⑴ 举例说明什么是数学认知结构和数学知识结构
一、数学认知结构的概念
简单地讲，数学认知结构就是学生头脑里获得的数学知识结构，只不过是一种经过学生主观改造后的数学知识结构，它是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，其内容包括数学知识和这些数学知识在头脑里的组织方式与特征。
二、数学认知结构与数学知识结构的区别
数学认知结构和数学知识结构是两个不同的概念，它们之间既有密切的内在联系，又在严格的区别。两者的联系主要反映为学生的数学认知结构是由教材中的数学知识结构转化而来的，数学知识结构是数学认知结构赖以形成的物质基础和客观依据、两者的区别主要表现在以下几个方面：
l．概念的内涵不同。数学知识结构是由数学概念和命题构成的数学知识体系，它以最简约、最概括的方式反映了人类对世界数量关系和空间形式的认识成果，是科学真理的客观反映。而数学认知结构是一种经过学生主观改造的数学知识结构，它是数学知识结构与儿童心理结构高度融合的结果，其内容既反映了数学知识的客观性，又体现了认知主体的主观性。
2．信息的表达方式不同。数学知识结构和数学认知结构都是表达信息的，但两者在信息表达的方式上却有着明显的区别。教材中的数学知识结构是用文字和符号详尽表达有关世界数量关系和空间形式认识成果的信息的。它表现为一个逻辑严密、结构相对完善的数学知识体系。在这个体系内部知识的逻辑起点和知识表达形式以及前后内容之门的联系。在其载体——数学教材中都有明确而具体的表述。而学生头脑里的数学认知结构则主要是以语义的方式概括地、简约地表达信息的，并且通常以直觉的方式将信息储存在头脑里。这种表达方式表明，“认知结构已经将知识表征和个人智力活动方式融为一体”
3．结构的构造方式不同。数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，作为小学课程内容的数学虽然经过了教材编写者的教学法处理，但其内容仍然是一个较为严密的逻辑体系，前后内容连贯有序，整个结构相对完善。而学生头脑里的数学认知结构，内容之间并无严格的逻辑顺序，它既不是一种条理清楚的线性结构，也不是一种排列有序的网状结构。数学知识结构一旦被学生内化为认知结构以后，其内容之间的逻辑顺序和层次性往往就被淡化了，不同内容之间表现出一种相互融合的态势，其内部结构也不像数学教材知识结构那样清晰可辨。
4．结构的完备性不同。教材中的数学知识结构在内容上都是相对系统的、完备的、无缺口的，结构本身就涵盖了它的全部组成内容。如“分数的意义和性质”一知识结构，其内容就包括了分数的意义和单位，分数与除法的关系、分数的分类、假分数与带分数和整数的互化、分数的基本性质及约分和通分等，这些内容构成了一个完整的、无缺口的单元知识结构。而数学认知结构，由于学习者本身在接收、理解上的失误和学习后的遗忘等原因，在内容上常常是有缺口的，不完备的。如“分数的意义和性质”一知识结构转化成学生的数学认知结构以后，他们并不一定对每一内容都非常清晰，某些内容可能是模糊的，甚至是被完全遗忘了的。因而对学习主体来说它可能是一个内容不完备的数学知识结构。由此表明，学生的数学认知结构尽然是由教材知识结构转化而来的，但并不是教材上写了的和老师讲了的内容就一定能够完整无缺地接受和保存下来，在其内容上经常有可能出现某些缺口。
5．内容的科学性不同。数学教材知识结构中的内容都是经过严格逻辑论证和实践检验，能正确反映客观世界数量关系和空间形式普遍规律的科学真理，通常不存在什么错误。而数学认知结构中的内容，由于是数学知识结构与学生心理结构相结合的产物，是经过学生主观改造过的数学知识结构，所以它并不一定都是科学的。其内容可能是正确的，也可能是错误的，更可能是部分正确部分错误的。很明显，学生头脑里掌握的数学知识，其内容的科学性是有待检验的。我们不能把学生数学认知结构内容的科学性程度简单地伺数学教材知识结构内容的科学性程度等同起来，从而掩盖学生在学习过程中可能产生的某些错误认识。
（一）认知结构迁移理论是根据奥苏伯尔的有意义谚语学习理论（即同化论）发展而来的。
认知结构就是学生头脑中的知识结构。广义地说，它是学生头脑中全部内容和组织；狭义地说，它是学生在某一学科领域内观念的内容和组织。
奥苏伯尔认为，“为迁移而教”的实质是塑造学生良好的认知结构。可以从教学技术、教材内容及教材呈现这三个方面，确保学生形成良好的认知结构，以利于迁移。设计先行组织者先行组织者是在学习新材料之前呈现给学生的一种引导性学习材料，它以通俗的言语概括说明将要学习的新材料与认知结构中原有知识的联系，为新知识的学习提供认知框架。先行组织者可以是一条定律、一个概念或一段概括性的说明文字，也可以是形象化的模型。
⑵ 如何进行小学数学复习
小学数学复习方法
古语曰：学而时习之，温故而知新。意思是说，学习，然后找一定的时间去复习它，通过复习旧的知识从而知道新的知识。这里强调的就是复习对于学习的重要作用。可见在古代，古人即已认识到：学与习是两回事。所谓学习，"学"是指接受新知识，"习"就是指要复习，要进一步理解、归纳、总结和记忆已学过的知识。在学习过程中，只学不习，学习的东西很快就会遗忘。早在1885年，德国的心理学家艾滨浩斯就通过实验发现，刚记住的材料一小时后只能保持44％，一天后还能记住33％，两天后留下的就只有28％了。所以，人们通过一学再学来刺激记忆，巩固记忆，让自己所学的东西不致被很快遗忘，或者不被遗忘的太多，甚至永不忘记，这就是初学之后的再次学习、重复学习，就是复习。凡是在学习上取得成功的学生，都对及时科学地复习有深切体会，从某种意义上讲，这也是同一间教室里的同学为什么会在学习成绩上拉开档次的一个原因。而且，复习是对前面已学过的由新变旧的知识进行巩固，进行系统再加工，并根据学习情况，进行适当调整。这个复习的过程，不仅仅让人只是被动而简单地巩固记忆，还能从再学习中，经二次，甚至三次、多次地反复学习，获得第一次、第二次即前面的复习中未曾学到或者未理解、理解不深的新知识。这便是"温故而知新"。温，就是复习，故，就是已经学过的。温习旧的而获得新的知识。一些记性好的同学，就是因为能经常从不同的角度、不同的层次上进行复习，做到"每天有复习，每周有小结，每章有总结"，从而形成了惊人的记忆力。因此，很多学生对所学知识记不住，并不是脑子笨，而是不善于复习，或复习没有达到一定的程度。
某种意义上说，复习比学习更重要。小学数学毕业总复习，是小朋友对六年来数学学习的一个系统的整理，是对小学阶段数学知识的一个重构，更是一种提升。此阶段复习效率的高低关系到小学数学教学目的任务是否能圆满完成，影响到小朋友今后在数学方面的发展。因此，做好小学数学总复习，提高复习效率尤其显得重要。那么，我们应该如何进行复习呢？
一、复习原则
所谓的原则是指，经过长期检验所整理出来的合理化现象。遵照原则行动，事情必会顺利。违背原则行动，结果一定很惨。那么在复习中应该抓住哪些原则呢？
1.抓重点
数学总复习，决不能只是多做一些题目，应该复习数学的基础知识。小学数学一共有十二册书，内容很多，要抓住教材中最主要的内容复习。如复习数的概念时，就要抓整数、分数和小数的意义和性质。又如整、小数应用题，千变万化，种类很多，复习时就要抓数量关系和分析、思考应用题的一般方法。对一些掌握较好的知识，只要适当复习，引起回忆就可以了；对一些还没有掌握住的知识，就需要重点复习，把它们彻底弄懂。
2.抓串连
数学知识相互之间有密切联系的，总复习时不能把它们孤立起来死记硬背。要注意知识的系统性，把有关的知识串连起来，能帮助我们理解，帮助我们记忆。如比、分数和整数除法之间是有关的，比的性质、分数的性质和除法的商不变规律也是一致的，弄清它们之间的联系，就能掌握住一大片知识。
3.抓比较
有些数学知识之间容易混淆，要把那些往往会弄错的概念、练习题列举出来，相互比较，把它们正确地区别开来。例如求比值和化简比的方法在有的时候可以是相同的，但在处理二者的结果时，往往容易混淆，因此在总复习时，要把多方面的知识进行比较，灵活的综合运用，这对提高解题能力是很重要的。
4.抓合理安排
另外，还应当合理安排时间，切不可整天埋头去啃书本、做练习，要积极参加体育锻炼和文娱活动。丰富的课余生活能调节大脑，提高复习的效率。
二、复习方法
复习是指对学过的知识重新学习的过程。复习包括课后复习和系统复习两种。课后复习的主要目的在于理解和巩固当天学到的知识。系统复习的主要目的是对周、月、学期或学年学过的知识进行全面深入的复习，目的在于融会贯通，理解和掌握学科知识的体系。系统复习本质上是对前段学习的知识进行相对集中的再加工的过程。那么在复习中应该怎么样进行复习呢？
1.及时复习。人们对于刚学过的东西，总是一开始忘得快，过一段时间就逐渐减慢。所以小朋友在复习时，必须要注意这个规律，做到及时复习。你们每天从学校回来都学了一些新东西，您可以先复习当天所学的内容，复习之后再做作业。同时在每天晚上睡觉前想一想："我今天都学了什么！"然后在头脑里把这些东西回忆一遍。如果不及时复习，时间一长你们就忘记了，许多内容最后集中到一小段时间复习，效果自然不好。
2.分散复习。如果有60分钟的复习内容，您是一下子复习完呢？还是分成几段间隔复习呢？心理学家很早就对这个问题进行了实验，实验的结果表明：分散复习要比长时间的集中复习效果好。对于小朋友来说，其身心发育的特点也要求采用分散复习的方式。所以，您不妨每次复习20分钟，中间休息之后再复习，这样你们就不会疲劳，复习的效果也会更好。
3.交叉复习。当你们同时面临几门课程的复习任务时，最好采用交叉复习的方式，即这10分钟复习语文，休息后换成数学，再之后又变成别的什么，这样复习的好处是不会使你们产生厌倦心理。
4.多种方式复习。长时间用同一种方式复习效果不好，尤其对于你们更是如此。想想看，我们成人学习英语时，有时是默读，有时大声朗读，有时抄写，不断变换方式或者结合并用。对于小朋友更要这样。比如复习语文，可以以朗读、背诵、默写、造句、写作文等不同的方式变换进行。复习数学，就可以看书、记公式、做练习题（计算题、应用题），而且习题也要注意变化题型。
5.灵活应变。您们在复习时，不能只看一会儿书或做几道题就算完事了，而是要尽可能根据自己的实际情况随时作出调整。如果发现某一部分的内容自己已经掌握了，您就可以跳过这一段，复习下面的内容。如果你做了几道这方面的题目仍然出错，就需要您加强对这一部分的复习力度。根据复习时间的长短，您也要采用不同的复习策略：如果时间很宽裕，您就可以从头至尾将书过一遍；如果时间紧迫，再平均分配时间显然不合适，就得重点复习自己的薄弱环节，有时只研读平日整理的错题库也能达到理想的效果
三、复习指导
复习是巩固和强化所学知识必不可少的手段，是学习过程中至关重要的环节。复习不单是机械的重复，而更应包含者对知识的理解和运用。平常学习好一些的小朋友应该利用复习之机，在知识的迁移、在能力的训练上下功夫，做到触类旁通、举一反三，使自己在学习上再上新层次，进入更高的学习境界。学习一般的同学更应该加大复习力度，巩固基本知识掌握基本技能，做到温故而知新。那么如何有效利用时间，提高复习效率呢？
1.制定合理的复习计划
每位小朋友应该根据复习的课程，制定切实可行的计划。俗话说："凡事预则立，不预则废。"期末考试科目多，内容庞杂，很多小朋友复习起来感觉到千头万绪，无从下手。这就要求我们根据学科特点制定出适合于自己的切实可行的复习计划，对后几天的学习作出详细、科学、合理的安排，以便心中有数。当然，光有计划还不够，还需要小朋友们集中精力，充分利用时间保证计划的落实。那么时间哪里来呢？一般执行复习计划所需的时间，来自四个方面：一是上课时间，二是作业和考试时间，三是学校安排的自习时间，四是课余时间。这四块时间相加，组成了执行复习的时间。有人说一个用"分"计算时间的人，比一个用"时"计算时间的人，时间多出59倍！鲁迅先生正是把别人喝咖啡的时间都用上，把一些零散的时间"焊接"起来，才铸就了令人羡慕的丰碑。我们要充分利用点点滴滴的时间，争取多记几个公式，多背一段文章，多温习一遍老师在课上讲的重点，保持这样的"挤"的恒心与韧劲，才能把有限的时间变成无限的力量！
2.完整的看一遍教材，理清知识要点,构建知识网络
3.我们平时学习的时候，大脑中接受的是相对单一的知识点,一学期下来，许多小朋友会感到头脑里装了很多东西，很多很乱。所以在复习时我们应该将平时所学习的知识进行整理、归纳理清教材的思路，完整地把教材看一遍，这样我们能够在头脑中构建起一个知识网络，从而形成一个完整的知识体系，便于知识的提取。
3.明确重点,攻克难点,侧重疑点
在对知识点进行梳理的时候我们应抓住重点、难点和疑点。对于重点应吃透，并尽可能在实际中进行运用。对于难点则要努力攻破,一方面可以结合教材中的内容进行理解，另一方面小朋友之间可以加强交流，在交流中解决这些难点。而复习更重要的是查漏补缺，对于一知半解的疑点决不可轻易放过，任何问题在我们的头脑中都不应是模棱两可的，可以准备一本本子把平时的练习中所出现的错误都记录下来，再进行一次分析，以避免下次再犯同样的错误。
4.讲究方法,适当做题
复习的方法多种多样，不同的方法也许适用于不同的人，我们应在实际运用中找到适合自己的复习方法，同时应注意不断地变换自己的复习方法。有时我们常会感到一种本来十分灵验的方法，经过一段时间后变得不再灵验了，这就要求我们及时地改变方法，以不断提高复习的效率。当然复习时适当地做题是必不可少的，可心选做不同类型的题目，在练习中使知识点得到了巩固，运用能力得到了提高。复习中，要做很多的练习，我认为练习方法也要"巧"。首先，对于像概念、法则、单词、生字词这些重要而基础的知识进行记忆巩固，有针对地做练习。二要精练多思，提高练习的效率。练习中要多思考，多联想，多小结，把所学的知识联系起来进行比较，做题不能只看数量不重质量，做过之后发现了错误要及时研究改正，总结经验以免再犯，达到"温故知新"的效果。
5.调整心态，考前虚心，考时自信
要有虚心的心态，意识到自己还有许多不明确的知识点，还有没完全掌握的技能方法，这样才能在复习时深入钻研，仔细琢磨。而在考试时同学们应调整好自己的心态，努力放松自己，以必胜的信心，坦然面对考试。在复习的最后阶段，我们可以将一些期末的练习题当作正式的期末考试，利用它们来调整自己的心理状态，并不断积累经验，提高自己的应试技巧，从而使自己在走进正式考场时能进入一个最佳状态。
四、上好复习课
课堂复习是总复习的中心环节，是你获得科学文化知识的主要途径。如果小朋友不会听课，听不懂，学不会，就会增加课后复习的困难和压力，造成不良循环。同时由于长期积累，可能导致厌学心理，既不利于提高学习效果，也不利于心理健康。因此，在复习课中，小朋友要注意以下几点。
1.认真听。小朋友在课堂上要聚精会神地听讲，充分理解教师讲课的内容及其表达方式的含义，如节奏的快慢、声音的高低等。
2.注意看。小朋友在课堂上要全神贯注地注视教师板书的内容，对教师用彩色粉笔标记的部分、用电化教具突出演示的部分尤其要仔细观察，认真领会和重点记忆。
3.多动脑。小朋友在课堂上要积极思考，要边听、边看、边思考，要与教师讲课的进程保持同步，要多问几个为什么，要把新旧知识联系起来思考，做到融会贯通，举一反三。
4.主动练。小朋友在课堂上要大胆发言，勤学多练，从而加深理解，提高听课效果。
5.做笔记。小朋友在课堂上对教师讲课中的要点、难点都要简明扼要地写在笔记上，以备课后复习用。
6.善归纳。小朋友在课堂上对教师课堂讲授的内容，要抓住纲目，归纳要点，力求当堂理解。
五、复习注意心理调节。
专家研究，儿童、青少年和成人在生理发展、认知和情感领域方面有质的不同。学生在不同的年龄阶段，其心理生理也不同。小朋友正处于身体发展时期，各种器官发育迅速，尤其是大脑和高级神经系统有很大的发展。这个时候的你具有好奇、好动、爱表现、善模仿等特点。感知能力、模仿力和记忆力强，形象思维好。但随着年龄的增长，小朋友们的心理负担加重，害羞感加强，甚至还出现了焦虑心理。而过度焦虑又是学习中的一大障碍。它导致紧张和害怕，从而使知识的输出和存储效果降低，影响学习。因此在复习中要注意调节自己的心理，以全身心状态投入到复习中去。
1.要注意克服总复习出现的厌烦心理。随着总复习的越来越深入，复习的东西越来越多，练习、模拟不断，心理不免产生烦躁情绪。这时候同学们一定要明白坚持就是胜利这个道理，克服厌烦心理，下决心坚持下去。
2.总复习时要经受住挫折。在总复习阶段有各种各样的练习和考试，不可避免地有一两次没考好，没发挥出正常水平，这是总复习阶段的正常现象。偶尔没考好的因素很多，要经受住这样的挫折，总结经验教训。
3.同学们在总复习时心理处于高度紧张的状态，随着越来越多的练习，似乎不会的东西也越来越多了，甚至还出现了焦虑心理。其实，这是总复习当中必然会遇到的现象，这正说明你已找到各个环节中的漏洞了。在这时候你千万别打退堂鼓，要有自信心，相信自己，以一颗平常心去对待，以后再复习就感到比较自如了。
⑶ 如何引领学生实现数学知识的自主重构
教学一节好的课其实就是各个教学环节的优化,如导入、目标、导读、总结与作业等方面的优化.
1、导入的优化：导入课的方法很多,例如题目导入法
2、教学目标的优化：依据课文特点,依据文体特点学习品析语言的方法,教会方法,然后让他用你教会的方法去学习.作为一个教师,心中特别应该有一个方法目标,同样一个问题,不同年级是不一样的.应该考虑七年级教会,八年级提升,九年级拔高.
3、导学过程的优化：导学思路艺术化,教材处理,导学方法科学化.不同的课文用不同的思路设计.