的学生具有积极的作用，因为高考中的例子具有新颖、
深刻等特点。然而，课堂的教学并不是面向小部分学生的教学。另-
种表现是在数学教学中当学生对新的教学内容还处于模糊状态，还需进一步学习与巩固。假如教师跳过 学生理解模糊的区域，进入下 节课的内容。这时，教师很难设置下节课的“最近发展区”， 甚至超越最近发展区。这两种情况都会使学生失去学习数学的兴趣，甚至 引起学生的厌学情绪。
通俗地讲，学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就是最近发展区。
专业地讲，维果茨基的研究表明：教育对儿童的发展能起到主导作用和促进作用，但需要确定儿童发展的两种水平：一种是已经达到的发展水平；
另一种是儿童可能达到的发展水平，表现为“儿童还不能独立地完成任务，但在成人的帮助下，在集体活动中，通过模仿，却能够完成这些任务”。这两种水平之间的距离，就是“最近发展区”。教学过程是在教师的牵引和告知中进行的， 教师俨然是主角， 学生是课堂上的配角， 根本就谈不上积极和主动， 抑制了学生个性的发展、 能力的培养和智力的开发， 在很大程度上影响了学生自学能力和自我发展能力的提高。 出现这种状况的根本原因是对“最近发展区”的理论缺乏认识和理解， 更缺乏实践和探索。 在数学教学中， 教师如何运用“最近发展区” 理论有效组织教学呢？ 我认为应从以下几点着力提高认识， 不断尝试， 大胆实践。
一、 运用“最近发展区” 理论， 要着力发掘学生数学潜能和培养主观能动性 数学课堂教学中， 教师应重视在已有水平和可有水平之间、 已知知识和未知知识之间搭台阶、 架桥梁， 鼓励学生主动去尝试解决问题。在解决问题的过程中， 探索如何确定行动目的、 制订行动可行方案、验证行动方案并作出评价、 总结经验并学以致用， 让学生在一次次成功和自我实现中激发学习的热情， 从而形成一种成功的信念。
例如《乘法的认识》 一课的教学案时， 我从学生已有的知识水平和生活经验出发， 大胆地放手， 通过让学生利用已有的知识储备， 即利用加减的方法来解决游乐场的数学问题， 重点引导学生思考几个加法算式中加数都相同的， 让学生观察其特点， 使学生明白每个加法算式都是有几个相同的加数。 接着教师联系生活实际， 创设几个相同加数的和是多少的实际问题， 如“每组有 8 名学生， 老师现在要给每位学生发两根小棒， 一共要准备多少根小棒？ ” ， 一方面让学生感受数学知识与生活的联系； 另一面让学生体会到用以前的旧知识来解决新问题，虽然是一种方法， 但很麻烦， 从而启发学生要用简便的方法来解决实 际问题。 在学生学习欲望被激发出来的同时， 教师及时进行点拨、 示范和引导， 完成把加法算式改写成乘法算式， 学生很容易接受这种简便的方法， 也自然通过比较， 联想到用这种方法去解决实际问题的方便和高效。 在此教学案例中， 我通过寻找学生知识的最近发展区， 努力建立新旧知识间的联系， 让学生产生强烈的探究新问题的欲望，“跳一跳就能摘到桃子” ， 收获成功的喜悦， 从而增强了 “我能行、我一定行” 的信心。 教师不仅培养了学生的主动性， 又对学生的潜能进行了较好的发掘。
Ⅱ 什么样的数学知识应该成为数学课堂上讲授和讨论的内容
一、课堂“伪讨论”的几种表现
随着新课程改革“自主、合作、探究”理念的提出，课堂讨论作为一种教学方式更加为人们所关注并逐渐成为评价一堂课是否符合新课程理念的重要纬度之一。对课堂讨论的关注和有效运用，使得我们的课堂更加开放而富有活力，但是在教学实践中，到底什么时候开展课堂讨论，哪些问题适合在课堂上讨论，很多教师还是比较茫然的，致使很多课堂讨论走过场，图形式，成了“伪讨论”，常见的有以下几种表现：
1．问题指向不明，讨论泛化。有位教师教授“长方形面积计算”一课，在讲完长方形面积计算公式之后，教师出示长方形木框对学生说：“如果给这个框子配一块玻璃，玻璃要多大？请以同桌为单位进行讨论，然后每个人说说自己的想法。”同学们先是一脸茫然，随后进入热闹的讨论。细察小组讨论情形，有的学生在嬉笑并未参与讨论，有的学生在互相推扯。几分钟后，教师让各组汇报情况，可没有人站起来说话，教师很是惊诧，指名一位学生回答。学生说：“配的玻璃和框子一样大就好。”这句非数学结论的回答告诉我们，学生还不能用数学知识来解决问题。原因在于讨论的问题不是很明确，学生不知道该讨论什么。当面对教师抛出的问题时，他们不知道所要讨论的问题实际上就是要计算玻璃的面积，而且仅仅面积与木框面积相等还不行，玻璃的长宽还要与木框的长宽相等。由于教师没有明确讨论的方向，没能有效激发学生的认知冲突，围绕这个问题的讨论也就没能起到培养学生数学思维能力和用数学知识解决数学问题的作用。
2．无价值的讨论，明知故“论”。在一次研究课上，某教师在执教《画风》时，利用精美的课件引导学生了解了文本内容后，随即出示问题：陈丹、宋涛、赵小艺三人画出风了吗？是怎样画的？请同学们分小组讨论解决。学生立即凑在一起，唧唧喳喳地说个不停。不到一分钟，讨论结束，小组代表争先恐后地交流本组的讨论结果。教师提出的这个问题，实际上在他的教学中已经做出解答，学生心里也已经非常清楚，这种既简单又无讨论意义的问题，很有明知故问和作秀之嫌。此外，教学中诸如“是不是”、“对不对”之类的纯粹事实判断性的问题，非此即彼，根本不能激发学生的多元思维，讨论的意义也就不是很大。
3．超越极限讨论，越难越“论”。有些教师认为在课堂中组织讨论的难度越高越能显示出教师和学生的能力，所以往往会设计一些难度较大的问题。如《赤壁赋》一文，有位教师让学生讨论“作者情感为何会由乐而悲？其感情转变的线索是什么？”学生因为不知道苏轼在赋中表达的寓意和情感，不了解“桂掉”、“兰桨”、“美人”在古诗词中的意象所指，更没有苏轼那种人生失意的情感体验，虽经讨论，仍不知道如何做答。像这样刻意追求讨论问题的难度，反而会因问题的艰深而使学生望而却步、不知所措。
我们为什么要组织课堂讨论？正是对这个问题缺乏正确的认识才导致了上述现象的发生。课堂讨论的最终目的应该是通过这种教学方式，提高课堂教学实效，促进学生对学习内容的理解、掌握和深化，发展学生的思维能力，帮助学生形成运用学科知识分析问题、解决问题的能力。有了这样清晰的定位，我们在组织课堂讨论时就可以少一些盲目，少一些肤浅。
二、什么时候适合开展课堂讨论
在听课中，笔者发现很多教师动辄让学生讨论，更有甚者一节课有多少个环节就有多少个讨论。其实，课堂讨论并不是越多越好，课堂讨论也要讲究时机。一般来说，在以下情境中的课堂讨论才是有意义的。
1．当遇到教学重点和难点问题时。如《梦和泪》一文，通过课文学习获得对冰心伟大人格的感知是课文的重点之一，但是仅通过学生独立思考来理解往往比较困难，这时候教师就可以通过适当引导来组织学生进行讨论。教师可以就这个问题分解设计几个相关的子问题，如：作者选取了哪些材料来表现冰心的伟大人格？文章细致地描写了冰心的哭，这表现冰心的什么特征？作者花大量的笔墨叙述冰心的父亲和母亲，这与写冰心有什么关系？等等。
2．当遇到某些容易混淆的内容时。例如，在学习《狼》一文时，学生分组讨论。有学生问：“‘其一犬坐于前’中的‘犬’是什么意思？”生答：“是名词狗的意思。”有学生马上反驳：“不对，课文明明写狼，咋会是狗呢？”又如，数学教学中，圆的周长和面积是学生很容易混淆的知识点，这些容易出错的地方都是教师引导学生进行课堂讨论的很好的触发点。
3．当问题的答案存在多种可能时。如《故都的秋》一文，就文章的理解课文提示里说的是“孤独者的冷落之感”，而有学生提出文章表现的是“追求者的纯真之情”，多种理解产生了。教师就可以此创设争辩情境，打破学生迷信书本的思维定式，发展学生的思辨和创新能力。当然，这要与教学目标密切相关。
4．当课堂教学中出现有效生成时。课堂教学是动态的，课堂讨论需要教师事先做好充分的准备，预设教学中适合讨论的点和可能的讨论方式，但是也要给课堂生成留有一席之地。教师可以就课堂上随机出现的一些现象和问题迅速进行应对，并选择其中的有效生成资源组织学生展开讨论，这样不仅能够提高学生参与讨论的积极性，激发他们的讨论热情，又能在讨论的情境中深化学生对学习内容的理解，提高学习的效果。
三、什么样的问题适合课堂讨论
明确了课堂讨论的出发点和时机性后，经仔细分析，我们会发现，并不是所有的问题都适合课堂讨论。那么，有效的课堂讨论问题应该具备怎样的特征呢？我想下面几点可能是必不可少的：
1．问题要有明确的目标指向。即教师在设计讨论问题的时候，要让学生明白要讨论的是什么，或者教师在学生提出的问题基础之上组织课堂讨论的时候，要对含糊不清、模棱两可的问题做进一步明确和提升，使得这些问题适合学生讨论。比如，上文提到的关于“长方形面积计算”一课的教学，教师就可以将“如果给这个框子配一块玻璃，玻璃要多大？”这个问题进一步明确为：“如果要给这个框子配一块玻璃，使得这块玻璃不大不小正好能装到框子里面，那么你们认为这块玻璃面积应该是多大？这块玻璃的长、宽是唯一的吗？”只有这样，学生才不会面对问题一脸茫然，讨论也不会偏离方向。
2．问题要与学习目标紧密相关。只有有助于学生学习目标达成的课堂讨论才有实际意义。例如“《背影》中的‘我’为什么会三次流泪？”这个议题涉及了对作品主题的理解，教师可以引导学生就此展开相关的讨论。
3．问题要有一定的不确定性。如果讨论的问题具有明确的答案，就没必要讨论。类似“是不是”、“对不对”、“能不能”等事实性判断的问题往往没有讨论的价值。小组讨论的重要价值是让学生的思维互相碰撞、互相启发，让他们的认识进入一个新的境界。如个别学生对《六国论》中把“时速祸焉”的“速”解释为“招致”产生质疑，他们认为解释为“加速”、“加快”也说得通。类似这样的议题能激发学生讨论的兴趣，能引导学生的思维发展。
4．问题的思考难度比较恰当。一方面用来讨论的问题应该是学生目前独立理解不了、解决不了的议题。但另一方面，讨论的问题也不能太难，学生应该具备讨论问题所需的知识背景，否则讨论就不可能深入下去。如上文提到的《赤壁赋》一文的教学，教师不用急于让学生讨论，可以先为学生补充介绍一下古诗词的写作手法及作者的生平经历，让学生获得一定的知识积累之后，再抛出“作者情感为何会由乐而悲？其感情转变的线索是什么？”让学生讨论。这样的课堂讨论有知识积累做铺垫，很容易达到深化理解的目的。另外，在问题的设计上尽量兼顾深浅程度不一的各类选题，这样可让班里水平存在差异的各种学生都能参与讨论，踊跃发言，各抒己见。
总之，问题的设计与选择是课堂讨论是否有效的关键因素。教师要根据教学目标和学生学习的需求，在仔细分析教学内容包括学科、课型、教学重难点等基础上，找出最能体现本堂课知识联系的、最具讨论价值的讨论点，在教学的适当时机组织学生讨论，并把握好课堂讨论的时间，让学生的思维发生碰撞，真正从课堂讨论中受益。
课堂讨论的四大策略与五个“避免”
一、顺利实施课堂讨论的四大策略
（一）合理组织课堂讨论
首先，讨论小组的建立可以同桌为单位，也即双人讨论，两人一组的讨论学习是其他合作方式的基础，每个人都是这个小组的“主角”，这种学习活动简便易行。或者是前后排的学生分成小组开展讨论，也即3～4人一组讨论学习，这种方式进一步培养了学生的合作精神，也是课堂中常采用的一种方法。例如：教学“统计”一章时，可以让部分学生收集数据，其他学生进行登记、汇总、制表；也可以根据学生的学习成绩、学习习惯、性格、兴趣、需要等因素加以分组。小组讨论这种学习方式可以适度引进竞争机制，以增强学生的集体荣誉感，培养学生互相合作的精神。分组时不仅要重视学生智力因素的发展，而且要重视学生非智力因素的培养。每组各个层面的学生都应兼顾，取长补短，同时教师可设计不同层次的问题让学生讨论，使每个学生生动活泼、主动地发展。
其次，要有效地创设良好的课堂讨论环境，有两个途径：一是激发学生的讨论愿望。主要方法有：①反激法，即当遇到“启而不发”的局面时，可激发学生的好奇心和好胜心，促使他们产生一种急于用自己的见解和做法解决问题的愿望。②诱引法，即根据学生的探究心理，通过设置矛盾，来引发学生的探究愿望。
最后，必须创设师生平等研讨的课堂情境。在讨论中教师不“妄加”评判，而是充分尊重学生的不同见解，尽可能从不同角度开掘学生观点的价值，使学生在“言论自由”的气氛中获得“成功感”。
（二）恰当把握讨论的时机
课堂讨论的成败及作用的大小，在很大程度上取决于讨论时机的选择与把握。过早地讨论，学生的认知水平还未达到最近发展区，学生找不到解决问题的切入点，白白地浪费时间而一无所获。过迟讨论，学生对问题已基本弄懂，讨论的意义不大。教师应设计多层次的问题满足各层面学生的多元需要，把握好学生思维的高潮，及时提出问题让学生讨论，以激发学生思维的火花。
课堂讨论的时机掌握可关注下面几个时间点。
当学生产生对新知的渴求之时。学生的认知需要常常来自于学生学习过程中出现的似乎明白，但又说不清楚，不能立即理解掌握的新知识、新技能，或者不能立即解决的实际问题。譬如在教学“不等式”一节时，教师提出一个有趣的问题：“一群猴子，一天结伴去偷桃子，在分桃子时，如果每个猴子分3个，那么还剩59个；如果每个猴子分5个，就都能分到桃子，但剩下的一只猴子分得的桃子不够5个，你能求出有几只猴子，几个桃子吗？”面对问题，学生产生了对新知的渴求心态。在这种心态的作用下，学生往往也对自己的想法产生怀疑，希望从别人的想法或别人对自己的评价中得到验证，更希望从别人的发言中得到启发。所以，这时组织讨论效果最佳。
通过操作实验探究规律之时。数学课程中有很多数学规律需要学生通过操作才能发现其奥妙，如：各种平面图形的面积公式，圆柱体和圆锥体体积之间的关系等等，这时仅凭学生个人的才智是很难直接达成目标的，须挖掘集体智慧，在集思广益中，实现学生真正的理解和掌握。
试图处理开放性问题之时。例如这样的一个开放性问题：有一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，已知当自变量x分别取－5，－1，4，7这四个值时，其中只有一个x所对应的函数值y≤0。试尽可能多地写出满足条件的函数的解析式。
解答开放性问题的方法多种多样，而且结论并不唯一，不同学生常常发现不同的结论，学生间的交流能较好地完成这种差异的解决。学生在小组交流中能自由地表述自己的观点和解题策略，倾听同伴的意见，并从中互相启发，互相补充，共同进步。在这个过程中，可促进学生沟通知识之间的联系，更好地发挥其发散思维的能力。
（三）科学安排课堂讨论的方式
讨论的方式必须在教学实践中不断“随物赋形”，而且在具体的实践教学中要科学地采用恰当、有效的讨论方式，才能将课堂讨论的作用发挥得淋漓尽致。
目前较常见的讨论方式是教师把题目一呈现，便立即让学生讨论，讨论了两三分钟，教师便草草收场，这样做往往是只注重表面形式，没有实际效果。教师不能由于时间关系，等不到学生相互交流的充分展开就终结讨论，而应给学生提供自主探究、合作交流的广大空间。可以根据学生课堂学习的心理特点和课型特点，精心设计各种讨论方式。
①导向式讨论。这种方式是从主导者角度着眼安排讨论程序，通常为：定向导入—循序点拨—归纳总结。这种讨论方式的关键是选取“讨论点”，使讨论流程环环相扣，其特点是突出教师的主导作用，又体现学生的主体地位。
②自由式讨论。这是一种从发展学生的个性、发挥学生自主性、培养主动探索精神着眼，侧重于学生“自由探究”的讨论方式。但“何时使用”和“如何控制”难度较大。
③竞赛式讨论，这是一种根据学生好胜、竞争的“开放性”心理，引进竞争机制来组织讨论，解决某些问题，达到教学目标的方式。
（四）精心准备课堂讨论的内容
有思考价值的问题可以引起学生大脑皮层的高度兴奋，并能使学生产生强烈的求知欲望。受这种欲望的驱动，学习过程往往会变得主动而富有生气，学生的积极性也被调动起来。课堂讨论在通常情况下只安排几分钟或者十几分钟，这段时间的成效如何，很大程度上取决于讨论内容的选取。什么样的内容有讨论价值，什么样的内容能引起学生极大关注并能够展开讨论，至关重要。
因此教师在组织学生进行课堂讨论时，首先必须选择有探讨价值的内容。组织讨论必须把握教材的重点、难点，越是教材的核心问题，越要让学生去主动学习，只有学生积极参与，进入角色，才能学有成效；其次是设计能展开讨论的内容。讨论的内容应有适当的难度，处于班内大多数学生的“最近发展区”，这就要求教师必须针对具体内容和学生的实际情况具体分析，做出恰当安排。譬如在讲授“解直角三角形”的引入部分时，提出问题：“你走在街上，空中飞来一架飞机，你也许便会想到：飞机离我有多远？”让学生讨论，充满好奇心的学生便会自觉地设想各种方案进行讨论，一些学生会利用解直角三角形的方法来看这个问题，甚至自己画出图形——直角三角形，这样学习的效果是相当不错的。
适合的讨论内容才会产生好的效果，否则，不仅达不到提高学习效率的目的，而且会成为影响学生学习进步的障碍。还有课堂讨论的问题一次不宜太多，讨论的时间也不能太长。问题太多了，学生的思维就不易集中；时间太长了，教师就不能对课堂进行有效的控制和驾驭。
二、课堂讨论的五个“避免”
课堂讨论作为一种具体的教学方法在实际运用中往往容易步入一些误区，因此要及时进行反思，避免以下情况出现。
（一）不准备就讨论。在教学中发现了问题立即就让学生讨论，由于学生事先无准备，因而很难达到讨论的目的。因此，不论采用哪种方式的讨论，讨论前师生都要做好充分准备，教师要向学生提出讨论话题、指出注意事项、布置预习或提供阅读参考资料，学生也都应该按照要求做好讨论发言的准备。
（二）讨论偏离核心主题。讨论开始之后，学生可能会由于讨论中的一些问题而转移讨论中心，从而使讨论偏离论题。在讨论中，教师要引导学生围绕中心进行发言，并且根据讨论的进展情况，引导学生深入开展讨论，以求讨论达到一定的深度。
（三）讨论被部分学生把持。一个班的学生能力有高有低，语言表达能力有强有弱，少数很健谈的或能力强的学生往往会把持讨论，而一些能力较差的学生则退出讨论，这样，讨论就没有起到应起的作用。因此，教师要注意让每个学生都能积极参加讨论。
（四）无讨论规则的讨论。讨论前制定一些讨论规则是十分必要的，讨论如果没有规则，就会十分混乱。因此，在讨论开始之前，应提醒参加者讨论要遵守的规则。
（五）只讨论不及时总结。讨论结束后，如不进行适当的总结，就会使学生对讨论的结果和讨论中出现的问题缺乏一个明确的认识，反而会引起思想上的混乱，产生各方面的问题。因此在每次讨论结束后，师生要及时进行总结，阐释讨论结果，指出讨论中存在的问题等。
Ⅲ 数学课如何基于学生的最近发展区开展课堂探究活动的
什么才是真正的新课程理念下的课堂教学？怎样才能实现真正的有效课堂教学？这种困惑已成为进一步深化课堂教学改革的瓶颈。为了更好地促进学生的有效学习，在我们教学课堂，教师必须着眼于解决两方面的问题———我应如何去触动（或者说唤醒）我的学生；活化知识，实现知识的个人化。无论解决这两方面问题中的哪一个，我们都要涉及到维果茨基的最近发展区理论，就是说也需要教师在学生最近发展区开展的、实施的课堂教学。
Ⅳ 初中数学教学如何寻找学生的最近发展区
“最近发展区”就是指学生已达到的知识水平和即将达到的知识水平之间的最小差异区域。如果你站在“已有知识”的草坪上,树上的果子是你“将要学的知识”,而果子生长的地方是你站着摘不着的,要摘下果子,必须跳一跳,而跳起来后能摘到果子的这个高度就是 “最近发展区” 。
陶行知说: “要以自己的知识为根,以这经验所发生的知识做枝,然后别人的知识才能成为我们知识的一个有机部分。 ” 学生原有的认知结构是其主动完成学习过程的必要条件。 学生的认知结构既包括已掌握的知识,又包括在生活中获得的一些经验。在教学中,教师要根据认知内容的需要创设一定的问题情境,充分挖掘出学生已有的经验,形成新旧知识间的联系,使模糊的认知明朗化,具体的对象概括化,成为学习新知识可利用的认知条件。
一、用变式练习,帮助学生建立题与题之间的“最近发展区” 。
数学知识之间的联系是很紧密的,选择学生已有的知识作为学习新知识的起点,组成一个有利于学生学习的程序,能促进知识的迁移。 例 1.已知线段 AB=28 厘米,在 AB 上取一点 P,使 AP=19 厘米,再在 AB 上取一点 C,使 PC=12厘米,求线段 AC 的长度。 在做此题的过程中,笔者要求学生画图、分析、计算,最后可得结果 AC=7 厘米。 完成此题后,学生都觉得很轻松,因为题目太简单了。那么,如果在此题的基础上,我们适当地将数据改变一下,得出的例 2 又该怎样做呢? 例 2.已知线段 AB=28 厘米,在 AB 上取一点 P,使 AP=15 厘米,再在 AB 上取一点 C,使 PC=12厘米,求线段 AC 的长度。 该题的要求与上题的要求相同。 但是,学生如果不仔细,往往会漏掉一解,而只画出与图 1类似的图 2,并得出 AC=3 厘米。事实上,细心的学生会发现它还有另外一解,即图 3 的情况。计算可得 AC=27 厘米。故例 2 有两解。 对于学生的解题,教师不仅要看结果,而且要看其思维过程。教师不应指定学生要采哪个果子,而应该让他们采完所有够得着的果子,并尝试去采跳一跳才能够着的果子。
二、运用化归思想,帮助学生建立节与节之间的“最近发展区” 。
数学知识有很强的逻辑性,前后知识联系紧密。新知识由旧知识引申、扩展而来。旧知识又能为解决问题服务。将未知转化为已知,将一种运算转化为另一种运算,将一种图形转化为另一种图形,把待解决问题转化为已解决问题,最终问题获得解决。 在教学中,教师可以根据学生的差异,帮助学生建立多个递增的 “最近发展区” ,使教学组织的始终有一定的坡度,使学生跳一跳就能摘到果子。
三、不断探究,帮助学生建立章与章之间的“最近发展区” 。
苏霍姆林斯基曾说:“在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要。这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。而儿童的精神世界中,这种需要特别强烈。 ”初中学生虽已不是儿童,但他们心灵深处那种强烈的探求欲望仍十分强烈。随着知识的积累与学习能力的增强,学生独立完成学习任务的效率不断提高。 教师要创造条件让学生主动参与学习,充分利用学生这种心理,调动学生的积极性,促进学生建立“最近发展区” 。教师应使优等生、中等生、学困生都能够摘到自己够的着的果子,吃饱、吃好。
四、纵横联系,帮助学生建立整个数学体系中的“最近发展区” 。
要使教学活动取得成功,教师必须精心选择,有效地实施并进行前期准备。要实现这一目标,教师就要引导学生就开展的活动进行前期准备,在活动过程中提供指导与反馈,并在活动完成之后组织学生进行总结讲评。在开始教学时,教师应强调开展教学活动的目的,使学生明确要实现的目标;然后,教师引导学生重温已学过的相关背景知识,示范学习任务需要的方法, 或就任务要求提供有关信息。 头脑不是一个要被填满的容器,而是一个需要点燃的火把。因此,教学不仅是给予学生种种知识,而且是给予种种思维的自由。教师的真正作用是让学生成为能摘到果子的劳动者,而不是捡果子的旁观者。 为此,教师要善于巧妙地将数学教学内容转换成具有潜在意义的问题情境,帮助学生建立起各自的“最近发展区”,使学生原有的知识结构与新知识结构之间产生一座无形的桥梁,从而激发学生求知的欲望。教师应从中相机给予学习方法的指导,启发学生遇到新问题时要善于利用已有知识的迁移、 组合去解决。 这样既能使学困生 “吃进” ,中等生 “吃好”,又能使优等生“吃饱”,使不同水平的学生都有题可做,有新知可学,并获得不同程度的发展。
把 “最近发展区” 理论运用于实际教学,其积极意义可以用一名多次获得马拉松冠军的运动员的一句话来形象说明: “长跑时,我以前面不远的一棵树或一幢房子为目标,向着这个目标奋斗、冲刺;到达目标时又以前面的树为目标,又进行冲刺„„直到跑完全程。 ”
Ⅳ 如何让学生体验数学知识的产生、发展与价值
答:我从以下两个方面进行分析:
一、基于学生认知基础，以旧知引新知
要想让学生能够体验到知识的形成过程，首先要基于学生的认知基础，搭建新旧知识之间的桥梁，将新知转化为学生已学过的知识，从而降低学生学习难度，激发学生主动探究新知的热情。而不是机械的等待老师的传授。例如在教学求“多边形的内角和”时，不能直接告诉学生多边形的内角和公式是180°(n–2)，这样只能让学生的思维产生惰性，不利于其思维的发展。而是要充分利用多边形与三角形之间的关系，通过从多边形的一个顶点出发引对角线，将多边形分成几个三角形，然后通过三角形的内角和公式来解决。这样n边形从一个顶点出发可以引(n–3)条对角线，将n边形分成(n–2)个三角形，那么由于一个三角形的内角和为180度，则(n–2)个三角形的内角和为180°(n–2)，从而n边形的内角和为180°(n–2)。所以只有基于学生的认知基础，以学生的最近发展区为切入点，学生有了主动探究知识的意识，才能使他们有机会体验到知识的产生。
Ⅵ 数学知识的发现和起源
数学的起源和早期发展
数学与其他科学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累．其主要内容反映了现实世界的数量关系和空间形式，以及它们之间的关系和结构．这可以从数学的起源得到印证．
古代非洲的尼罗河、西亚的底格里斯河和幼发拉底河、中南亚的印度河和恒河以及东亚的黄河和长江，是数学的发源地．这些地区的先民由于从事农业生产的需要，从控制洪水和灌溉，测量田地的面积、计算仓库的容积、推算适合农业生产的历法以及相关的财富计算、产品交换等等长期实践活动中积累了丰富的经验，并逐渐形成了相应的技术知识和有关的数学知识．
Ⅶ 高中数学教案设计如何贴近学生的最近发展区
近发展区指已达知识水平即达知识水平间差异区域站已知识草坪,树要知识,站着摘着,要摘,必须跳跳,跳起能摘高度 近发展区 陶行知说: 要自知识根,经验所发知识做枝,别知识才能我知识机部 原认知结构其主完习程必要条件 认知结构既包括已掌握知识,包括获些经验教,教师要根据认知内容需要创设定问题情境,充挖掘已经验,形新旧知识间联系,使模糊认知明朗化,具体象概括化,习新知识利用认知条件 、用变式练习,帮助建立题与题间近发展区 数知识间联系紧密,选择已知识作习新知识起点,组利于习程序,能促进知识迁移 例 一.已知线段 AB=二吧 厘米, AB 取点 P,使 AP=一9 厘米,再 AB 取点 C,使 PC=一二厘米,求线段 AC 度 做题程,笔者要求画图、析、计算,结 AC=漆 厘米 完题,都觉轻松,题目太简单,题基础,我适数据改变,例 二 该做呢? 例 二.已知线段 AB=二吧 厘米, AB 取点 P,使 AP=一5 厘米,再 AB 取点 C,使 PC=一二厘米,求线段 AC 度 该题要求与题要求相同 ,仔细,往往漏掉解,画与图 一类似图 二,并 AC=三 厘米事实,细发现另外解,即图 三 情况计算 AC=二漆 厘米故例 二 两解 于解题,教师仅要看结,且要看其思维程教师应指定要采哪,应该让采完所够着,并尝试采跳跳才能够着 二、运用化归思想,帮助建立节与节间近发展区 数知识强逻辑性,前知识联系紧密新知识由旧知识引申、扩展旧知识能解决问题服务未知转化已知,种运算转化另种运算,种图形转化另种图形,待解决问题转化已解决问题,终问题获解决 教,教师根据差异,帮助建立递增 近发展区 ,使教组织始终定坡度,使跳跳能摘 三、断探究,帮助建立章与章间近发展区 苏霍姆林斯基曾说:灵深处,都种根深蒂固需要希望自发现者、研究者、探索者童精神世界,种需要特别强烈 初虽已童,灵深处种强烈探求欲望仍十强烈随着知识积累与习能力增强,独立完习任务效率断提高 教师要创造条件让主参与习,充利用种理,调积极性,促进建立近发展区 教师应使优等、等、困都能够摘自够着,吃饱、吃 四、纵横联系,帮助建立整数体系近发展区 要使教取功,教师必须精选择,效实施并进行前期准备要实现目标,教师要引导展进行前期准备,程提供指导与反馈,并完组织进行总结讲评始教,教师应强调展教目,使明确要实现目标;,教师引导重温已相关背景知识,示范习任务需要, 或任务要求提供关信息 脑要填满容器,需要点燃火,教仅给予种种知识,且给予种种思维自由教师真作用让能摘劳者,捡旁观者 ,教师要善于巧妙数教内容转换具潜意义问题情境,帮助建立起各自近发展区,使原知识结构与新知识结构间产座形桥梁,激发求知欲望教师应相机给予习指导,启发遇新问题要善于利用已知识迁移、 组合解决 既能使困 吃进 ,等 吃,能使优等吃饱,使同水平都题做,新知,并获同程度发展 近发展区 理论运用于实际教,其积极意义用名获马拉松冠军运员句形象说明: 跑,我前面远棵树或幢房目标,向着目标奋斗、冲刺;达目标前面树目标,进行冲刺„„直跑完全
Ⅷ 数学的发展历史
算筹是中国古代的计算工具，真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间。《算数书》成书于西汉初年，是传世的中国最早的数学专着，它是1984年由考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中发现的。《周髀算经》编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学着作，但是包括两项数学成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”——这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”。
《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。
九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成。
中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物。
赵爽学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其着作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”。他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论着。
南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学着作问世。
祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。根据史料记载，其着作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。
隋唐时期的主要成就在于建立中国数学教育制度，这大概主要与国子监设立算学馆及科举制度有关。在当时的算学馆《算经十书》成为专用教材对学生讲授。《算经十书》收集了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等10部数学着作。所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。
公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式。
从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学着作。中国古代数学以宋、元数学为最高境界。在世界范围内宋、元数学也几乎是与阿拉伯数学一道居于领先集团的。
贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。 秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。
李冶于1248年发表《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的着作，在数学史上具有里程碑意义。尤其难得的是，在此书的序言中，李冶公开批判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技”、“玩物”等长期存在的士风谬论。
公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。
公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）着《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。
14世纪中、后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古代数学便开始呈现全面衰退之势。
明代珠算开始普及于中国。1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的着作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。
由于演算天文历法的需要，自16世纪末开始，来华的西方传教士便将西方一些数学知识传入中国。数学家徐光启向意大利传教士利马窦学习西方数学知识，而且他们还合译了《几何原本》的前6卷（1607年完成）。徐光启应用西方的逻辑推理方法论证了中国的勾股测望术，因此而撰写了《测量异同》和《勾股义》两篇着作。邓玉函编译的《大测》〔2卷〕、《割圆八线表》〔6卷〕和罗雅谷的《测量全义》〔10卷〕是介绍西方三角学的着作。
此外在数学方面鲜有较大成就取得，中国古代数学自此便衰落了。
数学知识的原始积累
数学知识伴随着人类文明的产生而起源，并率先在几个文明古国开始了漫长的原始积累过程，人类的祖先为我们留下了珍贵的、可供研究的原始资料，最着名的古埃及象形文字纸草书和巴比伦楔形文字泥板书，较为集中地反映了古埃及数学和巴比的水平，它们被视为人类早期数学知识积累的代表。
古埃及纸草书，是用尼罗河流域沼泽地水生植物的茎皮压制、粘连成纸草卷，用天然涂料液书写而成的。有两份纸草书直接书写着数学内容。一份叫做“莫斯科纸草”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草”，现藏莫斯科美术博物馆。另一份叫做“莱因特纸草”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有：“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被格兰人莱因特购得，后为博物馆收藏。这两份草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法、整数四则运算、单位分数的独特用法、试位法、求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活初中中的应用问题。
古巴比伦泥板书，是用截面呈三角形的利器作笔，在将干未干的胶泥板上刻写而成的，由于字体为楔形笔划，故称之为楔形文字泥板，从19世纪前期至今，相继出土了这种泥板有50万块之多。它们分别属于公元前2100年苏美尔文化末期，公元前1790年至公元前1600年间汉莫拉比时代和公元前600年至公元300年间新巴比伦帝国及随后的波斯、塞流西得时代。其中，大约有300至400块是数学泥板，数学泥板中又以数表居多，据信这些数学表是用来运算和解题的。这些古老的泥板，现在散藏于世界各地许多博物馆，并且被一一编号，成为我们研究巴比伦数学最可靠的资料。巴比伦数学从整体上讲比古埃及数学高明，古巴比伦人采用60进位制记数法，并计算出倒数表、平方表、立方表、平方根表和立方根表，其中2的平方根近似为1.414213...。巴比伦的代数有相当水平，他们用语言文字叙述方程问题及其解法，常用特殊的“长”、“宽”、“面积”等字眼表示未知量，除求解二次、三次方程的问题之外，也有一些数论性质的问题。巴比伦的几何似乎没有古埃及的几何那么重要，只是收罗了一些计算简单图形的面积、体积的法则，也许他们只是在解决实际问题时才搞点几何。此外，巴比伦数学中有很明显的商业、农业和天文的应用背景。
我们可以说，在人类早期数学知识积累过程中，由于计数物件的需要，产生了自然数，随着记数法的产生和发展，逐渐形成了运算，导致算术的产生；由于计量实物的需要，产生了简单的几何，随着农业、建筑业、手工业及天文观测的发展，逐渐积累了有关这些的基本性质和相互关系的经验知识，于是几何学萌芽了；由于商业计算、工程计算、天文的需要，在算术计算技巧的基础上，逐渐积累起代数学基本知识。但是，在这个阶段上，直到公元前6世纪，无论如何也找不到我们今天所谓的“理性的数学”，而只是一种初级的“经验的数学”。
表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间〔法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当〕，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理〔西方称毕氏定理〕的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。着名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，一中同长也”、“平，同高也”等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其他数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。
此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。
汉唐初创时期
这一时期包括从秦汉到隋唐1000多年间的数学发展，所经历的朝代依次为秦、汉、魏、晋、南北朝、隋、唐。
秦汉是中国古代数学体系的形成时期。为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。
西汉末年〔公元前一世纪〕编纂的天文学着作《周髀算经》在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。
《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典着作，约成书于东汉初年〔公元前一世纪〕。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。
魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对《周髀算经》做了详尽的注释。刘徽注释《九章算术》，不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，且在论述过程中多有创新，更撰写《海岛算经》，应用重差术解决有关测量的问题。刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。
南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》就是这个时期的作品。《孙子算经》给出“物不知数”问题，导致求解一次同余组问题；《张丘建算经》的“百鸡问题”引出三个未知数的不定方程组问题。 祖冲之、祖日桓父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有突出的贡献。其着作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113；(2)得到祖 日桓定理〔幂势既同，则积不容异〕并得到球体积公式；(3)发展了二次与三次方程的解法。
唐朝在数学教育方面有长足的发展。656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》〔包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》〕，作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。
宋元全盛时期
唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪〔宋、元两代〕，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批着名的数学家和数学着作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》〔11世纪中叶〕，刘益的《议古根源》〔12世纪中叶〕，秦九韶的《数书九章》〔1247〕，李冶的《测圆海镜》〔1248〕和《益古演段》〔1259〕，杨辉的《详解九章算法》〔1261〕、《日用算法》〔1262〕和《杨辉算法》〔1274-1275〕，朱世杰的《算学启蒙》〔1299〕和《四元玉鉴》〔1303〕等等。
高次方程数值解法； 天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；
大衍求一术，即一次同余式组的解法，现在称为中国剩余定理；
招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和。
另外，其他成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图〔幻方〕的研究、小数〔十进分数〕具体的应用、珠算的出现等等。
这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。
西学输入时期
这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共500多年。数学除珠算外出现全面衰弱的局面，当中涉及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题，不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。十六世纪末，西方初等数学开始传入中国，使中国数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。鸦片战争后，近代高等数学开始传入中国，中国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。直到十九世纪末，中国的近代数学研究才真正开始。
明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至程大位的《直指算法统宗》〔1592〕问世，珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的完成。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。
隋及唐初，印度数学和天文学知识曾传入中国，但影响较细。到了十六世纪末，西方传教士开始到中国活动，和中国学者合译了许多西方数学专着。其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的《几何原本》前6卷〔1607〕，其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推崇。徐光启本人撰写的《测量异同》和《勾股义》便应用了《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。此外，《几何原本》课本中绝大部份的名词都是首创，且沿用至今。在输入的西方数学中仅次于几何的是三角学。在此之前，三角学只有零星的知识，而此后获得迅速发展。介绍西方三角学的着作有邓玉函编译的《大测》〔2卷，1631〕、《割圆八线表》〔6卷〕和罗雅谷的《测量全义》〔10卷，1631〕。在徐光启主持编译的《崇祯历书》〔137卷，1629-1633〕中，介绍了有关圆椎曲线的数学知识。
入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他坚信中国传统数学“必有精理”，对古代名着做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的高潮是有积极影响的。与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人。
清康熙帝爱好科学研究，他“御定”的《数理精蕴》〔53卷，1723〕，是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。
在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有“谈天三友”之称的焦循、汪莱及李锐作出不少重要的工作。李善兰在《垛积比类》〔约1859〕中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为“李善兰恒等式”。这些工作较宋元时期的数学进了一步。阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记《畴人传》46卷〔1795-1810〕，开数学史研究之先河。
1840年鸦战争后，闭关锁国政策被迫中止。同文馆内添设“算学”，上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二次翻译引进的高潮。主要译者和着作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》后9卷〔1857〕，使中国有了完整的《几何原本》中译本；《代数学》13卷〔1859〕；《代微积拾级》18卷〔1859〕。李善兰与英国传教士艾约瑟合译《圆锥曲线说》3卷，华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译《代数术》25卷〔1872〕，《微积溯源》8卷〔1874〕，《决疑数学》10卷〔1880〕等。在这些译着中，创造了许多数学名词和术语，至今仍在应用。
1898年建立京师大学堂，同文馆并入。1905年废除科举，建立西方式学校教育，使用的课本也与西方其他各国相仿。
近现代数学发展时期
这一时期是从20世纪初至今的一段时间，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。
中国近现代数学开始于清末民初的留学活动。较早出国学习数学的有1903年留日的冯祖荀，1908年留美的郑之蕃，1910年留美的胡明复和赵元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何鲁，1913年留日的陈建功和留比利时的熊庆来〔1915年转留法〕，1919年留日的苏步青等人。他们中的多数回国后成为着名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展做出重要贡献。其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。1920年姜立夫在天津南开大学创建数学系，1921年和1926年熊庆来分别在东南大学〔今南京大学〕和清华大学建立数学系，不久武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学陆续设立了数学系，到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系。1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部，开始招收研究生，陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。三十年代出国学习数学的还有江泽涵〔1927〕、陈省身〔1934〕、华罗庚〔1936〕、许宝騄〔1936〕等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量。同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗素〔1920〕，美国的伯克霍夫〔1934〕、奥斯古德〔1934〕、维纳〔1935〕，法国的阿达马〔1936〕等人。1935年中国数学会成立大会在上海召开，共有33名代表出席。
但
赵爽是三国时期吴人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的数学家之一，其学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其着作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”。他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论着
祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。根据史料记载，其着作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。
从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学着作。中国古代数学以宋、元数学为最高境界。在世界范围内宋、元数学也几乎是与阿拉伯数学一道居于领先集团的。
贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。
秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。
公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）着《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。
明代珠算开始普及于中国。1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的着作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。