❶ 双曲线的知识点是什么
1、双曲线的定义：一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
2、双曲线的分支：双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左支与右支；当焦点在y轴上时，为上支与下支。
3、双曲线的顶点：双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。
4、双曲线的实轴：两顶点之间的线段称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为半实轴。
5、双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。渐近线的方程求法是：将标准方程的右边的常数改为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。
❷ 有关双曲线的所有知识点
一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：
1 双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．
要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
二．双曲线的内外部：
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
三.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
四．双曲线的简单几何性质
－=1（a＞0，b＞0）
⑴范围：|x|≥a，y∈R
⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称
⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
⑷渐近线：
①若双曲线方程为渐近线方程
②若渐近线方程为双曲线可设为
③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是
五．双曲线 与 的区别和联系
标准方程
性
质
焦点
，
焦距
范围
顶点
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
6.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝。
第三部分 典型例题分析
考点1 双曲线的定义及标准方程
题型1：运用双曲线的定义
[例1]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．
[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”
【新题导练】
1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ）
A． B．12 C． D．24
解析： ①
又②
由①、②解得
直角三角形，
故选B。
2.如图2所示，为双曲线的左
焦点，双曲线上的点与关于轴对称，
则的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
[解析] ，选C
3.P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）
［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，
由圆的切线性质知，
题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ]已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组
[解析]解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），∴－=1.
又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
解法二：设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.
【新题导练】
4.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；
[解析]设双曲线方程为，
当时，化为，，
当时，化为，，
综上，双曲线方程为或
5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.
[解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为
6.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C．（x > 0） D．
[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B
考点2 双曲线的几何性质
题型1 与渐近线有关的问题
1.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）
A． B． C． D．
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
基础巩固训练
2.以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是
（A） （B）
（C） （D）
[解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A
类型三：综合练习
1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.
（Ⅰ）求双曲线C的方程
（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围
解（1）设双曲线方程为
由已知得，再由，得
故双曲线的方程为.
（2）将代入得
由直线与双曲线交与不同的两点得
即且. ① 设，则
，由得，
而
.
于是，即解此不等式得 ②
由①+②得
故的取值范围为
2．已知直线与双曲线交于、点。
（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；
（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，
请求出的值；若不存在，说明理由。
解：（1）由消去，得（1）
依题意即且（2）
（2）设，，则
∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ ∴
但
由（3）（4），，
∴ 解得且满足（2）
（3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直
∴ ，即 直线的方程为
将代入（3）得
∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为
但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。
3．(1)椭圆C:(a＞b＞0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。
解：(1)
(2)设中点为(x,y), F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上 Þ
(3)设M(x1,y1),N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1
则 为定值.
4.已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
错解 设符合题意的直线存在，并设、
则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将(4)、(5)代入（3）得
若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由
得 根据,说明所求直线不存在。
5.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A、B两点。
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求。
解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知
故曲线的方程为
设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得
∵
依题意得
整理后得
∴或
但 ∴
故直线的方程为
设，由已知，得
∴，
又，
∴点
将点的坐标代入曲线的方程，得得，
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴，点的坐标为
到的距离为
∴的面积
6.已知P为双曲线的右支上一点，分别是椭圆的长轴顶点，连接交椭圆于，若与面积相等.
（1）求直线的斜率和直线的倾斜角；
（2）当的值为多少时，直线恰好过椭圆的右焦点？
7.已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线交于,求线段的中点P的轨迹方程；
（3）过点能否作直线，使与所给双曲线有两个交点，且点是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：由条件知，，设，．
（I）解法一：（I）设，则则，，
，由得
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点，使为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
因为是与无关的常数，所以，即，此时=．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时．
故在轴上存在定点，使为常数．
9.（2009上海卷）（本题满分16分）
已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；
（3） 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.
（1）解 设双曲线的方程为
，解得，双曲线的方程为
（2）解 直线，直线
由题意，得，解得
（3）证明 方法一 设过原点且平行于的直线
则直线与的距离当时，
又双曲线的渐近线为
双曲线的右支在直线的右下方，
双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。
故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为
（3）方法二 假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，
则
由（1）得
设，
当时，；
将代入（2）得
，
方程不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为
10.（2009福建卷文）已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线
分别交于两点。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由
解 方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，
从而
由得0
设则得，从而
即又
由得
故
又
当且仅当，即时等号成立
时，线段的长度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，
此时的方程为
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。
设直线
则由解得或
❸ 双曲线有什么特征
双曲线的基本知识点：位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点：焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直。数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c。两准线之间距离为﹔焦准距（焦参数)。离心率：...
❹ 双曲线的基本知识点渐近线倾斜角
咨询记录 · 回答于2022-01-02
❺ 双曲线的基本知识点公式是什么
双曲线的基本知识点公式是：
1、双曲线的定义及标准方程：直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点。
2、应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支。
3、双曲线方程的求法：若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx＋ny＝1(mn<0)。与双曲线x/a-y/b=1有共同渐近线的双曲线方程可设为x/a-y/b＝λ（λ≠0)。若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为mx－ny＝λ（λ≠0)。
4、直线与双曲线的位置关系：判定直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax＋bx＋c＝0(或ay＋by＋c＝0)。
5、直线与双曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题，解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用。
6、当直线与双曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。
❻ 关于双曲线的有关知识
双曲线的简单几何性质
一、\x09本讲主要内容
1、\x09双曲线的第二定义
2、\x09双曲线的几何性质及应用
3、\x09直线与双曲线的位置关系
二、\x09学习指导
1、\x09双曲线的几何性质分为两大类
（1）\x09自身固有的几何性质：
① 位置关系：中心是两焦点,两顶点的中点；焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直；
② 数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c.两准线之间距离为 ； 焦准距（焦参数） ；
③ 离心率 ,e>1,e越大,双曲线开口越阔.
（2）\x09解析性质（与坐标系有关）,列表比较如下：
\x09焦点在x轴上的双曲线\x09焦点在y轴上的双曲线
方 程\x09 （a>0,b>0）
（a>0,b>0）
顶 点\x09（±a,0）,（0,±b）\x09（0,±a）,（±b,0）
焦 点\x09F1（-c,0）,F2（c,0）\x09F1（0,-c）,F2(0,c)
准 线\x09x=±
y=±
渐近线\x09y=±
y=±
对称性\x09关于x轴、y轴轴对称,关于原点中心对称
范 围\x09|x|≥a,y∈R\x09|y|≥a,x∈R
焦半径\x09P在左支：|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0
P在右支：|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a\x09P在下支：|PF1|=-a-ey0,|PF2|=a-ey0
P在上支：|PF1|=ey0+a,|pF2|=ey0-a
2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同,见教材P112.例3.第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容.
3、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆.但由于双曲线多了渐近线,因此当直线与双曲线有一个公共点时,其位置有两种情形：一是直线与双曲线相切,此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x（或y）的二次方程的判别式△=0；二是直线与双曲线相交,具体地说,也就是直线与双曲线的渐近线平行.此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x（或y）的方程为一次方程.
直线与双曲线相交时,基本处理途径有二：一是列方程组；二是用点差法.不管是哪一种途径,都要强化设而不求的思想.
4、在 （a>0,b>0）中,若a=b,则双曲线为等轴双曲线,其离心率 .
5、\x09双曲线 与 称为共轭双曲线.
5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换；它们的焦点共圆；它们的离心率e1、e2满足 =1.
❼ 双曲线的基本知识点是什么
在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义，双曲线的基本知识点如下：
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：（a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y')。
双曲线名称定义
定义1：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
❽ 双曲线的相关知识点
双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
双曲线的几何性质分为两大类。位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点：焦点在实轴上，实轴与虚轴垂直，双曲线有两条过中心的渐近线，准线与实轴垂直等等。
双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。
❾ 双曲线知识点有哪些
1、双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。双曲线的几何性质分为两大类。位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点：焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直等等。
2、双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。
5、双曲线共享许多椭圆的分析属性，如偏心度，焦点和方向图。许多其他数学物体的起源于双曲线，例如双曲抛物面（鞍形表面），双曲面（“垃圾桶”），双曲线几何（Lobachevsky的着名的非欧几里德几何），双曲线函数（sinh，cosh，tanh等）和陀螺仪矢量空间（提出用于相对论和量子力学的几何，不是欧几里得）。
❿ 双曲线面积公式是什么
双曲线面积面积公式是：S=bcot（θ/2）。一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点叫做焦点的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。
双曲线的基本知识
点为平面内与两个定点F，F的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双线的焦点，两焦点的距离叫焦距。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e叫做双曲线的离心率。双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。双曲线是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。