A. 数学符号知识
圆周率“π”的由来
很早以前,人们看出,圆的周长和直经的比是个与圆的大小无关的常数,并称之为圆周率.1600年,英国威廉.奥托兰特首先使用π表示圆周率,因为π是希腊之"圆周"的第一个字母,而δ是"直径"的第一个字母,当δ=1时,圆周率为π.1706年英国的琼斯首先使用π.1737年欧拉在其着作中使用π.后来被数学家广泛接受,一直没用至今.
π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道:"历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志."古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法.
公元前200年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出π值的正确求法.他用圆外切与内接多边形的周长从大、小两个方向上同时逐步逼近圆的周长,巧妙地求得π
会元前150年左右,另一位古希腊数学家托勒密用弦表法(以1 的圆心角所对弦长乘以360再除以圆的直径)给出了π的近似值3.1416.
公元200年间,我国数学家刘徽提供了求圆周率的科学方法----割圆术,体现了极限观点.刘徽与阿基米德的方法有所不同,他只取"内接"不取"外切".利用圆面积不等式推出结果,起到了事半功倍的效果.而后,祖冲之在圆周率的计算上取得了世界领先地位,求得"约率" 和"密率" (又称祖率)得到3.1415926<π<3.1415927.可惜,祖冲之的计算方法后来失传了.人们推测他用了刘徽的割圆术,但究竟用什么方法,还是一个谜.
15世纪,伊斯兰的数学家阿尔.卡西通过分别计算圆内接和外接正3 2 边形周长,把 π 值推到小数点后16位,打破了祖冲之保持了上千年的记录.
1579年法国韦达发现了关系式 ...首次摆脱了几何学的陈旧方法,寻求到了π的解析表达式.
1650年瓦里斯把π表示成元穷乘积的形式
稍后,莱布尼茨发现接着,欧拉证明了这些公式的计算量都很大,尽管形式非常简单.π值的计算方法的最大突破是找到了它的反正切函数表达式.
1671年,苏格兰数学家格列哥里发现了
1706年,英国数学麦欣首先发现 其计算速度远远超过方典算法.
1777年法国数学家蒲丰提出他的着名的投针问题.依靠它,可以用概率方法得到 的过似值.假定在平面上画一组距离为 的平行线,向此平面任意投一长度为 的针,若投针次数为 ,针马平行线中任意一条相交的次数为 ,则有 ,很多人做过实验,1901年,有人投针3408次得出π3.1415926,如果取 ,则该式化简为
1794年勒让德证明了π是无理数,即不可能用两个整数的比表示.
1882年,德国数学家林曼德证明了π是超越数,即不可能是一个整系数代数方程的根.
本世纪50年代以后,圆周率π的计算开始借助于电子计算机,从而出现了新的突破.目前有人宣称已经把π计算到了亿位甚至十亿位以上的有效数字.
人们试图从统计上获悉π的各位数字是否有某种规律.竞争还在继续,正如有人所说,数学家探索中的进程也像π这个数一样:永不循环,无止无休……
B. 怎样理解图标在数学教学中的作用
小学数学教科书和配套练册的最大特点之一，就是课本中附有大量 的图标。以四年级上册书为例，全书(含配练册)共有各种各样的图标200 多幅，这些形象、具体、直观的示意图、照片和图表，形式多样，生动活 泼，与文字配合达到了图文解义，直观对比的效果。这些图标具有典型性、 启发性和趣味性，是教材内容由轴象变为具体;寓知识方法，情感和价值 观于形象之中，突出了简明、易懂、好解的特点。书中每页都有图标，这 么多的图标不仅是教学内容的补充和完善，而且还蕴藏着丰富的教学资 源。那么，怎样理解和应用图标的作用呢?
1 图标是数学教材有机的重要组成部分 图标与文字，数字与符号，解题方法与引领提示是教材内容不可分割 的组成部分。在数学教学中，图标能形象生动的说明文字内容所构建的数 学图影，展示所包含的数学知识、解题技巧，理解思路，使复杂的问题清 晰明了，简单易学。不仅能显明的激发学生学习兴趣，而且使科学的思维 方法，解题过程跃然书中，直观性、模仿性尤为突现。小学数学把知识交 流与知识的应用传递并举，各种图(表)标紧密联系实际，联系现实生活， 既能使学生从中认识到所学知识的重要性，又能潜移默化地培养学生学会 应用知识的习惯。
2 图标可以激发学生学习数学的兴趣 教材中有不少图标采用了学生喜闻乐见的图片、漫画等形式，用不同 的图标启发学生互动学习、主动思考;引导学生发现问题、提出问题;教 给学生解决问题的方法和步骤。
例如:教材“‘确定位置(二)’:国庆节， 笑笑到动物园参观了猴山、熊猫馆、大象馆和鹿苑。你能说出熊猫馆、大 象馆和鹿苑分别在猴山的什么位置吗?”学生看到小猴的机灵，小鹿的可 爱，大象的憨态，熊猫的滑稽无不感到好奇，这种好奇心很快就能把学生 吸引到探究问题情境中。像这种类型的图标，每个章节都出现在首位，它 不仅为导入新课开篇引路，为解决问题创设条件，还为达到教学目标突出 主题。教学时只要能准确地把握这类教材内容，并较好的应用于教学中， 将会极大的提高小学生学习数学的效率。
3 图标可以弥补学生自学求知教学条件的不足 教学中指导学生看图、读图、分析图标，能很好的帮助学生加深数学 概念、数学变化规律的理解。如:路程、时间与速度。通过教学仪器演示 运动的过程，学生观察，识记只是瞬间完成，反应慢的学生，一时不能理 清思绪、识记应用，但在课后的练习中再通过看图标就能把动态的演示与 静态的图标结合起来，进一步理解数据的严密性，感悟其方法，应用其规 律，从而弥补数感的缺失。
4 图标可以加强对学生能力的培养和数学知识的应用 小学数学大纲要求培养学生初步观察、分析、概括能力:又能增强学 生理解知识、应用图标解题的能力，从而也较好地扩大了学生的视野。如: 在教学方向与位置(一)时，利用教室直观、形象、具体的方位图标和教 材中“试一试”、“练一练”中的地图和平面图等，通过迁引实地、应用这 类图标进行教学，可有效提高学生对数学知识的应用能力。
5 利用图标进行情感教育，培养学生热爱生活，学会生活的优秀品质 教材中有大量地生活图标，教学中恰当的应用这些图标进行情感教 育，是非常生动、活泼和有效的。如:四年级数学上册第五章除法“买文 具”、“秋游”和练习七第3 题“买奖品”三幅图反映的都是生活实际片段， 介绍的都是怎样花钱，怎样少花钱的实例，可较好地激发学生热爱生活， 学会生活的信心，既能增强学生在生活中求知的情感，又培养了学生在校 园生活和社会生活中的优越感和责任感。
总之，数学教学中应用图标进行教学，是实施高效课堂，提高教学效 果，培养自学能力的有效方法。在教学中，教师一定要把图标作为教学的 重要环节，使之能够在教学的践行中发挥其更大的作用。
C. 初一下知识点归纳【数学】
1,有理数
(1)正数与负数
(2)数轴
(3)相反数
(4)绝对值
(5)有理数的大小比较
(6)有理数的运算(加,减,乘,除,乘方及其混合运算)
(7)近似数与有效数字
(8)零指数幂及负整指数幂;科学计数法
阅读材料:(1)光年与纳米; (2)10003与31000
2,数的开方
(1)平方根与立方根
(2)二次根式
(3)实数与数轴
3,整式及其运算
(1)列代数式,代数式的值
阅读材料:有趣的"3x+1问题"
(2)整式:单项式,多项式
(3)整式的加减:①同类项;②合并同类项;③去括号与添括号;④整式的加减运算
阅读材料:(1)用分离系数法进行整式的加减运算;(2)供应站的最佳位置在哪里
(4)整式的乘法:①幂的运算:同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方;②整式的乘法:单项式乘以单项式,单项式乘以多项式,多项式乘以多项式;③乘法公式:平方差公式,完全平方公式
(5)因式分解:提公因式法,公式法
阅读材料:(1)贾宪三角;(2)你会读吗
课题学习:面积与代数恒等式
(6)整式的除法:同底数幂的除法,单项式除以单项式
4,分式
(1)分式的概念
(2)分式的基本性质
(3)分式的运算:分式的乘除法,分式的加减法
5,方程
(1)一元一次方程:①一元一次方程的概念;②一元一次方程的解法 ;③可化为一元一次方程的分式方程
阅读材料:(1)丢番图的墓志铭;(2)2=3
(2)二元一次方程组:①二元一次方程组的概念;②二元一次方程组的解法
阅读材料:鸡兔同笼
(3)一元二次方程:①一元二次方程的概念;②一元二次方程的解法 ;③一元二次方程根的判别式;一元二次方程的根与系数之间的关系
(4)实践与探索(应用)
6,一元一次不等式
(1)不等式的认识
(2)解一元一次不等式
(3)一元一次不等式组及其解法
(4)一元一次不等式的应用
7,函数与其图像
(1)变量与函数
(2)一次函数的概念,图像及其性质
(3)反比例函数的概念,图像及其性质
(4)二次函数的概念,图像及其性质
(5)实践与探索
阅读材料:生活中的抛物线
华师版初中数学知识内容概况知识点(2)
《空间与图形》部分
1,图形的初步认识
(1)生活中的立体图形
阅读材料:欧拉公式
(2)画立体图形:①由立体图形到视图;②由视图到立体图形
(3)立体图形的表面展开图
(4)平面图形
阅读材料:七巧板
(5)最基本的图形:点和线 ①点和线;②线段的长短比较
(6)角: ①角的比较和运算;②角的特殊关系
(7)相交线:①垂线;②相交线中的角
(8)平行线:①平行线的识别;②平行线的特征
2,多边形
(1)三角形
(2)三角形的内角和,三角形的外角和
(3)瓷砖的铺设
(4)用正多边形拼地板
阅读材料:多姿多彩的图案
课题学习:图形的镶嵌
3,图形的变换
(1)平移:①图形的平移;②图形的特征
(2)旋转:①图形的旋转;②旋转的特征;③旋转对称图形;④中心对称图形
(3)轴对称:①生活中的轴对称;②轴对称的认识;③等腰三角形
阅读材料:(1)剪五角星;(2)对称拼图游戏;(3)Times and dates
(4)位似变换:①图形的放大与缩小;②画相似图形
4,命题与证明
(1)定义,命题与定理
(2)证明及其再认识
5,图形的全等
(1)图形的全等
(2)全等三角形的识别及其性质
(3)尺规作图:①画线段;②画角;③画线段;④画角平分线
6,图形的相似
(1)相似的图形及其特征
(2)相似三角形:①相似三角形的识别;②相似三角形的特征
(3)图形与坐标
7,解三角形
(1)测量
(2)勾股定理
(3)锐角三角函数
(4)解直角三角形
8,平行四边形
(1)平行四边形:①平行四边形的概念;②平行四边形的识别;③平行四边形的特征
(2)矩形:①矩形的概念;②矩形的识别;③矩形的特征
(3)菱形:①菱形的概念;②菱形的识别;③菱形的特征
(4)正方形:①正方形的概念;②正方形的识别;③正方形的特征
阅读材料:四边形的变身术
课题学习:中点四边形
9,圆
(1)圆的基本元素
(2)圆的对称性
(3)圆周角
(4)与圆有关的位置关系:①点和圆的位置关系;②直线和圆的位置关系;③圆和圆的位置关系
(5)圆中的有关计算问题:①弧长和扇形的面积;②圆锥的侧面积和全面积
华师版初中数学知识内容概况知识点(3)
《概率与统计》部分
1,统计
(1)数据的收集
(2)数据的表示:①统计图表;②这样节省图的篇幅合适吗
阅读材料:赢在哪里
(3)统计的意义:①人口普查和抽样调查;②从部分看全体
(4)平均数,中位数和众数(用计算器计算平均数)
(5)平均数,中位数和众数的使用(警惕平均数的误用)
阅读材料:"均贫富"
(6)数据的整理与初步处理:①选择合适的图表进行数据整理;②极差,方差与标准差
(7)简单的随机抽样:①简单随机抽样;②这样抽样合适吗
阅读材料:空气污染指数
(8)用样本估计总体:①抽样调查可靠吗 ②用样本估计总体
(9)数据的分析与决策:①查询数据作决策;②全面分析媒体信息;③亲自调查作决策;这样问好吗;怎样整理数据好
阅读材料:漫谈收视率
2,概率
(1)可能还是确定:①什么是可能;②不太可能是不可能吗
(2)机会的均等与不等:①确定与不确定;②成功与失败;③游戏的公平与不公平
阅读材料:搅匀对保证公平很重要
(3)在实验中寻找规律
(4)用频率估计机会的大小:①针尖触地的机会;②数字之积为奇数与偶数的机会
阅读材料:电脑键盘上的字母为何不按顺序排列
(5)模拟实验:①用替代物模拟实验;②用计算器模拟实验
课题学习:红灯与绿灯
(6)机会的大小比较
(7)概率的含义
(8)概率的预测
(9)在理论指导下决策:①考虑不同的权重;②平均要买几个才能得奖;③考试分数说明了什么
阅读材料:标准分
华师版初中数学知识内容概况知识点(4)
《课题学习》部分
七年级:
1,身份证号码与学籍号
2,图标的收集与探讨
3,图形的镶嵌
4,心率与年龄
八年级:
5,面积与代数恒等式
6,红灯与绿灯
7,高度的测量
8,通讯录的设计
九年级:
9,图形中的趣题
10,我们重视健康吗
11,中点四边形
12,改进我们的课桌椅
华师版初中数学知识内容概况
公式和法则
一,数的有关概念和运算
1,正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.
2,零的相反数是零
3,一个正数的绝对值是它本身;零的绝对值是零; 一个负数的绝对值是它的相反数.
4,两个负数,绝对值大的反而小.
5,有理数的运算:
(1)有理数的加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得零;一个数同零相加,仍得这个数.
(2)有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.
(3)有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对植相乘.任何数同零相乘,都得零.
不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正. 几个数相乘,有一个因数为零,积就为零.
(4)有理数除法则:除以一个数等于乘上这个数的倒数. (注意:0不能作除数.)
有理数除法符号法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除. 零除以任何一个不等于零的数,都得零.
(5)有理数乘方法则:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.
(6)有理数混合运算的运算顺序规定如下:① 先算乘方,再算乘除,最后算加减;②同级运算,按照从左至右的顺序进行;③如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.
6,(1)加法交换律:a+b=b+a;加法结合律:a+b+c=a+(b+c);乘法交换律:a·b=b·a;乘法结合律:abc=a(bc);乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.
(2)幂的运算:am·an=am+n(m,n为正整数);(m,n为正整数);(n为正整数);(m,n为正整数,m>n,a≠0),a0=1(a≠0);(a≠0,n为正整数).
(3)乘法公式:平方差公式:;完全平方公式:=
二,式的有关概念和运算
1,合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数保持不变.
2,去括号法则:括号前面是"+"号,把括号和它前面的"+"号去掉,括号里各项都不变符号;括号前面是"-"号,把括号和它前面的"-"号去掉,括号里各项都改变符号.
3,添括号法则:所添括号前面是"+"号,括到括号里的各项都不变符号;所添括号前面是"-"号,括到括号里的各项都改变符号.
4,整式加减的一般步骤可以总结为: (1) 如果有括号,那么先去括号;(2) 如果有同类项,再合并同类项.
5,二次根式的运算:;()
三,方程
用方程(组)解决实际问题的过程:问题方程(组)解答
一元二次方程的求根公式:()
四,不等式的性质
如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c;
2,如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c<0,那么ac五,锐角三角函数
如果a,b,c分别是△ABC的∠A,∠B,∠C的对边,
那么,,,.
六,弧长和扇形面积的计算:如果弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r,扇形的面积为S,则,.
华师版初中数学知识内容概况
公理和定理
一,线与角
1,两点之间,线段最短.
2,经过两点有一条直线,并且只有一条直线
3,对顶角相等
4,经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.
5,(1)经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行.
6,平行线的判定:
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)内错角相等,两直线平行;
(3)同旁内角互补,两直线平行.
7,平行线的特征:
(1)两直线平行,同位角相等.
(2)两直线平行,内错角相等.
(3)两直线平行,同旁内角互补.
8,角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
9,线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的判定:到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
二,三角形,多边形
10,三角形中的有关公理,定理:
(1)三角形外角的性质:①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角;③三角形的外角和等于360°.
(2)三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.
(3)三角形的任何两边的和大于第三边
(4)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
11,多边形中的有关公理,定理:
(1)多边形的内角和定理:n边形的内角和等于( n-2)×180°.
(2)多边形的外角和定理:任意多边形的外角和都为360°.
(3)欧拉公式:顶点数 + 面数-棱数=2.
12,如果图形关于某一直线对称,那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.
13,等腰三角形中的有关公理,定理:
(1)等腰三角形的两个底角相等.(简写成"等边对等角")
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成"等角对等边")
(3)等腰三角形的"三线合一"定理:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线和底边上的高互相重合,简称"三线合一".
(4)等边三角形的各个内角都相等,并且每一个内角都等于60°.
14,直角三角形的有关公理,定理:
(1)直角三角形的两个锐角互余;
(2)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
(3)勾股定理逆定理:如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(5)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
三,特殊四边形
15,平行四边形的性质:
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分.
16,平行四边形的判定:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
17,平行线之间的距离处处相等.
18,矩形的性质:
(1)矩形的四个角都是直角;
(2)矩形的对角线相等且互相平分.
19,矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形.
20,菱形的性质:
(1)菱形的四条边都相等;
(2)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.
21,菱形的判定:四条边相等的四边形是菱形.
22,正方形的性质:
(1)正方形的四个角都是直角;
(2)正方形的四条边都相等;
(3)正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.
23,正方形的判定:
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.
24,等腰梯形的判定:
(1)同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;
(2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
25,等腰梯形的性质:
(1)等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等;
(2)等腰梯形的两条对角线相等.
26,梯形的中位线平行于梯形的两底边,并且等于两底和的一半.
四,相似形与全等形
27,相似多边形的性质:
(1)相似多边形的对应边成比例;
(2)相似多边形的对应角相等;
(3)相似多边形的面积比等于相似比的平方.
28,相似三角形的判定:
(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似;
(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似;
(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
29,全等多边形的对应边,对应角分别相等.
30,全等三角形的判定:
(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等(S.S.S.).
(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等.(S.A.S.)
(3)如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等(A.S.A.).
(4)有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等(A.A.S.)
(5)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.(H.L.)
五,圆
31,(1)半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角);(2)90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
32,在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半; 相等的圆周角所对的弧相等.
33,不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
34,经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
35,从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
数学思想与解题
夏建平
数学思想在解题过程中是带有方向性,规律性的指导思想,在解决数学问题中往往有统领全局的作用. 下面以一个平面几何题为例谈一些认识.
题目:如图1,AB,AC,AP是⊙O的三条弦,且∠BAP=∠CAP=60°,已知AP=1,求AB+AC的值.
解题前渗透特殊化思想
特殊和一般是矛盾着的两个方面,又统一在同一事物之中,由于特殊问题常常比较具体,且特殊问题的解决孕育着一般问题的解决.因此,特殊化是一种常用的解题思想和探索解题途径的重要方法.
要想求出"AB+AC"的值,可先猜测其值到底是多少,不妨取符合题意的特殊图形进行考察.当AP为过圆心O的一条特殊弦(即直径)时,可得特殊图形图2,连结OB,OC,易知△OAB与△AOC均为等边三角形,此时OA=AP=,所以AB+AC=+=1.
假如本题是一个填空题或选择题时,由于不需要写出解题过程,运用特殊化思想来解就很简单了.
解题中渗透整体思想
整体思想就是将问题看成一个完整的整体,注重问题的整体结构和结构改造的思维过程.对于有些数学题,若只注意它的某些孤立的个体,则较难解决,相反,先不考虑其细节,而从整体上入手,利用整体效应,反而能使问题清晰明了,使解题者直奔终点.
由解题前的猜测得"AB+AC"的值为1,再结合题意发现当AP绕点A运动时,AB与AC的值也随之变化,所以单独求出AB与AC的值后再求和不太可能,也就是说只能把"AB+AC"看作一个整体来处理,注意到∠BAP与∠CAP均为60°,不妨构造特殊的直角三角形来解题:连结PB,PC,过P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E(见图3),Rt△ADP中,有AD=AP=,Rt△AEP中,有AE=AP=;由三角形全等的识别方法"角角边推论"得△BDP≌△CEP,从而BD=CE,所以AB+AC=(AD-BD)+(AE+EC)=AD+AE=1.
解题后渗透化归思想
化归思想是指解决问题时,将原问题进行变型,由难变易,由繁变简,由未知变已知,最终归结为我们熟悉的,或易于解决或已解决的问题.解题结束后求出"AB+AC"的值为1后,再看一下已知条件,发现AP的值也为1,这里给我们一个信息,"AB+AC=AP"是否成立呢 能否把该题转化为一个比较熟悉的问题来处理呢 即证明"AB+AC=AP".于是便又有了"截长","补短"的两种解法.
"截长"法:在AP上截取AD=AC,连结BC,DC,PC(见图4),先证△ADC为等边三角形,后证△ABC≌△DPC(A.A.S.),从而AB=DP,所以,AB+AC=AD+DP=AP=1.
"补短" 法:延长CA到D,使AD=AB,连结BD,BP,BC(见图5),先证△ADB为等边三角形,后证△ABP≌△DBC,从而DC=AP,所以,AB+AC=AD+AC=DC=AP=1.
D. 四年级数学知识要点
总：一、亿以内数的认识1.一(个),十,百、千、万……亿都是计数单位.2.每相邻两个计数单位之间有什么关系?每相邻两个计数单位的进率都是“10”.3.求近似数的方法叫“四舍五入”法.4.是“舍”还是“入”要看省略的尾数部分的最高位数是小于5还是大于5.5.表示物体个数的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,……都是自然数.一个物体也没有用0表示.0也是自然数.6.最小的自然数是0,没有最大的自然数,自然数的个数是无限的.7.每相邻的两个计数单位之间的进率都是十,这种计数方法叫做十进制计数法.二、角的度量 1.像手电简、汽车灯和太阳等射出来的光线,都可以近似地看成是射线.射线只有一个端点,可以向一端无限延伸.2.直线没有端点、可以向两端无限延伸.3.直线、射钱与线段有什么联系和区别?联系：射线、线段都是直线的一部分,线段是直线的有限部分.区别：直线无端点,长度无限,向两方无限延伸,射线只有一个端点,长度无限,向一方无限延伸,线段有两个端点,长度有限.4.直线和射线都可以无限延伸.线段可以量出长度.5.从一点引出两条直线所组成的图形叫做角.6.角的计量单位是“度”,用符号号“°”表示.把半圆分成180等份,每一份所对的角的大小是1度,记作1°.7.锐角、钝角、直角,平角和周角之间有什么关系?直角=90度,钝角大于直角小于平角,平角=180度,周角=360度,锐角小于90度。
单元概括：
第一单元 亿以上数的认识 姓名：
一、亿以内数的读法：○1先读万级，再读个级。○2万级的数，要按照个级的读法来读，再在后面加一个“万”字。○3每级末尾不管有几个0都不读；中间有一个或连续几个0都只读一个零。 二、亿以内数的写法：○1先写万级，再写个级。○2哪一个数位上一个单位
也没有，就在哪一位上写0。○
3一定要先分级再来读数或写数。 三、比较数的大小的方法：○1位数不同时，位数多的数大。○2位数相同时，从最高位比起，哪个数最高位上的数大，这个数就大；如果最高位上的数字相同，就比较下一位上的数字，直到比较出大小为止。
四、整万数改写成用“万”作单位的数的方法；将万位后面的4个0省略，换成一个“万”字。
五、用“四舍五入”法求近似数的方法：求一个数的近似数，主要是看它的省略的尾数，如果省略的尾数最高位上的数是0、1、2、3、4，就把尾数都舍去，改写成“0”，如果省略的尾数最高位上的数是5、6、7、8、9，就把尾数省略，并向前一位进1。
六、用“四舍五入”法求近似数的关键：找准尾数的最高位，如果省略万位后面的尾数，就看千位；如果省略千位后面的尾数，就看百位；如果省略百位后面的尾数，就看十位„„
七、表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9„„都是自然数，0是最小的自然数。没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。
八、每相邻两个计数单位之间的进率是十，这种计数法叫做十进制计数法。 九、亿以上数的读法与亿以内数读法相同：先分级，从最高位读起，一级一级往下读，读亿级时按照个级读法来读，再在后面加一个“亿”字。
十、亿以上数的写法与亿以内的写法相同：先分级，从最高位写起，一级一级往下写，每一级的写法与个级的写法一样。 十一、读数和写数关键都是“先分级”。
十二、对整亿数的改写：直接省略亿位后面的8个0，再加上一个“亿”字。 十三、不是整亿数的用“四舍五入”法省略亿位后面的尾数再改写：先分级再在尾数最高位“千万位”上进行“四舍五入”，用“”写出得数，不要忘记写“亿”字。
十四、算盘上每一档代表一个数位，记数前先要确定某一档作个位，向左依次是十位、百位、千位„„。每一档的上珠代表5，下珠代表1。 十五、电子计算器操作键的功能。
符号 名称 功能 ON/C 开启键 开或消除输入的内容 OFF 关闭键 关闭 CE 消除键 只消除上一次刚输入的内容
第二单元 角的度量
一、直线、射线、线段的联系和区别
联 系 区 别 都是直的 端点个数 延长情况 长短
直线 无 可以向两端无限延长 无
射线 1 可以向一端无限延长 无
线段 2 不能向一端延长 有长短
二、从一点出发可以画无数条射线，经过一点只能画无数条直线，经过两点只能画一条直线。
三、量角器由中心点,0刻度线，内圈刻度，外圈刻度组成，在量角时注意：(1)量角器的中心点与角的顶点重合.(2)使量角器的内面0刻度(外面的0刻度)与角的一条边重合.(3)角的另一边指向哪,就根据内圈(外圈)刻度读数.（4）要注意从0刻度读起，做到“0对内读内，0对外读外”。
四、角的大小与角的两边长短无关与两边叉开的大小有关,角的两边叉开越大角就越大.
五、小于900的角叫锐角,大于900而小于1800
的角叫钝角.
六、1平角1800
=2直角
1周角=3600
=2平角=4直角
七、锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角
八、画指定度数的角，注意做到两重合：量角器的中心点与顶点重合；0刻度线与所画的角的一条边重合；还要看准度数，“0对内读内，0对外读外”所画的边对应的0刻度在内圈，就看内圈的刻度。
第三单元 三位数乘两位数
一、口算整数或整千数乘一位数，都可以先把0前面的数相乘，再在积的末尾添上相应个数的0。
二、三位数乘两位数的笔算方法，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数得数末位和两位数的十位对齐，然后把两次乘的结果加起来。
三、因数末尾有0的简便算法:先把0前面的数相乘,再看两个因数末尾一共有几个0,则在积的末尾添写几个0。
四、速度是指单位时间内所走的路程。其表示方法是所行路程/时间单位。如：120千米/时，50米/分，计算方法是用路程÷时间=速度。
五、路程=时间×速度 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
六、积的变化规律：两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几（0除外）。乘法估算必须符合两个要求：一是接近准确值（符合实际）；二是计算方便。
七、乘法估算通常情况下是按照“四舍五入”法来估算，即把两个因数看成是整十、整百或几百几十的数；但有时也要根据实际情况来分析，如估钱够不够要往大估。
第四单元 平行四边形和梯形
1、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，它们的关系叫做互相平行。如果两条直线相交成直角,这两条直线互相平行,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做垂足。
2、平行线的要点有：（1）在同一平面；（2）永不相交；（3）两条直线。 3、平行线的基本性质：（1）经过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线平行。（2）与一条直线距离相等的平行线可以画两条，如与已知直线相距5厘米的平行线有上和下各一条。（3）在同一平面内，如果两条直线与另一条直线平行，哪么这两条直线也一定互相平行。
4、垂线的基本性质：（1）经过直线外一点，有并且只有一条直线与已知直线平行；（2）从直线外一点到这条直线的所有线段中，与直线垂直的线段最短；（3）在同一平面内，如果两条直线 与另一条直线垂直，哪么这两条直线一定互相平行。 5、两条直线在同一平面内的关系有：（1）平行：不相交的两条直线；（2）相交：相交成直角就是垂直。
6、用三角板和直尺来画平行线的方法：○1放三角尺，○2靠直尺，○3沿着直尺边推三角尺，○4画平行线。（总结为一放、二靠、三推、四画）
7、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 8、平行四边形的特征：（1）两组对边平行且相等；（2）四个内角的和等于360度；（3）相对的角相等；（4）相邻的角互补。梯形的特征：（1）只有一组对边平行但不相等；（2）四个内角的和也等于360度；（3）最少有一个锐角和一个钝角。
9、平行四边形具有不稳定性，也就是说长方形可以拉成平形四边形，平行四边形可以变成长方形。长方形拉成平行四边形后，周长不变，高变小，面积会变小。 10、平行四边形和梯形的高都有无数条。
11、平行四边形和梯形高的画法，相当于过直线外一点画已知直线的垂线。梯形的高只能从相互平行的两条边中任一边上的一点向它的对边画垂线，而不能在梯形的腰上画高。 12、从平行四边形一条边上的任意一点，到对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高,垂足所在的边叫做平行四边形的底。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 13、从组合图形中数平行四边形或梯形的个数，也要按从小到大的顺序来数，先给每个最小的图标出序号，然后一个个的数，两个两个数，再三个三个数„„以此类推。 14、所有的四边形的内角和都等于360度。三角形的内角和都等于180度。
第五单元 除数是两位数的除法
16、除数是两位数的口算除法，可以用想乘法算除法和表内除法计算的方法进行口算。 17、除法估算一般是把算式中不上整十的数用“四舍五入”法估算成整十数，再进行口算。 18、除数是两位数的除法，要先看被除数的前两位，如果前两位不够商1，就看前三位数，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面，余数一定要比除数小。
19、如果除数是一个接近整十数两位数，就用“四舍五入”法把除数看作与它接近整十数的两位数的笔算除法，既可以按照“四舍五入”法试商，也可以把除数看作和它接近的几十五，再利用一位数乘法直接确定商。
20、判定商是几位数，先看被除数与除数的前几位（取决于除数是几位数）， 如果除数是两位数，就先看被除数的前两位。
注意：每一步商的位置要正确，每求出一位商，余下的数必须比除数小。 21、当除数不变时商与被除数变化正好相同。（0除外） 当被除数不变时，商与除数的变化正好相反。（0除外）
当除数与被除数同时乘（或除以）相同的数时，商不变。 22、总数量=每份数×份数 每份数=总数量÷份数
份数=总数量÷每份数
23、总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=竞价÷单价 24、被除数=商×除数＋余数 商=（被除数－余数）÷除数 除数=（被除数－余数）÷商
25、除数不接近整十数时可看作个位是5的数来试商。
15×2=30 15×3=45 15×4=60 15×5=75 15×6=90 15×7=105 15×8=120 15×9=135
25×2=50 25×3=75 25×4=100 25×5=125
E. 小学数学总结
第一部分:概念
1,加法交换律:两数相加交换加数的位置,和不变.
2,加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变.
3,乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积不变.
4,乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变.
5,乘法分配律:两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变.
如:(2+4)×5=2×5+4×5
6,除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变.o除以任何不是o的数都得o.
简便乘法:被乘数,乘数末尾有o的乘法,可以先把o前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾.
7,什么叫等式等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式.
等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立.
8,什么叫方程式答:含有未知数的等式叫方程式.
9,什么叫一元一次方程式答:含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式.
学会一元一次方程式的例法及计算.即例出代有χ的算式并计算.
10,分数:把单位"1"平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数.
11,分数的加减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减.
12,分数大小的比较:同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小.
异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小.
13,分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变.
14,分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母.
15,分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数.
16,真分数:分子比分母小的分数叫做真分数.
17,假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数.假分数大于或等于1.
18,带分数:把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数.
19,分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数
(0除外),分数的大小不变.
20,一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数.
21,甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数.
分数的加,减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减.
分数的乘法则:用分子的积做分子,用分母的积做分母.
22,什么叫比:两个数相除就叫做两个数的比.如:2÷5或3:6或1/3
比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数(0除外),比值不变.
23,什么叫比例:表示两个比相等的式子叫做比例.如3:6=9:18
24,比例的基本性质:在比例里,两外项之积等于两内项之积.
25,解比例:求比例中的未知项,叫做解比例.如3:χ=9:18
26,正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着化,如果这两种量中相对应的的比值(也就是商k)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系就叫做正比例关系.如:y/x=k(k一定)或kx=y
27,反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系就叫做反比例关系.如:x×y=k(k一定)或k/x=y
28,百分数:表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数.百分数也叫做百分率或百分比.
29,把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号.其实,把小数化成百分数,只要把这个小数乘以100%就行了.
30,把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位.
31,把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数.其实,把分数化成百分数,要先把分数化成小数后,再乘以100%就行了.
32,把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数.
33,要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发.
34,最大公约数:几个数都能被同一个数一次性整除,这个数就叫做这几个数的最大公约数.(或几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数.其中最大的一个,叫做最大公约数.)
35,互质数:公约数只有1的两个数,叫做互质数.
36,最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.
37,通分:把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数,叫做通分.(通分用最小公倍数)
38,约分:把一个分数化成同它相等,但分子,分母都比较小的分数,叫做约分.(约分用最大公约数)
39,最简分数:分子,分母是互质数的分数,叫做最简分数.
40,分数计算到最后,得数必须化成最简分数.
41,个位上是0,2,4,6,8的数,都能被2整除,即能用2进行
42,约分.个位上是0或者5的数,都能被5整除,即能用5进行约分.在约分时应注意利用.
43,偶数和奇数:能被2整除的数叫做偶数.不能被2整除的数叫做奇数.
44,质数(素数):一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数).
45,合数:一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数.1不是质数,也不是合数.
46,利息=本金×利率×时间(时间一般以年或月为单位,应与利率的单位相对应)
47,利率:利息与本金的比值叫做利率.一年的利息与本金的比值叫做年利率.一月的利息与本金的比值叫做月利率.
48,自然数:用来表示物体个数的整数,叫做自然数.0也是自然数.
49,循环小数:一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做循环小数.如3.141414
50,不循环小数:一个小数,从小数部分起,没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做不循环小数.如圆周率:3.141592654
51,无限不循环小数:一个小数,从小数部分起到无限位数,没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做无限不循环小数.如3.141592654……
52,什么叫代数代数就是用字母代替数.
53,什么叫代数式用字母表示的式子叫做代数式.如:3x=ab+c
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第二部分:定义定理
一,算术方面
1.加法交换律:两数相加交换加数的位置,和不变.
2.加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第
三个数相加,和不变.
3.乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积不变.
4.乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变.
5.乘法分配律:两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变.如:(2+4)×5=2×5+4×5.
6.除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变.0除以任何不是0的数都得0.
7.等式:等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式.
等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立.
8.方程式:含有未知数的等式叫方程式.
9.一元一次方程式:含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式.
学会一元一次方程式的例法及计算.即例出代有χ的算式并计算.
10.分数:把单位"1"平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数.
11.分数的加减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减.
12.分数大小的比较:同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小.
异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小.
13.分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变.
14.分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母.
15.分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数.
16.真分数:分子比分母小的分数叫做真分数.
17.假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数.假分数大于或等于1.
18.带分数:把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数.
19.分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小不变.
20.一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数.
21.甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数.
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第三部分:几何体
1.正方形
正方形的周长=边长×4公式:c=4a
正方形的面积=边长×边长公式:s=a×a
正方体的体积=边长×边长×边长公式:v=a×a×a
2.正方形
长方形的周长=(长+宽)×2公式:c=(a+b)×2
长方形的面积=长×宽公式:s=a×b
长方体的体积=长×宽×高公式:v=a×b×h
3.三角形
三角形的面积=底×高÷2.公式:s=a×h÷2
4.平行四边形
平行四边形的面积=底×高公式:s=a×h
5.梯形
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2公式:s=(a+b)h÷2
6.圆
直径=半径×2公式:d=2r
半径=直径÷2公式:r=d÷2
圆的周长=圆周率×直径公式:c=πd=2πr
圆的面积=半径×半径×π公式:s=πrr
7.圆柱
圆柱的侧面积=底面的周长×高.公式:s=ch=πdh=2πrh
圆柱的表面积=底面的周长×高+两头的圆的面积.公式:s=ch+2s=ch+2πr2
圆柱的总体积=底面积×高.公式:v=sh
8.圆锥
圆锥的总体积=底面积×高×1/3公式:v=1/3sh
三角形内角和=180度.
平行线:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
垂直:两条直线相交成直角,像这样的两条直线,
我们就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做垂足.
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第四部分:计算公式
数量关系式:
1,每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
2,1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数
3,速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
4,单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价
5,工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率
6,加数+加数=和和-一个加数=另一个加数
7,被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数
8,因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数
9,被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
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和差问题的公式
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
和倍问题
和÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或者和-小数=大数)
差倍问题
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或小数+差=大数)
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植树问题:
1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
2封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
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盈亏问题
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
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相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
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追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
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流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
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浓度问题:
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
******************************************************
利润与折扣问题:
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)
利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)
******************************************************
面积,体积换算
(1)1公里=1千米1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米
(2)1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米
(3)1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米
(4)1公顷=10000平方米1亩=666.666平方米
(5)1升=1立方分米=1000毫升1毫升=1立方厘米
******************************************************
重量换算:
1吨=1000千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
******************************************************
人民币单位换算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
******************************************************
时间单位换算:
1世纪=100年1年=12月
大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月
小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天,闰年2月29天
平年全年365天,闰年全年366天
1日=24小时1时=60分
1分=60秒1时=3600秒
F. 八年级上册小结并串联第1~3章主要数学知识和解题思想方法并制作思维导图
摘要 如何绘制八年级上册数学思维导图
G. 数学，中位数是什么、
中位数是指分配数列中各单位的标志值按大小顺序排列，位于中间位置的标志值。也就是说，中位数是位于标志值数列中心位置的那个标志值。在中位数的上下各有50%的单位数， 可见中位数以处于中心位置的标志值代表现象的一般水平，所以它是一种位置平均数。
中位数的计算，按未分组和已分组数列两种不同情况而有不同的计算方法。
(一)未分组数列的中位数计算方法
首先要确定中位数在数列中的位置数。不论数列是奇数数列或偶数数列均以确定中位数的位置数。 再以中位数位置数的标志值作为中位数。
例：若有一组数列：21、23、45、46、67、72、83。该数列为奇数，其中位数的位置数为：(位)， 与第四位相应的标志值46，则为中位数。
另有一组数列：23、24、25、25、26、27、27、28、29、55。该数列为偶数，其中位数的位置数为：(位)，即在第五位和第六位的中间，故其相应的标志值为第五位和第六位标志值的平均数， 即26与27的平均数： ，就是该数列的中位数。
(二)已分组数列中位数的计算方法
分组数列有单项式分组和组距分组，因此其计算方法：
①单项式分组数列的计算方法。
首先用公式确定中位数的位置数，并以之确定中位数所在组，该组的标志值即为中位数。例如：某班学生按年龄分组如表5-9。
表5-9 某班学生按年龄分组
按年龄分组
人数（人）
累计次数
17
18
19
20
21
8
19
21
7
3
8
27
48
55
58
合 计
58
--
先计算出中位数位置数(位)， 再确定中位数所在组，中位数的位置数为29.5位。从累计次数上看，应在19岁组，故19岁为中位数。但有人认为，单项式分组计算出来的中位数，不符合中位数的定义，其理由是中位数两边的单位不相等。如本例，中位数19岁以下的单位数为27，中位数以上的单位数为10。
②组距数列的计算方法。
例，某班男生体重资料如表5-10。
表5-10 某班男生体重资料
按体重
(千克)分组
人数
(人)
向上累计
向下累计
49～51
51～53
53～55
55～57
57～59
59～61
61～63
4
20
25
38
21
12
6
4
24
49
87
108
120
126
126
122
102
77
39
18
6
先计算中位数位置数：(位)。从向上累计或向下累计，都可以确定中位数所在组为：55～57组，然后按下限公式或上限公式具体计算中位数。
下限公式：
上限公式：
式中符号：--中位数；
--中位数下限；
--中位数上限；
--中位数的次数；
--中位数组以下累计次数；
--中位数组以上累计次数；
--为总次数；
--- 中位数组的组距。
按下限公式计算：
按上限公式计算：
H. 北师大版四年级上册数学《确定位置》教学设计
《确定位置》教学设计
教学内容：北师大版小学数学四年级上册80——81页。
教学目标：
1、能在具体的情境中，探索确定位置的方法，说出某一物体的位置。
2、能在方格纸上用"数对"确定位置。
3、结合生活实际，培养学生的方向感和空间观念。
教学重点：能按照从左往右、从前往后的顺序，用"数对"确定位置。
教具准备：课件组标志、宝盒
学具准备：方格纸，小图标
设计理念：既尊重教材，又超越教材;既自主探究，又适当讲授；既面向全体，又因材施教；既夯实基础，又培养能力；既关注课内，又适当延伸。
教学过程：
一、创设情境，引入课题。
做游戏：找宝
1、师：“同学们喜欢做游戏吗？（生：喜欢。）
师：我们今天来玩一个找宝游戏，（请两名学生，一名把宝盒藏在教室的某一个书桌中，另一名去找）
师在学生找时问：“容易找吗？（生：不容易）
师：“怎样能找得快些？（生：要是知道他藏在哪就好了）
2、师：“ 那好老师透露给你一条线索；在教室从左往右数的第二组同学的书桌里。
（生马上去第二组挨座翻看）
师：“现在容易找吗？（生：还行，快找到了）
师：“你能不能一找就准呢？（生：有点难）
3、师：请同学们再告诉他一条线索，让他一找就准，
（生：在第5个，学生马上到第五个座位找到了宝盒）
4、师：“刚才老师和同学们给他提供了准确的信息，这位同学才能很快地确定宝盒的位置，其实确定位置很讲究方法的，今天我们就来学习如何确定位置。
（出示课题：确定位置（一））
【设计意图：探索确定位置需要两个数据】
二、探究新知，引出数对。
1、说说班长的位置：
师：“刚才提供了两条信息，才能迅速准确地确定宝盒的位置？（生：2个）
师：“是哪两条信息？（生：第几组，第几个）
师：“用这两条信息谁能说一说班长的位置？
（生1：我在第3组的第4个座位）
2、引出数对
说的不错，现在来观察小青班的座位图。
观察者是站在老师的位置观察（从左往右数第一组、第二组等等）
请问：小青的在什么位置？（第3组第2个）说的非常好！谢谢！
（生在练习本上用数字或符号表示小青的位置。）
可能出现的几种情况？（ 三，2。 3，2）（3，2）。
刚才我们用一对数（3，2）表示位置，这种方法也叫做用“数对”表示位置，“数对”的表示方法是先表示的方向，后表示纵的方向。通常要在两个数字外面加上（），中间用“，”隔开。
读作：数对32
这里的3和2表示什么意思？（生：第3组，第2个）
学生回答：3是表示第3列，2是表示第2个。
第3组第2个和（3，2）两种表示方法，哪种更好些？为什么？
师：说的真好！
3、再来说一说
（1）小敏的座位是（ 2 ， 3 ），小华的座位是（ 4 ， 4 ）。
（2）（1，4）表示的位置是第 组第 个，他是（ ）；
（4，3）表示的位置是第 组第 个，他是（ ）。
（2，3）和（3，2）作比较。再说说（4，4）表示什么意思？
三、说说自己的位置
你们会用数对表示小青他们的位置了，（课件）
下面也用数对说说本班同学的位置。
1、 说说自己的位置
2、 师：刚才，几位同学说得都很好，下面请同桌互相用数对说说自己的位置。
3、在方格图中找位置。
师指一列的同学问：“你们都在第几列？表示你们位置的数对中都有几？”
（生：第一列，我们的数对中都有1。）
再请第一行的同学起立，大家说说你们的数对中都有数字几？为什么？（生：都在第一行，所以数对中也都有1）
师说：“现在如果把每列的同学看成一条条的纵向的竖线，把每行的同学看成一条条横线，同学们闭上眼睛想想我班就变成了什么样？
生：全是格了。
师出示棋盘问：“像不像这个遍布方格的棋盘。（生：像）
2、在方格图中标位置
师用手在棋盘下边和左边边指边说：“如果棋盘这里横向上的数分别表示第一列、第二列……，纵向上的数分别表示第一行、第二行……，那么，你能在这张图中用棋子摆出自己的位置，然后再用数对标出来吗？（找两名同学到棋盘上摆一摆，标一标。）
请其他同学们拿出方格图用圆点标出自己的位置，并在圆点处用数对标明，（师巡视，留意将点标在方格里，和标在交*点上的两类学生。）
学生展示汇报：
师问摆棋子的学生1：“你能给大家介绍介绍你为什么把棋子摆在这儿吗？”
生边比画边介绍：“我的位置是（4，3）我先在底下这排数字中找到4，再到左边这排数字中找3，把棋子摆在这两条线的交*点上。”
师：“谁和他的方法一样请举手。”（一多半学生举手）
师：支持率真高啊！
师指生2摆的棋子问：“这位同学摆的对吗？谁支持他？”（只有两人举手）
师：“为什么支持的同学这么少？”
生：“好象摆错了。”
师：“为什么这样想？”
生：“他摆在格里了，格左面有两个数字0和1都和棋子挨边，格下边的数字1和2也都和棋子挨边，这样就看不出他摆的是数对几和几了。”
师：“是啊，看来我们要把表示自己位置的点标在横线和竖线的交*点上。”
再让刚才摆错的学生用粉色棋子摆摆自己最要好的一个朋友的位置，让同学们猜你的朋友是谁？
生刚摆完，同学们就七嘴八舌的答出这个学生的名字。
今天同学们的表现都很好。
四、用数对表示身边的建筑
练一练1
师：数对不但可以表示教室里的位置，生活中还有更广泛的应用。下面我来考察一下，大家今天学习的怎么样。
师：师：这是小青学校附近的地图，说一说学校在地图上的什么位置？用数对表示。
图中还有哪些建筑物在什么位置？ 用数对表示。
师：指表格中，邮局与银行、图书馆与公园的数对让生观察比较，这三组数对有什么关系，说明了什么？
生：邮局、学校、图书馆的数对后一个数都是3，前一个数就不一样了。
师：再看看他们的位置。
生：位置不一样，一个比一个往后。
师：“也就是说数对里，虽然后一个数相同，但因为前一个数不同，所以位置也不一样。”
再指表格中，图书馆与学校的数对让生观察比较，这两组数对有什么关系，说明了什么？
生：“这两个数对的前一个数相同，但后一个数不同，所以位置也不同。”
师：同学们真聪明，
练一练2
（1）说一说游乐场各景点的位置。
（2）现在小敏的位置是（4，2），她要到溜冰场去，请画出路线图。
五、课堂小结：
这节课你学会了什么？（1：“我认识了数对，会用数对表示位置。2：“我学会了在方格图中表示自己的位置。”
同学们,通过今天的学习,你学会了什么?(确定位置)。利用这个本领,我们可以解决许多生活中的问题。只要你有一颗好奇的心,你就会发现:在我们的生活中有许多有趣的数学问题在等着你去发现、去研究!
六、你知道吗？
1、拓展，介绍地球经纬网知识
师：我们今天学习的知识有着更广泛的用途，下面让我们打开所藏的宝盒去看看吧！
课件出示：在地球仪上有横线和竖线，连接南北两极点间的竖线叫经线，垂直于经线的横线圈叫纬线，根据经纬线可以确定地球上任意一点的位置。
现在你知道我们国家是怎样迅速找到汶川位置的吗？如果我们不能马上确定灾区的位置，那后果会怎样？由此看来，准确的确定位置对我们来说怎么样——非常重要！希望同学们在以后的学习和生活中确定好自己的位置，用学到的知识去解决生活中所遇到的问题。
（设计意图：数学知识不仅仅停留在课堂上，为学生准备课外的知识，可以丰富学生的学习生活，拓宽学生的视野，由数学上的位置到学习中、生活中的位置，二者虽不尽相同，但对学生具有引领和教育价值，从而体现数学的大教育观。）
七、板书设计：
确定位置（一）
第几组第几个
第3列第2个
数对----（3，2）
读作：数对三二
教学反思 ：
1、贴近学生现实生活，充分利用学生身边的教学资源。学生的座位是本节课的重要的学习资源，本节课力求把这一教学资源用足。写出自己的位置，说自己好朋友的位置等一系列活动，层层深入，引导学生在认识和描述生活中的位置的基础上，学会用数对表示位置这一新的表示位置的方法，渗透平面直角坐标系的知识。这样设计，最大限度地贴近学生的现实生活，使学生感受到数学与生活之间的密切联系，使学生真正成为学习活动的主人。
2、本课的教学设计，力求体现问题化理念，创设思考数学的情境，让学生通过动口、动手、动脑，积极地探究“数对”这一数学知识的形成过程。
整节课的设计，始终贯彻这样一个原则：把学习主动权交给学生，学生能探索的不替代，能发现的不暗示，设计更加开放的课堂，多给学生思考的时间和尝试的机会。如：让学生说位置，让其他同学来猜一猜；又如让学生写出自己的位置，为学生创设一个丰富多彩的学习情境，调动学生的学习兴趣，使学生在原有知识的基础上，通过尝试、探索、思考、猜测以及学生间的合作、交流，使他们能够主动发展。
3、在精心备课的基础下，重视课堂上的互动与生成。课前，对提出的每一个问题都认真思考，学生有可能出现的答案，并想出如何应对。经过周密考虑，备出详细的教案。在此基础上，在课堂上再随机应变地处理课堂教学中学生所提的问题。整堂课，多次让学生说位置，其他学生猜猜“他说的是谁？”调动学生参与的积极性，营造师生、生生互动的氛围。再如，在学生汇报表示小青同学位置的时候，结合学生的汇报情况展开后面新知的教学，使环节之间连贯自然。
总之，本课力求用精彩的设计吸引学生，将愉悦的情绪和热情鼓励毫不吝啬地传给学生。为使自己在新课改的浪潮中有更大的进步，我将继续奋力前行!