‘壹’ 方程组x1+x2+x3+x4+x5=0的基础解系是多少(共有四个基础解系)，想知道计算步骤怎么来
基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。
取基础解系的条件必须保证基础解系是线性无关的，是极大线性无关组，否则不成立。
方程组x1+x2+x3+x4+x5=0可以有这样的取法，按照x1=-x2-x3-x4-x5
因为取法是多样的，想要快速的解题，可以取用0和1这样的简单数值来进行代入；要取两个未知数的等式成立，可以这样
当取x3=x4=x5=0，x2=-1时，所得x1=1，得到基础解系ξ1=(1,－1,0,0,0)T。
当取x2=x4=x5=0，x3=-1时，所得x1=1，得到基础解系ξ2=(1,0,-1,0,0)T。
当取x2=x3=x5=0，x4=-1时，所得x1=1，得到基础解系ξ3=(1,0,0,-1,0)T。
当取x2=x3=x4=0，x5=-1时，所得x1=1，得到基础解系ξ4=(1,0,0,0,-1)T。
接下来要验证基础解系的线性相关性
因为方程组x1+x2+x3+x4+x5=0有四个基础解系，可以知道四个基础解系线性无关。
通过验算可以知道ξ1，ξ2，ξ3，ξ4互为极大线性无关组，所以该组的取值正确。
(1)基础解系相加有什么结果扩展阅读：
齐次线性方程组性质
1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
4、 n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。
‘贰’ 线性代数关于基础解系的问题
第一个： 即 x2 + x3 = 0, 取 x3 = -1，则 x2 = 1， x1 任意，可写为基础解系 (0, 1, -1)^T;
取 x3 = 0，则 x2 = 0， x1 任意，但不能再为 0， 可写为基础解系 (1, 0, 0)^T;
通解 x = k (0, 1, -1)^T + c (1, 0, 0)^T.
第二个： 即 x3 = 0, 取 x1 = 1， x2 任意，可写为基础解系 (1, 0, 0)^T;
x3 = 0, 取 x1 = 0，则 x2 任意，但不能再为 0， 可写为基础解系 (0, 1, 0)^T;
通解 x = k (1, 0, 0)^T + c (0, 1, 0)^T.