‘壹’ 数学函数的周期性
函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。
当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现
假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期.
1.概念的提出：将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。
出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达.
2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)
概念的具体化：
当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。
T=2kπ(k∈Z且k≠0)
所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0)
展示正、余弦函数的图象。
周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。）
强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”
令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2
所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0
所以T=0或T=-2x
强调定义中的“非零”和“常数”。
例:三角函数sin(x+T)=sinx
cos(x+T)=cosx中的T取2π
3. 最小正周期的概念：
对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）
在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
4.例：求下列函数的周期：
（1）y=3cosx
分析：cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。）
（2）y=sin(x+π/4)
分析略，说明在x后面的角也不影响周期。
（3）y=sin2x
分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。）
（4） y=cos(x/2+π/4) （分析略）
（5）y=sin(ωx+φ) （分析略）
结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A0, xR) 的函数的周期为T=2π/ω
周期函数性质：
（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。
（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。
（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。
（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）
（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。
‘贰’ 什么是函数周期性
函数周期性的概念．
教学过程设计
师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x∈R的图象：
（老师把图画在黑板左上方．）
师：通过观察，同学们有什么发现？
生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是〔-1，1〕．图象有规律地不断重复出现．
师：规律是什么？
生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．
师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题）
师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书）
定义 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．
师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．
生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f（x+T）=f（x）．
师：找得准！那么为什么要这样规定呢？
师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外．
师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？
生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域．
师：对．否则f（x+T）就没有意义．
师：函数周期性的定义有什么用途？
生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．
师：下面我们看例题．
（老师板书）
例1 证明y=sinx是周期函数．
生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数．
例2
师：要想判断T是不是函数y=f（x）的周期有什么方法？我们现有的理论依据只有定义，如何使用定义？
对于定义域内的每一个x，都有f（x+T）=f（x），而不是有（存在着）某一个x，使f（x+T）=f（x）成立．要想证明T不是周期，只要找到一个x0，使得f（x0+T）≠f（x0）即可．所以乙是正确的．
师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含义，而不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学习打下牢固的基础．
例3 已知f（x+T）=f（x）（T≠0），求证f（x+2T）=f（x）．
师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？
生：若不等于零的常数T是f（x）的一个周期，证明2T仍是f（x）的周期．
因为T是f（x）的周期，所以f（x+T）=f（x），f〔（x+T）+T〕=f（x+T），即f（x+2T）=f（x）．
因此2T是f（x）的周期．
师：这个命题推广可得到什么结论？
生：如果T是f（x）的周期，那么2T，3T，…，nT（n∈Z）也都是f（x）的周期．
师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷集合．这无数个周期中，我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周期．这是为什么？
生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的所有周期．
生乙：更具有实用性．如果找到最小正周期，就可以在其定义域的一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究．
师：这位同学思考问题有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的实质，还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可．如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内．这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便．
（老师在函数的周期性定义下板书）
如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期．
例4 证明f（x）=sinx（x∈R）的最小正周期是2π．
师：例1证明了y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期T=2π．例
是2π．要想证明这个命题，只要证明什么？
生：只要证明任何比2π小的正数都不是它的周期．
师：如何证？能否逐一证明比2π小的正数都不行呢？当然不行．因为比2π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？
生：反证法．假设存在T∈（0，2π）使得y=sinx对于任意的x∈R都成立．推出矛盾即可．
师：你能具体的给予证明吗？
生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有
sin（x+T）=sinx．
即
cosT=1．
这与T∈（0，2π）时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．
师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．
师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）都是周期函数，2πk（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．
例5 求y=3cosx的周期．
师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期
生：因为y=cosx的周期是2π，所以y=3cosx的周期也是2π．
师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去．你能再具体的证明吗？
生：可以从数和形两个角度来证明．
解（一） 因为对一切x∈R，3cos（x+2π）=3cosx，所以y=3cosx的周期是2π．
解（二） 因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x（x∈R）增加到x+2π且必须增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．
师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？
生：y=Asinx，y=Acosx（A≠0，是常数）的周期都是2π，也就是说函数周期的变化与系数A无关．
例6 求y=sin2x的周期．
（请不同解法的三位同学在黑板上板演）
生甲：
解 因为y=sin（2x＋2π）=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．
生乙：
解 因为y＝sin（2x＋2π）＝sin2（x＋π）＝sin2x，所以y＝sin2x的周期是π．
生丁：
解 设2x＝u，因为y＝sinu的周期是2π，所以
y＝sin（u＋2π）=sinu，
即
sin（2x+2π）＝sin2（x+π）＝sin2x，
所以y=sin2x的周期是π．
师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意x都有f（x＋T）=f（x）的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2（x+T），而不是y=sin2x=sin（2x+T）．解法（二），（三）是正确的．区别在于解法（三）经过换元，把要研究的新问题y＝sin2x的周期转化为已有的旧知识y＝sinu的周期．这种转换的意识、换元的思想是很重要的．
师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由y＝sinx的图象得到y＝sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐标
当自变量每增加2π且必须增加2π时，函数值重复出现，现在就是当
sin2x的周期是π．
师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．
例7
y＝2sin（u＋2π）=2sinu，
师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化仅与自变量x的系数有关．我们把例7写成一般式．
例8 求y=Asin（ωx+ ）的周期．（其中A，ω， 为常数，且A≠0，ω＞0，x∈R）
解 设u＝ωx＋ ．因为y＝sinu的周期是2π，所以
sin（u＋2π）=sinu，
师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数
（老师板书）
师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的周期．
师：（总结）通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．
（一）研究函数周期的意义是什么？
周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到函数的最小正周期T，那么只要在以T为氏度的区间内．就可以研究函数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我们研究函数带来了方便．
（二）对于函数周期的定义应注意：
1．f（x＋T）=f（x）是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数T（T≠0），如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f（x＋T）＝f（x）不成立，我们就断言y=f（x）不是周期函数．对于某个确定的常救T≠0．如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f（x＋T）＝f（x）不成立．我们能断言T不是函数y=f（x）的周期，但不能说明y＝f（x）不是周期函数．
2．定义中的“每一个值”是关键词．
此函数对于任意确定的常数T≠0，尽管f（x＋T）=f（x）对函数定义域（-∞，+∞）中几乎所有x都成立．但仅仅由于x的个别值x=0，x=-T时，等式不成立．因此函数f（x）不是周期函数．
（三）周期函数的周期与最小正周期的区别与联系．
1．周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函数的周期有无数个．
如：f（x）=c（常数），任意非零实数都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正实数，所以f（x）=c没有最小正周期．这个例子也同时说明不是只有三角函数才具有周期性．
2．周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期，反之不然．
例如，2π是y=sinx的最小正周期，也是函数的周期；4π是函数的周期，但不是最小正周期．
作业：课本P178第6题，P132第4题．
课堂教学设计说明
此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线．”的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．
函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视．也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入．
‘叁’ 函数的周期性是什么
函数的周期性定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
函数的由来：
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”
所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专着《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
‘肆’ 数学 函数周期性
函数的周期性定义：若t为非零常数，对于定义域内的任一x，使
恒成立，则f(x)叫做周期函数，t叫做这个函数的一个周期。
函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。
当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现
假如函数f(x)=f(x+t)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=t),则说t是函数的一个周期.t的整数倍也是函数的一个周期.
‘伍’ 高中数学 什么是函数周期性
已知a为常数，f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)
f(X)是否为周期函数？若是，求他的一个周期
这是一道老题，也是一道运用类比思想的好题。
解析：
f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)，看到这个条件你会想到什么？
我想大部分同学第一次遇到这个题会感到茫然，情理之中。下面先看这样一道题，
例， 已知a为常数，f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)+1)/(1-f(x))是否存在周期？存在的话是多少？
我想一见到这道题，同学们都会想到tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）。继而发生类比，至此可知例题中的函数周期是存在的，tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）的周期为 派，即4·派/4，这里 派/4相当于题中的a，可知例题中的函数是存在的，切周期为4a。
那么若把派/4换成-派/4，则tan（x-派/4）=（tanx-1）/（tanx+1），类比原题中的函数可知，原函数的周期是存在的，周期是tan（x-派/4）的周期，即 派。也就是
-4a，当然，4a也是它的周期之一。
解答完毕。
这道题还有其他方法，不过需要有很强的观察力才能想到上面方法。
至此我们知道，题来自书中，书中的概念，公式要熟记。也就是基础知识必须扎实。
函数的周期性
（一）概念
对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 ，使得当< style='' > 取定义域内的每一个值时， 是函数的一个周期，故 是周期函数，假设 ，当 未必是函数的一个周期，但若 是函数的一个周期，而 任一有理数是 的周期，用数学归纳法易证 的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集。
（5）周期函数的定义域至少是一方无界
因函数的周期集合是定义域的子集，由（4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。
（6）周期函数的定义域内的点不一定是连续的，可能是有间断的，如函数 ，假设 ，对任 代入上式，有
∵
于是 矛盾，故 是以T为周期的函数，证明
（1）对任意正整数 ， 的周期
（2） 的所有周期都是T的整数倍
注：若
证：
（1） 的任意一个周期，且 ，使 （ ，则
也是 与T的最小性矛盾，故 是数集A上的周期函数，则 有最小正周期T，则T也是函数 周期，则任 从而 的周期。
（2）由（1）知T也是 的最小正周期，则存在 是
即 的周期，且为正数，这与T是 的最小正周期
3. 函数 以 为最小正周期
证（ 充分性）设<0" > 是<1" style='width:27pt; > 的最小正周期，令<2" style= > ，则<3" >
∴ <4" style='width:81.75pt; >
∴ <5" style='width:4in; >
假设T不是 的周期，
则<9" style='width:317.25pt; >
即 的周期与已知 是 是数集B上的周期函数，且 ，则复合函数 为B上的周期函数。
证明：设T是 （ ）的周期，则对任意
即 为B上周期函数
推论：若 ， ， （ 仍为周期函数
（2）若T是
如 ，而 最小正周期 ， 是数集B上具有最小正周期T的函数，则T也是复合函数 的最小正周期。
证：由（1）T也是复合函数 的周期，即对任 有 ，即 与 （ ），则它们的和、差、积是A上以 ）为周期的周期函数
证：
但是，如果 与 分别是 的最小正周期，那么 与 的最小公倍数不一定是 与 的最小正周期都是 ，并不是 ，显然 的最小正周期
（5）对于定义在R上的函数 ），则 为一个周期的周期函数，反之，若 为函数 ，且 是以 ，那么 （ 数代换，令 代 代入 ，求证 ，求证 是定义在R上的函数，且 的值。
3. 已知函数 的任意一个值都有 是周期函数。
4. 对任意整数 ， ， ，求 在R上有意义，满足（1） ，（2） 为奇函数，试求 满足 ，且 在区间（0，10）内实根的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 9 D. 7
7. 定义在R上的偶函数 成立，且当 （ ）
A. C. D.
8. 设 是定义在实数集R上的函数，对一切实数 ，有 ，求证： ， ，其中， ，使 ，且 是以T为周期的函数。
10. 定义在实数集R上的函数 ，有
且 ，使 ，试问 与 是定义在实数集R上的函数，且满足条件
（1）对任何 （*）
（2） ，使 是否周期函数
12. 已知 上为奇函数（偶函数）试讨论1. 解：
（1）∵
∴
∴ （或 是周期函数，且2T是其一个周期；（2）若 是周期函数，且2T是其一个周期
， ，
的周期为8 ∴ 而
，
∴ ① 以 有 ，故 为以2T为周期的推论
注：若 是周期函数，且 是其一个周期
证：∵ 代 得4. 解：由 （如题3）
即6是
5. 解：∵ ，即 ∴
是一个周期为4的周期函数，则 为R上的奇函数，则
，
因此方程7. 解：由 以2为周期
当
当 ，当 时， ，则 ，故选C。
令∴ ∴ 以9. 分析：记 使 为以T为周期的函数
由
证：设 ，则
且
即 是以T为周期的函数，令 即将 得证
， 代换
由已知 ∴ 11. 证：在（*）中，令
由 知 ，在此式中令
又由（*）可知
∴ 是偶函数
∴ 又
得12. 证明：因 是 ，则必存在 ，若 上为奇函数，
即同理可证：若 为偶函数，则补充中心对称
证：设 （ ）
，又由
，故<img style="width:0px;height:0px" id="2" style='width:93.75pt; > ，故 在 上，反之同理可证。
以上有点高深 建议只看思想
‘陆’ 什么是周期性
周期性（periodicity ）
周期性指反复发作，病程中出现发作期与缓解期交替出现的情况。发作期可为数周甚至数月，缓解期可长达数月或几年。
2.指的是做简谐运动的质点所做具有往复特征的运动总是周而复始地进行着， 而每一个循环所经历的时间都是相同的具有严格的周期性特征。
周期性是定期或隔一定期间发生的量(在时间或空间)，并且能用不同的上下文来印述：
钟使时间有一定的间隔。
节拍器标示出时间的间隔。
以一定的时间间隔出版的刊物称为杂志或期刊。
在数学上，一个函数输出的数值会定期的发生重复，称为周期函数。
在化学上，周期表是将有相同特性的元素排列在相同间隔上，加以分类的表格。
在物理学，周期是时间循环的数值结果，是完成一次完整的自转所费的时间， 周期的倒数就是频率。
在乐理，周期性被描述成"可以预期的提升期望"。
驻波是间隔一定距离的冠部。
在金融界，周期性是贷款支付的时间间隔。
以时间测量的周期称为频率，它的度量单位是赫兹。
‘柒’ 高一数学 函数的周期性
都不需要背，只要劳记：若f(x+T)=f(x)，则T必为其周期就可以了：）