1. 数学的因式分解系列
1 =(x+3y)(x-3y)
2 =(4x²+y²)(4x²-y²)=(4x²+y²)(2x+y)(2x-y)
3 =3(4a²x²-9b²y²)=3(2ax+3by)(2ax-3by)
4 =(x+2y+x-3y)(x+2y-x+3y)=5y(2x-y)
5 =m²（16x-y）-n²（16x-y)=（16x-y)(m²-n²)=(16x-y)(m+n)(m-n)
因式分解很简单。
2. 因式分解公式及概念
因式分解公式
公式描述：
式一为平方差公式，式二为完全平方公式，式三为立方差公式，式四为立方和公式，式五为十字相乘法公式。
因式分解的概念：
把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。
3. 因式分解
(1)x2-6x-7
(2)x2+6x-7
(3)x2-8x+7
(4)x2+8x+7
(5)x2-5x+6
(6)x2-5x-6
(7)x2+5x-6
(8)x2+5x+6
解：(1)x2-6x-7=(x-7)(x+1)
(2)x2+6x-7=(x+7)(x-1)
(3)x2-8x+7=(x-7)(x-1)
(4)x2+8x+7=(x+7)(x+1)
(5)x2-5x+6=(x-2)(x-3)
(6)x2-5x-6=(x-6)(x+1)
(7)x2+5x-6=(x+6)(x-1)
(8)x2+5x+6=(x+2)(x+3)
点评：此例中的题是易错的典型题，初学时难于避免，主要原因是对十字相乘的原则没有充分认识，即，两常数项的乘积是原多项式的常数项，它们的和是原一次项系数，因此单纯的凑数是不行的，一定注意分解后与原多项式相等.十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法）
然后按斜线交叉相乘、再相加，若有 ，则有 ，否则，需交换 的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。
3.因式分解的一般步骤
（1） 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；
（2） 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解；
（3） 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解；
（4） 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。
在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。
在我们做题时，可以参照下面的口诀：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
十字相乘试一试，分组分得要合适；
四种方法反复试，最后须是连乘式。
参考资料：IMO
1.因式分解
即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式：
f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。
（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53
初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等
要求为：要分到不能再分为止。
2.方法介绍
2.1提公因式法：
如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。
例15x3+10x2+5x
解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。
解：原式=5x(x2+2x+1)
=5x(x+1)2
2.2公式法
即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2
a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数)
说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。
例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15
解析各小题均可套用公式
解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6)
=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)
②1+x+x2+…+x15=
=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)
注多项式分解时，先构造公式再分解。
2.3分组分解法
当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。
例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1
解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)
=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)
=(m3+1)(m12+m6++1)
=(m3+1)[(m6+1)2-m6]
=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)
例2分解因式：x4+5x3+15x-9
解析可根据系数特征进行分组
解原式=（x4-9）+5x3+15x
=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)
=(x2+3)(x2+5x-3)
2.4十字相乘法
对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法,
即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。
例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12
解①1x2
1x-3
原式=（x+2）(x-3)
②2x-3
3x4
原式=（2x-3）(3x+4)
注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。
2.5双十字相乘法
在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：
（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图
（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项
例5分解因式
①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2
③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2
解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3)
2x-3y1
2xy-3
②原式=（x-5y+2）(x+2y-1)
x-5y2
x2y-1
③原式=(b+1)(a+b-2)
0ab1
ab-2
④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z)
2x-3yz
3x-y-2z
说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。
如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)
④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可：
2.6拆法、添项法
对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项拆成二项之差或之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。
例6分解因式：x3+3x2-4
解析法一：可将-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3)
法二：添x4,再减x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4)
法三：添4x,再减4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4)
法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4)
法五：把x3拆为，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等
解（选择法四）原式=x3-x2+4x2-4
=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)
=(x-1)(x2+4x+4)
=(x-1)(x+2)2
2．7换元法
换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此
种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。
例7分解因式：
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120
解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到
(x+1)(x+4)=x2+5x+4
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
故可用换元法分解此题
解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120
令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120
=y2-121
=(y+11)(y-11)
=(x2+5x+16)(x2+5x-6)
=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)
注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单？
2．8待定系数法
待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。
例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20
分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法
先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)
解设可设原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)
=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………
比较两个多项式（即原式与*式）的系数
m+2n=14(1)m=4
3m-3n=-3(2)=>
mn=20(3)n=5
∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5)
注对于（*）式因为对a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n
令a=1,b=0,m+2n=14m=4
=>
令a=0,b=1,m=n=-1n=5
2.9因式定理、综合除法分解因式
对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数
若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解
例8分解因式x3-4x2+6x-4
解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4
∴可能出现的因式为x±1,x±2,x±4,
∵f(1)≠0,f(1)≠0
但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法
21-46-4
2-44
1-220
所以原式=(x-2)(x2-2x+2)
当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4
=x(x-2)2+(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)
分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握!
4. 数学因式分解的12种方法
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
解方程依据
1、移项变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘；
2、等式的基本性质
性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。
(1)a+c=b+c
(2)a-c=b-c
性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。则：
a×c=b×c 或a/c=b/c
性质3：若a=b，则b=a（等式的对称性）。
性质4：若a=b，b=c则a=c（等式的传递性）。
5. 初二数学因式分解的步骤及例题
因式分解是初二代数中的重要内容，并且它的内容贯穿在整个中学数学教材之中，学习它，既可以培养的观察能力、运算能力，又可以提高综合分析问题、解决问题的能力。转化是本章最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积。这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的。本专题重要讲解两个内容，一是因式风解的几点注意事项，二是因式分解的应用。 一、注意事项：
1、因式分解与整式乘法互为逆运算
2．在提公因式时，若各项系数都是整数，所提的公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。
3．如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
4．有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，例如：-a-b+c=-(a+b-c)；
又如：当n为自然数时，(a-b)2n=(b-a)2n; (a-b)2n-1=-(b-a)2n-1，都是在因式分解过程中常用到的因式变换。
5．能运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解的多项式，必须是二项式或视作二项式的多项式，且这二项的符号相反，
a、b可表示数，亦可表示字母或代数式，每项都能写成数（或式）的完全平方的形式。
5．能运用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2分解的多项式，必须是三项式或视作三项式的多项式，且其中两项符号相同并都能写成数（或式）的完全平方形式，而余下的一项是这两个数（或式）的乘积的2倍。如果三项中的两个完全平方项都带有负号，则应先提出负号，再运用完全平方公式分解因式。 例1、把-a2-b2+2ab+4分解因式。
解：-a2-b2+2ab+4
=-(a2－2ab+b2-4)
=-[(a2-2ab+b2)-4]
=-[(a-b)2-4]
=-(a－b+2)(a－b－2)
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的，以免出错。 例2、分解因式（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n
解：（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n
=（a+b）n[(a+b)2-2(a+b)+1]
=(a+b)n(a+b-1)2
本题先运用提取公因式，然后运用完全平方公式
例3、分解因式：x4－8x2+16
解：x4-8x2+16
=(x2-4)2
=[(x+2)(x-2)]2
=(x+2)2(x-2)2
本题注意分解彻底，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 二、因式分解的应用：
将式子化为若干个因式的乘积，这种转换往往能使复杂的运算展开，转换为一次因式中的简单加减运算，从而大大减化运算过程，这是等价转换的数学思想方法。 例1．计算：
(1) ;(2);
(3)2022-542+256×352; (4)6212-769×373-1482.
分析：此题中有1812-612，3192-2092；17.52-9.52, 131.52-3.52; 2022-542; 6212-1482.使我们考虑到多项式的乘法公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2.
它的逆变形是 a2-b2=(a+b)(a-b)
应用上述变形式，我们就可以将较为复杂的平方运算，降价转化为简单的加、减运算和乘法运算。 解：(1) = = =.
(2) = = =.
(3) 2022-542+256×352
=(202+54)×(202-54)+256×352
=256×148+256×352
=256×(148+352)
=256×500=128000. (4)6212-769×373-1482.
=(621+148)×(621-148)-769×373
=769×473-769×373
=769×(473-373)
=769×100=76900.
通过例1，我们不难得出解此类题目的方法：（1）逆用平方差公式，化平方运算为乘法运算；（2）约分化简或提取因数结合运算求值。同时，例1也反映出分解因式的方法，在简化运算时的重要性。例2．求证：(1) 710-79-78=78×41; (2) 109+108+107=5×106×222; (3) 257-512能被120整除； (4)817-279-913能被45整除
分析：根据乘法的分配律、对多项式运算有 m(a+b+c)=ma+mb+mc,
反过来，我们可以得到 ma+mb+mc=m(a+b+c).
应用上述结论，能够恰到好处的达到降低次数，解决本例问题的目的。 解：∵(1) 710-79-78=78×(72-7-1)
=78×(49-8)=78×41,
∴710-79-78=78×41. (2)∵ 109+108+107=107×(102+10+1)
=107×(100+11)=106×10×111
=5×106×222
∴109+108+107=5×106×222. (3)∵257-512=(52)7-512
=514-512=511×(53-5)
=511×(125-5)=511×120,
∴257-512能被120整除； (4)∵817-279-913=(34)7-(33)9-(32)13
=328-327-326=324×(34-33-32)
=324×(81-27-9)=324×45,
∴817-279-913能被45整除. 通过例2，我们可以看出，解决此类整除问题的主要思路是：（1）提取适当的因数；（2）将提取因数后的其他数的代数和化简，得到我们能够说明问题的结论，从而解决问题。 例3．已知a= , b=, 求(a+b)2-(a-b)2的值。 解：(a+b)2-(a-b)2
=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]
=2a·2b=4ab,
∴(a+b)2-(a-b)2=4×× =. 例4．解方程：
(1)(65x+63)2-(65x-63)2=260; (2)(78x+77)(77x-78)=(78x+77)(77x+78).
解：(1)逆用平方差公式，把原方程化为其等价形式
[(65x+63)-(65x-63)][(65x+63)+(65x-63)]=260,
即126×130x=260, ∴ x=.
(2)原方程可化为 (78x+77)(77x-78)-(78x+77)(77x+78)=0,
即-78×2×(78x+77)=0,
78x+77=0, ∴ x=- .
通过例4可见，应用等价转化思想来因式分解，往往可以将较高次的方程，巧妙转化为最简方程，从而求出方程的根。例5．（248-1）可以被60与70之间的两个数整除，这两个数是（ ）
A、61,63 B、61,65 C、63,65 D、63,67 解：248-1=(224+1)(224-1)
=(224+1)(212+1)(212-1)
=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1),
∵ 26+1=65, 26-1=63.
∴ 应选C。
6. 因式分解的概括知识点和公式
定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法而在竞赛上，十字相乘法，待定系数法，十字相乘法。
原则
1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
2．最后结果只有小括号
3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=x(-3x+1））
4．最后结果每一项都为最简因式
平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^;2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2立方和（差）立方公式两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。
即a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
证明如下： a^3-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
所以a^3-b^3=（a-b）a^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b)
=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)
7. 急需！学习七年级下册《因式分解》的方法是什么，或是课件也行！
知识要点梳理
知识点一：幂的运算
1、同底数幂的乘法：
(m,n为正整数)；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
如：
注：此性质可以逆用，即。如：已知，则＝5×7＝35。另外三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即(m、n、p都是正整数)
2、幂的乘方：
(m,n为正整数)；
幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：，
幂的乘方法则可以逆用：即，如：.
注：注意不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，前者是指数相乘，后者是指数相加。
3、积的乘方：
(n为正整数)；
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（=
注：在积的乘方运算中很容易将底数中某一项或几项不乘方而出现错误，所以在进行积的乘方运算时应先确定底数有几项，然后将这几项全都乘方，再将结果相乘。
4、同底数幂的除法：
(a≠0, m,n为正整数，并且m＞n).
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：
5、零指数幂和负指数：
即任何不等于零的数的零次方等于1。
（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如：
注：根据同底数幂除法的运算性质(a≠0, m,n为正整数，并且m＞n)，当指数相同时，则有，从而诠释了“任何不等于0的数的0次幂都等于1”的道理，同时，又将同底数幂除法的运算性质中m＞n的条件扩大为m≥n；而当m＜n时，仍然使用，则m－n＜0，便出现了负指数幂 ( a≠0, p为正整数)；至此，同底数幂除法的运算性质的适用范围已不必再过分的强调m、n之间的大小关系，m、n的值也由正整数扩大到全体整数了.
知识点二：整式乘法
1、单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：
2、单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即(都是单项式).
3、多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即.
如：
注：①运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．
②在多项式乘法中，通过实例得出了：含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式 . 如果用a,b分别表示含有一个系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有公式：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab。
知识点三：乘法公式
1、平方差公式：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
2、完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上（或减去）首尾乘积的2倍。
注：
① 应用乘法公式时，应避免出现以下错误，如，，
等等；
② 注意乘法公式的灵活正用和逆用问题．
③ 三项式的完全平方公式：.
知识点四：整式的除法
整式的除法是以同底数幂的除法为基础的，主要涉及单项式除以单项式，多项式除以单项式两种情况。运算法则是：
1、单项式相除：
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如：.
注：①系数先相除，所得的结果作为商的系数，特别注意系数包括前面的性质符号．
②被除式里单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏．
③要注意运算的顺序，有乘方先算乘方，有括号先算括号里．特别是同级运算一定要从左至右，
如： ，而不是
2、多项式除以单项式：
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
即：
注：①多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同．
②用多项式的每一项除以单项式时，商中的每一项的符号由多项式中的每项的符号与单项式的符
号共同确定．
知识点五：因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等。
要点诠释：
(1) 因式分解的对象是多项式，因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
(2) 因式分解的一般步骤是：首先看有无公因式，然后判断是否可以套用公式，十字相乘法,最后考虑
分组分解，添、拆项法。
分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止，一般情况是，最后结果只有小括号并且每个
小括号中多项式首项系数为正。例如： -3x2+x=-x(3x-1)
(3) 提公因式法的关键是确定公因式。即①取各项系数的最大公约数②字母取各项的相同的字母③各
相同字母的指数取次数最低的；
(4) 运用公式法时要注意判断是否符合公式要求，并牢记公式的特征；
(5) 分组分解的关键是适当分组，先使分组后各组中能分解因式，再使因式分解能在各组之间进行。
规律方法指导
1、整式的乘法与因式分解在意义上正好相反,结果的特征是因式分解是积的形式,整式的乘法是和的形
式,抓住这一特征,就不容易混淆因式分解与整式的乘法.
2、因式分解的一般步骤及注意问题：
（1）对多项式各项有公因式时，应先提公因式。
在提取公因式的过程中有很多情况应该先将所给的多项式中的某一部分进行变形，然后才能提取
公因式或者利用公式进行分解因式。常用的变形公式是：和
(n为正整数)，即当次数是偶数时，可以随意改变括号里面的减数和被
减数的位置，当次数是奇数时，在改变减数和被减数的位置之后，应该在括号的前面加一个负
号．
（2）多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项式就考虑是否
符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分
解法。
（3）分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
总结为：一提：提公因式、提负号；
二套：二项式套平方差，三项式套完全平方式和十字相乘法；
三看：看是否分解完.
3、在本章中多次运用转化与化归的思想方法，例如单项式乘以单项式可以转化为有理数乘法和同底数
幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可以转化为单项式乘以单项式。
4、整体代换的思想方法在乘法公式中表现的特别典型，公式中的字母不仅可以代表数，而且可以表示
代数式。正是由于整体代换的思想，乘法公式才能得到广泛的应用。再比如，在研究多项式乘多项
式法则时，是把看成一个整体，运用单项式乘以多项式的法则，得到
然后再运用“单多”的运算法则即可得到
。在分解因式时，可以把看成一
个整体，提公因式，即原式=。
5、本章所学的公式和法则都是既可正向运用又可逆向运用的。进行整式乘法运算时，逆用公式可使计
算简便。
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