Ⅰ 如何开发数学学科的育人资源
1、 以数学知识的内在结构作为育人资源
“新基础教育”研究提出了“要通过教学实现学科对于学生发展的独特的价值”-，这一目标与任务是高远而又平实的。高远在于最终要让学生建立起独特的思维方式，平实在于这样的思维方式需要通过每天每节课教学的渗透才能得以建立。那么，有没有实现这一目标的可能呢？
在研究的初期，我们发现几乎没有实现的可能！因为在课堂上，教师常常只局限在教学种形式上的改革。以小学 数学的计算教学为例，由于当时的教材按照计算形式和结果的不同，将计算知识的整体分为不同的类型：如口算和笔算，按法则依次运算和简便运算，精确运算和估算等等。教材还按知识的难易程度，以一个个知识点，配置一个个例题的形式进行编排。教师在教学时，遵循教材的体例，一个知识点一个例题孤立地进行。课堂上虽然有了方法多样、提问质疑、小组讨论等学生“主动”活动的形式，但是，透过这种“主动”形式，可以发现学生思维的深处是“被动”的应付和服从：教师教学简便运算的方法时，学生不会出现估算的方法；教师教学估算的方法时，学生不会用简便运算的方法。如此按照书本知识一个知识点一个例题的教学方式，使得学生同样很会“配合”教师，他们会围绕着知识点质疑讨论、思考多种方法。这种为方法而方法、为质疑而质疑、为讨论而讨论的教学形式，实质还是“教”学生机械地掌握计算方法，“育”出以被动适应为基本生存方式的人。[为了让学生的思维真正地主动起来，“育”以主动发展为基本生存方式的人，“新基础教育”意识到应该以数学知识的内在结构作为育人资源，树立数学教学的整体结构观。因为结构具有较知识点要强得多的组织和迁移能力，不仅可以使学生对结构相关的知识牢固掌握、熟练运用并加以内化，更为重要的是，通过结构的学习，可以使学生因结构的支撑而乐于、善于主动的猜想与类比，促使学生的思维真正地主动投入，形成主动学习的心态与能力。在此基础上，还可进一步使学生具有发现、形成结构的方法及掌握和灵活使用结构的能力。关于结构的教学，我们采用“长程两段式”的教学策略：首先需要对现有教学内容进行重组，按数学知识内在的逻辑组成结构链；其次需要教师打破原来的一个知识点一个例题“匀速运动”的教学方式，将每一结构单元的学习分为“教学结构”阶段和“运用结构”阶段。在“教学结构”阶段，主要采用归纳发现的方式，让学生从现实的问题出发，充分的体验发现和建构，逐渐形成知识结构和学习的方法与步骤结构。这一阶段的教学时间可以适度放慢。在“运用结构”阶段，主要让学生运用结构进行主动的猜想、类比与验证。由于学生已经能够掌握和灵活运用结构进行主动学习，这一阶段的教学的时间可以加速的方式进行。
以小学数学的加、减、乘、除法的笔算教学为例，教师要确立融口算、笔算、简算、估算为一体的整体意识，以教学笔算的运算结构为主线，将其它各种计算方法渗透在其中。在教学加法笔算的运算结构时，以“教学结构”的方式为主；在教学其它方法的笔算结构时，以“运用结构”的方式为主。我们期望达到的目标不仅是学生对运算结构的掌握和灵活运用，更为重要的是，提高教师数学教学的整体意识，努力创造条件，提供各种学生活动的机会，学会以捕捉学生所生成的资源作为契机，将口算、简算、估算等方法综合地渗透在教学中，以培养学生快速判断和灵活选择方法的意识与能力。我们认为，首先，融各种计算方法为一体的计算教学是载体，它为培养学生灵活判断和选择的能力服务，为培养学生整体把握问题的能力服务。其次，融各种计算方法为一体的计算教学，为学生学会根据具体情境和条件进行判断、并灵活选择相应的计算方法提供了舞台和发展的空间，使学生有意义的学习和灵活运用各种计算方法成为可能。这样既可以使学生的思维得到主动地发展，又可以使计算教学的知识目标水到渠成地得到落实。
2、以数学知识创生和发展的过程作为育人资源
以往的数学教学比较重视数学知识的记忆与应用，教学中重演绎轻归纳，学生只知道记忆符号，疲于模仿与操练，却不知道知识的来龙去脉。以数学知识创生和发展的过程作为育人资源，不但可以让学生了解数学知识的来龙去脉，而且可以让学生在学习过程中经历和体验数学知识的创生和发展的过程，感受数学的基本思想和方法，感受数学的抽象和力量，形成学习数学的内驱力，并逐渐建立起独特的思维方式，这是其它学科无法替代的、惟有数学学科所独有的教育价值。要还数学知识创生和发展过程的本来面目，还需要通过将教材知识点按其被发现、发展的过程进行重组与加工，实现书本知识与数学知识创生和发展过程的沟通。
例如，中学数学几何中关于“全等三角形的判定定理”的教学，传统教材不是按照人们发现判定定理的过程来叙述的，而是把发现的结果（四个判定定理），按照一个课时教学一个定理一个例题一组练习的形式加以编排，并且以演绎的方式呈现在学生的面前。这样的呈现方式，首先是容易导致学生死记硬背和机械的练习；其次是容易导致学生是为学习这些判定定理而存在的；更为重要的是，容易导致学生思维的压抑和被动。因为它对学生的学习需要缺乏关注；对学生如何经历与体验全等三角形判定定理的发现过程缺乏关注；对学生如何进行有意义的学习缺乏关注。也就是对学生学习全等三角形判定定理的有机过程与价值缺乏思考和研究。
为了还全等三角形判定定理发现、发展过程的本来面目，我们在实验中首先分析了学生已有的学习经验，以及在学习中经常会出现的困惑和需要解决的前提性问题。如确定一个三角形至少需要几个条件？全等三角形的判定定理中至少需要有几个条件？三角形的边与角按照三个条件的组合共有多少种？在诸多的组合中（共有六种）是否都能成为判定定理？等等。然后对教材内容按其被发现、发展的过程进行了重组与加工：在第一教时，着重让学生从整体感知，了解全等三角形判定定理的来龙去脉，经历观察、发现、猜想、验证、归纳和概括等数学活动，体验全等三角形判定定理的形成过程，感受渗透其中的数学思想和数学方法，感受从偶然到必然、从特殊到一般的归纳发现的思维方式。在第二或第三教时，着重让学生对判定条件进行快速判断和对判定定理的灵活选择，及掌握运用判定定理进行证明时的书写格式。第一教时的教学设计，采用归纳发现的方式进行教学。首先，提出判定三角形全等的前提性问题，以激发学生的学习需要和求知欲望；接着，可以两人合作的形式，选择六种组合中的一至两种组合进行猜想和实验验证；然后，全班交流，归纳概括，得出六种组合中的四种能够成为判定定理的结论。在这里，其中的两种不构成判定定理的组合，将成为学生形成正确认识的重要资源。
如果我们把全等三角形判定定理的教学，放到整个中学几何的判定定理的知识结构中去，这样的教学方式都能适用，并且，可以采用“长程两段式”的教学策略，在中学几何出现判定定理的一开始，以“教学结构”为主，后面的判定定理的学习就可以让学生“运用结构”进行主动的思考、猜想和发现。我们认为，这样教学对于学生发展的价值在于：不仅让学生整体感知和了解判定定理的来龙去脉，形成有意义的认识，而且让学生经历和体验判定定理的形成过程，感受数学的思想和方法。更为重要的是，学生掌握了判定定理的知识结构和学习方法结构，在以后的判定定理的学习时，就有了主动的猜想和类比的可能，这对学生主动的思维和形成主动的学习心态都是十分重要的。在实验中，我们不但从知识的角度，以数学整体和内在的知识结构、数学知识创生和发展的过程作为育人资源，而且还从人的角度，以数学发明与创造的人和历史作为育人资源，以学习数学的学生的基础和生活经验作为育人资源。
3、以数学发明的人和历史作为育人资源
在人类数学发展的历史长河中，闪烁着一颗颗明亮的星星。远，可以追溯到发现圆周率的祖冲之；近，可以联想到苏步青、陈景润。许多国内的、国外的、大大小小的数学发明或创造，充分体现了前人的智慧。传统的数学教科书虽然有提及，但大多只作介绍而已，以后人记忆或运用前人成果之方式来呈现，导致这些重要的育人资源成为被人遗忘的角落。数学教学需要对此进行深度的开发，实现书本知识与数学发明的人和历史的沟通，亮出数学发明最智慧的部分，作为实现数学学科育人价值的丰富资源，使学生在经历这些数学发明的“再创造”的过程中，感受智慧、实践智慧、体现智慧。
例如，《圆周长的计算》的教学，以往教学的重点是运用祖冲之发现的圆周率来计算圆的周长。为了让学生当一回祖冲之，经历圆周率的“再发现”的过程，实验教师提供了学生许多大小不同的圆片，让学生研究圆周长与半径、直径的关系，学生经研究后有了许多各自的发现：有的学生发现圆周长是半径的6倍多一点，圆周长是直径的3倍多一点；有的学生发现半径是圆周长的0.16倍，直径是圆周长的0.3倍；有的学生发现圆周长是半径与直径和的2倍多一点；等等，在此基础上，教师引导学生分析、比较、归纳、概括，将这众多的发现最终归结为一点：圆周长是直径的3.14倍。在这样的课堂，学生感受了、实践了、并再现了祖冲之的智慧，教师为学生的潜力而惊讶，为学生的发现而惊喜，也感受到了教师职业的内在尊严与欢乐！
又如，《厘米的认识》、《角的度量》的教学，以往都是将教学重点放在如何用直尺、量角器进行度量，却忽视了直尺、量角器发明创造过程的价值，这些发明凝聚了前人智慧的结晶，如果把它们开发出来作为育人的丰富的资源，就可以使学生在经历“再发明”的过程中，变得更智慧。
4、以学生的学习基础和生活经验作为育人资源
如果说树立数学教学的整体结构观尚且需要被认同和提倡的话，那么沟通书本知识与人的生活世界和儿童经验世界的联系现已经被广大教师认同和大力地实践。但是就笔者所见，比较多的情况是用“加法思维”的方式进行改革。即用“数学问题+生活情境”来实现联系，以为只要在课堂上设置了“生活情境”（有时设置的“情境”在生活中并不存在）就是与生活世界相联系了，忽视的是书本知识在日常生活中真实的意义，忽视了从生活情境中抽象出数学问题的过程体验，这样“沟通”常常显得表面和牵强。例如，在中学数学《解直角三角形的应用》的教学中，某教师为该教学内容制订的教学目标是：通过教学进一步提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。为了达成这一教学目标，该教师结合“生活实际”，创设问题情境如下：
某小区有两幢建筑物，在甲建筑物上从A点到E点
挂了一条长为30米的宣传条幅，在乙建筑物的顶部D点
测得条幅顶端A点的仰角为30°，测得条幅底端E点的
附角为20°，求甲、乙两幢建筑物之间的水平距离BC
（精确到0.1米）。教师期望的答案是运用解直角三角形的方法来求得两幢建筑物之间的水平距离BC。学生知其意，也非常“配合”教师，作图、添线构造直角三角形、利用直角三角形边和角的关系计算，最终求得与教师期望相一致的答案。
我们知道，运用数学知识解决实际问题的基本原则是化繁为简、化难为易。化隐为显。在这里，化隐为显是指揭示和显现隐藏在日常生活情境中的数学问题或数学模型。求两幢建筑物之间的距离确实是生活中的实际问题，但解决上述问题，完全可以用估测的方法，或者是直接测量的方法，根本不必借助建筑物的顶部某点与另一建筑物仰角、附角这一多余的转换，来计算出两幢建筑物之间的距离。显然，教师这个“情景”的“创设”至少是生硬的，或者说是不完全的。但值得反思的是：为什么全班学生都按照教师设计的问题情境的思路，用解直角三角形这个复杂的办法，来解决这一简单的实际问题？为什么没有一个学生对教师设计的这个问题提出质疑？从中我们至少可以看到：数学知识联系生活实际一定要以真实、可能为前提，否则，会造成根本上的脱离实践。另一方面，长期的围绕知识点“教什么”、“练什么”的教学方式，已使学生的思维形成被动服从的定势，往往习惯于按照知识点来思考解决问题的方法，表现出为解题而解题，很少思考问题的真实意义。这是在改革中要十分注意避免和改变的状态。
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