1. 动态规划原理之平均场博弈论
动态规划原理在平均场博弈论中是解决最优控制问题的关键工具。最优控制分为确定性最优控制理论和随机控制理论，本文主要探讨确定性最优控制理论的推导过程。
动态规划原理基于Bellman最优性原则，通过将复杂优化问题分解为一系列更简单的子问题，实现对最优策略的求解。在这一框架下，我们定义值函数或成本函数，它依赖于系统状态和时间，初始条件设定为函数的初始状态。
通过对值函数的定义和优化过程的分析，我们可以将目标函数简化为价值函数，动态规划原理在此基础上形成定理2.1，即定理指出，给定值函数，我们能够确定系统在任意时间点的状态价值。通过应用动态规划原理，我们能够逐步优化总成本或收益，从而找到最优策略。
值函数满足半群性质，这意味着如果我们知道值函数在某一时点的值，我们就能预测下一时间点的值。动态规划原理的证明基于任意可容许控制的组合，通过将复杂控制问题分解为简单控制问题，逐步优化系统状态。
通过动态规划原理，我们能够实现从初始状态到最终状态的最优控制策略的求解，最大化系统在时间结束时的收益或最小化成本。动态规划原理在平均场博弈论中发挥着核心作用，提供了一种系统地求解最优控制问题的方法。