‘壹’ 现代数学研究什么
什么是数学？有人说：“数学，不就是数的学问吗？”
这样的说法可不对。因为数学不光研究“数”，也研究“形”，大家都很熟悉的三角形、正方形，也都是数学研究的对象。
历史上，关于什么是数学的说法更是五花八门。有人说，数学就是关联；也有人说，数学就是逻辑，“逻辑是数学的青年时代，数学是逻辑的壮年时代。”
那么，究竟什么是数学呢？
伟大的革命导师恩格斯，站在辩证唯物主义的理论高度，通过深刻分析数学的起源和本质，精辟地作出了一系列科学的论断。恩格斯指出：“数学是数量的科学”，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。根据恩格斯的观点，较确切的说法就是：数学——研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。
数学可以分成两大类，一类叫纯粹数学，一类叫应用 数学。
纯粹数学也叫基础数学，专门研究数学本身的内部规律。中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。纯粹数学的一个显着特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。例如研究梯形的面积计算公式，至于它是梯形稻田的面积，还是梯形机械零件的面积，都无关紧要，大家关心的只是蕴含在这种几何图形中的数量关系。
应用数学则是一个庞大的系统，有人说，它是我们的全部知识中，凡是能用数学语言来表示的那一部分。应用数学着限于说明自然现象，解决实际问题，是纯粹数学与科学技术之间的桥梁。大家常说现在是信息社会，专门研究信息的“信息论”，就是应用数学中一门重要的分支学科， 数学有3个最显着的特征。
高度的抽象性是数学的显着特征之一。数学理论都算有非常抽象的形式，这种抽象是经过一系列的阶段形成的，所以大大超过了自然科学中的一般抽象，而且不仅概念是抽象的，连数学方法本身也是抽象的。例如，物理学家可以通过实验来证明自己的理论，而数学家则不能用实验的方法来证明定理，非得用逻辑推理和计算不可。现在，连数学中过去被认为是比较“直观”的几何学，也在朝着抽象的方向发展。根据公理化思想，几何图形不再是必须知道的内容，它是圆的也好，方的也好，都无关紧要，甚至用桌子、椅子和啤酒杯去代替点、线、面也未尝不可，只要它们满足结合关系、顺序关系、合同关系，具备有相容性、独立性和完备性，就能够构成一门几何学。
体系的严谨性是数学的另一个显着特征。数学思维的正确性表现在逻辑的严谨性上。早在2000多年前，数学家就从几个最基本的结论出发，运用逻辑推理的方法，将丰富的几何学知识整理成一门严密系统的理论，它像一根精美的逻辑链条，每一个环节都衔接得丝丝入扣。所以，数学一直被誉为是“精确科学的典范”。
广泛的应用性也是数学的一个显着特征。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。20世纪里，随着应用数学分支的大量涌现，数学已经渗透到几乎所有的科学部门。不仅物理学、化学等学科仍在广泛地享用数学的成果，连过去很少使用数学的生物学、语言学、历史学等等，也与数学结合形成了内容丰富的生物数学、数理经济学、数学心理学、数理语言学、数学历史学等边缘学科。
各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
‘贰’ 关于数学的知识有哪些
如下：
1、数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
2、数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
3、数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。
4、数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学在这些领域的应用一般被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并促成全新数学学科的发展.数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然有许多工作以研究纯数学为开端，但之后也许会发现合适的应用。
‘叁’ 数学的基础知识是什么
数学的基础知识如下：
如果说数学的基础知识，首先要看你处于哪个数学学习阶段（初等数学，高等数学，或者数学研究方向）。
初等数学的话，基础知识就是记忆使用各种定理定义（代数：一元二元一次二次方程，一元二元一次二次函数等，几何：平面几何，简单立体几何等）。
高等数学的话，基础知识就是利用已知尝试推演定理（各种初等函数的扩展，解析几何，向量，立体几何，微积分，统计学等）。
数学的简介：
数学[英语：mathematics，源自古希腊语μθημα（máthēma）；经常被缩写为math或maths]，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
‘肆’ 当前已知现代数学主要分哪些板块的知识
有代数和几何两大板块，代数方面就包括数、式、方程、函数等；几何主要是平面几何，包括基本图形、平行线、三角形、四边形、圆等；当然除了上述两大板块外还有概率统计这个板块，
‘伍’ 现代数学基础包括什么
现代数学仍以代数、几何与分析为三大基础，作为21世纪的非数学专业的研究生(或科技工作者来讲)，系统掌握现代数学基础知识，无论是作为工具性目的的需要还是逻辑思维方法的训练(或借鉴)，都是必须的。
‘陆’ 现代数学知识
1.. 数学史
2.. 数理逻辑与数学基础
a.. 演绎逻辑学 亦称符号逻辑学
b.. 证明论 亦称元数学
c.. 递归论
d.. 模型论
e.. 公理集合论
f.. 数学基础
g.. 数理逻辑与数学基础其他学科
3.. 数论
a.. 初等数论
b.. 解析数论
c.. 代数数论
d.. 超越数论
e.. 丢番图逼近
f.. 数的几何
g.. 概率数论
h.. 计算数论
i.. 数论其他学科
4.. 代数学
a.. 线性代数
b.. 群论
c.. 域论
d.. 李群
e.. 李代数
f.. Kac-Moody代数
g.. 环论 包括交换环与交换代数，结合环与结合代数，非结合环与非结
合代数等
h.. 模论
i.. 格论
j.. 泛代数理论
k.. 范畴论
l.. 同调代数
m.. 代数K理论
n.. 微分代数
o.. 代数编码理论
p.. 代数学其他学科
5.. 代数几何学
6.. 几何学
a.. 几何学基础
b.. 欧氏几何学
c.. 非欧几何学 包括黎曼几何学等
d.. 球面几何学
e.. 向量和张量分析
f.. 仿射几何学
g.. 射影几何学
h.. 微分几何学
i.. 分数维几何
j.. 计算几何学
k.. 几何学其他学科
7.. 拓扑学
a.. 点集拓扑学
b.. 代数拓扑学
c.. 同伦论
d.. 低维拓扑学
e.. 同调论
f.. 维数论
g.. 格上拓扑学
h.. 纤维丛论
i.. 几何拓扑学
j.. 奇点理论
k.. 微分拓扑学
l.. 拓扑学其他学科
8.. 数学分析
a.. 微分学
b.. 积分学
c.. 级数论
d.. 数学分析其他学科
9.. 非标准分析
10.. 函数论
a.. 实变函数论
b.. 单复变函数论
c.. 多复变函数论
d.. 函数逼近论
e.. 调和分析
f.. 复流形
g.. 特殊函数论
h.. 函数论其他学科
11.. 常微分方程
a.. 定性理论
b.. 稳定性理论
c.. 解析理论
d.. 常微分方程其他学科
12.. 偏微分方程
a.. 椭圆型偏微分方程
b.. 双曲型偏微分方程
c.. 抛物型偏微分方程
d.. 非线性偏微分方程
e.. 偏微分方程其他学科
13.. 动力系统
a.. 微分动力系统
b.. 拓扑动力系统
c.. 复动力系统
d.. 动力系统其他学科
14.. 积分方程
15.. 泛函分析
a.. 线性算子理论
b.. 变分法
c.. 拓扑线性空间
d.. 希尔伯特空间
e.. 函数空间
f.. 巴拿赫空间
g.. 算子代数
h.. 测度与积分
i.. 广义函数论
j.. 非线性泛函分析
k.. 泛函分析其他学科
16.. 计算数学
a.. 插值法与逼近论
b.. 常微分方程数值解
c.. 偏微分方程数值解
d.. 积分方程数值解
e.. 数值代数
f.. 连续问题离散化方法
g.. 随机数值实验
h.. 误差分析
i.. 计算数学其他学科
17.. 概率论
a.. 几何概率
b.. 概率分布
c.. 极限理论
d.. 随机过程 包括正态过程与平稳过程、点过程等
e.. 马尔可夫过程
f.. 随机分析
g.. 鞅论
h.. 应用概率论 具体应用入有关学科
i.. 概率论其他学科
18.. 数理统计学
a.. 抽样理论 包括抽样分布、抽样调查等
b.. 假设检验
c.. 非参数统计
d.. 方差分析
e.. 相关回归分析
f.. 统计推断
g.. 贝叶斯统计 包括参数估计等
h.. 试验设计
i.. 多元分析
j.. 统计判决理论
k.. 时间序列分析
l.. 数理统计学其他学科
19.. 应用统计数学
a.. 统计质量控制
b.. 可靠性数学
c.. 保险数学
d.. 统计模拟
20.. 应用统计数学其他学科
21.. 运筹学
a.. 线性规划
b.. 非线性规划
c.. 动态规划
d.. 组合最优化
e.. 参数规划
f.. 整数规划
g.. 随机规划
h.. 排队论
i.. 对策论 亦称博弈论
j.. 库存论
k.. 决策论
l.. 搜索论
m.. 图论
n.. 统筹论
o.. 最优化
p.. 运筹学其他学科
22.. 组合数学
23.. 模糊数学
24.. 应用数学 具体应用入有关学科
25.. 数学其他学科
‘柒’ 现代数学的主要特点及成因
现代数学发展特点
现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。
18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。然而，这只是暴风雨前夕的宁静。19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。
19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。
后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。
1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。
在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。不可交换 代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。
另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。19世纪20～30年代，阿贝尔和伽罗华开创了近世代数学的研究。近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。群论之后，多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。
上述两大事件和它们引起的发展，被称为几何学的解放和代数学的解放。
19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件：分析的算术化。1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要求人们对分析基础作更深刻的理解。他提出了被称为“分析的算术化”的着名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该由此数系导出。他和后继者们使这个设想基本上得以实现，使今天的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来。
现代数学家们的研究，远远超出了把实数系作为分析基础的设想。欧几里得几何通过其分析的解释，也可以放在实数系中；如果欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的。实数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支；可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性。事实上，可以说：如果实数系是相容的，则现存的全部数学也是相容的。
19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。即他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公设集中导出。20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各种数学能以集合论为基础来讲述。
拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广。拓扑学可
‘捌’ 现代数学包括哪些分支分别在什么阶段学习
现代数学的三大分支是：代数、几何、分析。数学的定义是研究集合及集合上某种结构的学科，是形式科学的一种，集合论和逻辑学是它的基础，证明是它的灵魂。由于它与自然科学尤其是物理学关系极为密切，有时数学也被归为自然科学六大基础学科之一。数学中未被定义的概念是集合，其他的一切都是有定义的。数学的标准形式是公理法，即给集合和集合上的某结构下一组公理，其他的一切理论都由这组公理推导证明而来。集合上的结构就是定义在几何元素或子集之间的一些关系，原始分为三类：描述顺序关系的序结构，描述运算关系的代数结构，描述临近关系的拓扑结构，这些结构可以互相结合成为其他一些复杂的结构，比如几何结构，测度结构等等。由这些结构构造出来的各种集合或者说空间，就是不同数学分支研究的内容。代数学研究具有若干代数结构的集合，比如群、环、体、域、模、格、线性空间、各种内积空间等等，这些结构最初都是由初等代数，或者说初等数论和方程式论的研究中抽象出来的。代数学包括：初等代数、初等数论、高等（线性）代数、抽象代数（群论、环论、域论等）、表示论、多重线性代数、代数数论、解析数论、微分代数、组合论等等。几何学研究具有若干几何-拓扑结构的集合，比如仿射空间、拓扑空间、度量空间、仿射内积空间、射影空间、微分流形等。最初是由欧氏几何发展而来。几何学包括：初等（欧氏综合）几何、解析几何、仿射几何、射影几何、古典微分几何、点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑、整体微分几何、代数几何等等。分析学研究带有若干拓扑-测度的集合，以及定义在这些集合上的函数空间比如可测-测度空间、赋范空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间、概率空间等等，由微积分发展而来。分析学包括：数学分析、常微分方程、复变函数论、实变函数论、偏微分方程、变分法、泛函分析、调和分析、概率论等等。