A. 数学的基本结构（张景中）
数学研究的对象，慢慢地显露出了它的轮廓。它研究结构——从不同的系统中抽象出来的共同结构。
首先是集合。集合好像是一片空地、一张白纸、一群没有分派角色的演员。
一旦在集合的元素之间引进一些关系，集合的元素就有了自己的个性，根据关系的性质，集合上开始出现结构。
结构不是人主观上随意指派的，也不是在理念世界永恒存在的，它是总结大量感性经验上升为概念的结果。
布尔巴基学派认为，数学研究的基本结构即母结构有三种：
一种叫做代数结构。集合上有了运算，能够从两个元素生出第三个来，就叫做有了代数结构。前面我们刚刚谈过的群，就是一种基本的代数结构。
一种叫序结构。集合中某些元素之间有先后顺序关系，就叫做有了序结构。序结构也是应用极广的一种结构。数的大小关系，生物的亲子关系，类的包含关系，都是序关系。
还有一种叫拓扑结构。它用来描述连续性、分离性、附近、边界这些空间性质。
我们看到，这几种结构恰好都是现实世界的关系与形式在我们头脑中的反映：
代数结构——运算——来自数量关系；
讲序结构——先后——来自时间观念；
拓扑结构——连续性——来自空间经验。
然而这些东西一旦抽象成数学概念，成为脱离具体内容的*结构*，它就可以用到任何有类似性质的系统之中，而不一定与时空、数有关了。
一个系统可以具有几种结构。如实数系，它有加减与乘除，这是两种互相联系的代数结构，它有大小之分，这是序结构，它的连续性体现了拓扑结构。
基本结构可以加上一些公理派生出子结构，两种以上的结构可以加上联结条件产生复合结构。对于实数，如果a>b，则a+c>b+c，这就表明代数结构与序结构联系起来了。通过结构的变化、复合、交叉，形成形形色色的数学分支，表现为气象万千的数学世界。
当数学家遇到新的研究对象之后，他自然而然地会想，所遇的事物能不能放到某个已知的结构之中?如果可以，便马上动用这个结构的全部已知性质作为克敌制胜的武器。
历史上有过这样的例子：数学家长期不能理解复数，把它叫做虚数。后来发现，复数可以用平面上的点表示，这个发现相当于把复数的代数结构与平面的拓扑结构挂上了钩。复数的研究立刻有了实际意义，找到了应用，获得飞速发展。这表明，把新的陌生的对象纳入已知的结构之中是多么重要。
布尔巴基学派也承认，把数学看成研究各种结构—-这些结构以几种母结构为骨架不断地生长、发展——的科学，仍然是对数学现状的粗略的近似。
可以将数学看成是一个不断发展着的大城市，城市的建筑被街道分隔，又由街道联系起来。街道形成结构，建筑在结构的规范中生长。可是确有很多有特色的建筑，它的特点无法由街道的结构来解释。这就是结构观点的概括性。它无法关心的某些与结构关系不大的局部状况，有时也有重要的意义。例如，数论中的大量孤立的问题(如哥德巴赫问题)，就很难与已知结构很好地联系起来。
布尔巴基学派也主张，结构不应当是静止的，数学的发展可能会发现新的重要基本结构。因为数学是一门生命力旺盛的科学，对它不能“盖棺论定”，不会有终极的真理。
总的看来，布尔巴基学派把数学看成以结构为对象的科学，这种观点是与辩证唯物论一致的。因为：它否定了数学知识的先验观点，主张结构来源于人们实践的经验，正确地描述了数学中结构概念的抽象形成过程；它用整体的观点看数学，着眼于数学各部门的内在联系，说明了是什么使数学统一起来并使它有多样性；它用变化发展的观点看数学，主张结构不是一成不变的；它主张数学的真理性最终要用科学的实践来检验，用科学上的成功经验支持结构观点。
结构观点的产生，不是偶然的。布尔巴基学派自己指出：这是半个多世纪以来(即从19世纪末期到20世纪中期)数学进步的结果。其实也可以说是两千多年数学进步的结果。公理方法从欧几里得开始，到非欧几何产生之后，数学家开始有了现代的公理化观点。这种方法经过第三次数学危机的考验，特别是由于形式主义学派尔伯特的大力提倡，在数学实践中已生根开花，终于更上一层楼，形成了“结构”的观念。
一开始，人们追求公理的完备性或完全性。也就是说，在公理系统中，任何一个命题的成立与否，只能有唯一的解答。这样，具有完全性的公理系统，实质上只能描述一种对象。例如，欧几里得的几何公理，所描述的对象形式上尽管可以多种多样，但是本质上只有一种，这就使公理系统应用的广泛性受到削弱。去掉平行公理，几何公理系统失去了完备性，可是它的适用范围更广了。在去掉了平行公理的几何体系中，证明了的定理，在欧氏几何和罗氏几何中都成立。如果再去掉一些公理，用剩下的公理推证出来的定理，在欧氏、罗氏和黎氏几何中都成立，叫做“绝对几何”的定理。
数学家们发现，公理系统的不完全性不是坏事，而是好事。不完全，可以容纳更丰富的对象。公理是对所研究对象的限制。限制愈多，研究面愈窄；限制适当减少，研究成果的适用范围就更丰富了。
在这种认识的启迪下，数学家们研究了许多不完全的公理系统，如群、环、域、线性空间、概率论、测度论，等等。数学实践证明，对不完全公理系统的研究有强大的生命力，它促使人们对公理系统进行分解，分解成一些更基本——更不完全的公理体系，终于促成了结构观点的出现。
B. 基础数学是什么
从小到大，数学一直伴随着我们成长，从1+1，到四则运算，到解方程，到函数几何，再到极限与无限，我们的认知从朴素的算术一步步前进，在祖国教育系统的敦促下，基本达到了懂较为抽象的函数世界。但是数学到底是什么，大概大家还没有一个很宏观的概念。
数学，在很多人眼里尚且停留在计算的程度，实际上不然。目前国内的数学专业大致最多有三个专业：计算数学，数学与应用数学，统计学三样。由于up自己是数应的，而且严格上讲，只有数应与数学整个理论体系最为贴合，所以此篇文章只涵盖数应，详细聊基础数学。
将基础数学分为几大部分，经典的分类是：几何，代数，分析，微分方程。
一、几何（研究形状）
炼气期：初等几何（二维，三维经典图形的性质）
筑基期：解析几何（三维中考虑点线面的坐标表示，推广至n维图形坐标的性质）
结丹期：微分几何（以参变量表示二维，三维光滑图形，探索奇怪形状的几个曲率，并将平面上的直线外推到曲面上的测地线，表示最短距离）
元婴期：黎曼几何（当一个曲面作为画布，测地线作为最短路径，我们应该如何考虑其上图形的微分性质呢？流形：当它动起来，又将如何考虑移动前后的变化关系呢？）
化神期：几何研究
二、代数（多维度研究万物，表示万物）
炼气期：认识多项式，理解设未知数的意义
筑基期（上）：线性代数（了解行列式，矩阵运算与矩阵变换，特征值）
这个学科可以说是抽象的起点了，但是不像小学，1+1=2可以先用1个苹果+1个苹果=两个苹果作比；这里是从1+1=2开始的。实际上，我们是为了研究更实际的问题，先学习矩阵这个数学工具，类似于先理解1+1=2，再考虑这个1，2后面与之对应的客观事实。
但是由于矩阵后面的事实是很复杂的，为了节省时间，所以先学习其运算与特点。在学习此阶段时，可以先用n维向量与它在n维空间中的变化作为抽象考虑。
筑基期（下）：高等代数（与线性代数一致，加入了更多证明成分）
结丹期：抽象代数（群，环，域）
其中，群是由于对对称性的研究产生的，比如一个正三角形有三个轴对称，三个旋转变化（120度，240度，360度），这几个变换涵盖了所有对称性（自封闭），并且可逆，旋转360度为恒等变换，所以这几个变换组成的集合构成群。
环是为了模而生的，矩阵构成的集合就是一个环，它同时也是模。
域即为数域，比如实数域，复数域。
元婴期：代数表示论
有时候一个代数（有元素，有运算的集合）不好表示，所以我们用线性空间来表示它。因为很多时候重要的是运算本身，所以用同态（保持运算）来合理连接两者。
化神期：代数研究
三、分析（研究连续函数与连续映射）
炼气期：函数，映射与集合（函数为数到数；映射为集合到集合，都是变化的表征）
筑基期：微积分（微分求梯度，积分求面积体积超体积）
结丹期：实变函数学十遍（给一般的集合赋予距离，用连续函数将它们映射到实数域中；在这样的意义下考虑定义微积分）
元婴期：复变函数（在复数域上理解连续函数，复数到复数；类似于二维平面到二维平面的映射，但是由于复数的定义有一些有意思的结论）
化神期：泛函分析心泛寒（考虑从任意集合到实数域或者复数域的映射，由于映射本身为变换的表征，也称之为“算子”，“泛函”）
下一境界：分析研究
四、微分方程
炼气期：解方程
筑基期：常微分方程
结丹期：偏微分方程
C. 小学数学教材的基本结构
作为一名一线数学教师，我们都有自己对新课程改革实施以来的一些经验积累，经过近几年的实践与探索，我们深深体会到:要使用好新教材，在数学课堂上培养学生的数学素养、创新意识、实践能力，促进学生全面、持续、和谐的发展，课堂教学是改革的关键。因为课堂是学校教育的中心环节，教材的具体实施要通过课堂来实现，教育教学观念是否转变，课程标准基本理念是否得以体现主要是通过课堂教学来反映。下面我就简单介绍一下我划分的几种课型:新授课、练习课、复习课、矫正课（讲评课）。
作为新授课，在我们所有课型当中，应该说是最重要的。学生知识的掌握和理解大部分都都来自新授课，新授课质量的高低直接影响着学生的成绩。我认为新授课的基本结构模式是:问题----探究----概括----答疑----练习。下面我就结合平常教学谈谈新授课教学的程序。
（1）创设情境，引入新知:
数学来源于生活，我们可以从生活中挖掘出与教材内容息息相关的素材，或谈话引入，或情境引入，或制作成课件，用课件引入，通过生活实际引导学生发现数学问题，再通过学生提出的数学问题引入新课，使学生产生浓厚的学习兴趣，并明确学习任务，使学生从每节课的数学课中感受到，生活中到处是数学，学数学可以解决生活中的很多问题。
（2）启发引导，组织研讨
教师针对学生提出的切合主题的问题，引导学生研究探索，动手实践，合作交流，寻找解决问题的方式方法。这个环节的实施，低年级学生提倡师生共同研讨，教师导，学生探索、交流，由浅入深，一步一步深入；中、高年级学生，教师结合教材内容及学生实际，可采用低年级师生共同研讨的办法，也可放手让学生自主探索，但放手让学生自主探索必须作探索方法指导，如指导学生观察课本情境图，指导学生动手实践，或指导学生小组合作交流等等，集体的指导和个别的指导要相结合，使学生探索有目的、有方法。
（3）深入指导，归纳小结
通过学生自主探索后，教师组织学生集体讨论，通过学生探索的解决问题的方式方法，引导学生围绕中心内容归纳小结，形成初步系统的知识链。
（4）质疑问难，答疑解惑
学贵知疑，要使学生多思善思，必须先会多问善问。根据学生的质疑，教师可以把握大量的反馈信息，从而有针对性地进行疏导、释疑、解惑，提高课堂教学的效率。我们尤其要鼓励学困生质疑，耐心地给予解答，及时表扬鼓励，这样有利于兼顾“两头”，大面积提高教学质量。这需要我们长期不厌其烦的指导、鼓励，使学生养成提问题的习惯，从而培养良好的思维习惯、学习习惯，不断提高思维水平。同时，作为教师，如果我们认为哪个方面可能学生不一定清楚，由教师提问，学生解决，这也是非常有意义的。
（5）分层练习、反馈矫正
学生理解了新知识后，还需要通过练习加深理解，使知识转化成技能，并通过练习发展学生的思维能力。练习设计要有计划、有目的、有层次，由浅入深，由易到难，注意面向全体，及时反馈及时矫正，及时奖励及时强化，加强指导，最后变式提高。、
练习课是新授课的补充和延续，其主要任务是巩固数学基础知识和形成熟练的技能技巧。一般是在新知识教完后（新课后的自主练习）进行或一个单元后（综合练习）。练习课教学，关键是练习题的设计和选择。要注意练习的目的性、典型性、针对性、层次性、多样性和趣味性；要注意运用题组练习，加强各种练习的协调和配合，提高练习的整体效率；练习的编排要由易到难，循序渐进；练习的结果要及时反馈评价，引导学生在对比中弄清区别，在辨析中加深理解，在概括中把握联系，在评价中受到激励。练习的量要适当，既要保证知识的巩固和技能技巧的形成，又要防止学生的负担过重。我认为，练习课的基本结构是这样的:
（1）检查复习。主要是回忆已学的基础知识，特别是本课内容所需的基础知识，同时，也进行一些基本技能训练（包括口算训练和解决问题的基础训练等）。
（2）揭示课题。明确练习的内容和要求。
（3）练习指导。练习课应防止机械重复的练习，应该有指导地进行练习，使学生通过练习有所提高。教师的练习指导，可简要分析练习中要应用的法则、定律，并要求学生注意容易出错的地方。有时可先组织板演练习，然后通过对错题的评讲，进行练习指导，这样做比较自然。
（4）课堂练习。这是练习课的主要部分，要有充分的时间让学生练习，练习要分层次，要注意应用题组练习，加强练习题之间的联系和配合，提高练习的整体效益。
（5）练习评讲。对练习中发现的普遍性问题进行评讲，使学生进一步加深理解所学知识，当堂解决问题。通过练后评讲，使学生的认识水平有所提高。
（6）课堂小结。可先让学生自己小结:通过练习课，自己有什么提高，弄清了什么问题，总结解题规律和分析练习中的问题，作进一步的练习。
复习课的主要任务是复习巩固所学的知识，使学生加深对已有知识的理解，并把知识系统化、条理化。根据教学进度，可以分成单元复习、期中复习和期末复习。
复习课的目的是通过对知识的条理化、综合化、系统化的整理，使学生对知识加深理解、牢固掌握、灵活运用。复习课要有利于建构知识结构，提示知识之间内在的、本质的和必然的联系。从纵、横两方面加深对知识的理解，弥补学习上的缺陷，减少记忆负担，防止遗忘，促进学生认知结构的形成和完善。
我认为，复习课的基本结构是这样的:
（1）宣布复习的内容和要求。
（2）出示复习提纲。对拟复习的内容作概略式的提示，帮助学生回顾总结已学过的知识，建立知识之间的纵横联系，加深对知识的理解，特别是重点内容。可以提出复习提纲，让学生讨论，也可以安排例题进行讲解，重点指导学生如何综合运用所学的知识解题。
（3）复习习题。这是复习课的主要部分。教师根据复习内容和要求，布置具有明确目的的复习题组，让学生练习，使学生通过复习作业，把知识串联起来，使之系统化、条理化、网络化，便于储存、提取和应用。在复习进行的过程中，可安排基本练习题，巩固、理解学过的知识。复习后的练习要有针对性，既有基本题，又有综合题，重点要解决解题思路。
（4）复习讲解。根据学生在做复习练习时反馈出来的信息，有的放矢地进行系统讲解，关键在于把知识系统化、条理化，构建知识结构，并根据学生在复习练习时出现的问题，进行重点分析。
（5）课堂小结。可让学生自己先作小结，通过复习课有些什么收获，明确了哪些问题，在此基础上教师再做简要的小结。必要时可以有针对性地适当布置一些家庭作业，达到继续复习巩固的目的。
四、矫正课（讲评课）
矫正课是以总结学生的学习成果，纠正作业或测验考查中的错误，鼓励先进，帮助后进，为后继学习扫除障碍为主要任务的课。讲评前，要对学生的作业或考卷进行认真分析，找出带共性的一般性问题，讲评中，要注意发挥学生的主体作用，让学生在讲评中提高认识，受到激励，讲评后，要布置一些与讲评内容密切相关的作业，让学生练习，提高学生对讲评内容的认识水平。
讲评课的一般结构:
（1）情况通报。教师说明作业完成情况或测验考查的结果。出示作业或考卷分析表。介绍作业或测验的平均分、及格率等统计分析指标，对照教学目标，指出哪些知识点学得较好，哪些知识点还有问题。对考得较好或学习有进步的学生提出表扬，对学习有困难的学生进行鼓励。
（2）导入课题，出示目标。根据作业或测验中反映出来的主要问题确定讲评课题和教学目标。
（3）讲评。对有创见的解答加以介绍，对有代表性的错误分类进行评讲。
（4）针对性练习。根据存在的主要问题进行针对性练习。
（5）总结。让学生总结出自己的错误，及以后如何改正。
新课程改革使我们的课堂教学充满了生机与活力，也给我们的课堂教学改革带来了更大的发展空间和进一步发展的契机。我们准备着迎接新的挑战，也期待着更的大收获。
D. 数学的基础知识是什么
数学的基础知识如下：
如果说数学的基础知识，首先要看你处于哪个数学学习阶段（初等数学，高等数学，或者数学研究方向）。
初等数学的话，基础知识就是记忆使用各种定理定义（代数：一元二元一次二次方程，一元二元一次二次函数等，几何：平面几何，简单立体几何等）。
高等数学的话，基础知识就是利用已知尝试推演定理（各种初等函数的扩展，解析几何，向量，立体几何，微积分，统计学等）。
数学的简介：
数学[英语：mathematics，源自古希腊语μθημα（máthēma）；经常被缩写为math或maths]，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
E. 数学的基础是什么
数学基础（Fundamental Mathematics）即研究数学的基础，回答“数学是什么？”，“数学的基础是什么？”，“数学是否和谐？”等等一些数学上的根本问题的学科。
从直觉主义、逻辑主义和形式主义的相同与不同，可以追溯到近代康德对数学本质的思考。
康德认为算术来自先验主体对时间纯形式的直观，几何则是对空间纯形式的直观。
这实质上是一种由主观而客观的思路。
康德的思想后来又在胡塞尔那里得到继承和发展。
胡塞尔就是从考虑“数在哪里”的问题提出现象学还原方法的
（正比例函数、一次函数、二次函数）、一元二次方程、平面几何、三角函数
因式分解，集合，逻辑