❶ 初三数学二次函数
解：方程mx²-4x+4=0的解x=[4±√(16-16m)]/2m=[2±2√(1-m)]/m,
要使其两个解x1，x2都是整数，一个必要条件就是1-m应是完全平方
数，即m只能取1，-3，-8，-15，-24，....,再加上分子2±2√(1-m)
能被分母m整除，就可保证x1和x2都是整数，用穷举法不难看出只有
m=1满足要求。当m=1时，x1=x2=2.
当m=1时，第二个方程x²-4mx+4m²-4m-5=0变为
x²-4x-5=(x-5)(x+1)=0,由此得解x1=5,x2=-1，都是整数。
❷ 急求：九年级数学二次函数知识点归纳、、
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2;+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
❸ 初三数学的二次函数的要点是哪些
1.a>0时,开口向上;a<0时,开口向下.
2.当△>0时,图像与x轴有两个交点;当△=0时,图像与x轴有一个交点;当△<0时,图像与x轴没有交点.当△≥0时,|x1-x2|=[(△)^(1/2)]/a(a分之根号△).(|x1-x2|表示两根差的绝对值,也可以表示两根在数轴上所对应的点之间的距离,也可以表示函数图像与x轴的交点的距离)(注意:当△=0时,虽然两根相等,但不能认为只有一个根,此时只能认为有两个重根)
3.对称轴为x=-2a/b,顶点坐标为(-2a/b,(4ac-b^2)/4a).
4.函数处处连续,处处可导.
5.是广义的偶函数.
6.a>0时,|x+2a/b|越大,f(x)越大;a<0时,|x+2a/b|越大,f(x)越小.
7.a>0时,函数图像下凸;a<0时,函数图像上凸.
8.在顶点处曲线的曲率最大.
9.在x=-2a/b处取得最值和极值.
10.x趋于无穷大时,y是一个无穷大量.
11.图像是一条抛物线,图像上的每一个点到准线的距离等于到焦点的距离.
12.当b=0时,图像关于y轴对称.(0,c)是函数图像与y轴的交点.
还有许多性质,只列举以上性质,其余的自己查资料.
❹ 初三数学二次函数要考学生什么知识点
二次函数的图象是抛物线，
对于二次函数的性质，其实就是对系数a、b、c进行分类讨论：
❺ 初三数学下册二次函数知识点
说说你要哪一类的。
❻ [急]初中数学二次函数知识点有哪些
顶点坐标.开口方向，对称轴，函数的增减性，，最大值与最小值 平移 抛物线的做法 二次函数的性质
❼ 初中数学二次函数知识点有哪些
开口向上,a>0; 与y轴交点在正方向,c>0；对称轴x=-b/2a=1∴b=-2a0.错误 ③x=-1时,图像在x轴上方,y=a-b+c>0.正确 ④（a+c）2-b2=(a-b+c)(a+b+c) x=1时,y=a+b+c0 ∴(a+c）2-b2=(a-b+c)(a+b+c)
❽ 初三数学二次函数知识点总汇
一、内容综述：
四种常见函数的图象和性质总结 图象
特殊点
性质
一
次
函
数
与x轴交点
与y轴交点（0，b）
(1)当k>0时，y随x的增大而增大；
(2)当k<0时，y随x的增大而减小.
正
比
例
函
数
与x、y轴交点是原点(0,0)。
(1)当k>0时，y随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限；
(2)当k<0时，y随x的增大而减小，且直线经过第二、四象限
反
比
例
函
数
与坐标轴没有交点，但与坐标轴无限靠近。
(1)当k>0时，双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
(2) 当k<0时，双曲线经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
二
次
函
数
与x轴交点或，其中是方程的解，与y轴交点，顶点坐标是 (-,)。
(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；对称轴是直线x=-, y最小值=。
(2)当 a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；对称轴是直线x=-, y最大值=
注意事项总结：
1．关于点的坐标的求法：
方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了。
2．对解析式中常数的认识：
一次函数y=kx+b (k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y=(k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。
3．对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标）。当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。
4．二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到。当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。
二、例题分析：
例1．已知P(m, n)是一次函数y=-x+1图象上的一点，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1，问点N(m+1, n-1)是否在函数y=-图象上。
分析：P(m, n)是图象上一点，说明P(m, n)适合关系式y=-x+1，代入则可得到关于m,n的一个关系，二次函数y=x2+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x2+mx+n=0的两个根，则x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和为1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1，又可得到关于m, n的一个关系，两个关系联立成方程组，可解出m, n，这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见。
解：∵P(m,n)在一次函数y=-x+1的图象上，
∴ n=-m+1, ∴ m+n=1.
设二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,
∴x12+x22=1,
又∵x1+x2=-m, x1x2=n,
∴ (x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1
由解这个方程组得：或。
把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0,
x2-3x+4=0, Δ<0.
∴ m=-3, n=4(舍去).
把m=1, n=0代入x2+mx+n=0,
x2+x=0, Δ>0
∴点N（2，-1），
把点N代入y=-,当x=2时，y=-3≠-1.
∴点N（2，-1）不在图象y=-上。
说明：这是一道综合题，包括二次函数与一次函数和反比例函数，而且需要用到代数式的恒等变形，与一元二次方程的根与系数关系结合，求出m、n值后，需检验判别式，看是否与x轴有两个交点。当m=-3, n=4时，Δ<0，所以二次函数与x轴无交点，与已知不符，应在解题过程中舍去。是否在y=-图象上，还需把点（2，-1）代入y=-，满足此函数解析式，点在图象上，否则点不在图象上。
例2．直线 y=-x与双曲线y=-的两个交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，若抛物线顶点到y轴的距离为2，求此抛物线的解析式。
分析：两函数图象交点的求法就是将两函数的解析式联立成方程组，方程组的解既为交点坐标。
解：∵直线y=-x与双曲线y=-的交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，
由解这个方程组，得x=±1.
∴当x=1时，y=-1.
当x=-1时，y=1.
经检验：，都是原方程的解。
设两交点为A、B，∴A（1，-1），B（-1，1）。
又∵抛物线顶点到y轴的距离为2，∴ 抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2，
当对称轴为直线x=2时，
设所求的抛物线解析式为y=a(x-2)2+k，又∵过A（1，-1），B（-1，1），
∴解方程组得
∴ 抛物线的解析式为y=(x-2)2-
即 y=x2-x-.
当对称轴为直线x=-2时，设所求抛物线解析式为y=a(x+2)2+k,
则有解方程组得，
∴ 抛物线解析式为y=-(x+2)2+
y=-x2-x+.
∴所求抛物线解析式为：y=x2-x-或y=-x2-x+。
说明：在求直线和双曲线的交点时，需列出方程组，通过解方程组求出x, y值，双曲线的解析式为分式方程，所以所求x, y值需检验。抛物线顶点到y轴距离为2，所以对称轴可在y轴左侧或右侧，所以要分类讨论，求出抛物线的两个解析式。
例3、已知∠MAN=30°，在AM上有一动点B，作BC⊥AN于C，设BC的长度为x，△ABC的面积为y，试求y与x之间的函数关系式。
分析：求两个变量y与x之间的函数关系式，就是想办法用x表示y,，BC=x,则想办法先用含x的代数式表示AC。
解：如图
在Rt△ABC中，
∵∠A=30°，∠BCA=90° BC=x，
∴AC=BC=x
∴
说明：在含有30°、45°、60°的直角三角形中，应注意利用边之间的特殊倍数关系（如AC=BC）。
例4、如图，锐角三角形ABC的边长BC＝6，面积为12，P在AB上，Q在AC上，且PQ∥BC，正方形PQRS的边长为x，正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积为y。
（1）当SR恰落在BC上时，求x，
（2）当SR在△ABC外部时，求y与x间的函数关系式；
（3）求y的最大值。
略解：（1）由已知，△ABC的高AD=4。
∵△APQ∽△ABC，（如图一）
设AD与PQ交于点E∴
∴
∴
(2)当SR在△ABC的外部时， 同样有，
则，即AE=
∴y=ED·PQ＝x（4-）=-2+4x（）
（3）∵a=-<0,y=-其中,
∴当x=3时,y取得最大值6.
说明:此例将线段PQ的长设为x,正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积设为y,寻找它们之间的函数关系.注意自变量的取值范围;在y取最大值时,要注意顶点(3,6)的横坐标是否在取值范围内.
例5．（ 潍坊市中考题）某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图一）作成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图二所示的坐标系进行计算。
（1）求该抛物线的解析式； （2）计算所需不锈钢管立柱的总长度。
分析：图中给出了一些数量，并已经过护栏中心建立了平面直角坐标系， 所以求二次函数的解析式关键是找到一些条件建立方程组。因为对称轴是 y轴，所以b=0,可以设二次函数为y=ax2+c.
解：（1）在如图所示坐标中，设函数解析式为y=ax2+c,B点坐标为（0,0.5），C点坐标为（1，0）。
分别代入y=ax2+c得：
，解得
抛物线的解析式为：y=-0.5x2+0.5
（2）分别过AC的五等分点，C1，C2，C3，C4，作x轴的垂线，交抛物线于B1，B2，B3，B4，则C1B1，C2B2，C3B3，C4B4的长就是一段护栏内的四条立柱的长，点C3，C4的坐标为（0.2，0）、(0.6,0)，则B3，B4点的横坐标分别为x3=0.2,x4=0.6.
将x3=0.2和x4=0.6分别代入
y=-0.5x2+0.5得y3=0.48,y4=0.32
由对称性得知，B1，B2点的纵坐标：y1=0.32,y2=0.48
四条立柱的长为：C1B1=C4B4=0.32（m）
C2B2=C3B3=0.48（m）
所需不锈钢立柱的总长为
(0.32+0.48)×2×50=80(m)。
答：所需不锈钢立柱的总长为80m。
❾ 初三数学二次函数（讲解）
第二题：
1.开口向下a<0
2.中心轴b/2a>0
3.y轴上c>0
4.顶点位置（4ac-b*b）/4a
5.在x轴上有两个点b*b-4ac>0
6.在x轴上的两个点(从左至右)x1,x2不同号有x1*x2<0
7.在x轴上的两个点x1,x2并且|x1|>x2有x1+x2<0
自己解方程嘿嘿
学数学不要太懒哦