① 空间向量与立体几何知识点有哪些
空间向量与立体几何知识点如下：
量是作为数学工具来解决两类问题：垂直问题，尤其是线面垂直问题，面面垂直基本类似；角度问题，主要讲二面角的平面角通过两个平面法向量所称的角来进行转化。而立体几何中的平行问题一般是用基本定理来进行解决的。
立体几何的题目是有规律的，比如证明线面平行就要想要线面平行定理，线线平行，面面平行，线面垂直，面面垂直之类也是同理。一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内。
若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则AB∈α。
过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a∈α。
基本定理：
共线向量定理：两个空间向量a,b向量(b向量不等于0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。
共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by。
空间向量分解定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
② 高二数学空间向量的公式及定理
科学是人类的共同财富，而真正科学家的任务就是丰富这个全人类都能受益的知识宝库。下面是我为大家整理的高二数学空间向量的公式及定理，希望大家喜欢。
空间向量
一、空间向量知识点
1.空间向量的概念：
定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
具有大小和方向的量叫做向量注：
⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
ⅰ定理：如果三个向量 不共面，那么对于空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。且把 叫做空间的一个基底， 都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用 表示。
ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。
2.空间向量的运算
二、复习点睛：
1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。
3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用： 。
2、空间向量的坐标表示：
(1)空间直角坐标系：
①空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底 ，以点O为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量 叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。
②右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向;
③构成元素：点(原点)、线(x、y、z轴)、面(xOy平面，yOz平面，zOx平面);
④空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°，z轴垂直于y轴，z轴、y轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的一半;
(2)空间向量的坐标表示：
①已知空间直角坐标系和向量 ，且设 为坐标向量(如图)，
由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组 叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作 。
②在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量 ，若 ，则有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的'坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。
③空间任一点的坐标的确定：过P分别作三个与坐标平面平行的平面(或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，当 与 的方向相同时，x>0，当 与 的方向相反时，x<0，同理可确y、z(如图)。
④规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。
⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
(3)空间向量的直角坐标运算：
⑦空间两点间距离： ;
⑧空间线段 的中点M(x，y，z)的坐标： ;
⑨球面方程：
4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做z轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。
5、空间直角坐标系中的特殊点:
(1)点(原点)的坐标：(0,0,0);
(2)线(坐标轴)上的点的坐标：x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z);
(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z)
6、要使向量 与z轴垂直，只要z=0即可。事实上，要使向量 与哪一个坐标轴垂直，只要向量 的相应坐标为0即可。
7、空间直角坐标系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面;
8、只要将 和 代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样;
9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成.任意不共面的三个向量 都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础。
③ 绌洪棿钖戦噺镄勭浉鍏冲叕寮忔湁鍝浜涳纻
绌洪棿钖戦噺鐩镐箻鍏寮忔渶鍒濅互鍧愭爣褰㈠纺琛ㄧず锛岀敤涓や釜涓夌淮绌洪棿钖戦噺𨱒ヨ〃绀猴纴褰㈠纺涓猴细
1銆佺偣涔桡细A B = AxBx + AyBy + AzBz锛
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④ 数学空间向量及其运算方法
空间向量及其运算
●考试目标 主词填空
1.空间向量基本定理及应用
空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.
2.向量的直角坐标运算：
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).
则a+b= .
a-b= .
ab= .
若a、b为两非零向量，则a⊥b ab=0 =0.
●题型示例 点津归纳
【例1】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=
∠AOC,且OA=OB=OC.，N分别是OA，BC的中点，G是
N的中点.
求证：OG⊥BC.
【解前点津】 要证OG⊥BC，只须证明 即可.
而要证 ,必须把 、 用一组已知的空间基向量表示.又已知条为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选 为已知的基向量.
【规范解答】 连ON由线段中点公式得：
又 ,
所以 )
因为 .
且 ，∠AOB=∠AOC.
所以 =0,即OG⊥BC.
【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.
【例2】 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.
【解前点津】 利用 ，求出向量 与 的夹角〈 , 〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.
【规范解答】 因为 ,
所以
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2图
所以 =0,
=-a2.
所以 =-a2.
又
所以〈 〉=120°.
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°．
【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量表示.
【例3】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分
别是BB1、DC的中点.
(1)求AE与D1F所成的角；
(2)证明AE⊥平面A1D1F.
【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且 =e1，
=e2， =e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D—xyz,
则：(1)A(1，0，0)，E(1，1， )，F(0， ，0)，D1(0，0，1)，
所以 =(0,1, ), =(0, ,-1).
所以 =(0,1 ),(0, ,-1)=0.
所以 ⊥ ，即AE与D1F所成的角为90°．
(2)又 =(1,0,0)= ，
且 =(1,0,0)(0,1, )=0.
所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.
所以AE⊥平面A1D1F.
【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.
【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).
【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点,
∴EG ,同理HF ，∴EG HF .
从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF,
GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.
只要能证明向量 =- 就可以说明P,O,Q三点共线且O
为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图
∴ CD,QH CD,
∴= =0.
∴ =,∴PQ经过O点,且O为PQ的中点.
【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明 两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点.
●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1.在下列条中,使与A、B、C一定共面的是( )
A. B.
C. D.
2.与向量a=(12,5)平行的单位向量是( )
A. B.
C. D.
3.若向量｛a， b，c｝是空间的一个基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( )?
A.a B.b ? C. c D.2a?
4. a、b是非零向量，则〈a，b〉的范围是 ( )?
A.(0， ) B.［0， ］? C.(0，π)? D.［0，π］?
5.若a与b是垂直的，则ab的值是( )?
A.大于0 B.等于零? ?C.小于0 D.不能确定
6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，则a与b( )
A.相交 B.垂直? C.平行 ?D.以上都不对
7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB的长度是( )?
A.1 B.2 C.3 D.4
8. m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，则a+b的`值为( )
A.0 B. C. D.8
9. a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，则m的值为( )?
A.0B.6 C.-6 D.±6
10. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝ ，b＝ ，则a+b对应的点为( )
A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)
11. a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角为( )
A.arc cos B. C. D.90°
12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y2，z2｝,则 是a与b同向或反向的( )
A.充分不必要条 B.必要非充分条?
C.充要条 D.不充分不必要条
二、思维激活
13.已知向量a, b, c满足a+b+c=0,a=3, b=1, c=4.则ab+bc+ca= .?
14.已知a＝2 ，b＝ ，ab＝- ，则a、b所夹的角为 .
15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为 .
16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 .
三、能力提高
17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离.
18.长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB＝BC＝2，AA1＝4，试用向量法求：
(1) 的夹角的大小.
(2)直线A1E与FC所夹角的大小.
19.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F⊥平面ADE.
20.如图所示,已知 ABCD,O是平面AC外的一点, ,求证:A1,B1,C1,D1四点共面.
空间向量及其运算习题解答
1.C 由向量共线定义知.?
2.C 设此向量为(x,y),∴ ，?∴
3.C
4.D 根据两向量所成的角的定义知选D.
5. B 当a⊥b时，ab=0(cos 〈a, b〉=0)?
6.C a=(1,2,-2)=- b ∴a∥b.
7.C AB= =3.?
8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，?
∴k= 故a= ,b=8,∴a+b= +8=
9.B ∵a⊥b ∴1m+52-2(m+2)=0. ∴m=6.
10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).
11.C cos(ab)= =- .
12.A?若 ，则a与b同向或反向，反之不成立.
13.-13 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?
∴ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13.
14. ?cos〈a, b〉= .∴a,b所夹的角为 .
15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得.
16.9 S=absin〈a, b〉求得.
17.如图，由AC⊥α，知AC⊥AB.?
过D作DD′⊥α，D′为垂足，则∠DBD′＝30°，
〈 〉＝120°，
∴CD2=
＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.
∴CD＝
点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.
18.如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)
、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).
由题设可知E(2，1，0)，F(1，2，4).
(1)令 的夹角为θ，?
则cosθ＝ .
∴ 的夹角为π-arccos .
(2)∴直线A1E与FC的夹角为arccos
19.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设 ＝i， ＝j， ＝k，
以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz，
则 ＝（－1，0，0）， ＝(0, ,-1)，?
＝(-1，0，0)(0， ，-1)＝0，∴AD⊥D1F.
又 ＝(0，1， )， ＝(0， ，-1)，
∴ ＝(0，1， )(0， ，-1)＝ - ＝0.
∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A， ∴D1F⊥平面ADE.
点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.
20.证明：∵
=2
∴A1,B1,C1,D1四点共面.