⑴ 数学中圆的基本方程是什么
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。
⑵ 圆系方程知识整合
定义
定义：在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
简要说明
在方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中，若圆心(a,b)为定点，r为参变数，则它表示同心圆的圆系方程．若r是常量，a（或b）为参变数，则它表示半径相同，圆心在同一直线上（平行于x轴或y轴）的圆系方程． 经过两圆x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0 的交点圆系方程为： x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1) 经过直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的交点圆系方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0
类型1：方程 表示半径为定长 的圆系
类型2：方程 表示以 为圆心的同心圆系。
拓展1：方程 表示圆心落在直线 上，半径为 的圆系。
拓展2：方程 表示圆心落在直线 上，半径为 的圆系。
拓展3：方程 表示圆心落在直线 上的圆系。
拓展4：方程 表示圆心落在圆 上，半径为 的圆系。
类型3：共轴圆系 若⊙C1与⊙C2交于A、B两点，则直线AB称为这两个圆的根轴。经过A、B两点的所有的圆形成一个圆系，这圆系内任何两个圆的根轴均为直线AB，因此我们称这种圆系为共轴圆系。
理解
理解：1.例题：求x+(m+1)y+m=0所过定点 解：可将原式化为x+y+m(y+1)=0 即为x+y=0；y+1=0 解得恒过点（1，-1） 由此我们理解到当除了x，y（为一次幂）还有一未知数m时,依然可求得一定点。 由此可联想：当有二次方程组x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0我们便能求出两定点。 过一已知圆与一直线的两个交点的圆系方程为： x^2＋y^2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（Ax+By+C)=0
理解2：有二次方程组x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0 ①式 x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0 ②式 ①式+②式得x^2+y^2+D1x+E1y+F1+x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0 此方程仅符合交点坐标(即带入交点后成立） 加入参数λ让方程代表恒过两点的所有圆。
例题
例1：求过两圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的交点且面积最小的圆的方程。 分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。 解：圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程为 x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0，即2x+2y-11=0 过直线2x+2y-11=0与圆x^2+y^2=25的交点的圆系方程为 x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0，即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4 代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8
总结
圆系方程的主要智慧是将参数的形态放置在图像中。 参数不仅可在一次环境中表示一个变量，可在直角坐标系中表示一条数轴，还可让二次图像以一定的条件变化成无数条函数图像。
⑶ 圆系方程的原理 总是似懂非懂,清楚地讲一讲.
根本原理是：
点(x,y)在圆上(x,y)是圆方程C(X,Y)=0的根 (1)
给定C1,C2两个圆,如果P(x,y)是两圆交点,那么(x,y)就是a*C1+b*C2=0的根,a和b可以任取,因为由(1),C1(x,y)=C2(x,y)=0.因此再由(1),所有形如a*C1+b*C2=0的圆都过P.
这样就能具体情况具体分析了,包括a*C1+b*C2=0退化为直线的情况,以及与a*C1+b*C2=0类似的其它圆方程.
⑷ 数学必修二圆的切线方程知识点
切线方程是数学中的一个专业名词，主要应用于求解圆、椭圆、双曲线、抛物线中的数值。下面是我给大家带来的数学必修二圆的切线方程知识点，希望对你有帮助。
数学圆的切线方程知识点(一)
数学圆的切线方程知识点(二)
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
(2)和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
⑸ 圆系方程怎么解
圆的方程怎么解
1. 基本问题说明
在解析几何中，经常会遇到各种与圆的方程有关的问题，要么直接求解圆的方程解析式或它的参数（圆心和半径），要么与直线等综合在一起，为高考的常考内容。
因此，圆的方程基本问题（包括与圆的方程密切相关的一簇基本问题）是高中数学最常见的基本问题之一。
考查时，它既可以作为一个单独问题出现在简单的选择题或填空题中，也可以与其它基本问题综合的方式出现在解答题或难度较大的选择题或填空题中——要么就是待求解的最终问题，要么只是其中一个中间步骤的问题。
2. 解决基本问题的一般方法
a) 求圆的方程
根据题目特征，从圆的方程标准形式、一般形式和参数方程中选取一种，并将所需基本量求出来后，即可得到圆的方程；也可以利用待定系数思想，先设含参的圆的方程，然后代入已知条件或与其它方程联立求解。
b) 判定圆与圆之间的位置关系
可能的位置关系包括相离、外切、相交、内切和内含，如图：
一般方法（如图）几何法：比较圆心间的距离d与两圆的半径R和r（不妨假设R>r）之间的和、差的大小关系；代数法：联立两圆方程，再利用判定。定义法：交点数——0个表示相离或内含、1个表示外切或内切、2个表示相交。切线法：切线数——4条表示相离、3条表示相切、2条表示相交、1条表示内切、0条表示内含。
思考：当R=r时，试分析和理解上面几种情况的特性(变化)。
c) 判定直线与圆的位置关系
可能的位置关系包括相离、相切和相交，如图：
一般方法
几何法：比较圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系。
代数法：联立直线与圆的方程，再利用判定。
定义法：交点数——0个表示相离、1个表示相切、2个表示相交。
d) 求过圆上一点的切线方程
3. 典型示例
讲解：
本题考查了直线与圆的位置关系、圆的最短弦长、直线方程等知识点。
含参直线与圆的位置关系中，利用数形结合法求证恒相交时，要抓住关键一点：求证含参直线的定点及其与圆的位置关系。当然，务必记住数形结合法的要领：画好图、理清关系、转化求证问题。
本题自然也可以用圆与直线位置关系判定的一般方法求解：首先根据求证问题，将其转化为求证圆心到直线的距离小于半径。因此，可根据点到直线距离列出代数式；然后根据必修1知识，求解分式的最值，并将其与半径比较即可。这种方法非常考验基本功，相对复杂得多，难度也大些。因此，擅长画图和图像分析的同学，应优先使用数形结合法求解。再多说一句，有相当一部分所谓难题并不是其真的有多难，往往是因为同学选取了更复杂、更有难度的解题路径所致。因此，平时要多思考、多归纳、多总结。
过圆内一点的最短弦——为与过该点的直径相垂直且过该点的弦。
讲解：
本题利用几何法处理圆与圆之间位置关系的相关问题，过程简捷、思路清晰。
根式的主要处理技巧之一：首先整理等式，若只有一项含根式，则一般含根式放一边，其余放在等号的另一边；若有两项含根式，一般等号两边各放一项；若是其它情况，则要仔细观察项与项的各自特征及其联系，然后再灵活整理。然后再两边平方（可能需要多次），即可去掉根号。
思考：若本题第一问改为“(1)圆C1与圆C2相切；”，则解答有何不同？（提示：圆与圆之间相切和相离时均有两种情况，即外切与内切—— =0、相离与内含——<0）。
提示：更多例题见后续的综合应用部分，这里就不再赘述了。
⑹ 高一下册数学圆的方程知识点
圆的标准方程：
在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
圆的一般方程：
方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^2-4F0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以(D^2+E^2-4F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点(-D/2，-E/2);
(3)、当D^2+E^2-4F0时，方程不表示任何图形。
圆的参数方程：
以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cos, y=b+r*sin, (其中为参数)
圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆 x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为 a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2
圆的方程：
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的'位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；
（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程
（3）过圆上一点的切线方程：圆（x—a）2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0—a）（x—a）+（y0—b）（y—b）=r2
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含；当时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
数学如何预习：
上课前对即将要上的数学内容进行阅读，做到心中有数，以便于掌握听课的主动权。这样有利于提高学习能力和养成自学的习惯，所以它是数学学习中的重要一环。
看书要动笔。（不动笔墨不读书）
①一般采用边阅读、边思考、边书写的方式，把内容的要点、层次、联系划出来或打上记号，写下自己的看法或在弄不懂的地方与问题上做记号；
②预习时一旦发现旧知识掌握得不好，甚至不理解时，就要及时翻书查阅摘抄，采取措施补上，为顺利学习新内容创造条件。
③了解本节课的基本内容，也就是知道要讲些什么，要解决什么问题，采取什么方法，重点关键在哪里等等。
④要把某一本练习册所对应的章节拿出来大致看一遍，看哪些题一下能看会，哪些题根本看不懂，然后带着疑问去听课。
成数概念：
一数为另一数的几成，泛指比率：应在生产组内找标准劳动力，互相比较，评成数。
表示一个数是另一个数的十分之几的数，叫做成数。
通常用在工农业生产中表示生产的增长状况。几成就是十分之几。
例如，粮食产量增产“二成”。
“二成”即是十分之二，也就是粮食产量增加了20%。
在计算成数时，设有甲、乙两数，求乙数对于甲数的比，并把比值化成纯小数，那么所得的纯小数叫做乙数对于甲数的成数。其中小数第一位叫做“成”或“分”，第二位叫做“厘”。
例如，计划粮食产量为5万斤，实际多产了1万斤，那么粮食增产的成数是1÷5=0.2，即粮食增产了二成。
成数与其他数的互化：
方法：分数X10=成数成数/10=小数（成数除以10等于小数）成数X10=百分数
⑺ 圆系方程怎么理解
圆系方程是圆系方程是一种特殊的方程。
在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例如求半径到直线距离的方程就可以叫圆系方程。
总结：若直线方程记为lL，圆方程记为C1，C2,则有：
（1）过直线与圆交点的圆可记为C1+aL或L+aC1。
（2）两圆相交，过两圆交点的直线为C1-C2 (即是量方程消除X,Y的平方项）。
（3）两圆相交，过两圆交点的圆为为C1-aC2或C2-aC1。
注：以上各式中a为待定系数，由具体题目确定。
圆系方程的推导过程：已知圆A：x²+y²+D1x+E1y+F1=0与圆B：x²+y²+D2x+E2y+F2=0，方程：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ（x²+y²+D2x+E2y+F2)=0……①，当λ≠－1时，方程①表示过圆A与圆B的交点的圆系的方程，当λ＝0时，表示圆A，但不能表示。
⑻ 圆系方程都有哪些
²圆系方程，是个大概念。但我们常常使用的，不外乎以下几种。
第一种：圆心为定点c(a,b)，半径r是变化的。(x-a)²＋(y-b)²＝r².
第二种：半径是定长r,圆心不定。
第三种：圆与某个坐标轴相切。半径固定或者变化。
第四种：圆与某两条直线（包括坐标轴）相切。半径不定。
第五种：圆心在某条直线上（或者曲线）运动。半径固定。
等等。其实我们没有必要去对它进行【归类】，见招拆招就行。
一般地，【过两个圆的交点的圆，构成了一族圆，构成了此类的”圆系方程”】。
已知圆1：x²＋y²＋dx＋ey＋f＝0与
已知圆2：x²＋y²＋dx＋ey＋f＝0相交于两点a,b。则过a,b的圆的方程可以写为
（x²＋y²＋dx＋ey＋f）＋λ（x²＋y²＋dx＋ey＋f）＝0
的形式。其中λ为参数。
这时候，如果再加上一个其他的条件，就可以制造出一道很不错的题目。如：
求以相交两圆x²＋y²＋4x＋y＋1＝0与x²＋y²＋2x＋2y＋1＝0的公共线为直径的圆的方程。
⑼ 什么是圆系方程
圆系方程是符合某种条件的一组圆的共同的方程，每一个圆都可以用这个方程来表示。假如f(x,y)=0，g(x,y)=0分别表示两个圆方程，且两圆有交点，则圆系方程f(x,y)+tg(x,y)=0表示经过两圆交点的一组圆的方程，但这些方程中不包括g(x,y)=0这个圆的方程。圆和直线也一样，字母t作为直线方程的系数，不过没有不包括的。
⑽ 圆系方程的理解
理解：1.例题：求x+(m+1)y+m=0所过定点
解：可将原式化为x+y+m(y+1)=0
即为x+y=0；y+1=0
解得恒过点（1，-1）
由此我们理解到当除了x，y（为一次幂）还有一未知数m时,依然可求得一定点。
由此可联想：当有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0与x2+y2+D2x+E2y+F2=0我们便能求出两定点。
过一已知圆与一直线的两个交点的圆系方程为：
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（Ax+By+C)=0
理解2：有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①式
x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②式
①式+②式得x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0
此方程仅符合交点坐标(即带入交点后成立）
加入参数λ让方程代表恒过两点的所有圆。