① 试论述小学数学学习的基本过程。
小学数学学习是以学生为主体 的数学认知活动,在活动中学生获取数学知识,形成数学技能和能力。这种活动一般需要经过以下几个基本过程来完成。一、动机的激发学习动机是指引起学生学习 行为,并使学习行为趋向一定目标的内在心理历程的动力。它的实质是学习需要,这种需要是学生学习积极性的源泉。新课程改革早已深入人心,可是通过调查我们发现,许多小学数学教 师在进行概念教学时,仍然停留在过去那种陈旧的教学观念中.例如,很多教师在进行概念教学时特别重视课本,而对从生活经验中学习概念却没有足够的重视；而 在引导学生掌握概念时又过于重视最后的结论,却不重视引导学生来探索概念形成的过程；在深入理解概念的过程中,重视利用概念来解题,却不重视把理论应用于 生活实践中去。这些问题对小学生理解数学概念有着很大的影响,也限制了学生数学思维的形成与发展。
② 简述数学知识的特点
数学知识的特点
1.数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造。
2.从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通的常识，最显着的例子是非负整数。"欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识，”另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔（K，G0de1，1978）不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，着名数学家冯·诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。
3.对于上述关于数学本质特征的看法，我们应当以历史的眼光来分析，实际上，对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的。由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践，因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的，人们能够很容易地找到数学概念的现实原型，这样，人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，特别是现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中在这些抽象对象上，数学与现实之间的距离越来越远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位，因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问，等等观点。这些认识，既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。正如有人所说的，“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。”而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释，另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现，因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的，通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。
4.事实上，上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的，并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的。显然，结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，而且从总体上来说，数学是一个动态的过程，是一个“思维的实验过程”，是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示。波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。”他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态，”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，他们不能没有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因（Efraim Fischbein）说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的，”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊（Courani Robbins）也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。”
5.另外，对数学还有一些更加广义的理解。如，有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是最基本的，……，它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力。”“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的，数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下，数学以内在的自我发展和自我理解为目标，独立于外部世界，…，另一方面，如果所考虑的领域存在于数学之外，…，数学就起着用科学的作用…·，数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统，它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动…·，数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验…·，作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”
从上所述可以看出，人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）。数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都从一个侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。
6.基于对数学本质特征的上述认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。比较普遍的观点是，数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。A，。亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛、性，”“5”王粹坤说，“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点，是数学特点的一个方面。另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”的特点。对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度，我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。
综上所述，对数学本质特征的认识是发展的。变化的，用历史的、发展的观点来看待数学的本质特征，恩格斯的“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”的论断并不过时，对初等数学来说就更是如此，当然，对“空间形式和数量关系”的内涵，我们应当作适当的拓展和深化。顺便指出，对数学本质特征的讨论中，采取现象与本质并重、过程与结果并重、形式与内容并重的观点：，对数学教学具有重要的指导意义。
关于数学所具有的特点，可以把数学和其他学科相比较，这种特点就十分明显了。
同其他学科相比，数学是比较抽象的。数学的抽象性表现在哪里呢?那就是暂时撇开事物的具体内容，仅仅从抽象的数方面去进行研究。比如在简单的计算中，2+3既可以理解成两棵树加三棵树，也可以理解成两部机床加三台机床。在数学里，我们撇开树、机床的具体内容，而只是研究2+3的运算规律，掌握了这个规律，那就不论是树、机床，还是汽车或者别的什么事物都可以按加法的运算规律进行计算。乘法、除法等运算也都是研究抽象的数，而撇开了具体的内容。
数学中的许多概念都是从现实世界抽象出来的。比如几何学中的“直线”这一概念，并不是指现实世界中的拉紧的线，而是把现实的线的质量、弹性、粗细等性质都撇开了，只留下了“向两方无限伸长”这一属性，但是现实世界中是没有向两方无限伸长的线的。几何图形的概念、函数概念都是比较抽象的。但是，抽象并不是数学独有的属性，它是任何一门科学乃至全部人类思维都具有的特性。只是数学的抽象性有它不同于其他学科抽象的特征罢了。
数学的抽象性具有下列三个特征：第一，它保留了数量关系或者空间形式。第二，数学的抽象是经过一系列的阶段形成的，它达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。从最原始的概念一直到像函数、复数、微分、积分、泛函、n维甚至无限维空间等抽象的概念都是从简单到复杂、从具体到抽象这样不断深化的过程。当然，形式是抽象的，但是内容却是非常现实的。正如列宁所说的那样：“一切科学的(正确的、郑重的、不是荒唐的)抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”(《黑格尔〈逻辑学〉一书摘要》，《列宁全集》第38卷第181页)第三，不仅数学的概念是抽象的，而数学方法本身也是抽象的。物理或化学家为了证明自己的理论，总是通过实验的方法；而数学家证明一个定理却不能用实验的方法，必须用推理和计算。比如虽然我们千百次地精确测量等腰三角形的两底角都是相等的，但是还不能说已经证明了等腰三角形的底角相等，而必须用逻辑推理的方法严格地给予证明。在数学里证明一个定理，必须利用已经学过或者已经证过的概念、定理用推理的方法导出这个新定理来。我们都知道数学归纳法，它就是一种比较抽象的数学证明方法。它的原理是把研究的元素排成一个序列，某种性质对于这个序列的首项是成立的，假设当第k项成立，如果能证明第k+1项也能成立，那么这一性质对这序列的任何一项都是成立的，即使这一序列是无穷序列。
数学的第二个特点是准确性，或者说逻辑的严密性，结论的确定性。
数学的推理和它的结论是无可争辩、毋容置疑的。数学证明的精确性、确定性从中学课本中就充分显示出来了。
欧几里得的几何经典着作《几何原本》可以作为逻辑的严密性的一个很好的例子。它从少数定义、公理出发，利用逻辑推理的方法，推演出整个几何体系，把丰富而零散的几何材料整理成了系统严明的整体，成为人类历史上的科学杰作之一，一直被后世推崇。两千多年来，所有初等几何教科书以及19世纪以前一切有关初等几何的论着都以《几何原本》作为根据。“欧几里得”成为几何学的代名词，人们并且把这种体系的几何学叫做欧几里得几何学。
但是数学的严密性不是绝对的，数学的原则也不是一成不变的，它也在发展着。比如，前面已经讲过《几何原本》也有不完美的地方，某些概念定义得不明确，采用了本身应该定义的概念，基本命题中还缺乏严密的逻辑根据。因此，后来又逐步建立了更严密的希尔伯特公理体系。
第三个特点是应用的广泛性。
我们几乎每时每刻都要在生产和日常生活中用到数学，丈量土地、计算产量、制订计划、设计建筑都离不开数学。没有数学，现代科学技术的进步也是不可能的，从简单的技术革新到复杂的人造卫星的发射都离不开数学。
而且，几乎所有的精密科学、力学、天文学、物理学甚至化学通常都是以一些数学公式来表达自己的定律的，并且在发展自己的理论的时候，广泛地应用数学这一工具。当然，力学、天文学和物理学对数学的需要也促进了数学本身的发展，比如力学的研究就促使了微积分的建立和发展。
数学的抽象性往往和应用的广泛性紧密相连，某一个数量关系，往往代表一切具有这样数量关系的实际问题。比如，一个力学系统的振动和一个电路的振荡等用同一个微分方程来描述。撇开具体的物理现象中的意义来研究这一公式，所得的结果又可用于类似的物理现象中，这样，我们掌握了一种方法就能解决许多类似的问题。对于不同性质的现象具有相同的数学形式，就是相同的数量关系，是反映了物质世界的统一性，因为量的关系不只是存在于某一种特定的物质形态或者它的特定的运动形式中，而是普遍存在于各种物质形态和各种运动形式中，所以数学的应用是很广泛的。
正因为数学来自现实世界，正确地反映了客观世界联系形式的一部分，所以它才能被应用，才能指导实践，才表现出数学的预见性。比如，在火箭、导弹发射之前，可以通过精密的计算，预测它的飞行轨道和着陆地点；在天体中的未知行星未被直接观察到以前，就从天文计算上预测它的存在。同样的道理也才使得数学成为工程技术中的重要工具。
下面举几个应用数学的光辉例子。
第一，海王星的发现。太阳系中的行星之一的海王星是在1846年在数学计算的基础上发现的。1781年发现了天王星以后，观察它的运行轨道总是和预测的结果有相当程度的差异，是万有引力定律不正确呢，还是有其他的原因?有人怀疑在它周围有另一颗行星存在，影响了它的运行轨道。1844年英国的亚当斯(1819—1892)利用引力定律和对天王星的观察资料，推算这颗未知行星的轨道，花了很长的时间计算出这颗未知行星的位置，以及它出现在天空中的方位。亚当斯于1845年9～10月把结果分别寄给了剑桥大学天文台台长查理士和英国格林尼治天文台台长艾里，但是查理士和艾里迷信权威，把它束之高阁，不予理睬。
1845年，法国一个年轻的天文学家、数学家勒维烈(1811—1877)经过一年多的计算，于1846年9月写了一封信给德国柏林天文台助理员加勒(1812—1910)，信中说：“请你把望远镜对准黄道上的宝瓶星座，就是经度326°的地方，那时你将在那个地方1°之内，见到一颗九等亮度的星。”加勒按勒维烈所指出的方位进行观察，果然在离所指出的位置相差不到1°的地方找到了一颗在星图上没有的星——海王星。海王星的发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼日尔爾心学说的伟大胜利，而且也是数学计算的伟大胜利。
第二，谷神星的发现。1801年元旦，意大利天文学家皮亚齐(1746—1826)发现了一颗新的小行星——谷神星。不过它很快又躲藏起来，皮亚齐只记下了这颗小行星是沿着9°的弧运动的，对于它的整个轨道，皮亚齐和其他天文学家都没有办法求得。德国的24岁的高斯根据观察的结果进行了计算，求得了这颗小行星的轨道。天文学家们在这一年的12月7日在高斯预先指出的方位又重新发现了谷神星。
第三，电磁波的发现。英国物理学家麦克斯韦(1831—1879)概括了由实验建立起来的电磁现象，呈现为二阶微分方程的形式。他用纯数学的观点，从这些方程推导出存在着电磁波，这种波以光速传播着。根据这一点，他提出了光的电磁理论，这理论后来被全面发展和论证了。麦克斯韦的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波，比如由振动放电所发射的电磁波。这样的电磁波后来果然被德国物理学家赫兹(1857—1894)发现了。这就是现代无线电技术的起源。
第四，1930年，英国理论物理学家狄拉克(1902—1984)利用数学演绎法和计算预言了正电子的存在。1932年，美国物理学家安德逊在宇宙射线实验中发现了正电子。类似的例子不胜枚举。总之，在天体力学中，在声学中，在流体力学中，在材料力学中，在光学中，在电磁学中，在工程科学中，数学都作出了异常准确的预言。
③ 论述幼儿数学学习的特点及教育原则
幼儿数学教育的原则是指在对幼儿开展数学教育时应遵循的一些基本准则。毫无疑问，对幼儿进行数学教育，首先要考虑的就是幼儿学习数学的心理特点。以下的教育原则，就是在幼儿学习数学的心理特点基础上，结合数学知识本身所具有的特点所提出的。
一、密切联系生活的原则
现实生活是幼儿数学概念的源泉。幼儿的数学知识和他们的现实生活有着密切的联系。可以说幼儿的生活中到处都有数学。幼儿每天接触的各种事物都会和数、量、形有关。比如，他们说到自己几岁了，就要涉及数；和别的幼儿比身高，实际上就是量的比较；在搭积木时，就会看到不同的形状。幼儿在生活中还会遇到各种各样的问题需要运用数学来加以解决。比如，幼儿要知道家里有几个人，就需进行计数，在拿取东西时，幼儿总希望拿“多多”、拿“大的”，这就需要判别多和少、大和小等数量关系。总之，生活中的很多问题，都可以归结为一个数学问题来解决，都可以变成幼儿学习数学的机会。
另方面，从数学知识本身的特点看，很多抽象的数学概念，如果不借助于具体的事物，儿童就很难理解。现实生活为儿童提供了通向抽象数学知识的桥梁。举例来说，有些儿童不能理解加减运算的抽象意义，而实际上他们可能在生活中经常会用加减运算解决问题，只不过没有把这种“生活中的数学”和“学校里的数学”联系起来。如果教师不是“从概念到概念”地教儿童，而是联系儿童的实际生活，借助儿童已有的生活经验，就完全能够使这些抽象的数学概念建立在儿童熟悉的生活经验基础上。如让儿童在游戏角中做商店买卖的游戏，甚至请家长带儿童到商店去购物，给儿童自己计算钱物的机会，可以使儿童认识到抽象的加减运算在现实生活中的运用，同时也帮助儿童理解这些抽象的数学概念。
数学教育要密切联系生活的原则，具体地应表现在：
数学教育内容应和幼儿的生活相联系，要从幼儿的生活中选择教育内容。我们给幼儿的学习内容，不应是抽象的数学知识，而应紧密联系他们的生活实际。例如，在教数的组成的知识时，可以引入幼儿日常生活中分东西的事情，让幼儿分各种东西，这样他们就会感到比较熟悉，也比较容易接受数的组成的概念。
在生活中引导幼儿学数学。数学教育除了要通过有计划、有组织的集体教学外，更要结合幼儿的日常生活，在幼儿的生活中进行教育。例如，在分点心时，就可引导幼儿注意，有多少点心，有多少小朋友，可以怎样分，等等。
此外，数学教育联系幼儿的生活，还要引导幼儿用数学，让幼儿感受到数学作为一种工具在实际生活中的应用和作用。例如，幼儿园中饲养小动物，可以引导幼儿去测量小动物的生长。在游戏活动中，也可创设情境，让幼儿用数学，例如在商店游戏中让幼儿学习买东西，计算商品的价格等等。这些实际上正是一种隐含的数学学习活动。幼儿常常在不自觉之中，就积累了丰富的数学经验。而这些经验又为他们学习数学知识提供了广泛的基础。
二、发展幼儿思维结构的原则
“发展幼儿思维结构”的原则，是指数学教育不应只是着眼于具体的数学知识和技能的教学，而应指向幼儿的思维结构的发展。
按照皮亚杰的理论，幼儿的思维是一个整体的结构，幼儿思维的发展就表现为思维结构的发展。思维结构具有一般性和普遍性，它是幼儿学习任何具体知识的前提。例如，当学前儿童的思维结构中还没有形成抽象的序列观念时，他们就不可能用逻辑的方法给不同长短的木棍排序。反过来，幼儿对数学概念的学习过程，也有助于其一般的思维结构的发展。这是因为数学知识具有高度的逻辑性和抽象性，学习数学可以锻炼幼儿思维的逻辑性和抽象性。总之，幼儿建构数学概念的过程，和其思维结构的建构过程之间具有相当的一致性。
在幼儿数学教育中，幼儿掌握某些具体的数学知识只是一种表面的现象，发展的实质在于幼儿的思维结构是否发生了改变。以长短排序为例，有的教师把排序的“正确”方法教给幼儿：每次找出最长的一根，排在最前面，然后再从剩下的木棍中找出最长的……幼儿按照教师教给的方法，似乎都能正确地完成排序任务，但实际上，他们并没有获得序列的逻辑观念，其思维结构并没有得到发展。而幼儿真正需要的并不是教给他们排序的技能，而是充分的操作和尝试，并从中得到领悟的机会。只有这样，他们才能从中获得一种逻辑经验，并逐渐建立起一种序列的逻辑观念。而一旦具备了必要的逻辑观念，幼儿掌握相应的数学知识就不再是什么困难的事情了。
总之，数学知识的获得和思维结构的建构应该是同步的。在幼儿数学教育中，教师在教给幼儿数学知识的同时，还要考虑其思维结构的发展。而只有当幼儿的思维结构同时得到发展，他们得到的数学知识才是最牢固的、不会遗忘的知识。正如一位儿童对皮亚杰所说的：“一旦你知道了，你就永远知道了。”（当皮亚杰问一位达到守恒认识的儿童“你是怎么知道的？”时，儿童说出了上面的话，皮亚杰认为这是一个绝妙的回答。
）
在教育实践中，教师常常需要在传授数学知识和发展思维结构之间作出一定的选择。二者之间实际上是具体利益和普遍利益的关系、眼前利益和长远利益的关系。有时，教师对某些具体的知识技能弃而不教，是为了给幼儿更多的机会进行自我调节和同化的作用，以期从根本上改变幼儿的思维方式，因而并不违背数学教育的宗旨。
三、让幼儿操作、探索的原则
让幼儿操作、探索的原则，就是要让幼儿通过自己的活动建构数学知识。数学知识是幼儿自己建构起来的，而且这个建构过程也是幼儿认知结构建构的过程。如果教师只注重结果的获得，而“教”给幼儿很多，实际上就剥夺了他们自己获得发展的机会。事实上，幼儿的认知结构也并不可能通过单方面的“教”获得发展，而必须依赖他自己和环境之间的相互作用，在主客体的相互作用中获得发展。
在数学教育中，主客体的相互作用具体地表现为幼儿操作物质材料、探索事物之间关系的活动。让幼儿操作、摆弄具体实物，并促使其将具体的动作内化于头脑，是发展幼儿思维的根本途径。在动作基础上建构起来的数学知识，是真正符合幼儿年龄特点的、和他的认知结构相适应的知识，也是最可靠的知识。而通过记忆或训练达到的熟练，则并不具有发展思维的价值。
让幼儿操作、探索的原则，要求教师在实践中要以操作活动为主要的教学方法，而不是让幼儿观看教师的演示或直观的图画，或者听教师的讲解。因为操作活动能够给予幼儿在具体动作水平上协调和理解事物之间关系的机会，是适合幼儿特点的学习方法。以小班幼儿认识数量为例。教幼儿口头数数能够让他们了解数的顺序，却不能让他们理解数量关系。很多小班幼儿数数能数到很多，但是这并不代表他们对数的顺序、数序中的数量关系就已经真正理解了。而通过操作活动，幼儿不仅在数数，还能协调口头数数和点数的动作，从而能理解数的实际意义。
操作活动还为幼儿内化数学概念，理解数的抽象意义提供了基础。在熟练操作的基础上，幼儿就能将其外在的动作浓缩、内化，变成内在的动作，最终转变成为头脑中的思考。例如，幼儿数概念的发展到了一定程度，就能做到目测数群而无需点数的动作了，最终幼儿看到某个数字就能理解其所代表的数量，而实际上这些能力都建立在最初的操作活动基础上。因此，操作活动对于幼儿学习数学是非常重要的。
此外，这一原则还要求教师把学数学变成幼儿自己主动探索的过程，让幼儿自己探索、发现数学关系，自己获取数学经验。教师“教”的作用，其实并不在于给幼儿一个知识上的结果，而在于为他们提供学习的环境：和材料相互作用的环境、和人相互作用的环境。当然，教师自己也是环境的一部分，也可以和幼儿交往，但必须是在幼儿的水平上和他们进行平等的相互作用。也只有在这样的相互作用中，幼儿才能获得主动的发展。
四、重视个别差异的原则
提出“重视个别差异的原则”的依据是幼儿发展的个别差异性。应该承认，每个幼儿都具有其与生俱来的独特性。这既表现在每个人有其独特的发展步骤、节奏和特点，还表现在每个人的脾气性情和态度倾向性各不相同。
在数学教育中，幼儿的个别差异表现得尤其明显。这不仅因为数学学习是一种“高强度”的智力活动，能够充分反映出幼儿思维发展水平的差异，可能也和数学本身的特点有关系——数学是一个有严格限定的领域，有一套特定的符号系统和游戏规则，它不像文学等领域那样需要复杂的生活经历，因而这方面的天赋也易于表现出来。（当代研究天才儿童的心理学专家加德纳也提出，数学和棋艺、音乐演奏是三个最容易产生少年天才的领域。 ）
幼儿学习数学时的个别差异，不仅表现为思维发展水平上的差异，发展速度上的差异，还有学习风格上的差异。即使同样是学习有困难的幼儿，他们的困难也不尽相同。有的幼儿是缺乏概括抽象的能力，有的是缺乏学习经验。
作为教育者，应该考虑不同幼儿的个别差异，让每个幼儿在自己的水平上得到发展，而不是千篇一律，统一要求。例如，在为幼儿提供操作活动时，可以设计不同层次、不同难度的活动，这样幼儿可以自由选择适合自己水平和能力的活动。
对于学习有困难的幼儿，教师也应分析他们的具体情况，针对不同的困难，给予不同的指导。如对于缺乏概括抽象能力的幼儿，教师可引导其总结概括，并适当加以点拨和启发。而对于经验不足、缺乏概括材料的幼儿，则可单独提供一些操作练习的机会，补充其学习经验。
④ 简述数学与数学知识的特点
前人种树，后人乘凉。
你只是需要把公式记下来，然后会用公式就好了。
⑤ 简述数学顺应学习的含义,并用适当的例子加以说明。
如果数学新知识在原有的数学认知结构中没有密切联系的适当知识，这时，如果要把新知识纳人到认知结构中，像同化学习那样通过与相关旧知识建立联系来获得新知识就比较困难。
这时必须要对原有数学认知结构进行改组，使之与新知识内容相适应，从而把它纳入进去，这个过程叫做顺应。顺应学习主要是已有知识适应新知识的过程。
例如：现在很多知识,都采用“树型结构"进行编排,这种“树型结构"就相当于我们头脑中的已有认知结构，当新知识产生后，如果新知识和原有认知结构里的旧知识没有联系，当新知识要被纳入原有“树型结构"时，就只能改变原有的结构,这就是顺应。
(5)论述数学知识扩展阅读
学概念学习是对一类数学对象的本质属性的概括抽象，是不断感知经验的活动过程，是主体对客体不断加工、修正，最终达到主体对客体的建构过程，其核心是抽象。
1、经历概念形成过程，积累概念学习的基本经验
创设适量的问题情境．布鲁纳指出，学习者在一定问题情境中，经过对学习材料的亲身体验和发展过程，才是学习者最有价值的东西．本节课创设八个实际情境，从中建立了八个具体的函数关系，对这些函数的特征进行分析，并抽象得到一次函的数概念。
若感性材料太少，学生对概念的感知就不充分，就难以对概念中各个要素进行全面界定和鉴别，对概念的本质属性和无关属性比较不充分，概念形成的基础就不坚实。
2、确定合理标准进行分类
根据自变量指数的不同，通过对八个具体函数的分类，将函数解析式右边关于自变量的一次整式的一类函数的特征抽象出来，用一个统一的解析式表示，进而归纳出一次函数概念，去掉与一次函数概念无关的属性。
⑥ 问答题：例举初中数学的相关内容,谈谈数学知识、数学技能、数学能力的区别于联系。
数学知识：比如说初一时理解实数和实数分为有理数和无理数这一类的纯概念问题，就是数学知识。数学知识大概可分为（1）数与代数（2）空间与图形（3）统计与概率。而所要学习的，就是数学知识。学过之后，为了检验自己是否理解掌握，就去做题，而你做题的速度，正确率，就是数学能力。
数学能力：例：一次函数Y=-2x+1的图象经过哪几象限。就是解答根据数学知识出的题目。它可能像例一样简单，也可能会拐几个弯，需要你的思考。然后思考做某种题型多了，你就有了一些数学技巧。
数学技能：我的理解是数学技巧，比如做圆这种题的时候，证切线首先就会想到连接圆心和切点。又或者是找相似，或者梯形的辅助线。这些都是需要做题归纳总结得出的。
所以总的来说关系就是：数学知识决定数学能力，数学能力衍生数学方法。
本人刚刚中考完，所以发表一下自己的见解，如果有错，请指出，抱歉，谢谢。纯手打，勿抄袭，望采纳。谢谢。
⑦ 论述数学思想方法在小学数学中的应用
摘 要 小学数学教育旨在让学生掌握和理解基本的数学知识，掌握正确的数学思想和应用方法，从而开拓数学学习的思维模式，提高学习能力。数学思想是一种文化，是数学教育的核心思想。作为数学教育工作者，对于数学思想在小学数学教育教学中的实践应用做出以下几点分析。
关键词 数学思想;小学;教学;浅析
数学知识广泛存在于人们的生产和生活当中。小学数学知识初级简单，却离不开数学思想方法的应用。小学数学思想方法有很多种。能够用不同的方法去解决数学问题，对于培养学生的数学基础，提高学习能力有很大的帮助。
一、数学思想方法的课堂应用状况
许多从事小学数学教育的老师，虽然意识到了数学思想方法在教学过程中应用的重要性，但是实际应用起来往往概念模糊，不够到位。大部分人依赖教材，缺乏变通，没有将数学思想方法融汇到知识当中，影响了数学知识的有效传授。学生对数学理论与内容的本质没有深刻体会，对于知识也不能全部吸收，无法付诸实践准确解决数学问题。
运用正确的数学思想方法对学生进行教育，使其能够理解并且运用，需要老师持之以恒的教育影响。这是一个缓慢的渗透过程，也是对于数学教学质量的有效提高过程。
二、数学思想方法课堂应用的分析研究
（一）分类思想方法在数学教学中的应用
数学的分类思想方法体现在对数学对象的分类及其分类标准。例如人教版四年级《三角形的分类》一课，三角形按角分让学生认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。三角形按边分让学生认识等腰三角形和等边三角形的各个部分，以及等腰三角形两底角关系和等边三角形的三个内角的关系。通过分类的数学思想方法，使得学生经过观察、操作、比较、概括，体会每一类三角形角的特点和边的特点。不同的分类标准有不同的分类结果，从而产生新的概念。
（二）假设思想方法在数学教学中的应用
假设是先对题目中的已知条件或问题做出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。比如，在人教版小学五年级方程式的教学当中，老师通过等式保持不变的规律来教学生解方程。教学案例：一个盒子里的皮球和外面的皮球加起来一共有九个，求盒子里有几个皮球。那么用假设法，假设盒子里有X个皮球，得出方程式X+3=9。这里同时也用到了符号化思想方法，即用X作为符号化的语言来推导演算。那么利用等式保持不变的等量关系求方程式的解，方程两边同时减去一个3，左右两边仍然相等，得出：X+3-3=9-3。则最后算出答案X=6。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。同时小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达了大量的信息，如定律、公式等。
（三）统计思想方法在数学教学中的应用
小学数学统计表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现数据处理的思想方法。例如，人教版小学六年级教材《扇形统计图》的教学中，老师给出一组数据，比如，课外活动中不同的运动项目，分别参加的人数不同，占全班的百分比也不同。乒乓球12人占30%;足球8人占20%;跳绳5人12.5%;踢毽子6人15%;其他9人22.5%;可以看出如果用条形统计图的话，并不能直观地表示出百分比。老师在黑板上画出扇形统计图，告诉学生用扇形统计图的整个圆表示全班人数，也就是单位“1”，圆内大小不同的扇形表示百分比，引导学生通过直观的图标，思考百分比是怎么算出来的？即各项运动的人数除以全班人数，所有百分比的和是100%。最后总结扇形统计图的特点：（1）整个圆代表总数量，扇形代表各部分数量。（2）从扇形的大小可以看出各部分数量占百分比的大小。（3）圆和扇形关系表示出了总数量与部分数量的关系。教师应将统计思想方法应用到数学教学当中，教会学生在生活中有很多问题可以用统计法来解决，并且能够运用各种统计方法来解决生活中的问题。
（四）类比思想方法在数学教学中的应用
类比思想方法是依据两类数学对象的相似性，由可能已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象的思想。例如人教版小学四年级教材《加法交换律》中例题：李叔叔准备骑车旅行一个星期，今天上午骑了40千米，下午骑了56千米。一共是多少千米？让学生用加法交换的方式列式，得出公式a+b=b+a。总结规律：两个加数交换位置，和不变。这就是数学类比思想的教学应用。另外类比思想在乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式的教学中都有应用。类比思想不仅使得学生们对于数学课本知识更加容易理解，而且让枯燥的数学公式在记忆上更加容易和方便。
小学数学思想在数学教育教学中广泛应用，占有非常重要的地位。除了今天的几项实践研究外，还有很多思想方法，比较思想方法、转化思想方法、集合思想方法等等很多教学形式。
为了跟上不断改革的小学教育教学发展的节奏，让学生们能够获得更多的数学思想方法，掌握数学知识，作为教育工作者应该在不断地教学实践中研究总结。为学生持续的学习和发展奠定基础，从而有效提高小学数学教育教学质量。
⑧ 生活中的数学知识
人体内的杠杆
几乎每一台机器中都少不了杠杆，就是在人体中也有许许多多的杠杆在起作用。拿起一件东西，弯一下腰，甚至翘一下脚尖都是人体的杠杆在起作用，了解了人体的杠杆不仅可以增长物理知识，还能学会许多生理知识。
其中，大部分为费力杠杆，也有小部分是等臂和省力杠杆。
点一下头或抬一下头是靠杠杆的作用(见图)，杠杆的支点在脊柱之顶，支点前后各有肌肉，头颅的重量是阻力。支点前后的肌肉配合起来，有的收缩有的拉长配合起来形成低头仰头，从图里可以看出来低头比仰头要省力。
当曲肘把重物举起来的时候，手臂也是一个杠杆(如图)。肘关节是支点，支点左右都有肌肉。这是一种费力杠杆，举起一份的重量，肌肉要花费6倍以上的力气，虽然费力，但是可以省一定距离。
当你把脚尖翘起来的时候，是脚跟后面的肌肉在起作用，脚尖是支点，体重落在两者之间。这是一个省力杠杆(如图)，肌肉的拉力比体重要小。而且脚越长越省力。
如果你弯一下腰，肌肉就要付出接近1200牛顿的拉力。这是 由于在腰部肌肉和脊骨之间形成的杠杆也是一个费力杠杆（如图)。 所以在弯腰提起立物时，正确的姿式是尽量使重物离身体近一 些。以避免肌肉被拉伤。
⑨ 浅谈如何挖掘数学知识中横向间的联系
数学知识有着纵横之间密切的联系，数学教学重在让学生把握住知识间的联系，从而培养起学生自学的能力和善于思考和发现的能力，使学生的素质得到更全面的发展。挖掘知识横向间的联系就是要让学生学会进行知识之间的转化，达到由此及彼的目的，从而对知识的形成及结果进一步升华，实现教学的根本目的。数学知识横向间的联系体现了直线前进与台阶发展的作用，能使学生在积累的基础上得到更大发展的保证，把握了这一点才能更好地促进学生数学素养的提高。
一、“转化思想”在横向知识联系中的应用
转化思想是数学的重要思想，在知识的横向联系中，转化思想起到了将知识联系到一起的重要作用。在教学中渗透转化思想就是要让学生明确知识之间有着千丝万缕的关系，新知识的学习可以在已有知识的前提下进行，从而将新知识转化为旧知识，帮助学生更好地学习。理清了这一点也就能够使学生掌握好学习的方法，即在学习新知识时，先找与已学知识的联系，从而横向进行比较，在旧的基础上明确新的点，抓住这一点也就能够彻底掌握新知识，实现由旧到新的进步。
如教学苏教版五年级上册《小数乘法和除法》时，我们可以按照数的学习顺序和学生已有的整数乘除法的经验，让学生将所学习的小数乘除法的内容转化为已学过的整数乘除法的知识进行解决，找到知识间的横向联系，并在此基础上发现小数乘除法的算理与法则。如计算10.35×2.04，学生就会在已有经验的基础上，每一个因数都扩大100倍转化为整数进行计算，再将所得的积缩小10000倍求出结果，并且可以看出扩大与缩小就是移动小数点，这样也就初步理解了小数乘除法其实就是通过移动小数点将因数转化为整数，再将积的小数点反向移回来，当末尾是0时需要划去。在此基础上可以让学生进行讨论与交流，用更规范的语言得出小数乘除法的算理与法则，即一算、二数、三点、四划。
二、“由此及彼”是实现横向联系的至关点
小学数学中，知识的呈现基本是按照由浅入深、由此及彼的顺序进行设计。因此在教学时我们应把握好这一规律，在为学生夯实基础的前提下，让学生按照这条主线进行自主学习与探究，从而培养学生良好的学习习惯，形成正确的学习方法。由此及彼不仅要求学生能够理清学习的思路，能够在原有知识的基础上学习新知，还要求学生要有所提高与创新，达到触类旁通、举一反三的目的。这样学生就能够在知识的横向联系的本质下，实现更高层次的跨越，从而积累更多的数学经验。
如教学《多边形的面积》时，在已经学过了三角形面积的基础上，对于梯形面积的探究，可以让学生根据三角形面积的思路与方法自主进行。放手给学生，相信学生会给我们带来更多的惊喜。有的学生先用三角形的面积公式的得出方法：将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，类比得出了梯形的面积公式。还有的学生通过将梯形进行分割、拼补的方法来得出梯形的面积公式，如将梯形沿两腰的中点剪开，拼成一个梯形;将梯形沿一个顶点与另一腰的中点剪开，拼成一个三角形等，并相互验证公式。这样既开阔了学生的视野，又提高了学生多方面分析问题、解决问题的能力，还为下一步学习组合图形的面积提供了方法，真可谓是一举多得。
三、“知识迁移”是对横向联系的升华和提高
把握数学知识横向间联系的重点在于实现知识的迁移，让学生能够综合运用转化、类比的思想来更深层次地把握问题的本质。小学数学中的基础知识与技能并不是太难，学生掌握起来应该很容易，但是在此基础上提炼出数学思想与方法并以此指导下一步的学习，对于很多学生来说则不是一件很轻松的事情。因此教学时我们要有意识地对学生进行数学思想与方法的渗透，让学生能够实现知识的迁移，从而达到不仅“学会”，还能“会学”。这也是为了更好地提高学生的数学素养作铺垫，为学生的终身学习奠基。
如教学《方程》时，对于初学方程的学生来说，解方程既是知识的重点，也是难点，如何让学生由原来学习的知识顺利迁移过来是教师需要思考的关键问题。在刚开始学习时，我们可以让学生根据原来学习的加减乘除计算，利用倒推的方法让学生得出结果，但这种方法对于以后要学习的解复杂的方程却不实用，所以我们可以通过对比的方式，来让学生摆脱对倒推的依赖，逐步调整到用等式的基本性质解方程的必然道路上来。如在解x+2=5时，刚开始很多同学都会用一个加数等于和减去另一个加数的方法得出x=3，这时教师可以提醒学生除此之外还可以怎么想，学生在刚学等式性质的基础上自然会想到等式两边同时减去2得出x=3。这样的思考更直接，学生慢慢也就能够很好地适应，这也为以后学习开好了头，避免了学生停留在对算式倒推的依赖上。
总之，在教学时让学生把握好知识间的横向联系，可以帮助学生养成良好的学习习惯，掌握科学的学习方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。只有深度挖掘了知识间的横向联系，才能使分散在各册、各单元的知识形成一个完整的体系，便于学生总体上的感知与掌握，使学生能够由此及彼、举一反三，真正理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想，从而实现我们数学教学的根本目的。