‘壹’ 离散数学这门课程第四章关系的知识点有哪些
离散数学这门课第四章关系的知识点包含章节导引,第一节关系的概念,第二节关系运算,第三节关系的特殊性质及其闭包,第四节等价关系和划分,第五节偏序关系,课后巩固,。
‘贰’ 离散数学基本知识
总结 离散数学知识点 命题逻辑
→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；
主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；
求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；
求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；
求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；
真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；
n个变元共有个极小项或极大项，这为(0~-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；
永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；
推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)
10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 谓词逻辑
一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;
既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 集合
N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；
基：集合A中不同元素的个数，|A|；
幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；
若集合A有n个元素，幂集P(A)有个元素，|P(A)|==；
集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)；
集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 关系
若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为mn，A到B上可以定义种不同的关系；
若集合A有n个元素，则|A×A|=，A上有个不同的关系；
‘叁’ 离散数学这门课程第三章一阶逻辑的知识点有哪些
离散数学这门课第三章一阶逻辑的知识点包含章节导引,第一节谓词和谓词公式,第二节谓词公式的等值演算和前束范式,第三节一阶逻辑的推理理论,课后巩固,。
‘肆’ 求 离散数学（第四版）知识框架
离散数学期末复习要点与重点 第1章 集合及其运算 复习要点 1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等，以及全集、空集和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法．具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.．集合的表示方法：列举法和描述法. 注意：集合的表示中元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分． 掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念．注意：元素与集合，集合与子集，子集与幂集，�0�2与�0�0(�0�1),空集�0�4与所有集合等的关系.空集�0�4，是惟一的，它是任何集合的子集．集合A的幂集P(A)＝， A的所有子集构成的集合．若�0�5A�0�5＝n，则�0�5P(A)�0�5=2n．2．熟练掌握集合A和B的并A�0�6B，交A�0�5B，补集~A(~A补集总相对于一个全集).差集A－B，对称差�0�3，A�0�3B＝(A－B)�0�6(B－A)，或A�0�3B＝(A�0�6B)－（A�0�5B）等运算，并会用文氏图表示．掌握集合运算律(见教材第9～11页)(运算的性质).3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法．集合的运算问题：其一是进行集合运算；其二是运算式的化简；其三是恒等式证明．证明方法有二：(1)要证明A＝B，只需证明A�0�1B，又A�0�8B；(2)通过运算律进行等式推导．重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明． 第2章 关系与函数 复习要点1．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算． 有序对就是有顺序二元组，如<x, y>，x, y的位置是确定的，不能随意放置． 注意：有序对<a，b>�0�1<b,a>，以a, b为元素的集合{a, b}={b, a}；有序对(a, a)有意义，而集合{a, a}是单元素集合，应记作{a}． 集合A，B的笛卡儿积A×B是一个集合，规定A×B＝{<x,y>�0�5x�0�2A,y�0�2B}，是有序对的集合.笛卡儿积也可以多个集合合成，A1×A2×…×An． 2．理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的集合运算和求复合关系、逆关系的方法． 二元关系是一个有序对集合，，记作xRy． 关系的表示方法有三种：集合表示法， 关系矩阵：R�0�1A×B，R的矩阵. 关系图：R是集合上的二元关系，若<ai, bj>�0�2R，由结点ai画有向弧到bj构成的图形．空关系�0�4是唯一、是任何关系的子集的关系；全关系；恒等关系，恒等关系的矩阵MI是单位矩阵．关系的集合运算有并、交、补、差和对称差．复合关系；复合关系矩阵：(按布尔运算)； 有结合律：(R·S)·T＝R·(S·T)，一般不可交换．逆关系；逆关系矩阵满足：；复合关系与逆关系存在：(R·S)－1=S－1·R－1． 3．理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示)，掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图，充分条件)，知道关系闭包的定义和求法．注：(1)关系性质的充分必要条件：① R是自反的�0�4IA�0�1R；②R是反自反的�0�4IA�0�5R＝�0�4；③R是对称的 �0�4R＝R－1；④R是反对称的�0�4R�0�5R－1�0�1IA；⑤R是传递的�0�4R·R�0�1R. (2)IA具有自反性，对称性、反对称性和传递性．EA具有自反性，对称性和传递性．故IA，EA是等价关系．�0�4具有反自反性、对称性、反对称性和传递性．IA也是偏序关系．4．理解等价关系和偏序关系概念，掌握等价类的求法和作偏序集哈斯图的方法．知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界． 等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系. 知道等价关系图的特点和等价类定义，会求等价类． 一个子集的极大(小)元可以有多个，而最大(小)元若有，则惟一.且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可以在子集之外．由哈斯图便于确定任一子集的最大(小)元，极大(小)元．5．理解函数概念：函数(映射)，函数相等，复合函数和反函数．理解单射、满射和双射等概念，掌握其判别方法． 设f是集合A到B的二元关系，"a�0�2A，存在惟一b�0�2B，使得<a, b>�0�2f，且Dom(f)=A，f是一个函数(映射)．函数是一种特殊的关系．集合A×B的任何子集都是关系，但不一定是函数．函数要求对于定义域A中每一个元素a，B中有且仅有一个元素与a对应，而关系没有这个限制． 二函数相等是指：定义域相同，对应关系相同，而且定义域内的每个元素的对应值都相同． 函数有：单射——若；满射——f(A)=B或使得y=f(x)；双射——单射且满射． 复合函数 即．复合成立的条件是：．一般，但.反函数——若f：A�0�3B是双射，则有反函数f－1：B�0�3A， ， 重点：关系概念与其性质，等价关系和偏序关系，函数. 第3章 图的基本概念 复习要点 1．理解图的概念：结点、边、有向图，无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理． 图是一个有序对<V，E>，V是结点集，E是联结结点的边的集合．掌握无向边与无向图，有向边与有向图，混合图，零图，平凡图、自回路(环)，无向平行边，有向平行边等概念．简单图，不含平行边和环(自回路)的图、 在无向图中，与结点v(�0�2V)关联的边数为结点度数(v)；在有向图中，以v(�0�2V)为终点的边的条数为入度－(v)，以v(�0�2V)为起点的边的条数为出度＋(v)，deg(v)=deg+(v) +deg－(v)．无向完全图Kn以其边数；有向完全图以其边数．了解子图、真子图、补图和生成子图的概念．生成子图——设图G＝<V, E>，若E�0�4�0�1E，则图<V, E�0�4>是<V, E>的生成子图． 知道图的同构概念，更应知道图同构的必要条件，用其判断图不同构.重要定理：(1) 握手定理 设G=<V，E>，有；(2) 在有向图D＝<V, E>中，；(3) 奇数度结点的个数为偶数个． 2．了解通路与回路概念：通路(简单通路、基本通路和复杂通路)，回路(简单回路、基本回路和复杂回路)．会求通路和回路的长度．基本通路(回路)必是简单通路(回路)． 了解无向图的连通性，会求无向图的连通分支．了解点割集、边割集、割点、割边等概念．了解有向图的强连通强性；会判别其类型．设图G＝<V，E>，结点与边的交替序列为通路．通路中边的数目就是通路的长度．起点和终点重合的通路为回路．边不重复的通路(回路)是简单通路(回路)；结点不重复的通路(回路)是基本通路(回路). 无向图G中，结点u, v存在通路，u, v是连通的，G中任意结点u, v连通，G是连通图．P(G)表示图G连通分支的个数． 在无向图中，结点集V�0�4�0�0V，使得P(G－V�0�4)>P(G)，而任意V�0�5�0�0V�0�4,有P（G－V�0�5）＝P(G)，V�0�4为点割集. 若V�0�4是单元集，该结点v叫割点；边集E�0�4�0�0E，使得P(G－V�0�4)>P(G)，而任意E�0�5�0�0E�0�4，有P（G－E�0�5）＝P(G)，E�0�4为边割集．若E�0�4是单元集，该边e叫割边(桥)．要知道：强连通单侧连通弱连通，反之不成立．3．了解邻接矩阵和可达矩阵的概念，掌握其构造方法及其应用．重点：图的概念，握手定理，通路、回路以及图的矩阵表示． 第4章 几种特殊图 复习要点1．理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念，掌握欧拉图的判别方法．通过连通图G的每条边一次且仅一次的通路(回路)是欧拉通路(回路)．存在欧拉回路的图是欧拉图. 欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复．笔不离开纸，不重复地走完所有的边，走过所有结点，就是所谓的一笔画．欧拉图或通路的判定定理 (1)无向连通图G是欧拉图�0�4G不含奇数度结点(即G的所有结点为偶数度)； (2)非平凡连通图G含有欧拉通路�0�4G最多有两个奇数度的结点； (3)连通有向图D含有有向欧拉回路�0�4D中每个结点的入度＝出度．连通有向图D含有有向欧拉通路�0�4D中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg－(u)－deg＋(v)＝±1．2．理解汉密尔顿通路(回路)、汉密尔顿图的概念，会做简单判断．通过连通图G的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，是汉密尔顿通路(回路)．存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图. 汉密尔顿图的充分条件和必要条件 (1)在无向简单图G=<V，E>中，�0�5V�0�5�0�63，任意不同结点，则G是汉密尔顿图．(充分条件) (2)有向完全图D＝<V，E>, 若，则图D是汉密尔顿图. (充分条件)(3) 设无向图G=<V，E>，任意V1�0�0V，则W(G－V1)�0�5�0�5V1�0�5(必要条件)若此条件不满足，即存在V1�0�0V，使得P(G－V!)>�0�5V1�0�5,则G一定不是汉密尔顿图(非汉密尔顿图的充分条件)．3．了解平面图概念，平面图、面、边界、面的次数和非平面图．掌握欧拉公式的应用．平面图是指一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交． 面、边界和面的次数等概念．重要结论：(1)平面图．(2)欧拉公式：平面图 面数为r，则(结点数与面数之和＝边数＋2)(3)平面图． 会用定义判定一个图是不是平面图． 4．理解平面图与对偶图的关系、对偶图在图着色中的作用，掌握求对偶图的方法．给定平面图G＝〈V，E〉，它有面F1，F2，…，Fn，若有图G*＝〈V*，E*〉满足下述条件： ⑴对于图G的任一个面Fi，内部有且仅有一个结点vi*∈V*；⑵对于图G的面Fi，Fj的公共边ek，存在且仅存在一条边ek*∈E*，使ek*＝(vi*，vj*)，且ek*和ek相交； ⑶当且仅当ek只是一个面Fi的边界时，vi*存在一个环ek*和ek相交；则图G*是图G的对偶图．若G*是G的对偶图，则G也是G*的对偶图．一个连通平面图的对偶图也必是平面图．5．掌握图论中常用的证明方法．重点：欧拉图和哈密顿图、平面图的基本概念及判别． 第5章 树及其应用 复习要点1．了解树、树叶、分支点、平凡树、生成树和最小生成树等概念，掌握求最小生成树的方法．连通无回路的无向图是树．树的判别可以用图T是树的充要条件(等价定义)．注意：(1) 树T是连通图； (2)树T满足m＝n－1（即边数=顶点数-1）．图G的生成子图是树，该树就是生成树．每边指定一正数，称为权，每边带权的图称为带权图．G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权，记作W(T)．最小生成树是带权最小的生成树．2．了解有向树、根树、有序树、二叉树、二叉完全树、正则二叉树和最优二叉树等概念．了解带权二叉树、最优二叉树的概念，掌握用哈夫曼算法求最优二叉树的方法．有向图删去边的方向为树，该图为有向树． 对非平凡有向树，恰有一个结点的入度为0(该结点为树根)，其余结点的入度为1，该树为根树． 每个结点的出度小于或等于2的根树为二叉树；每个结点的出度等于0或2的根树为二叉完全树；每个结点的出度等于2的根树称为正则二叉树． 有关树的求法：(1)生成树的破圈法和避圈法求法；(2)最小生成树的克鲁斯克尔求法；(3) 最优二叉树的哈夫曼求法重点：树与根树的基本概念，最小生成树与最优二叉树的求法. 第6章 命题逻辑 复习要点 1．理解命题概念，会判别语句是不是命题．理解五个联结词：否定�0�1P、析取�0�3、合取�0�2、条件�0�3、和双条件�0�0及其真值表，会将简单命题符号化．具有确定真假意义的陈述句称为命题．命题必须具备：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义. 2．了解公式的概念(公式、赋值、成真指派和成假指派)和公式真值表的构造方法．能熟练地作公式真值表．理解永真式和永假式概念，掌握其判别方法．判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，其二是等价算法.3．了解公式等价概念，掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法：等价算法、列真值表法和主范式方法． 4．理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念，熟练掌握它们的求法． 命题公式的范式不惟一，但主范式是惟一的． 命题公式A有n个命题变元，A的主析取范式有k个极小项，有m个极大项，则 于是有(1) A是永真式�0�4k=2n(m=0)； (2) A是永假式�0�4m＝2n(k=0)； 求命题公式A的析取(合取)范式的步骤：见教材第174页．求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤：见教材第177和178页． 5．了解C是前提集合{A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>,…,A<sub>m</sub>}的有效结论或由A1, A2, …, Am 逻辑地推出C的概念．要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式，掌握命题公式的证明方法：真值表法、直接证法、间接证法．重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定，主析取(合取)范式，命题演算的推理理论. 第7章 谓词逻辑复习要点1．理解谓词、量词、个体词、个体域，会将简单命题符号化．原子命题分成个体词和谓词，个体词可以是具体事物或抽象的概念，分个体常项和个体变项．谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系． 量词分全称量词"，存在量词$. 命题符号化注意：使用全称量词"，特性谓词后用�0�3；使用存在量词$，特性谓词后用�0�2．2．了解原子公式、谓词公式、变元(约束变元和自由变元)与辖域等概念．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．由原子公式、联结词和量词构成谓词公式．谓词公式具有真值时，才是命题． 在谓词公式"xA或$xA中，x是指导变元，A是量词的辖域．会区分约束变元和自由变元．在非空集合D(个体域)上谓词公式A的一个解释或赋值有3个条件． 在任何解释下，谓词公式A取真值1，A为逻辑有效式(永真式)；公式A取真值0，A为永假式；至少有一个解释使公式A取真值1，A称为可满足式．在有限个体域下，消除量词的规则为：设D＝{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,…, a<sub>n</sub>}，则会求谓词公式的真值，量词的辖域，自由变元、约束变元，以及换名规则、代入规则等．掌握谓词演算的等价式和重言蕴含式．并进行谓词公式的等价演算．3．了解前束范式的概念，会求公式的前束范式的方法. 若一个谓词公式F等价地转化成 ，那么就是F的前束范式，其中Q1，Q2，…，Qk只能是"或$，而x1, x2,…, xk是个体变元，B是不含量词的谓词公式．前束范式仍然是谓词公式． 4．了解谓词逻辑推理的四个规则．会给出推理证明． 谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中基本等价式，重言蕴含式以及P，T，CP规则在谓词演算中仍然使用．谓词逻辑的推理演算引入了US规则(全称量词指定规则)，UG规则(全称量词推广规则)，ES规则(存在量词指定规则)，EG规则(存在量词推广规则)等.重点：谓词与量词，公式与解释，谓词演算．
‘伍’ 离散数学这门课程第八章基本计数方法的知识点有哪些
离散数学这门课第八章基本计数方法的知识点包含章节导引,第一节鸽巢原理,第二节加法原理与乘法原理,第三节不可重复的排列和组合,第四节二项式系数,第五节可重复的排列和组合,第六节容斥原理,课后巩固,。
‘陆’ 离散数学这门课程第六章图论基础的知识点有哪些
离散数学这门课第六章图论基础的知识点包含章节导引,第一节图及其表示,第二节握手定理,第三节图的连通性,第四节顶点着色,第五节图同构,课后巩固,。
‘柒’ 离散数学这门课程第五章函数的知识点有哪些
离散数学这门课第五章函数的知识点包含章节导引,第一节函数的概念和性质,第二节可数集、不可数集和不可解问题,课后巩固,。
‘捌’ 离散数学包括哪些知识
逻辑和证明，集合与函数， 算法，数论和密码学，归纳与递归，计数， 离散概率，高级计数技术
， 关系，图，树， 布尔代数， 计算模型
‘玖’ 离散数学的简单填空，帮帮忙
1、{a,c,e}
2、{{Ф}}
3、P(A)={∅,{2},{{∅,2}},{{∅,2},2}}
4、A×B={(0,2),(1,2)}
5、2^(3^2)=2^9=512
6、无图无真相
7、{{1,3,5},{2，4}}
‘拾’ 离散数学，主要学习哪些知识
离散数学是数学的几个分支的总称,以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研究对象一般地是有限个或可数无穷个元素;因此它充分描述了计算机科学离散性的特点.内容包含：数理逻辑、集合论、代数结构、图论、组合学、数论等.《离散数学》课程简介 离散数学是计算机专业的一门重要基础课.它所研究的对象是离散数量关系和离散结构数学结构模型.由于数字电子计算机是一个离散结构,它只能处理离散的或离散化了的数量关系,因此,无论计算机科学本身,还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域,都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化,从而可由计算机加以处理.离散数学课程主要介绍离散数学的各个分支的基本概念、基本理论和基本方法.这些概念、理论以及方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中；同时,该课程所提供的训练十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高,十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养.
离散数学主要包括四个方面逻辑学集合论,代数结构,图论,直接用来解决一些实际的问题的,比较少,因为它是一门计算机专业的理论基础课,解决实际问题,你看哪些方面的问题了,
下面我举一些例子：
1 数据结构,这是计算机专业的一门重量级课程,而离散数学里里面的图论,就是数据结构里面图和树的理论基础!像一些经典的算法,在数据结构里会学到,其实,它们在图论里就被研究得很透!
2.关系数据库,不用说,它的理论基础----关系代数,就是离散数学的一个分支!
3.在计算机网络原理里面,有一些路由选择算法之类 的,像最短路径算法等,都是离散数学里图论的应用,都是一些经典的算法!
4.更深层次的,像人工智能等学科,都是以离散数学做为理论基础的,
所以,离散数学是计算机的一个理论基础,
至于你在编程中解决的问题,那应该是数据结构和算法的应用,因为这门课就是离散数学的理论,加上在计算机上的存储以及操作实现的~~