‘壹’ 初中数学最短路径
解：
分别作点A关于BC和CD的对称点E和F
连接EF交BC和CD于点M和点N
∵AM=EM，AN=FN
∴△AMN周长=AM+MN+AN=EM+MN+FN=EF
∴EF是△AMN周长的最小值
此时有：AB=EB，AD=FD
根据三角形外角定理有：
∠AMN=2∠DAN
∠ANM=2∠BAM
以上两式相加得：
∠AMN+∠ANM
=2(∠DAN+∠BAM)
=2(∠BAD-∠MAN)
=2∠BAD-2(180°-∠AMN+∠ANM)
=2×120°-360°+2(∠AMN+∠ANM)
=2(∠AMN+∠ANM)-120°
解得：∠AMN+∠ANM=120°
‘贰’ 洋葱数学最短路径问题
确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
所谓单源最短路径问题是指：已知图G=（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V到V中的每个结点的最短路径。首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。
最短路径算法
Dijkstra算法（迪杰斯特拉）是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。可以用堆优化。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
‘叁’ 初中数学最短路径口诀
一、十二个基本问题概述
问题一：在直线 l 上求一点 P，使得 PA + PB 值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：连接 AB，与直线 l 的交点即为 P 点 .
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短 . PA + PB 最小值为 AB .
问题二：（“将军饮马问题”）在直线 l 上求一点 P，使得 PA + PB 值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：作点 B 关于直线 l 的对称点 B＇，连接 AB' 与 l 的交点即为点 P．
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短． PA + PB 最小值为 AB' .
问题三：在直线 l1、l2 上分别求点 M、N，使得 △PMN 的周长最小．
初中数学最短路径问题总结
作法：分别作点 P 关于两条直线的对称点 P' 和 P''，连接 P'P''，与两条直线的交点即为点 M，N．
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短． PM + MN + PN 的最小值为线段 P'P'' 的长．
问题四：在直线 l1、l2 上分别求点 M、N，使四边形 PQMN 的周长最小．
初中数学最短路径问题总结
作法：分别作点 Q 、P 关于直线 l1、l2 的对称点 Q' 和 P' 连接 Q'P'，与两直线交点即为点 M，N.
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短． 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 Q'P' + PQ 的长．
问题五：（“造桥选址问题”）直线 m∥n，在 m、n 上分别求点 M、N，使 MN⊥m，
且 AM + MN + BN 的值最小．
初中数学最短路径问题总结
作法：将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A'，连接 A'B，交 n 于点 N，过 N 作 NM⊥m 于 M .
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短 . AM + MN + BN 的最小值为 A'B + MN .
问题六：在直线 l 上求两点 M , N （M 在左），使 MN = a , 并使 AM + MN + NB 的值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A'，作 A' 关于直线 l 的对称点 A''，连接 A''B 交直线 l 于点 N，
将 N 点向左平移 a 个单位得 M .
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短 . AM + MN + NB 的最小值为 A''B + MN .
问题七：在 l1 上求点 A，在 l2 上求点 B，使 PA + AB 值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：作点 P 关于 l1 的对称点 P'，作 P'B⊥l2 于点 B，交 l1 于点 A .
初中数学最短路径问题总结
原理：点到直线，垂线段的距离最短 . PA + AB 的最小值为线段 P'B 的长 .
问题八：A 为 l1上一定点，B 为 l2 上一定点，在 l2 上求点 M，在 l1上求点 N，
使 AM + MN + NB 的值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：作点 A 关于 l2 的对称点 A' , 点 B 关于 l1 的对称点 B'，连接 A'B' 交 l2 于点 M，交 l1 于点 N．
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短． AM + MN + NB 的最小值为线段 A'B' 的长．
问题九：在直线 l 上求一点 P，使 | PA - PB | 的值最小．
初中数学最短路径问题总结
作法：连接 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P 点．
初中数学最短路径问题总结
原理：垂直平分上的点到线段两端点的距离相等． | PA - PB | = 0 .
问题十：在直线 l 上求一点 P，使 | PA - PB | 的值最大．
初中数学最短路径问题总结
作法：作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P 点．
初中数学最短路径问题总结
原理：三角形任意两边之差小于第三边． | PA - PB | ≤ AB ， | PA - PB | 的最大值 = AB .
问题十一：在直线 l 上求一点 P，使 | PA - PB | 的值最大．
初中数学最短路径问题总结
作法：作点 B 关于直线 l 的对称点 B' 作直线 AB'，与直线 l 的交点即为 P 点．
初中数学最短路径问题总结
原理：三角形任意两边之差小于第三边． | PA - PB | ≤ AB' ， | PA - PB | 的最大值 = AB' .
问题十二：（“费马点”）△ABC 中每一内角都小于 120°，在 △ABC 内求一点 P，
使得 PA + PB + PC 的值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：所求点为 “费马点” ，即满足 ∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .
以 AB 、 AC 为边向外作等边 △ABD、△ACE，连接 CD、BE 相交于点 P，点 P 即为所求 .
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短 . PA + PB + PC 的最小值 = CD .
二、“费马点” —— 到三点距离之和最小的点
费马点的构造方法：
① 所给三点的连线构成三角形（△ABC），并且这个三角形的每个内角都小于 120°；
② 如下图所示：A , B , C 是给定的三点，
初中数学最短路径问题总结
以 AC 为边向外作正三角形得到点 D , 以 BC 为边向外作正三角形得到点 E ,
连接 BD 和 AE 交于点 O，我们断言点 O 就是 “费马点” .
费马点的证明方法：
先证 △AEC ≌ △DBC .
△AEC 绕点 C 顺时针旋转 60°，可得到 △DBC，从而 △AEC ≌ △DBC .
于是 ∠OBC = ∠OEC，所以 O、B、E、C 四点共圆 .
拓展知识：四点共圆判定方法
若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆 .
初中数学最短路径问题总结
所以 ∠BOE = ∠BCE = 60°，∠COE = ∠CBE = 60°，
于是 ∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°，同理可证 ∠AOC = ∠AOB = 120°，
所以 ∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .
初中数学最短路径问题总结
将 O 点看作是 AE 上的点，随着 △AEC 一起绕点 C 顺时针旋转 60° 得到点 O2 ,
所以 ∠OCO2 = 60°，OC = O2C , OA = O2D ,
所以 △OCO2 是等边三角形，于是有 OO2 = OC .
所以 BD = OA + OB + OC .
‘肆’ 北师大版初一（七年级）上册数学行程问题主要知识点
行程问题主要知识点
1、时间、路程、速度存在着重要的等量关系：时间×路程=速度，这是行程问题中的基本关系式，由此变形还可得到：速度=路程÷时间，时间=路程÷速度，同时，路程一定时，时间与速度成反比，时间（或速度）一定时，路程与速度（或时间）成正比；
2、行程问题有三种常见的题型
相遇问题、追及问题、航行问题，三种类型都有一般公式，这些必须牢记！
（1）、相遇问题：相遇时间×速度和=路程和
（2）、追及问题：追及时间×速度差=被追及问题
（3）、航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度-水流速度
（4）、飞行问题：类比航行问题
（5）、环路问题：甲乙同时同地背向而行：甲路程—乙路程=环路一周的距离
甲乙同时同地同向而行：快者的路程—慢者的路程=环路一周的距离
‘伍’ 初二数学最短路径技巧
初中数学中解决最短路径问题,关键在于我们要学会作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
1、 理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
2、知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
3、解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
下面给大家列出了相应问题的解题方法与关键点，希望大家多多练习，最后附上了答案。
‘陆’ 数学最短路径问题最方便的解法是什么
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法” ，有时被简称作“路径算法” 。最常用 的路径算法有： Dijkstra 算法、 A*算法、 SPFA 算法、 Bellman-Ford 算法和 Floyd-Warshall 算法， 本文主要介绍其中的三种。 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两 结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括： 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的 问题。 在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同， 在有向图中该问题等同于把所有路径 方向反转的确定起点的问题。 确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 Floyd 求多源、无负权边的最短路。用矩阵记录图。时效性较差，时间复杂度 O(V^3)。 Floyd-Warshall 算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法， 可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。 Floyd-Warshall 算法的时间复杂度为 O(N^3)，空间复杂度为 O(N^2)。 Floyd-Warshall 的原理是动态规划： 设 Di,j,k 为从 i 到 j 的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。 若最短路径经过点 k，则 Di,j,k = Di,k,k-1 + Dk,j,k-1； 若最短路径不经过点 k，则 Di,j,k = Di,j,k-1。 因此，Di,j,k = min(Di,k,k-1 + Dk,j,k-1 , Di,j,k-1)。 在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。 Floyd-Warshall 算法的描述如下： 1.for k ← 1 to n do 2.for i ← 1 to n do 3.for j ← 1 to n do 4.if (Di,k + Dk,j<Di,j) then 5.Di,j ← Di,k + Dk,j; 其中 Di,j 表示由点 i 到点 j 的代价，当 Di,j 为∞表示两点之间没有任何连接。 Dijkstra 求单源、无负权的最短路。时效性较好，时间复杂度为 O（V*V+E） 。 源点可达的话，O（V*lgV+E*lgV）=>O（E*lgV） 。 当是稀疏图的情况时，此时 E=V*V/lgV，所以算法的时间复杂度可为 O（V^2） 。若是斐波那 契堆作优先队列的话，算法时间复杂度，则为 O（V*lgV + E） 。 Bellman-Ford 求单源最短路，可以判断有无负权回路（若有，则不存在最短路） ，时效性较好，时间复杂 度 O（VE） 。 Bellman-Ford 算法是求解单源最短路径问题的一种算法。 单源点的最短路径问题是指：给定一个加权有向图 G 和源点 s，对于图 G 中的任意一点 v， 求从 s 到 v 的最短路径。 与 Dijkstra 算法不同的是，在 Bellman-Ford 算法中，边的权值可以为负数。设想从我们可以 从图中找到一个环路（即从 v 出发，经过若干个点之后又回到 v）且这个环路中所有边的权 值之和为负。那么通过这个环路，环路中任意两点的最短路径就可以无穷小下去。如果不处 理这个负环路，程序就会永远运行下去。而 Bellman-Ford 算法具有分辨这种负环路的能力。 SPFA是 Bellman-Ford 的队列优化，时效性相对好，时间复杂度 O（kE）（k<<V） 。 。 与 Bellman-ford 算法类似， SPFA 算法采用一系列的松弛操作以得到从某一个节点出发到达图 中其它所有节点的最短路径。所不同的是，SPFA 算法通过维护一个队列，使得一个节点的 当前最短路径被更新之后没有必要立刻去更新其他的节点， 从而大大减少了重复的操作次数。 SPFA 算法可以用于存在负数边权的图，这与 dijkstra 算法是不同的。 与 Dijkstra 算法与 Bellman-ford 算法都不同，SPFA 的算法时间效率是不稳定的，即它对于不 同的图所需要的时间有很大的差别。 在最好情形下，每一个节点都只入队一次，则算法实际上变为广度优先遍历，其时间复杂度 仅为 O(E)。另一方面，存在这样的例子，使得每一个节点都被入队(V-1)次，此时算法退化为 Bellman-ford 算法，其时间复杂度为 O(VE)。 SPFA 算法在负边权图上可以完全取代 Bellman-ford 算法， 另外在稀疏图中也表现良好。 但是 在非负边权图中，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的 Dijkstra 算法，以及 它的使用堆优化的版本。通常的 SPFA 算法在一类网格图中的表现不尽如人意。
‘柒’ 七年级上册数学重点，把所有重要的知识点列出来，要简洁点
初一数学知识点
第一章 有理数
1正数、负数、有理数、相反数、科学记数法、近似数
2数轴：用数轴来表示数
3绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零
4正负数的大小比较：正数大于零，零大于负数，正数大于负数，绝对值大的负数值反而小 。
5有理数的加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去减小的绝对值；
互为相反数的两数相加为零；
一个数加上零，仍得这个数。
6有理数的减法（把减法转换为加法）
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
7有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数同零相乘，都得零。
乘积是一的两个数互为倒数。
8有理数的除法（转换为乘法）
除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。
9有理数的乘方
正数的任何次幂都是正数；
零的任何次幂都是负数；
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
10混合运算顺序
（1） 先乘方，再乘除，最后加减；
（2） 同级运算，从左到右进行；
（3） 如果有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号依次进行。
第二章 整式的加减
1 整式：单项式和多项式的统称；
2整式的加减
（1） 合并同类项
（2） 去括号
第三章 一元一次方程
1 一元一次方程的认识
2 等式的性质
等式两边加上或减去同一个数或者式子，结果仍然相等；
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。
3 解一元一次方程
一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一
第四章 图形认识初步
1 几何图形：平面图和立体图
2 点、线、面、体
3 直线、射线、线段
两点确定一条直线；
两点之间，线段最短
4 角
角的度量度数
角的比较和运算
补角和余角：等角的补角和余角相等
初一下册
第五章 相交线和平行线
1 相交线：对顶角相等
2 垂线
经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（垂线段最短）
3 平行线
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
若两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；
判定：同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行。
性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
4 命题：判断一件事情的语句
5 平移
第六章 平面直角坐标系
1 有序数对：（a，b）
2 平面直角坐标系、原点、横轴、纵轴、象限
3简单应用：用坐标表示位置；用坐标表示平移。
第七章 三角形
1 与三角形有关的边：
三角形的边、高、中线、角平分线、稳定性
2 与三角形有关的角
内角：三角形的内角和是180度
外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
2 多边形
内角：多边形的内角和为（n-2）*180；
外角：多边形的外角和为360度。
第八章 二元一次方程组
1 二元一次方程与二元一次方程组的介绍
2 二元一次方程组的解法
代入法 消元法（加减法）
3 二元一次方程组的实际应用
第九章 不等式和不等式组
1 不等式及其解集：含有不等关系号的式子；
2 不等式的性质
性质1 不等式的两边加减同一个数或式子，不等号的方向不变；
性质2 不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
性质3 不等式的两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
3 一元一次不等式在实际问题中的应用
4 一元一次不等式组及其解法：大大取大；小小取小；大于大的，小于小的取两边，大于小的，小于大的去中间。
第十章 实数
1 平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根；
正数算术平方根是正数；
零的算术平方根是零。
2 立方根：正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
零的立方根是零。
3 实数：有理数和无理数的统称。无理数即是无限不循环小数。
我也不知道你要多简洁的，这算是比较全面的。。。