❶ 基于圆孔扩张理论的岩溶地基稳定性分析
岩溶地基稳定性的评价，是岩溶地区岩土工程的一个重要内容，直接关系到地基基础方案的选择确定，目前常用的岩溶稳定性评价方法有定性评价和定量评价方法。
本节主要基于圆孔扩张理论 [17,18]，从弹性理论出发，分析地基中溶洞、土洞的应力状态，利用库伦－摩尔准则判别，通过计算来评价岩溶地基的稳定性。
1.7.1圆球形溶（土）洞地基稳定性
1.7.1.1球形体塑性区域内的应力
1.7.1.1.1球对称问题的应力平衡方程式
从已有的弹性理论可知，球对称问题的应力平衡方程式为[19]：
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式中：σr——径向应力；
σθ——切向应力；
r——孔中心到任一点的距离。
1.7.1.1.2库伦－摩尔破坏准则
图1.1 极限平衡条件Fig 1.1 The limit equilibrium condition
由图1.1几何关系可得：
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化简得到极限平衡条件也可为：
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1.7.1.1.3微分方程及其解答
将式（1.3）代入应力平衡方程式（1.1）得：
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化简式（1.4）得：
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令
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则式（1.5）可以写成：
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式（1.6）为一阶线性微分方程，相当于如下形式：
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式（1.7）的解为：
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式（1.8）中，C为积分常数。
将式（1.6）与式（1.8）比较：
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得：
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确定积分常数C：
当σr=pi, r=r0；并代入式（1.9）得：
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所以
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即
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将
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将
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将（1.12）代入塑性破坏判别准则式（1.3）得：
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1.7.1.2球形体弹性区域内的应力
设一半径为a的球形体，受内压力为Pa；并假设同球心半径为b的球面上受一均布外压力Pb（设b≫a）。此问题相当于厚壁球形容器在内、外压力作用下的轴对称弹性力学问题，见图1.2。
根据弹性力学分析，不难得到球形容器的应力状态方程[20]：
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式中：σθ，σr——半径为r时，球形容器球面上的切向应力、径向应力（kPa）;
a、b——球形容器的内、外半径（m）;
Pa、P b——球形容器所受内、外初始压力（kPa）。
由于b≫a，即
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图1.2 厚壁球形容器在内、外压力作用下示意图Fig 1.2 Diagram for thick wall spherical container with the action of inner pressure and external pressure
图1.3 岩溶地基弹塑性区域示意图Fig 1.3 Diagram for elastic and plastic scope in Karst region
如图1.3，σ0为原始应力（kPa）；σe为塑性区径向应力（kPa）；因此，对于岩溶地基，溶（土）洞的半径为r0，在弹塑性交界面上，半径R 1 球面上，作用有σe的径向应力，外围作用有原始应力σ0。由式（1.15）可得：
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1.7.1.3溶（土）洞塑性区半径R1
在式（1.16）中，令r=R1，可得弹塑性交界面上的应力（弹性应力）σθe和σre：
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在式（1.12）和式（1.13）中，令r=R 1，可得弹塑性交界面上的应力（塑性应力） σθp和σrp:
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弹塑性交界面上的应力应相等，即弹性应力等于塑性应力，σθe＝σθp；σre＝σrp。
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由式（1.21）两边乘于2，再与式（1.22）的两边相加，可消去σe，并解出R 1：
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若溶（土）洞内无充填，即pi=0，则溶（土）洞塑性区半径R 1为：
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1.7.2溶（土）洞地基稳定性判别
在式（1.24）中，令R 1=r0，可得到溶（土）洞内处于临塑状态时，地基原始应力的允许值[σ0]。
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化简得：
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当处于极限状态时，基础底面荷载p在溶（土）洞中心位置处产生的附加应力与地基岩土自重应力之和，应等于地基原始应力的允许值[σ0]，即：
[σ0]＝α·p＋γh （1.27）
式中：a——基础底面至溶（土）洞中心点的附加应力系数；
γ——溶（土）洞中心点以上岩土体的重度，对处于地下水以下的土体取浮重度（k N/m3）;
h——溶（土）洞中心点到地面的距离（m）。
1.7.3算例
桂林市南洲大桥，横跨漓江，采用桩基础，以上泥盆统融县组石灰岩（D3r）作为持力层。其中的A06 基桩，桩径为1.0 m，设计桩荷载16000 kN，推荐桩端设计标高118.32 m，桩长34.18 m，桩端下溶洞顶板厚度为4.55 m，溶洞跨度直径2.90 m，石灰岩黏聚力c=1.6 MPa，内摩擦角φ＝52°。
对于圆形的桩基础，根据土力学知识，其附加应力系数
地基原始应力允许值[σ0]:
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在式（1.27）地基原始应力的允许值[σ0]计算式中：
附加应力系数：
溶洞顶板以上岩土体重度应力近似为：γh=20 ×34.18=684kPa
基础底面荷载：
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基础底面荷载p在溶（土）洞中心位置处产生的附加应力与地基岩土自重应力之和为：
α·p＋γh =0.0103 ×20382+684 =894kPa<[σ0]=6195kPa（ 溶洞安全）
1.7.4岩溶通道（暗流）地基稳定性
在岩溶地区，并不是所有的溶（土）洞都是球形的，有些是由潜蚀作用形成的岩溶通道，此时，可以认为是二维平面问题。
平面对称课题的应力平衡方程式，从已有的弹性理论可知，二维平面对称课题的应力平衡方程式为：
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用相同的方法可以得到溶（土）洞塑性区半径R1：
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若溶（土）洞内无充填，即pi=0，则溶（土）洞塑性区半径R 1为：
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在式（1.29）中，令R 1=r0，可得到溶（土）洞内处于临塑状态时，地基原始应力的允许值[σ0]。
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将式（1.26）与式（1.30）比较，可以发现三维球形洞体的地基原始应力的允许值[σ0]大于二维平面时（如岩溶通道）的地基原始应力的允许值[σ0]，三维是二维的4/3倍，换言之，相同情况下，球形洞体岩溶地基比岩溶通道更稳定。
1.7.5结论
基于圆孔扩张理论原理，推求了岩溶地基圆球形溶（土）洞塑性破坏判别准则。根据弹性理论及相关分析，可获得地基中土洞周边土体的应力状态，推求了溶（土）洞塑性区半径计算公式和方法，令溶（土）洞塑性区半径R 1 = r0，可得到溶（土）洞内处于临塑状态时，地基原始应力的允许值[σ0]，据此可对岩溶地基的稳定性进行判别。同理，推导了岩溶通道（暗流）地基稳定性判别方法和公式。