❶ 数学素养与数学知识的区别联系实际
数学是科学的工具,在人类物质文明的进程中已充分显示出其实用价值。数学更是一种文化,是人类智慧的结晶,其价值已渗透到人类社会的每一个角落。数学本质的双重性决定了作为教育任务的数学价值取向应是多极的。数学教育不仅是知识的传授、能力的培养,而且是一种文化熏陶、素质的培养。数学素质教育应该是人文教育和科学教育的相互渗透,即整合。树立新型的教育观,是深化教育改革的关键。
一、数学教学中数学能力的培养途径
基于数学思维能力体现数学认识和建构的需要 ,也反映数学自身特征的要求,是数学能力的核心;另外,素质教育的核心是创新教育,我们所谈及的数学能力具备多方面的内容,但在其核心内容中必须定位在促进学生的创新能力方面。
(一)应用数学能力的培养
数学是一种语言,是认识世界必不可少的方法,运用数学的能力是未来公民应当具有的最基本的素质之一。九年义务教育数学教学大纲明确规定:“要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练”,“形成用数学的意识” 。
1.重现知识形成的过程,培养学生用数学的意识。数学概念和数学规律大多是由实际问题抽象出来的,因而在进行数学概念和数学规律的教学中,我们不应当只是单纯地向学生讲授这些数学知识,而忽视对其原型的分析和抽象。我们应当从实际事例或学生已有知识出发,逐步引导学生对原型加以抽象、概括,弄清知识的抽象过程,了解它们的用途和适用范围,从而使学生形成对学数学、用数学所必须遵循的途径的认识。这不仅能加深学生对知识的理解和记忆,而且对激发学生学数学的兴趣、增强学生用数学的意识大有裨益。
2.创造条件,让学生运用数学解决实际问题。数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略。数学方法是解决问题的手段和工具。数学思想方法是数学的精髓,只有掌握了数学思想方法,才算真正掌握了数学。
因而,数学思想方法也应是学生必须具备的基本素质之一。现行教材中蕴涵了多种数学基础知识和方法,在教学时,我们应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想和方法,设计数学思想方法的教学目标,结合教学内容适时渗透、反复强化、及时总结,用数学思想方式武装学生,使学生真正成为数学的主人。
(二)思维能力的培养
思维品质的优良与否是国民素质的重要决定因素。为了促进学生思维能力的发展,我们必须高度关注学生在数学学习过程中的思维活动,必须研究思维活动的发展规律,研究思维的有关类型和功能、结构、内在联系及其在数学教学中所起的作用。
1.重视数学思想培养的教学观中学数学思想内容包括:
①符合思想。数学语言准确而清楚,使用它使数学的运转成为可能。
②映射思想。以映射的原则,可以得到换元法,初等变换法及母函数法等解决问题的方法。
③化归思想。化归的实质就是把新问题转化为已经解决的问题来解决,把复杂问题转化为易于解决的简单问题来解决。它是处理数学问题的一种基本思想。换元法、配方法、分组法、反证法等都是化归思想的具体应用。
④分解思想。其特点是化整为零,其实质是分解――组合、分割――拼合的辩证思想。
⑤参数思想。参数作为桥梁,以沟通问题的条件与结论。在解题时引入新的变量,或将题设中多元里的一元看做已知数,根据已知条件列式推算,从而使问题获得解决。换元法、比值法、主元法、待定系数法等都是参数思想的具体应用。
⑥归纳思想。从几个简单的、个别的、特殊的事例出发,归纳出一般的规律和性质。即以特殊到一般的思维方式。
⑦类比思想。是由已知的两类事物具有某些相似性质,从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理形式。
⑧演绎思想。由一般到特殊的逻辑推理方法。
⑨模型思想。实际问题可数学化,通过数学模型加以解决。数学思想在数学整个体系中起着“灵魂”的作用,只有重现数学思想的教学才能从高一层次提高学生的能力水平,培养学生的数学观念和良好品质,进而提高学生的数学素质。
2.重视“问题解决”的教学观问题解决作为一种教学模式或作为一种教学过程,是培养学生数学素质的一条有效途径。华师大张奠宙教授指出“问题解决反对单纯模仿,更多地从问题情景出发,构造数学模型,提供数学想象,伴以实际操作,鼓励发散思想,诱发创造能力,把数学嵌入活的认知过程中,而不是死的知识积累。我认为‘问题解决’是可以影响当前数学教育的突破口,它和‘升学率’不矛盾,有助于大众数学的推广,能全面提高数学素质”。重视“问题解决”,在一定的意义上也就是重视数学的应用价值。现在“能够运用所学知识解决简单的实际问题”被列为数学教学目的之一,就是要求我们顺应社会发展,加强数学应用的教学。
在教学中,我们尤其要注重培养学生良好的思维品质,使学生的思维既有明确的目的方向,又有自己的见解;既有广阔的思路,又能揭露问题的实质;既敢于创新,又能具体问题具体分析。
二、重视学生能力的个别差异,注意面向全体学生
针对学生的“个别差异”,我们要了解不同发展水平的学生理解运用知识的情况,及时注入不同的信息以调控学生的学习心理和认识的发展水平。根据学生的心理差别,我们要做到面向全体学生,建立良好的师生关系。帮助后进生克服心理障碍,关心他们,使他们有信心学好,提高克服困难的勇气。同时注意及时捕捉后进生的问题,发现他们的闪光点,有计划地设计一些后进生能回答的问题,保护他们的自尊心,激发他们的求知欲和学习热情,以达到大面积丰收。
总之,在数学教学中加强素质教育,就是要全面提高教育教学质量,全面提高学生整体素质。这样就能把素质教育推向一个新的高度,我们的素质教育定能取得喜人的成果。
❷ 初中数学解题方法归纳总结
想要在初中学好数学，学会解题是关键。那么初中数学解题方法有哪些呢?为了帮助同学们更好的学习数学，我给大家整理了初中数学解题方法。
初中数学解题方法归纳
1. 观察与实验
( 1 )观察法：有目的有计划的通过视觉直观的发现数学对象的规律、性质和解决问题的途径。
( 2 )实验法：实验法是有目的的、模拟的创设一些有利于观察的数学对象，通过观察研究将复杂的问题直观化、简单化。它具有直观性强，特征清晰，同时可以试探解法、检验结论的重要优势。
2. 比较与分类
( 1 )比较法
是确定事物共同点和不同点的思维方法。在数学上两类数学对象必须有一定的关系才好比较。我们常比较两类数学对象的相同点、相异点或者是同异综合比较。
( 2 )分类的方法
分类是在比较的基础上，依据数学对象的性质的异同，把相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归为不同类的思维方法。如上图中一次函数的 k 在不等于零的情况下的分类是大于零和小于零体现了不重不漏的原则。
3 .特殊与一般
( 1 )特殊化的方法
特殊化的方法是从给定的区域内缩小范围，甚至缩小到一个特殊的值、特殊的点、特殊的图形等情况，再去考虑问题的解答和合理性。
( 2 )一般化的方法
4. 联想与猜想
( 1 )类比联想
类比就是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性，联想到另一事物也可能具有某种属性的思维方法。
通过类比联想可以发现新的知识;通过类比联想可以寻求到数学解题的方法和途径：
( 2 )归纳猜想
牛顿说过：没有大胆的猜想就没有伟大的发明。猜想可以发现真理，发现论断;猜想可以预见证明的方法和思路。初中数学主要是对命题的条件观察得出对结论的猜想，或对条件和结论的观察提出解决问题的方案与方法的猜想。
归纳是对同类事物中的所蕴含的同类性或相似性而得出的一般性结论的思维过程。归纳有完全归纳和不完全归纳。完全归纳得出的猜想是正确的，不完全归纳得出的猜想有可能正确也有可能错误，因此作为结论是需要证明的。关键是猜之有理、猜之有据。
5. 换元与配方
( 1 )换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 你可以先观察算式，你可以发现这种要换元法的算式中总是有相同的式子，然后把他们用一个字母代替，算出答案，然后答案中如果有这个字母，就把式子带进去，计算就出来啦。
( 2 )配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式
6. 构造法与待定系数法
( 1 )构造法所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。常见的有构造函数，构造图形，构造恒等式。平面几何里面的添辅助线法就是常见的构造法。构造法解题有：直接构造、变更条件构造和变更结论构造等途径。
( 2 )待定系数法：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
7. 公式法与反证法
( 1 )公式法
利用公式解决问题的方法。初中最常用的有一元二次方程求根时使用求根公式的方法;完全平方公式的方法等。如下面一组题就是完全平方公式的应用：
( 2 )反证法是“间接证明法”一类，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾，就可以肯定命题的结论的正确性，从而使命题获得了证明。
初中学数学解题技巧
1. 数学探索题
所谓探索题就是从问题给定的题设条件中探究其相应的结论并加以证明，或从给定的题目要求中探究相应的必需具备的条件、解决问题的途径。
条件探索题：解答策略之一是将题设和结论视为已知，同时推理，在演绎的过程中寻找出相应所需的条件。
结论探索题：通常指结论不确定不唯一，或结论需通过类比、引申、推广，或给出特例需通过归纳得出一般结论。可以先猜测再去证明;也可以寻求具体情况下的结论再证明;或直接演绎推证。
规律探索题：实际就是探索多种解决问题的途径，制定多种解题的策略。
活动型探索题：让学生参与一定的社会实践，在课内和课外的活动中，通过探究完成问题解决。
推广型探索题：将一个简单的问题，加以推广，可产生新的结论，在初中教学中常见。如平行四边形的判定，就可以产生许多新的推广，一方面是自身的推广，一方面可以延伸到菱形和正方形中。
探索是数学的生命线，解探索题是一种富有创造性的思维活动，一种数学形式的探索绝不是单一的思维方式的结果，而是多种思维方式的联系和渗透，这样可使学生在学习数学的过程中敢于质疑、提问、反思、推广。通过探索去经历数学发现、数学探究、数学创造的过程，体会创造带来的快乐。
2. 数学情境题
情境题是以一段生活实际、故事、历史、游戏与数学问题、数学思想和方法于情境中。这类问题往往生动有趣，激发学生强烈的研究动机，但同时数学情景题又有信息量大，开放性强的特点，因此需要学生能从场景中提炼出数学问题，同时经历了借助数学知识研究实际问题的数学化过程。
如老师在讲有理数的混合运算时，
3. 数学开放题
数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种新题型，其特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，也正因为这样，所以开放题的解题策略往往也是多种多样的。
( 1 )数学开放题一般具有下列特征
①不确定性：所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，因此需收集其他必要的信息，才能着手解的题目。
②探究性：没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。
③非完备性：有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答的过程中学生的认知结构的重建。
④发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更概括性的结论。常常通过实际问题提出，学生必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。
⑤发展性：能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程。
⑥创新性：教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、合作者。
( 2 )对数学开放题的分类
从构成数学题系统的四要素(条件、依据、方法、结论)出发，定性地可分成四类;如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题;如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题;如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题;如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题。
从学生的学习生活和熟悉的事物中收集材料，设计成各种形式的数学开放性问题，意在开放学生的思路，开放学生潜在的学习能力，开放性数学问题给不同层次的学生学好数学创设了机会，多种解题策略的应用，有力地发展了学生的创新思维，培养了学生的创新技能，提高了学生的创新能力。
( 3 )以数学开放题为载体的教学特征
①师生关系开放：教师与学生成为问题解决的共同合作者和研究者
②教学内容开放：开放题往往条件不完全、或结论不完全，需要收集信息加以分析和研究，给数学留下了创新的空间。
③教学过程的开放性：由于研究的内容的开放性可以激起学生的好奇心、同时由于问题的开放性，就没有现成的解题模式，因此就会留下想象的空间，使所有的学生都可参与想象和解答。
( 4 )开放题的教育价值
有利于培养学生良好的思维品质;
有助于学生主体意识的形成;
有利于全体学生的参与，实现教学的民主性和合作性;
有利于学生体验成功、树立信心，增强学习的兴趣;
有助于提高学生解决问题的能力。
4. 数学建模题(初中数学建模题也可以看作是数学应用题)
数学新课程标准指出 : 要学生会应用所学知识解决实际问题 , 能适应社会日常生活和生产劳动的基本需要。初中数学的学习目的之一 , 就是培养学生解决实际问题的能力 , 要求学生会分析和解决生产、生活中的数学问题 , 形成善于应用数学的意识和能力。从各省市的中考数学命题来看 , 也更关注学生灵活运用数学知识解决实际问题能力的考查 , 可以说培养学生解答应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决实际问题的基本途径之一
初中数学应用问题类型
( 1 )探求结论型数学应用问题
根据命题中所给出的条件，要求找出一个或一个以上的正确结论
( 2 )跨学科的数学应用问题
①数学与物理
②数学与生化
以上两题是与生物和化学有关的问题，体现了数学在生化学科的应用。
总之，数学应用问题较好地考察了学生阅读理解能力与日常生活体验，同时又考察了学生获取信息后的抽象概括与建模能力，判断决策能力。中考数学应用问题热点题型主要包括生活、统计、测量、设计、决策、销售、开放探索、跨学科等等，中考在强化学生应用意识和应用能力方面发挥及其良好的导向功能。这就要求我们在平时教学中善于挖掘课本例题、习题的潜在的应用功能。巧妙地将课本中具有典型意义的数学问题回归生活、生产的原型，创设一个实际背景，改造成有深刻数学内涵的实际问题，以增强应用意识，发展数学建模能力。
四、掌握初中数学解题策略提来提高数学学习效率
(1)认真分析问题，找解题准切入点
由于数学问题纷繁复杂，学生容易受定势思维的影响，这样就会响解题思路造成很大的影响。为此，这时教师要给予学生正确指导，帮助学生进行思路的调整，对题目进行重新认真的分析，将切入点找准后，问题就能游刃而解了。例如：已知：AB=DC，AC=DB。求证:∠A=∠D。
此题是一道比较经典的证明全等的题型，主要是对学生对已知条件整合能力和观察识图能力的锻炼。然而，从图形的直观角度来证明∠AOC=∠DOB，这样的思路只会落入题目所设下的陷阱。为此，在对此题的审题时，教师要引导学生注意将题目已知的两个条件充分结合起来考虑，提醒学生可以适当添加一定的辅助线。
(2)发挥想象力，借助面积出奇制胜
面积问题是数学中常出现的问题，在面积定义及相关规律中，蕴含着深刻的数学思想，如果学生能充分了解其中的韵味，能够熟练的掌握其中的数学论证思维，就有可能在其他数学问题中借助面积，出奇制胜顺利实现解题。由于几何图形的面积与线段、角、弧等有密切的联系，所以用面积法不但可证各种几何图形面积的等量关系，还可证某些线段相等、线段不等、角的相等以及比例式等多种类型的几何题。例1、 若E、F分别是矩形ABCD边AB、CD的中点，且矩形EFDA与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的宽与长之比为( ) (A) 1∶2(B) 2∶1(C) 1∶2(D) 2∶1
由上题已知信息可知，矩形ABCD的宽AD与AB的比，就是矩形EFDA与矩形ABCD的相似比。解：设矩形EFDA与矩形ABCD的相似比为k。因为E、F分别是矩形ABCD的中点，所以S矩形ABCD=2S矩形EFDA。所以S矩形EFDA∶S矩形ABCD=k2。所以k=1∶2。即矩形ABCD的宽与长之比为1∶2;故选(C)。
此题利用了“相似多边形面积的比等于相似比平方”这一性质，巧妙解决相似矩形中的长与宽比的问题。事实上，借助面积，形成解题思路的过程，就是学生思维转换的过程。
(3)巧取特殊值，以简代繁
初中数学虽然是基础数学，但是这并不意味着就没有难度，特别是在素质教育下，从培养学生综合素质能力的角度出发，初中数学越来越重视数学思维的培养，因此在很多数学问题的设置上，都进行了相当难度的调整，使得数学问题显得较为繁杂，单一的思维或者解题方式，在有些题目面前会显得较为艰难。如有些数学问题是在一定的范围内研究它的性质，如果从所有的值去逐一考虑，那么问题将不胜其繁甚至陷入困境。在这种情况下，避开常规解法，跳出既定数学思维，就成了解题的关键。
例2、分解因式：x2+2xy-8y2+2x+14y-3。
思路分析：本题是二元多项式，从常规思路进行解题也未尝不可，但是从锻炼学生思维能力的角度出发，教师可以在立足常规解法的基础上，引导学生进行其他方面解题思路的探索。如从巧取特值的角度出发，把其中的一个未知数设为0，则可以暂时隐去这个未知数，而就另一个未知数的式子来分解因式，达到化二元为一元的目的。
解：令y=0，得x2+2x-3=(x+3)(x-1);令x=0,得:-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。当把两次分解的一次项的系数1、1;-2、4。可知，1×4+(-2)×1正好等于原式中xy项的系数。因此，综合起来有：x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。
其实，用特殊值法，也叫取零法。这种方法在因式分解中可以发挥很大的作用，帮助学生找到其他的解题思路。一般来说其步骤是：A、把多项式中的一个字母设为0所得的结果分解因式，B、把多项中的另一个字母设为0所得的结果分解因式，C、把上两步分解的结果综合起来，得出原多项式的分解结果。但要注意：两次分解的一次因式的常数项必须相等，如本题中，x+3的3和-2y+3的3相等，x-1的-1和4y-1的-1相等。否则，在综合这两步的结果时就无所适从了。
(4)巧妙转换，过渡求解法
在解数学题时，即要对已知的条件进行全面分析，还要善于将题目中的隐性条件挖掘出来，将数学中各知识之间的联系巧妙的运用起来，用全面、全新的视角来解决问题。
例如：已知：AB为半圆的直径，其长度为30 cm，点C、D是该半圆的三等分点，求弦AC、AD与弧CD所围成的图形的面积。
本题需要解出的是一个不规则图形的面积，可能大多数同学的思维就是将CD连结起来，将其转变为一个角形和弓形，两者面积之和就为该题需要解决的问题。这时，教师就要引导学生学会对半径这一已知条件加以利用，帮助其将另外两条OC、OD辅助线连结起来，将题目要求解的不规则图形的面积，转化成求扇形OCD的面积，这样该题的解题思维就能一目了然了。
综上所述，初中数学解题存在很强的灵活性。有的数学题不只一种解法，而有多种解法，有的数学题用常规方法解决不了，要用特殊方法。因此，解数学题要注意它的灵活性和技巧性。解题技巧在升学考试中至关重要，不能忽视。初中数学教师要注意对解题技巧的钻研，并鼓励学生发散思维，寻找解题技巧，提高解题效率，增强学习数学的能力。
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❸ 数学有什么实际作用
数学这门学科，向来一般是以系统、逻辑、精确、严密等形象展示在世人面前。当我们在叙述和解决一个与数学有关问题的时候，追求或得到的结果必须是准确和精确无误。即使是在运用数学知识去解决问题的过程中，无论是语言的表述或是论点的论证，也都需要有理有据的论证。
不过，这也正是数学的伟大和魅力所在之一，当我们去解决问题，必会形成新的知识理论，同时在解决问题的过程中产生新的问题，周而复始，不断循环的推动着数学向前发展。从某个角度来讲，问题的解决促进了数学的形成和发展。
问题的出现，代表着某一事物的内部出现矛盾，或是事物与事物产生了矛盾，而这些矛盾的斗争或解决，需要的正是数学精髓。
因此，从某种意义上来讲，学习数学就是学会如何去解决问题，最终解决了矛盾。
如非常着名的费马大定理：当整数n > 2时，关于x,y,z的不定方程 xn + yn= zn无正整数解。
在早期的数学家手里，他们能够证明n=3、4、5、6……等特殊情况之下的费马大定理是成立，但整数的个数是有无穷多个，一个个去证明是永远算不完，也非常不现实。即使你从n=3开始到一个很大的整数都能连续证明费马大定理都成立，但也许你会碰到一个更大的整数使定理不成立，甚至这样的整数也可能存在着多个的情况等。
此时，摆在所有数学家面前最重要的任务，就是怎么用有限的步骤去解决涉及到无穷的问题，即用一个完整且有限的步骤去证明费马大定理的成立。
进入二十世纪之后，随着计算机技术的不断发展，数学家虽然能借助于计算机完成数量巨大的费马大定理证明洞薯，但最终也需要把无穷多的整数归结成有限步骤证明的情形，没有有限的证明步骤过程，所谓的计算机证明也只是一种特例。
因此，所有的数学家和科学家都认识到一点，解决数学问题永远都需要去解决“有限与无穷”这一对立矛盾。一个数学问题只要有“无穷”的存在，那么我们就需要主动去解决它，可以说这也是促进数学发展的根源之一。
从费马大定理的提出到解决，耗费了近三个多世纪的时间，无数的数学家参与其中，如经过包括黎曼、莫德尔等许多数学家前赴后续的工作，把费马大定理与代数曲线上的有理点（坐标都是有理数的点）联系起来，这些种种转化推动了数学相关领域的发展，也推动了费马大定理的证明进程。
英国年轻的数学家怀尔斯利用前人研究并发展起来的椭圆函数理论及其研究成果，最终证明了费马大定理。
费马大定理的证明，不仅给大家提供了解决“有限与无穷”这一矛盾的启示，更提醒世人要想解决问题，有时候需要作一定的变换，如把未解决的问题转化为已知的或易于解决的领域的新问题去解决。
因此，当数学家去处理问题的时候，就会进行加工和创造，形成新的知识理论等。如早期的人类在发明自然数之后，在一定程度上解决了已有问题，但随着社会的不断发展，贸易的往来，就出现了负债的情况。此时，人们为了能更好解决新的问题，就必须创造出像0、负数这些知识概念。
像有理数、无理数、实数、复数等一系列知识的出现，都是因当时社会发展过程中不断产生新的矛盾，发生问题，人们在解决这些问题过程中创造了新的知识理论。
数学史上最着名的矛盾问题，应该就属“三次数学危机”，前两次数学危机已经顺利解决，但第三次数学危机其实并没有完全解决。
第三次数学危机主要是由于在集合理论的边缘发现悖论的存在，加上整个数学王国实质上是建立在集合论的基础之上，它已经渗透到众多的数学分支当中，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
直白的讲，当我们承认无穷集合和无穷基数的时候，就需要解决好“有限和无穷”这一矛盾，要不然很多数学问题就随之而来，这也就是第三次数学危机的本质所在。
数学追求的是解决矛盾，解决问题，说白了是为了没有矛盾。不过，到底什么叫没有矛盾呢？从逻辑学的角度来讲，存在即合理，没有矛盾，但这只是形式逻辑的规律。不过，数学要解决的并不是形式逻辑这么简单，因为还要在“无穷”上证明没有矛盾，而形式逻辑只是从人类有限经验推出来而已。
虽然第三次数学危机表面上已经解决了，但它却以其他形式存神李在数学当中，我们不能把认为存在矛盾的集合纳瞎者论全部扔掉，因为它们在一些领域当中又有着非常重要的作用。
数学，从来都不怕矛盾，不怕问题，因为随着矛盾和问题的解决，能给数学和其他领域带来许多新的知识内容和认知等，甚至会给人类社会带来革命性的变化。
如人类近两个世纪以来，无论是所取得的数学知识和成就，还是对事物的认识程度等，都比前几个世纪加起来的还要多，特别是在第二次世界大战之后，包括数学在内的很多学科，都迎来大爆发和快速发展，很多新成果层出不穷。
近代数学自从诞生集合论以来，就创造出了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论等重要数学分支，特别是像传统的代数几何、微分几何、复分析等，都已经推广到高维层面，如代数数论不断经过很多数学家的完善，已经变得非常完美。
很多时候，一个问题的解决，必将会丰富相关的知识理论，甚至会产生新的问题，这也正是学习和研究数学的本质之一。
❹ 怎样运用你所学的数学知识去灵活运用呢
小学数学的研究性学习正是要引导学生去发现他所未知的问题，通过数学手段来解决问题，且能用数学解决问题的策略迁移到其它问题的解决上。例如五年级数学的第三单元“公倍数和公因数 ”的教学内容的看起来挺简单，但实质上对学生的要求挺高，这单元的知识是在四年级认识倍数和因数的基础上学习公倍数和公因数的，要求学生会求两个数的公倍数和公因数及最小公倍数和最大公因数，绝大部分学生都会求，但把这部分的知识放到解决问题中让学生去解决就很难了，尽管我在教学时认识到这个难点，但我没有注重学生学习方法的培养。一旦考试出现了这样的题目，大部分学生都不明确题意、不会分析题目，更不知道怎样去寻找解题的策略和方法，所以我班学生在这单元的考试中得分比较低。从这个教训中我认识到了培养学生研究性学习的必要性，因为我们在教给学生知识的同时更重要的是教会学生学习的方法，数学的灵活性特别强，而且现在的数学特爱考学生理解问题和分析问题及解决问题的能力，因此教会学生研究性学习才是提高学生数学能力的根本。
那么，在小学数学教学中如何进行研究性学习呢?根据我自己对教学理论的学习以及自己的教学实践体会，我认为在小学数学教学中要进行研究性学习，要做到以下几点。1．要激发学生主动参与的兴趣。苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界里，这种需要特别强烈。”教师要引导学生进入研究性学习，就要激发学生心灵深处的那种强烈的探求欲望，使其产生强大的内部动力。例如我在教学“平行四边形和梯形”这单元的知识时，对平行四边形和梯形具有哪些特征的教学，我就是提供给学生的学具，引导学生自己动手操作去发现图形的特征，最后进行交流总结。这样的教学不仅让学生学到了新知识，更培养了学生研究性的学习方法。2．注意联系学生生活实际。现代教育理论认为，数学源于生活，生活充满着数学，数学教学应寓于生活实际，且运用于生活实际。所以，我在数学教学中有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激起学生学习数学的求知欲，寻找生活中的数学问题，运用所学知识分析、解决实际问题，引导他们进行研究性学习。例如“升和毫升”的教学就是紧密联系学生的生活实际，让学生通过对家庭容器的容量进行调查认识升和毫升，通过动手操作制作1升的容器，感受1升的容量有多少，再动手倒1升的液体到500毫升的量杯中发现1升=1000毫升。3、要尽量让学生自己去研究发现。在教学中，教师应当经常给学生提供能引起观察、研究的环境，善于提出一些学生既熟悉而又不能立刻解决的问题，引导他们自己去发现和寻找问题的答案，把学习的主动权交给学生，多给学生一些研究的机会，多一些成功的体验，多一份创造的信心。例如“确定位置”的教学中“同一列或同一行的位置在用数对表示时有什么的特点”，我就是让学生自己通过实际的观察和体会去找出答案。4、要注意培养学生的创造性思维。对小学生来说，能够独立解题并有独到见解，这就是科学研究的缩影，也是他们在人生道路上探究创新的初步尝试。在教学中我经常鼓励学生敢于打破常规，别出心裁，勇于标新立异，寻找与众不同的解题途径，启发他们从多角度、多侧面、多渠道进行大胆尝试，提出新颖、独特的解题方法，这样有利于发展学生的创造性思维。基于以上的认识，我认为在小学数学教学中开展研究性学习可以激发学生学习的欲望，可以在动手实践、自主探索与合作交流中帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，提高学生的数学能力，使学生得到全面的发展，真正成为数学学习的主人。