Ⅰ 有关完美数的知识
任何一个自然数的约数中都有1和它本身，我们把小于它本身的因数叫做这个自然数的真约数。如6的所有真约数是1、2、3，而且6=1＋2＋3。像这样，一个数所有真约数的和正好等于这个数，通常把这个数叫做完美数。
古希腊人非常重视完美数。毕达哥拉斯发现它之后，人们就开始了对完美数的研究。也许完美数太少了，一直到现在，数学家才发现了29个完美数，而且都是偶完美数。前5个完美数分别是：6，28，496，8128，33550336。
完美数有许多有趣的性质，如，它们都能写成连续自然数之和：
6=1＋2＋3
28=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
8128=1＋2＋3＋4……＋127
===================================
Ⅱ 判断一个数是否为完全数
一、数学知识：
完数即完全数。
完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”。
二、算法分析：
根据数学定义，要判断是否为完数，则需要取出所有真因子相加，然后判断是否相等即可。
三、参考代码：
#include<stdio.h>
intisPerfectNum(intn)//判断n是否为完数，如果是，则返回1，否则返回0.
{
inti,s=0;
for(i=1;i<n;i++)//遍历小于n的整数。
if(n%i==0)//可以整除，为真因子。
s+=i;//累加每个真因子到s上。
if(s==n)return1;//符合完数条件，返回1。
elsereturn0;//不是完数，返回0。
}
intmain()
{
intn;
scanf("%d",&n);//输入n值。
if(isPerfectNum(n))//判断是否为完数，并输出结果。
printf("%d是完数 ",n);
else
printf("%d不是完数 ",n);
return0;
}
Ⅲ 人教版小学五年级数学下册1-2单元学习重点有哪些
《因数与倍数》教 案 首 页
教材版本
新人教版
学段
五年级下册
学科
数学
章节
第二单元
课题名
因数与倍数
课时
1课时
执教教师单位
崇仁四小
教师姓名
杨县文
教学
目标
1、学生掌握找一个数的因数，倍数的方法；
2、学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的；
3、能熟练地找一个数的因数和倍数；
4、培养学生的观察能力。
教学重点
理解因数和倍数的含义；自主探索并总结找一个数的因数和倍数的方法。
教学难点
自主探索并总结找一个数的因数和倍数的方法；归纳一个数的因数的特点。
教具
学号牌数字卡片
时间
安排
复习（3分钟）
合作交流、共探新知（20分钟）
探究找一个数的因数的方法（10分钟）
b、探究找一个数的倍数的方法（10分钟）
三、深化练习，巩固新知（12分钟）
四、通过这堂课的学习，你有什么收获？（4分钟）
五、布置作业、结束全课：（1分钟）
课后
小结
一节概念课如果按传统方法去教学是非常枯燥的。教师只有真正做到“读懂教材、读懂学生、读懂课堂”，才能让学生感觉“乐学、易学”，真正充分参与到知识的获取过程中来。
备注
《因数与倍数》教学设计
教学内容：新人教版小学数学五年级下册第13~16页。
教学目标：
1、学生掌握找一个数的因数，倍数的方法；
2、学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的；
3、能熟练地找一个数的因数和倍数；
4、培养学生的观察能力。
教学重点：
理解因数和倍数的含义；自主探索并总结找一个数的因数和倍数的方法。
教学难点：
自主探索并总结找一个数的因数和倍数的方法；归纳一个数的因数的特点。
教学具准备：学号牌数字卡片（也可让学生按要求自己准备）。
教法学法：谈话法、比较法、归纳法。
快乐学习、大胆言问、不怕出错！
课前安排学号：1~40号
课前故事：
说明道理：学习最重要的是快乐，要掌握学习的方法。
教学过程：
复习
1、4×0.5＝2，所以4和0.5都是2的因数，2是4和0.5的倍数。这句话对吗？
2、我们在因数与倍数的学习中，只讨论什么数？
3、8÷2＝4，所以8是倍数，4是因数。这句话对吗？
今天，我和大家一道来继续共同探讨“因数与倍数”
合作交流、共探新知
探究找一个数的因数的方法（谈话法、比较法、归纳法）
请认为自己是18的因数的同学带着号码牌上台来。
a、学生上台――找对子，击掌―――。完后提示：老师觉得有点乱，有没有什么方法可以让这些找因数的方法有序些？
b、学生再次依照1*18，2*9，3*6的顺序一个个讲出乘法算式。接着追问：那18的因数就有？？？从1开始做手势：（1，18，2，9，3，6）有没有遗漏的呢？为了让人家看得更明白，我们从小到大排一下，好不好？
学生预设：有的学生可能会说还有6*3，9*2，18*1等，出现这种情况时可以冷一下，让学生想一想这样写的话会出现什么情况，最后让学生明白一个数的因数是不能重复的。
c、可是老师觉得这样子写又有点乱，有没有更好的办法让人看得更清楚些，让这些数字的有序地排列？
d、介绍写一个数因数的方法
可以用一串数字表示；也可以用集合圈的方法表示。
说一说：
18的因数共有几个？
它最小的因数是几？
最大的因数是几？
做一做（在做这些练习时应放手让学生去做，相信学生的知识迁移与消化新知的能力）
a、30的因数有哪些，你是怎么想的？
b、36的因数有几个?你是怎么想的？为什么6*6＝36，这里只写一个因数？
c、对比18、30、36的因数，分别让学生说说每个数最小的因数是几？最大的因数是几？各有几个因数？
d、让学生讨论：你从中发现了“一个数的因数”有什么相同的地方吗？
学生总结：
板书：
一个数最小的因数是1；
最大的因数是它本身；
因数的个数是有限的。
轻松一下：
我们来了解一点小知识：完全数，什么叫完全数呢？就是一个数所有的因数中，把除了本身以外的因数加起来，所得的和恰好是这个数本身，那这样的数我们就叫它完全数，也叫完美数，比如6~~（学生读课本14页完全数的相关知识）
b、探究找一个数的倍数的方法（谈话法、比较法、归纳法）
因为有了前面探究找一个数因数的方法，在这一环节更可大胆让学生自己去想，去说，去发现，去归纳。教师只要适当做点组织和引导工作就行。
过渡：大家都很棒！这么快就找出了一个数的因数并总结好了它的规律，现在杨老师想放开手来让大家自己来学习下面的知识：找一个数的倍数。
a、2的倍数有哪些？你是怎么想的？从1开始做手势：1*2＝2，2*2＝4，2*3＝6，一倍一倍地往上递加。
发现：这样子写下去，写得完吗？写不完，我们可以用一个什么号来表示？这个省略号就表示像这样子的数还有多少个？
b、那5的倍数有哪些？按从小到大的顺序至少写出5个来，看谁写得又快又好
c、对比“一个数的因数”的规律，学生自由讨论：一个数的倍数有什么规律呢？
（到这一环节就无需再提问了，要相信学生能够在类比中找到学习的方法）
学生总结：
板书：
一个数最小的倍数是它本身；
没有最大的倍数；
倍数的个数是无限的。
（哦，大家这么聪明啊，不用老师教都会了，看来你们真的是太棒了，这也说明学习要学得轻松就一定要掌握~~方法！）
c、看样子大家都满怀信心了，那老师就用黑板上的两个例题来考考大家，看大家的观察能力是不是真的好厉害。
指着板书中的18的因数与2的倍数提问：
你能从中找出既是18的因数又是2的倍数的数吗？（计时开始：10，9，8，~~~）
学生完成后表扬：哇，好厉害！
三、深化练习，巩固新知
1、做练习二的第3题
在题中出示的数字里分别找出8的倍数和9的倍数
注意“公倍数”概念的初步渗透。
做练习二的第6题
四、通过这堂课的学习，你有什么收获？
五、布置作业：
六、结束全课：
请学号是2的倍数的同学起立，你们先离场，
不是2的倍数的同学后离场。
七、板书设计：
18＝1 ×18
18＝2 × 9
18＝3 × 6
有序 不重复不遗漏
18的因数有:1、2、3、6、9、18。
因 数 和 倍 数
一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
因数的个数是有限的。
2的倍数
2，4，6，……
一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。
倍数的个数是无限的。
Ⅳ 什么是完美数
完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。
如果一个数恰好等于它的真因子之和，则称该数为“完全数”。第一个完全数是6，第二个完全数是28，第三个完全数是496，后面的完全数还有8128、33550336等等。截至2018年，相关研究者已经找到51个完全数。
推导公式：
大数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式：如果p是质数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。
例如p=2，是一个质数，2^p-1=3也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=3X2=6，是完全数。
例如p=3，是一个质数，2^p-1=7也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=7X4=28，是完全数。
例如p=5，是一个质数，2^p-1=31也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=31X16=496是完全数。
但是2^p-1什么条件下才是质数呢?事实上，当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数。到2013年2月6日为止，人类只发现了48个梅森素数，较小的有3、7、31、127等。
Ⅳ 完全数是什么
公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊着名数学家尼可马修斯在他的数论专着《算术入门》一书中，给出了6、28、496、8128这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完全数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。
公元前3世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟。他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数；而有的真因数之和居然等于自身，于是人们又诞生了完全数。6是人们最先认识的完全数。当研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6。他激动地说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它是完整的，并且其和等于自身。”
完全数在古希腊诞生后，像谜一样吸引着众多数学家和数学爱好者去寻找更多的完全数。可是，纵然为此呕心沥血，仍然没有人找到第五个完全数。后来，由于欧洲战争不断，希腊、罗马的科学也逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国。从此，希腊、罗马文明一蹶不振。
直到1202年才出现一线曙光。意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等国，学到了不少数学知识。他才华横溢，后来写出名着《算盘书》，成为13世纪在欧洲传播东方文化和将东方数学系统地介绍到西方的第一人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。斐波那契经过推算后宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有得到当时数学界的共鸣，只好不了了之。
1460年，当人们还在为寻找更多完全数乐此不疲时，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336。它比第四个完全数8128大了4000多倍。
跨度如此之大，在计算并不发达的时代可想而知发现者的艰辛了。可惜手稿里没有说明他用什么方法得到的，也没有公布自己的姓名，使得人们迷惑不解。不过，在这位无名氏成果的鼓励下，15－19世纪是研究完全数不平凡的时代，其中17世纪出现了小高潮，而着名的“梅森猜测”就是这个时候诞生的。
在研究与寻找的过程中，人们还发现完全数的一个奇妙现象。如果把一个完全数的各位数字加起来得到一个数，再把这个数的各位数字加起来，又得到一个数，一直这样做下去，结果一定是1。
例如：数字28：2＋8＝10，1＋0＝1数字496：4＋9＋6＝19，1+9＝10，1＋0＝1
这一现象意味着什么？法国数学家笛卡尔曾公开预言：“能找出的完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完全人亦非易事。”所以关于完全数还有许多待解之谜，比如：完全数之间有什么关系？完全数是有限还是无穷多个？存在不存在奇数完全数？
从1952年开始，人们借助高性能计算机寻找完全数，至1985年才找到18个。而迄今为止，发现的30个完全数，统统都是偶数，于是，数学家提出猜测：存不存在奇数完全数？
1633年11月，笛卡尔给梅森的一封信中，首次提出了奇数完全数的研究。可惜直到他死也未能找到。而且至今，没有任何一个数学家发现一个奇数完全数。这又成为世界数论的一大难题。虽然谁也不知道它们是否存在，但经过一代又一代数学家的研究计算，有一点是明确的，那就是如果存在一个奇数完全数的话，那么它一定是非常大的。对奇数完全数是否存在，产生如此多的估计，也算得上是数学界的一大奇闻了。
Ⅵ 完全数是几年级学的
完全数是小学5年级学的。
一、教学内容：人教版小学数学五年级下册《第二单元：因数与倍数》，教材第12——14页。
二、教学建议：
在学生学习掌握了因数、倍数的相关知识后，及时给出6和其他1-2个数，写出它们的因数，让学生了解到6的因数相加刚好等于6，让学生试着找一找，你能找到几个这样的数（既比赛又在无形中练习了写一个数的因数，可谓一举两得），从而引入完全数，介绍完全数的知识，拓宽知识面，展现数学中的“美”。
性质
1、所有的完全数都是三角形数。例如：6=1+2+3；28=1+2+3+...+6+7；496=1+2+3+...+30+31；8128=1+2+3…+126+127。
2、所有的完全数的倒数都是调和数。例如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。
3、可以表示成连续奇立方数之和。除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。例如：28=1³+3^3；496=1^3+3^3+5^3+7^3；8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3；33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3。
4、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和。不但如此，而且它们的数量为连续质数。例如：6=2^1+2^2；28=2^2+2^3+2^4；496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8；8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12；33550336=2^12+2^13+……+2^24。
Ⅶ 2\什么是完数，及什么是完数的因子
完数必备条件的公式、推理及其证明
一提起数，一般人总认为它是枯燥无味的，不像音乐那样动听，不像小说那样迷人，不像美术作品那样使人陶醉。其实，这是很不公正的。不要说数和人类生活有着密不可分的联系，就说数本身，也充满着无穷的趣味呢。
我们举个例子。数6，连小学生也认得的。它等于1＋2＋3，而且，1、2、3都是6的整约数，也就是说，他们都能除尽6。这是众人皆知、最简单的知识。可是谁去注意过它呢？也许有人会说，这有什么奥秘呢？不是很平常、很简单的小学算术吗？
不！公元前两千多年，古希腊人就不是这样简单地看问题的。他们对于数6等于它所有整约数（6本身除外）的和这个奇妙的事实很感兴趣。他们把6命名为“完数”（即完全的数）。
当时，很快找到了第二个完数28：1＋2＋4＋7＋14=28。不久，大数学家欧几里德找出了第三个完数496和第四个完数8128。而第五个完数33550336则是在欧几里德死后一千零五年才找到的。
“完数”引起了世界上许多着名数学家的兴趣。从1644年至1957年9月，经过许多着名数学家的辛勤劳动，共找到了十八个完数，第十八个完数约2000位。
6的整约数是：1、2、3。
28的整约数是：1、2、4、7、14。
496的整约数是：1、2、4、8、16、31、62、124、248。
……
我们发现，每个完数的所有整约数正好都是公比为2的两个等比数列。假如我们把它们由小到大依次排列，并把前一个数列的项数用P表示，那么，前一个等比数列的首项是1，末项是2的P－1次方；后一个等比数列的首项是2的P次方－1，末项是（2的P次方－1）·2的P－2次方。如果用S和S’分别表示两个数列之和，则：
S= 1－2的P－1次方·2 / 1－2 = 2的P次方－1
S’=（2的P次方－1）－（2的P次方－1）·2的P－2次方·2 / 1－2 =（2的P次方－1）·2的P－1次方－（2的P次方－1）
=（2的P次方－1）·（2的P－1次方－1）
现在，我们再用W来表示完数，那么：
W= S＋S’=（2的P次方－1）＋（2的P次方－1）·（2的P－1次方－1）
W=（2的P次方－1）·2的P－1次方
但是，并不是所有符合这个公式的数都是完数。例如，当P=4时，W=120就不是完数。那么，需要附加什么条件呢？
让我们把公式展开来观察一下：
（2的P次方－1）·2的P－1次方 = 2的0次方＋2的1次方＋2的2次方＋…＋2的P－1次方＋（2的P次方－1）·2的0次方＋（2的P次方－1）·2的1次方＋
…＋（2的P次方－1）·2的P－2次方 （其中P≥2）
展开以后右边各项即数（2的P次方－1）·2的P－1次方的所有整约数。当然，右边各项都可能会有自己的整约数，他们的整约数也就是数（2的P次方－1）·2的P－1次方的整约数。如果右边任意一项的整约数都包含在右边各项里，每一项都不再有右边各项以外的新的整约数，那么，数（2的P次方－1）·2的P－1次方就一定是一个完数。
比如28的整约数是1、2、4、7、14。其中4的整约数是1和2，14的整约数是1、2和7（这里我们把数自身除外），并没有这五个整约数之外的新的整约数，因此，28是完数。
要满足这个条件，很明显，关键在于2的P次方－1必须是一个素数。也就是说，只要2的P次方－1除了1和它本身之外，再没有任何一个整约数，那么，W=（2的P次方－1）·2的P－1次方就一定是一个完数。例如完数6中的2的P次方－1=3、完数28中的2的P次方－1=7、完数496中的2的P次方－1=31等等就都是素数。
朋友，你读到这里，一定会问，在什么情况下，2的P次方－1才会是素数呢？
首先，我们可以证明，当P不是素数时，2的P次方－1就不会是素数。证明过程如下：
1、当P是偶数时，根据因式分解公式，
a的n次方－b的n次方 =（a＋b）·（a的n－1次方－a的n－2次方·b＋…＋ab的n－2次方－b的n－1次方）
则有
2的P次方－1=（2＋1）·（2的P－1次方－2的P－2次方＋…＋2－1）
显然，2的P次方－1不是素数，它至少还能被3除尽。
2、当P是奇数、但不是素数时，假设P被x除尽，即P÷x = a P = ax（a、x是奇数），
则有
2的P次方－1=1＋2的1次方＋2的2次方＋…＋2的x－1次方＋2的x次方＋…＋2的2x－1次方＋2的2x次方＋…＋2的（a－1）x－1次方＋2的（a－1）x次方＋…＋2的ax－1次方
=（2的x次方－1）＋[（2的2x次方－1）－（2的x次方－1）]＋…＋[（2的ax次方－1）－（2的（a－1）x次方－1）]
=（2的x次方－1）·（1＋2的x次方＋…＋2的（a－1）x次方）
也就是说，2的P次方－1被其展开式中由小到大的前x项之和除尽（x是P的整约数），因此，2的P次方－1不是素数。
这样看来，只有当P是素数时，2的P次方－1才可能是素数。1644年默森尼证明了当P是下列的9个素数之一，即
P=2、3、5、7、13、17、19、31、127
时，则（2的P次方－1）是素数。由于默森尼在这个问题上的贡献，人们把形状为2的P次方－1的正整数叫做默森尼数。
默森尼数2P－1在什么条件下才可能是素数呢？我们有：
2的P次方－1=1＋2的1次方＋2的2次方＋2的3次方＋…＋2的P－1次方
=1＋2·（1＋2的1次方＋2的2次方＋…＋2的P－2次方）
=1＋2·（2的P－1次方－1）
=1＋2P·（2的P－1次方－1）/ P
设 K=（2的P－1次方－1）/ P
则 2的P次方－1=1＋2KP
1、如果2的P次方－1不是素数，那么，它一定有素因子乘积的形式。
设 K=2Pxy＋x＋y （x、y是任意自然数）
则2的P次方－1=1＋2KP
=1＋2P（2Pxy＋x＋y）
=1＋4 P的2次方xy＋2Px＋2Py
2的P次方－1=（2xP＋1）（2yP＋1）
这里，K=2Pxy＋x＋y 有x≠0、y≠0 的正整数解。
2、反之，如果K=2Pxy＋x＋y 没有x≠0、y≠0 的正整数解，或者说，小于或等于（2P－1）开平方的所有形式为（2xP＋1）的素因子都不能除尽2的P次方－1时，2的P次方－1就一定是素数。
虽然是否存在有无限多个默森尼数是素数尚是数论中的一个难题，但到目前为止，所知道的默森尼数
P项的M=2的P次方－1
是素数的，已有25个。即当
P=2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701时，则2的P次方－1都是素数（注：其中最后一个即221701－1是1978年两名美国大学生新发现的截止目前为止最大的一个素数。载1978年11月21日《参考消息》第四版）。
因此，目前我们所知道的完数就不止是18个而是25个了，即当P是上述25个素数之一时，
W=（2的P次方－1）·2的P－1次方就是完数。
Ⅷ 如何解开完全数之谜
公元前３世纪时，古希腊数学家在对数的因数分解中，发现了有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数；而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数。６是人们最先认识的完全数。
发现完全数研究数字的先师毕达哥拉斯发现６的真因数１、２、３之和还等于６。
古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。
约公元前３００年，几何大师欧几里得在他的巨着《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法，被誉誉（ｙù）：名誉，称赞。为欧几里得定理：“如果２ｎ－１是一个素数，那么自然数２ｎ－１(２ｎ－１)一定是一个完全数。”并给出了证明。
公元１世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊着名数学家尼可马修斯在他的数论专着《算术入门》一书中，正确地给出了６、２８、４９６、８１２８这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。
神秘的第五个完全数完全数在古希腊诞生后，吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。可是，一代又一代人付出了无数的心血，第五个完全数没人找到。
直到１２０２年才出现一线曙光。意大利的斐斐：ｆěｉ。波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区，学到了不少数学知识。他才华横溢，回国后潜心研究所搜集搜集（ｓōｕｊí）：到处寻找（事物）并聚集在一起。的数学，写出了名着《算盘书》，成为１３世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。斐波那契没有放过完全数的研究，他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云。
１４６０年，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数３３５５０３３６。这比起第四个完全数８１２８大了４０００多倍。跨度如此之大，在计算落后的古代可想发现者之艰辛了，但是，手稿里没有说明他用什么方法得到的，又没有公布自己的姓名，这更使人迷惑迷惑（ｍíｈｕò）：辨不清是非；摸不着头脑，使迷惑。不解了。
不平凡的研究历程１６世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头，落下了口吃的疾患，后来靠自学成为一位着名数学家。他研究发现：当ｎ＝２和ｎ＝３至３９的奇数时，２ｎ－１(２ｎ－１)是完全数。
１７世纪“神数术”大师庞格斯在一本洋洋７００页的巨着《数的玄学》中，一口气列出了２８个所谓“完全数”，他是在塔塔利亚给出的２０个的基础上补充了８个。可惜两人都没有给出证明和运算过程，后人发现其中有许多是错误的。
１９６３年，数学家克特迪历尽艰辛终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的，同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数２１６(２１７－１７)和２１８(２１９－１)但他又错误地认为２２２(２２３)－１、２２８(２２９－１)和２３６(２３７－１)也是完全数。这三个数后来被大数学家费马和欧拉否定了。
１６４４年，法国神甫兼大数学家梅森指出，庞格斯给出的２８个“完全数”中，只有８个是正确的，即当ｎ＝２，３，５，７，１３，１７，１９，３１时，２ｎ－１(２ｎ－１)是完全数，同时又增加了ｎ＝６７，１２７和２５７。
在未证明的情况下他武断地说：当ｎ≤２５７时，只有这１１个完全数。这就是着名的“梅森猜测”。
“梅森猜测”吸引了许多人的研究，哥德巴赫认为是对的；微积分发现者之一的德国莱莱：ｌáｉ。布尼兹也认为是对的。他们低估了完全数的难度。
１７３０年，被称为世界四大数学家雄狮之一的欧拉，时年２３岁，正值风华风华（ｆēｎɡｈｕá）：风采和才华。正茂。他出手不凡，给出了一个出色的定理：“每一个偶完全数都是形如２ｎ－１(２ｎ－１)的自然数，其中ｎ是素数，２ｎ－１也是素数”，并给出了他一直没有发表的证明。这是欧几里得定理的逆理。有了欧几里得与欧拉两个互逆定理，公式２ｎ－１(２ｎ－１)成为判断一个偶数是不是完全数的充要条件了。
欧拉研究“梅森猜想”后指出：我冒险断言：每一个小于５０的素数，甚至小于１００的素数，使２ｎ－１(２ｎ－１)是完全数的仅有ｎ取３，５，７，１３，１７，１９，３１，４１，４７，我以一个优美的定理出发得到了这些结果，我自信它们具有真实性。”１７７２年，欧拉因过度拼命研究使双目已经失明了，但他仍未停止研究，他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说：“我已经心算证明ｎ＝３１时２２０(２３１－１)是第８个完全数。”同时，他发现他过去认为ｎ＝４１和ｎ＝４７时是完全数是错误的。
欧拉定理和他发现的第８个完全数的方法。使完全数的研究发生了深刻变化，可是，人们仍不能彻底彻底（ｃｈèｄǐ）：一直到底，深而透，也作澈底。解决“梅森猜测”。
１８７６年法国数学家鲁卡斯创立了一种检验素数的新方法，证明ｎ＝１２７时确实是一个完全数，这使“梅森猜测”之一变成事实，鲁卡斯的新办法给研究完全数者带来一线生机，同时也动摇了“梅森猜测”。因数家借助他的方法发现猜没中ｎ＝６７，ｎ＝２５７时不是完全数。
在以后１８８３—１９３１年的４８年间，数学家发现“梅森猜测”中ｎ≤２５７范围内漏掉了ｎ＝６１，８９，１０７时的三个完全数。
至此，人们前赴后继，不断另辟新路径，创造新方法，用笔算纸录，耗时两千多年，共找到１２个完全数，即ｎ＝２，３，５，７，１３，１７，１９，３１，６１，８９，１０７，１２７时，２ｎ－１(２ｎ－１)是完全数。
笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完全人亦非易事。”
历史证明了他的预言。
从１９９２年开始，人们借助高性能计算机发现完全数，至１９９６年才找到１８个。
等待揭穿之谜迄迄：ｑì。今为止，发现的３０个完全数，统统都是偶数，于是，数学家提出猜测猜测（ｃāｉｃè）：推测，凭想象估计。：存不存在奇数完全数。
１６３３年１１月，法国数学家笛卡尔给梅森一封信中，首次开创奇数完全数的研究，他认为每一奇完全数必具有ＰＱ２的形式，其中Ｐ是素数，并声称不久他会找到，可不仅直到他死时未能找到，而且至今，没有任何一个数学家发现一个奇完全数。这成为世界数论又一大难题。
虽然，谁也不知道它们是否存在，但经过一代又一代数学家研究计算，有一点是明确的。那就是如果存在一个奇完全数的话，那么它一定是非常大的。
有多大呢?远的不说，当代大数学家奥尔检查检查（ｊｉāｎｃｈá）：为了发现问题而用心查看；翻检查考。过要１０１８以下自然数，没有一个奇完全数；１９６７年，塔克曼宣布，如果奇完全数存在，它必须大于１０３６，这是一个３７位数；１９７２年，有人证明它必大于１０５０，１９８２年，有人证明，它必须大于１０１２０；……这种难于捉摸的奇完全数也许可能有，但它实在太大，以至超出了人们能够用计算机计算的范围了。
对奇完全数是否存在，产生如此多的估计，也是数学界的一大奇闻!
关于完全数还有许多待揭之谜，比如：完全数之间有什么关系?完全数是有限还是无穷多个!存在不存在奇完全数?人们还发现完全数的一个奇妙现象，把一个完全数的各位数字加起来得到一个数，再把这个数的各位数字加起来，又得到一个数，一直这样做下去，结果一定是１。例如，对于２８，２＋８＝１０，１＋０＝１对于４９６有，４＋９＋６。１９，１＋９＝１０，１＋０＝１等等。这一现象，对除６外的所有完全数是否成立?以上这些难题，与其他数学难题一样，有待人们去攻克攻克（ɡōｎɡｋè）：攻下（敌人的据点）。。