数学九年级上知识框架

‘壹’ 九年级上册数学第一章知识框架

一、梳理知识：
1、全等三角形
（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。
（2）性质：全等三角形的 、 相等。
（3）判定："SAS"、 、 、 、 。
2、等腰三角形
（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。
（2）性质：①等腰三角形的 相等。（"等边对等角"）
②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。( )
③等腰三角形是 图形。
（3）判定：①定义 ②" "
（4）等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形。
性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。
判定：①定义 ②有一个角 是等边三角形。
3、直角三角形
（1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形。
（2）性质：①"勾股定理" 。
②直角三角形两锐角 。
③直角三角形斜边上的中线等于 。
④在直角三角形中，30°角所对直角边等于 。
（3）判定：①定义 ②两锐角 的三角形是直角三角形
③"勾股定理逆定理" 。
4、角平分线
（1）定义： 。
（2）性质：①角平分线上的点 相等。
②三角形的三条角平分线 ，且到 相等。
（3）判定：到角的两边 的点，在这个角的平分线上。
（4）角平分线的作法：
5、线段的垂直平分线
（1）定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上一点 相等。
②三角形三边的垂直平分线 ，且到 相等。
（3）判定：到一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上。
（4）线段的垂直平分线的作法：
6、命题：判断一件事的句子叫命题。命题有 与 两部分。
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 是另一个命题的
，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 。
7、逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．

二、典型例题：
一、选择题
1、到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）
A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点
2、已知等腰三角形的两边长分别为4㎝和2㎝，则其周长是（ ）
A. 6㎝ B. 10㎝ C. 10㎝或8㎝ D. 8㎝
3、如图，从等腰△ABC底边BC上任意一点分别作两腰的平行线DE、DF，分别交AC、AB于点E、F，则□AFDE的周长等于这个等腰三角形的( )
A. 周长 B. 周长的一半
C. 一条腰长的2倍 D. 一条腰长
崂山八中九年级数学复习课导学案

课题

证明（二）

课型

复习课

课时

1

复习目标

1、 能准确的找出两个三角形的等量关系，证明两个三角形全等；
2、 灵活运用各性质解决实际问题。

重点、难点、考点

1、 等腰三角形、等边三角形的性质和判定
2、 理解题意，把握题目中的每个量
3、 线段垂直平分线的做法，角平分线的做法利用等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质灵活解题

教法

分层设计，先写后说，互动交流

学法指导

一、课前准备

1、等腰三角形的性质：边 ；角 ；叙述三线合一的内容 。
2、等边三角形的性质：边 ；角 。
3、判定等腰三角形的方法有：边 角 。
4、判定等边三角形的方法有：边 角 。
5、线段垂直平分线的性质定理：
逆定理：
已知线段AB,用直尺和圆规作出它的垂直平分线：

三角形的垂直平分线性质：
6、角的性质定理：
逆定理：
已知角ABC,用直尺和圆规作出它的角平分线：

三角形的角平分线性质：
7、三角形全等的判定方法有 。
8、说出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 。

学习困惑记录

二、课堂复习

一、等腰三角形
1、已知，等腰三角形的一条边长等于，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（ ）A．B． C． D．或
2.等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为__________
3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是
4、（选作）△ABC中，D,E分别是AC,AB上的点，BD与CE交于点O,给出下列四个条件：
①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO ③BE=CD ④OB=OC
[1]上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形（用序号写出）
[2]选择第[1]小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角
二、等边三角形
1、如图：等边三角形ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且DB=DE,若△ABC的周长为12，则△DCE的周长为___________.
三、垂直平分线
1、如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.
2、（选作）如图：△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,EF垂直平分AB,EF=2,求AB与BC的长。

四、角平分线
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于E，DE⊥AB于D，BC=8，AC=6，AB=10，则△BDE的周长为_________。
2、.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm

3.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.
五、三角形全等
1、如图：已知P,O是线段CD垂直平分线上的点，A,B分别是射线OC,OD上的点，且PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D.
求证：[1]OC=OD
[2]OP平分∠AOB
2、.如图：在△ABC中，
AD,CE分别是△ABC的高，
请你再加一个___________
条件
即可使△AEH≌△CEB。
六、命题
1. 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是
_____________________________________.它是一个__________命题。
2.下列各语句中，不是真命题的是
A.直角都相等
B.等角的补角相等
C.点P在角的平分线上
D.对顶角相等
3、.下列命题中是真命题的是
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B.相等的角是对顶角
C.余角相等的角互余
D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
七、综合
小军和小强互相编数学题考察对方：
（1）小军编题：将含有45度角的的直角三角板和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点向直尺作了两条垂线段AD,BE。
问题[1]：你能发现并证明这个图形中的全等三角形吗？
[2]：你能发现并证明线段AD,BE,DE之间的关系吗？
小强顺利的做出了解答，你也来试试吧！

（2）小强借题发挥，将直尺位置稍作改变，以相同的问题问小军，你能帮助小军做出正确解答吗？
（3）在小强和小军所编的题目中用到了你所学过的哪些定理？

随时纠错

三、小结反馈

1、在三角形内部，有一个点P到三角形三个顶点的距离相等，那么P点一定是（ ）
A.这个三角形的三条边的垂直平分线的交点。
B.这个三角形三条中线的交点。
C.这个三角形三角角平分线的交点
D.这个三角形三条高的交点
如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D
求证：①OC=OD
②OP是CD的垂直平分线
说明：第②问可以一题多解。一是可以利用等腰三角形三线合一，二是因为PC=PD,OC=OD,所以得以证明（根据的是两点确定一条直线）

‘贰’ 数学九年级上册知识点归纳总结

1二次根式：形如式子为二次根式；
性质：是一个非负数；

2二次根式的乘除：
3二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
4海伦-秦九韶公式： ，S是三角形的面积，p为 。
1一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的最高次是2的方程。
2一元二次方程的解法

配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方；
因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。
3一元二次方程在实际问题中的应用

4韦达定理：设是方程的两个根，那么有
1：一个图形绕某一点转动一个角度的图形变换
性质：对应点到旋转中心的距离相等；

对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角
旋转前后的图形全等。
2中心对称：一个图形绕一个点旋转180度，和另一个图形重合，则两个图形关于这个点中心对称；
中心对称图形：一个图形绕某一点旋转180度后得到的图形能够和原来的图形重合，则说这个图形是中心对称图形；
3关于原点对称的点的坐标
1圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义

2垂直于弦的直径
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；
垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧；
平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。
3弧、弦、圆心角
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。
5点和圆的位置关系
点在圆外d>r
点在圆上d=r
点在圆内d<r
定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
6直线和圆的位置关系
相交d<r
相切d=r
相离d>r
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
切线的判定定理：经过圆的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆为它的内切圆，圆心是三角形的三条角平分线的交点，为三角形的内心。
7圆和圆的位置关系
外离d>R+r
外切d=R+r
相交R-r<d<R+r
内切d=R-r
内含d<R-r
8正多边形和圆
正多边形的中心：外接圆的圆心
正多边形的半径：外接圆的半径
正多边形的中心角：没边所对的圆心角
正多边形的边心距：中心到一边的距离
9弧长和扇形面积
弧长：
扇形面积：
10圆锥的侧面积和全面积
侧面积：
全面积：
11相交弦定理、切割线定理
1概率意义：在大量重复试验中，事件A发生的频率 稳定在某个常数p附近，则常数p叫做事
件A的概率。

2用列举法求概率
一般的，在一次试验中，有n中可能的结果，并且它们发生的概率相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率就是p（A）=

3用频率去估计概率
1二次函数 =
a>0,开口向上；a<0，开口向下；

对称轴： ；
顶点坐标： ；
图像的平移可以参照顶点的平移。
2用函数观点看一元二次方程
3二次函数与实际问题
1图形的相似

相似多边形的对应边的比值相等，对应角相等；
两个多边形的对应角相等，对应边的比值也相等，那么这两个多边形相似；
相似比：相似多边形对应边的比值。
2相似三角形
判定：
平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么两个三角形相似；
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么两个三角形相似。
3相似三角形的周长和面积

相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形（多边形）的面积的比等于相似比的平方。
4位似
位似图形：两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫位似图形，相交的点叫位似中心。
1锐角三角函数：正弦、余弦、正切；
2解直角三角形

1投影：平行投影、中心投影、正投影
2三视图：俯视图、主视图、左视图。

3三视图的画法
1本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．

2本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
3情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经
历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决
实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
1一元二次方程及其它有关的概念．
2用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．

3用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
1一元二次方程配方法解题．
2用公式法解一元二次方程时的讨论．

3建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
1分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．
2用配方法解一元二次方程的步骤．

3解一元二次方程公式法的推导．
本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：
221一元二次方程2课时

222降次──解一元二次方程7课时
223实际问题与一元二次方程5课时
发现一元二次方程根与系数的关系2课时
1二次根式
式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2最简二次根式
若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4二次根式的性质
5二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

1一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2一元二次方程的一般形式
它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
一元二次方程的解法
1直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：
4因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程根的判别式

根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
1定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2性质
对应点到旋转中心的距离相等。对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
1定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2性质
关于中心对称的两个图形是全等形。关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
考点五、坐标系中对称点的特征（3分）
1关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
2关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
1圆的定义
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
弦、弧等与圆有关的定义
（1）弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
（2）直径
经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）
直径等于半径的2倍。
（3）半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三,平分弦所对的优弧,平分弦所对的劣弧.
1圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理及其推论
1圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
d<r点P在⊙O内；
d=r点P在⊙O上；
d>r点P在⊙O外。
1过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）
圆内接四边形对角互补。
先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：
相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交d<r；
直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d>r；
1切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。
1切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆
1三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
1圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离d>R+r
两圆外切d=R+r
两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）
两圆内切 d=R-r（R>r）
两圆内含d<R-r（R>r）
4两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
1正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
1正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4中心角
正边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
1正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

2正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
1弧长公式
n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

2扇形面积公式
其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
3圆锥的侧面积
其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

补充：（此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助）
1相交弦定理

⊙O中，弦AB与弦CD相交与点E，则AEBE=CEDE
2弦切角定理
弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

即：∠BAC=∠ADC
3切割线定理PL:PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，则

‘叁’ 初三数学基础知识点有哪些

初三数学基础知识点：

一、方程（组）与不等式（组）

1、各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。

2、运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为O的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。消元降次的主要陷阱在于消除了一个带X公因式时回头检验。

3、运用不等式的性质3时，容易忘记改不变号的方向而导致结果出错。

4、关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0。

二、有理数

1、有理数的加法运算

同号两数来相加，绝对值加不变号。

异号相加大减小，大数决定和符号。

互为相反数求和，结果是零须记好。

“大”减“小”是指绝对值的大小。

2、有理数的减法运算

减正等于加负，减负等于加正。

有理数的乘法运算符号法则。

同号得正异号负，一项为零积是零。

三、二次函数解析式的表示方法

1、一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），如：y=2x2+3x+4；

2、顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a≠0），如：y=2(x-5)2+3；

3、两根式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标），如：y=2(x-1)(x+3)。

‘肆’ 九年级上册数学书内容有哪些

九年级数学分为代数、几何两个部分。

代数内容有二次函数，统计初步二章；几何内容有相似三角形、锐角三角比、圆与正多边形三章。初三数学的学习，是以前两年数学学习为基础的，是对已学知识的加深、拓宽、综合与延续，是初中数学学习的重点，也是中考考查的重点。

相信很多同学已经体会到这样一件事，就是初一的数学比小学难，初二的数学比初一的数学更难，初三的数学已经有同学上课听不懂，盯着黑板发呆的人不少。

初三数学是以前两年的学习内容为基础的，可以用来复习、巩固相关的内容，同时新知识的学习常常由旧知识引入或要用到前面所学过的内容，甚至是已有知识的综合、提高与延续。因此在学习中，要注意前后知识的联系，以便达到巩固与提高的目的。

其实，要学好初中数学，初一的时候一定要打好基础，初二的时候成绩要稳得住，初三复习阶段需要多总结错题，这样中考才能考出理想的成绩。

为了帮助学生学好初三数学，我给大家分享一份初三数学上册的全册知识点总结，、希望这份资料能够补上孩子的不足，好好利用这份资料就会在开学考试的时候考出好成绩。正好现在有时间，好好学习吧！

‘伍’ 九年级上册数学主要内容

九年级上册数学期末基础知识复习
二次根式
知识点1．二次根式 重点：掌握二次根式的概念。 难点：二次根式有意义的条件
式子

（a≥0）叫做二次根式．
知识点 2．最简二次根式
重点：掌握最简二次根式的条件[来源:学.难点：正确分清是否为最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
知识点3．同类二次根式
重点：掌握同类二次根式的概念 难点：正确分清是否为同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
知识点4．二次根式的性质
重点：掌握二次根式的性质 难点：理解和熟练运用二次根式的性质
①（
）2=a（a≥0）；
②
=│a│=
；
知识点5．分母有理化及有理化因式

重点：掌握分母有理化及有理化因式的概念
难点：熟练进行分母有理化，求有理化因式
把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．
例观察下列分母有理化的计算：
，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：

=_____________
解题思路：

知识点6．二次根式的运算
重点：掌握二次根式的运算法则 难点：熟练进行二次根式的运算
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

=
·
（a≥0，b≥0）；
（b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
最新考题中考要求及命题趋势1、掌握二次根式的有关知识，包括概念，性质、运算等；2、熟练地进行二次根式的运算

一 元 二 次 方 程
一、知识结构：
一元二次方程：概念、解与解法、实际应用、根与系数的关系。
二、考点精析
考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例2、方程
是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：例1、已知
的值为2，则
的值为
。
考点三、解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次
类型一、直接开方法：

※※对于
，
等形式均适用直接开方法
典型例题：例1、解方程：

=0;

例2、若
，则x的值为 。
类型二、因式分解法:

※方程特点： 左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：如
,
，

典型例题：例1、
的根为（ ）A .
B .
C .
D.

例2、若
，则4x+y的值为 。
类型三、配方法

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：试用配方法说明
的值恒大于0。
类型四、公式法⑴条件：

⑵公式：
,

典型例题： 例1、选择适当方法解下列方程：
⑴
⑵
⑶

类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
典型例题：已知
，求代数式
的值。
考点四、根的判别式

根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
典型例题：例1、若关于
的方程
有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题： 例1、讨论关于x的方程
根的情况。
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；
⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
典型例题：
1、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于
而言，当满足①
、②
时，
才能用韦达定理。
⑵主要内容：

⑶应用：整体代入求值。
典型例题：例1、已知关于x的方程
有两个不相等的实数根
，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

旋转

知识网络图表

图案设计

识别及应用

关于原点对称的点的坐标

中心对称

中心对称图形

图形旋转

平移及性质

平移及性质

旋转及性质

(1)
中心对称:把一个图形绕某一点旋转
,如果能与另一个图形重合.这个点叫对称中心,这两个图形中的对应点关于这一点对称.

(2)
关于旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。

第1题. 下列是中心对称图形的有（）

（1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）正方形；（5）平行四边形；（6）矩形；（7）等腰梯形．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：C．

第5题. 在线段、射线、两条相交直线、五角星中，是中心对称图形的个数为（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B．

圆

一、知识点

1、与圆有关的角——圆心角、圆周角

（1）图中的圆心角 ∠ AOB ；圆周角∠
ACB ；

（2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB= 25
度；

（3）在上图中，若AB是圆O的直径，则∠AOB= 180
度；则∠ACB= 90
度；

2、圆的对称性：

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条
过圆心 的直线；

圆是中心对称图形，对称中心为 圆心 ．

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

如图，∵CD是圆O的直径，CD⊥AB于E∴ = ， =

3、点和圆的位置关系有三种：点在圆 ，点在圆 ，点在圆 ；

4、直线和圆的位置关系有三种：相 、相 、相 ．

5、圆与圆的位置关系：

6、切线性质：

例4：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO= 度

（2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点，

则 = ，∠ =∠ ；

7、圆中的有关计算

（1）弧长的计算公式：

例5：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？

解：因为扇形的弧长=
所以
=
= (答案保留π)

（2）扇形的面积：

例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？

解：因为扇形的面积S=
所以S=
= (答案保留π)

②若扇形的弧长为12πcm，半径为6㎝，则这个扇形的面积是多少？

解：因为扇形的面积S=

所以S= =

（ 3）圆锥：

例7：圆锥的母线长为5cm，半径为4cm，则圆锥的侧面积是多少？

解：∵圆锥的侧面展开图是 形，展开图的弧长等于

∴圆锥的侧面积=

概率初步

【知识梳理】

1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，

① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；

② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；

③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1

2．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

① 理论计算又分为如下两种情况：

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；

第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：对游戏是否公平的计算。

② 实验估算又分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算。要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率。

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算。如，利用计算器产生随机数来模拟实验。

综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率。

‘陆’ 初三上册数学知识点归纳

初三数学知识点 第一章 二次根式 1 二次根式：形如a
(0a)的式子为二次根式；
性质：a
（0a）是一个非负数；

02
aaa
；

02
aaa
。
2 二次根式的乘除： 0,0

baabba；

0,0
bab
ab
a。
3 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
4 海伦-秦九韶公式：)
)()((cpbpppS
，S是三角形的面积，
p为2
c
bap
。
第二章 一元二次方程
1 一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的最高次是2的方程。
2 一元二次方程的解法
配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方； 公式法：a
acbbx242



因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。 3 一元二次方程在实际问题中的应用
4 韦达定理：设21,xx是方程02cbxax的两个根，那么有

初三全科目课件教案习题汇总语文数学英语物理化学

a
cxxa
bxx


2121
,
第三章 旋转 1 图形的旋转
旋转：一个图形绕某一点转动一个角度的图形变换 性质：对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角 旋转前后的图形全等。
2 中心对称：一个图形绕一个点旋转180度，和另一个图
形重合，则两个图形关于这个点中心对称；
中心对称图形：一个图形绕某一点旋转180度后得到的
图形能够和原来的图形重合，则说这个图形是中心对称图形；
3 关于原点对称的点的坐标 第四章 圆
1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义 2 垂直于弦的直径
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它
的对称轴；
垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧； 平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。 3 弧、弦、圆心角
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所

对的弦也相等。
4 圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半；
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角
所对的弦是直径。
5 点和圆的位置关系 点在
rd
点在圆上 d=r 点在圆内 d<r
定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，外接圆的
圆心是三角形的三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
6直线和圆的位置关系 相交 d<r 相切 d=r 相离 d>r
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 切线的判定定理：经过圆的外端并且垂直于这条半径的直
线是圆的切线；
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长

相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆为它的内切圆，
圆心是三角形的三条角平分线的交点，为三角形的内心。
7 圆和圆的位置关系
外离 d>R+r 外切 d=R+r 相交 R-r<d<R+r 内切 d=R-r 内含 d<R-r 8 正多边形和圆
正多边形的中心：外接圆的圆心 正多边形的半径：外接圆的半径 正多边形的中心角：没边所对的圆心角 正多边形的边心距：中心到一边的距离 9 弧长和扇形面积 弧长 180
rnl

扇形面积：360
2
rnS
10 圆锥的侧面积和全面积 侧面积： 全面积
11 （附加）相交弦定理、切割线定理

第五章 概率初步
1 概率意义：在大量重复试验中，事件A发生的频率nm
稳定在
某个常数p附近，则常数p叫做事件A的概率。
2 用列举法求概率
一般的，在一次试验中，有n中可能的结果，并且它们发生的概率相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率就是p（A）=
n
m

‘柒’ 人教版初三上册数学各章节重要知识点归纳(推荐下载)

主要知识点二次根式。

一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

最简二次根式

最简二次根式条件：

1、被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；

2、被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

以上资料参考：网络-二次根式

‘捌’ 人教版【初中数学】知识点总结-全面整理(超全)

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