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五年级数学上册圆柱和圆锥知识

发布时间: 2022-09-19 21:11:56

1. 圆柱与圆锥的知识

一、圆柱
圆柱的定义
1、以矩形的一边绕着另一条边旋转360°,所得到的空间几何体叫做圆柱,即AG矩形的一条边为轴,旋转360°所得的几何体就是圆柱。其中AG叫做圆柱的轴,AG的长度叫做圆柱的高,所有平行于AG的线段叫做圆柱的母线,DA和D'G旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面,DD'旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。
2、在同一个平面内有一条定直线和一条动线,当这个平面绕着这条定直线旋转一周时,这条动线所成的面叫做旋转面,这条定直线叫做旋转面的轴,这条动线叫做旋转面的母线。如果母线是和轴平行的一条直线,那么所生成的旋转面叫做圆柱面。如果用垂直于轴的两个平面去截圆柱面,那么两个截面和圆柱面所围成的几何体叫做直圆柱,简称圆柱。
圆柱的表面积
圆柱体表面的面积,叫做这个圆柱的表面积.
圆柱的表面积=2×底面积+侧面积
圆柱的侧面展开以后是一个正方形(长方形),侧面展开以后的长是底面周长,宽是高,所以侧面积=底面周长×高
设一个圆柱底面半径为r,高为h,则表面积S:
S=2*S底+S侧
=2*πr²+CH
圆柱的体积
圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱体的体积.
圆柱的体积跟长方体、正方体一样,都是底面积×高:设一个圆柱底面半径为r,高为h,则体积V:V=πr²h
如S为底面积,高为h,体积为V:v=sh
圆柱的侧面积
圆柱的侧面积=底面周长乘高
S侧=Ch
注:c为πd
圆柱各部分的名称
圆柱的的两个圆面叫做底面(又分上底和下底);周围的面叫做侧面;两个底面之间的距离叫做高(高有无数条)。
二、圆锥
圆锥的体积
一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积.
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
根据圆柱体积公式V=Sh(V=rrπh),得出圆锥体积公式:
V=1/3Sh(V=1/3SH)
S是底面积,h是高,r是底面半径。
证明:
把圆锥沿高分成k分
每份高
h/k,

n份半径:n*r/k

n份底面积:pi*n^2*r^2/k^2

n份体积:pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2*
k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以
V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3
圆锥的表面积
一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积.
圆锥的计算公式
圆锥的侧面积=高的平方*π*百分之扇形的度数
圆锥的侧面积=1/2*母线长*底面周长
圆锥的表面积=底面积+侧面积
S=πr的平方+πra
(注a=母线)
圆锥的体积=1/3SH

1/3πr的平方h
如果圆锥和他的扇形联系在一起那么n=a/r*360
圆锥的其它概念
圆锥的高:
圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高;
圆锥的侧面积:
将圆锥的侧面沿母线展开,是一个扇形;没展开时是一个曲面。
圆锥的母线:
圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆上到顶点的距离。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线,且侧面展开图是扇形。
圆柱与圆锥的关系
与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
体积和高相等的圆锥与圆柱之间,圆锥的底面积是圆柱的三倍。
体积和底面积相等的圆锥与圆柱之间,圆锥的高是圆柱的三倍。
不相等的圆柱圆锥不相等。

2. 圆柱与圆锥

  在之前五年级时,我们已经学习了正方体和长方体,它们都是立体图形。并且在之前,我们还学习了图形的构成,有折叠,平移,旋转,展开等构成方式。

折叠:

  折叠就是把二维图形变成三维图形。

平移:

  平移也是把二维图形变成三维图形,但是它看的是二维图形的运动轨迹。

展开:

  展开和平移,折叠有不同,因为平移,折叠是把二维图形变成三维图形,但是展开却是把三维图形变成二维图形。

  根据之前学的这些图形构成,我们可以把圆柱体和圆锥体引出来了。

  圆柱体的建构,可以先从平移来看

圆柱体的平移就是把一个圆垂直向上移动一定距离,运动轨迹就是圆柱体。

  接下来是展开

  展开时候可以看到圆柱体展开后就是两个圆和一个长方形。

  然后是旋转。圆柱体的旋转有两种办法,第一种是以长方形的长或宽的中点为对称轴,顺时针或逆时针旋转180°,它的运动轨迹就是圆柱体。第二种办法是直接以长方形的长或宽为旋转轴,顺时针或逆时针旋转360°,它的运动轨迹就是圆柱体。

  然后是折叠的建构方法:

让长方形的两条长或者两条宽重合,形成一个圆柱体。

  圆锥的建构和圆柱的流程相似。首先先把圆锥体展开成二维图形:

  展开后的圆锥是一个扇形(或者可以理解为曲边三角形)加一个圆。

  然后是旋转,旋转的话只能按照一个直角三角形来转,绕着直角三角形的直角边,顺时针或者逆时针旋转360°,运动轨迹就是圆锥体。折叠的话就是按照一个曲边三角形来看,让两条直边重合,折叠形成圆锥体。

  然后是圆锥体和圆柱体的命名:

  圆柱体的底面,就是圆柱体上面和下面的两个圆。圆柱体的高是两个底面圆心相接形成的一条线。而底面半径就是两个圆的半径。侧面,既可以理解为展开后的长方形,也可以理解为除了两个底面以外的面积。

圆锥体的底面是圆锥体唯一的圆。高是顶点到底面圆心的距离形成的线。侧面既可以理解为展开后的扇形(曲边三角形),也可以理解为除圆以外的面积。母线是从顶点垂直往下,到底面任意一个点的线。

  圆柱的表面积,可以先看一下圆柱体的展开图,就是两个圆和一个长方形,这时就可以知道,圆柱体的表面积就是圆柱的侧面积和底面积,就是一个长方形和两个圆的面积。这样就可以推导出圆柱体表面积公式了。长方形的面积,就是长乘宽,而在一个展开的圆柱体中,长方形的长就是底面的周长,长方形的宽就是圆柱体的高。底面周长:2πr,高:h。底面面积:πrr(πr的方),因为有两个底面,所以要看为:2πrr(2πr的方)。把这些加起来,就是:2πrh➕2πrr。

  圆锥体公式推导也同样,先把圆锥体展开,为一个曲边三角形和圆。如果按照曲边三角形的话,三角形的面积公式是底乘高➗2,这时候我们可以看到,曲边三角形的底就是底面的周长:2πr,高就可以理解为母线,所以就是2πrl➗2。

  接下来就是体积了。圆柱体的体积可以切割一下,把它分割之后,可以看为一个长方体:

把它看成长方体之后,可以给长方体和圆柱体对应一下。长方体的高就是圆柱体的高,而长方体的长是底面周长的一半,长方体的宽是圆柱体的底面半径。长方体的体积公式是长✖️宽✖️高,所以可以对应一下,圆柱体的高✖️底面周长的一半✖️底面半径等于圆柱体的体积,对应一下字母。圆柱体的高:h,底面周长的一半:2πr➗2,底面半径:r。h2πr➗2r。合一下,把r合在一起,把2抵消掉,最后留下的公式就是,πrrh。

  圆锥体的体积怎么算呢?可以先做一个实验,找到一个圆柱体容器,和圆柱体容器同底等高的圆锥体容器,先在圆柱体容器中装满水,再倒入圆锥体容器中,可以发现,刚好可以倒3次。说明与圆柱体同底等高的圆锥体是那个圆柱体的1/3。这时候我们已经知道了圆柱体的体积公式,就可以推导出圆锥体的体积公式是:1/3πr的方。

  接下来是实际应用。实际应用中,归纳了几类常用的题型:

圆柱体:

1.已知底面半径,高,求体积,表面积。

2.已知底面周长,面积,求体积,表面积。

3.已知体积,表面积,求高,半径。

圆锥体:

1.已知母线,底面半径,求表面积。

2.已知表面积,底面半径,求母线。

  最后我还想探索一下,比如说圆台的体积和表面积的求法。或者球体的体积和表面积的求法。

  圆柱和圆锥的探索就到这里了,希望对于它们的探索可以帮助之后更多的学习。

3. 圆柱与圆锥知识点整理有哪些

圆柱与圆锥知识点如下:

1、圆柱各部分的名称:圆柱的的两个圆面叫做底面(又分上底和下底);周围的面叫做侧面;两个底面之间的距离叫做高(高有无数条他们的数值是相等的)。

2、圆锥的形成:圆锥是以直角三角形的.一直角边为轴旋转而得到的。圆锥也可以由扇形卷曲而得到。

3、圆柱的体积:圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。

4、圆锥的底面积=圆锥体积×3÷高 S= 3 V锥÷h。

5、圆柱与圆锥等高等体积,圆锥的底面积(注意:是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。

4. 圆柱和圆锥的特征是什么举例

圆柱的特点:
1、上下一样粗细.
2、两个底面是完全相同的圆.
3、有一个面是曲面.
4、有无数条高.
5、侧面展开是一个长方形或平行四边形.
圆锥体体的特点:
1、侧面展开是一个扇形 ;
2、只有下底,为圆 .所以从正上面看是一个圆;
3、从侧面水平看是一个等腰三角形;
4、由等腰三角形绕底边的高旋转得到一个圆锥;也可以由直角三角形绕一个直角边旋转得到一个圆锥;
5、圆锥体是轴对称的;
6、圆锥侧面展开扇形的弧长等于底边圆的周长 ;横截面是一个圆形;纵截面是一个等腰三角形 ;
7、所有母线的长度都相等;母线的长度大于锥体的高 .

5. 比例,圆柱与圆锥的相关知识

一楼回答错了!!!~~~~
圆柱的表面积等于一个侧面加上两个底面积,而圆锥的表面积就是一个侧面积加上一个底面积,侧面是一个扇形,求扇形的面积是:扇形的面积=弧长×圆半径×1/2,其他资料如下:
圆柱体积=底面积×高
圆锥体积=1/3底面积×高
圆柱面积=曲面+底面×2
曲面=底面周长×圆柱的高
如果圆柱和圆锥底面积和高相等
那么
圆柱体积/圆锥体积=3/1=3
比例,技术制图中的一般规定术语,是指图中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。
表示两个比相等的式子,如3:4=9:12。
在3:4=9:12中,其中3与12叫做比例的外项,4与9叫做比例的内项。
比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重,用于反映总体的构成或者结构。
比例分为比例尺和比例.
表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比能不能组成比例,要看它们的比值是不是相等。组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。求比例的未知项,叫做解比例。

6. 圆柱与圆锥知识点

圆柱上下两个圆面叫作圆柱的侧面,底面是平面,侧面是曲面。圆柱两个底面之间的距离叫作圆柱的高,圆柱的高有无数条,同一个圆柱的所有高的长度都是相等的。
圆锥下面的一个圆面叫作底面,它的周围叫作侧面,底面是平面,侧面是曲面。
视图竖直放一个圆柱,则从该圆柱的前后左右看到的都是一样的长方形(正方形,当底面直径等于高时是一个正方形),从上下看到的圆形。竖直放一个圆锥,则从前后左右看到的都是一样的等腰三角形(等边三角形,当底面直径等于母线是是一个等。

7. 圆锥和圆柱的关系

1、如果是等底等高,则圆柱的体积是圆锥体积的3倍,反之,圆锥体积是圆柱体积的1/3。2、如果高相等,体积相等,则圆锥底面积是圆柱底面积的3倍,反之,圆柱底面积是圆锥底面积的1/3。

8. 圆柱和圆锥的知识点总结有哪些

1、圆柱的形成:圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。圆柱也可以由长方形卷曲而得到。

2、圆柱各部分的名称:圆柱的的两个圆面叫做底面(又分上底和下底),周围的面叫做侧面,两个底面之间的距离叫做高(高有无数条,他们的数值是相等的)。

3、圆柱的侧面积=底面周长×高,S侧=Ch=πd×h=2πr×h

4、圆柱的表面积=2×底面积+侧面积,即S表=S侧+S底×2=2πr×h+2×πr2

5、圆柱的体积=底面积×高,即V柱=Sh=πr2h

6、圆锥的形成:圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。圆锥也可以由扇形卷曲而得到。

7、圆锥的高=圆锥体积×3÷底面积,即h=3V锥÷S=3V锥÷(πr2)

8、圆锥的底面积=圆锥体积×3÷高,即S=3V锥÷h

9. 圆柱和圆锥的知识点总结是什么

1、认识圆柱和圆锥,掌握它们的基本特征。认识圆柱的底面、侧面和高。认识圆锥的底面和高。

2、探索并掌握圆柱的侧面积、表面积的计算方法,以及圆柱、圆锥体积的计算公式,会运用公式计算体积,解决有关的简单实际问题。

3、通过观察、设计和制作圆柱、圆锥模型等活动,了解平面图形与立体图形之间的联系,发展学生的空间观念。

4、圆柱的两个圆面叫做底面,周围的'面叫做侧面,底面是平面,侧面是曲面。

5、圆柱的侧面沿高展开后是长方形,长方形的长等于圆柱底面的周长,长方形的宽等于圆柱的高,当底面周长和高相等时,侧面沿高展开后是一个正方形。

6、圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2即S表=S侧+S底×2或2Trxh +2×Tr2。

7、圆柱的侧面积=底面周长×高即S侧=Ch或2Ttrxh。

8、圆柱的体积=圆柱的底面积×高,即V=sh或Ttr2×h。