1. 特征向量里面有个基础解系，自由向量怎么取
只要两两坐标不成比例，随便你取，但是注意 对于只有一个自由未知量的时候不要取零，否则这时候会得出一个零向量，他与任何向量都是线性相关的，得不到线性无关组（基础解系）。
有两个变量可以任意取值，比如：让X4，X2任意取值，可取为（1，0）和（0，1），分别对应一组解；这样取既简单，又能满足正交。
(1)基础解系怎么判断自由向量扩展阅读：
基如果空间V中有n个线性无关的向量A1，A2，A3，…An可以线性地表示任何该空间中任意一个向量，则这n个向量是空间V的一个基。基，其实就是定义了一个空间。
易知，空间中有多个这样的基。 最简单的基就是空间V中的单位向量（范数是1的向量）。例如：三维向量空间 V是R3，三个标准单位向量{E1 , E2, E3} ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}。
因为E1 ,E 2, E3彼此线性无关，又可以生成V, 因此向量组{E1 , E2, E3} 是 V的一个基。这个基的基向量是由标准单位向量组成，因此{E1 , E2, E3} 又称为三维向量空间V的标准基。
特征向量和基础解系：A是矩阵，x是n维向量。基础解系是齐次方程组Ax=0的解，特征向量是由(A-λE)x=0对应的特征方程解得到的。
2. 关于求基础解系 通解过程中“取值”的一些疑问
首先解系含有3-R(A)=2个自由解向量，方程为x1+x2-x3=0
不妨设自由向量为x1,x2,令x1=1,x2=0，解得x3=1
令x1=0,x2=1，解得x3=1
所以A的基础解系为（1 0 1)^t 和（0 1 1）^t
或：
n-r(A)=3-2=1
所以解空间是一维
随便选x3做自由变量
令x3=1，于是x1=-1，x2=-2
于是得到一个解(-1,-2,1)
(2)基础解系怎么判断自由向量扩展阅读：
先求出齐次或非齐次线性方程组的一般解，即先求出用自由未知量表示独立未知量的一般解的形式，然后将此一般解改写成向量线性组合的形式，则以自由未知量为组合系数的解向量均为基础解系的解向量。由此易知，齐次线性方程组中含几个自由未知量，其基础解系就含几个解向量。
（1）这组向量是该方程组的解；
（2）这组向量必须是线性无关组，即基础解系各向量线性无关；
（3）方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。
3. 基础解系怎么取值
基础解系有两个自由变量，可以取0和1，那么这两个向量可以取为：（1，0）、（0，1）。
也可以是其他的，比如(2，0)、(0，2)，或者(2，0)、(0，1)等等，需要满足取得这组向量，线性无关就可以了。齐次线性方程组AX=0的解所构成的集合称为解空间，它的维数为n-r(A) 。
基础解系需要满足三个条件：
(1)基础解系中所有量均是方程组的解。
(2)基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示。
(3)方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。
值得注意的是：基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异。