㈠ 基础解解系求通解的k什么时候不能为零
1. AX=β和AX=0解中的k是不是不一样的啊？
需要清楚AX=β的解的组成：
AX=β的解由AX=0的通解+AX=β的一个特解组成。
而系数k是产生于通解。所以：AX=β和AX=0解中的k是一样的。
AX=β的通解如果是k1α1+k2α2, k1、k2是不是不能同时为零，那AX=0呢？
我们讲非齐次线性方程组的解只有基础解系。齐次方程的解才叫通解。
通解k是可以随意取值的。所以，k1,k2可以同时为0.
AX=0 也是一样的。 他是方程的一个特解：零解
㈡ 基础解系可以是0吗，比如Ax=0的系数矩阵为（1，0，0；0，1，0；0，0，0；）
齐次线性方程组Ax=0的解可以是零向量，但基础解系中不能有零向量。基础解系是所有解向量的一个极大无关组，而包含零向量的向量组一定是线性相关的。
㈢ 什么时候k为任意常数什么时候k为非零常数
你问得太简单了，都没有前提的。如果是问线性代数的话，我知道有个地方会混淆。1、求方程组解系的时候，k为任意常数，因为0解也是解；2、求全部特征向量的时候，k为非零常数，因为特征向量不能为零向量。
㈣ 什么是基础解系
齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异。
不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。基础解系是针对有无数多组解的方程而言，若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数，若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。
(4)基础解系中k什么时候可以为零扩展阅读
基础解系和通解的关系：对于一个方程组，有无穷多组的解来说，最基础的，不用乘系数的那组方程的解，如（1，2，3）和（2，4，6）及（3，6，9）以及（4，8，12）等均符合方程的解，则系数K为1，2，3，4.....因此（1，2，3）就为方程组的基础解系。
A是n阶实对称矩阵，假如r(A)=1。则它的特征值为t1=a11+a22+...+ann，t2=t3=...tn=0；对应于t1的特征向量为b1，t2~tn的分别为b2~bn。此时，Ax=0的解就是k2b2+k3b3+...+knbn；其中ki不全为零。
由于Ax=0Ax=0*B，B为A的特征向量，对应一个特征值的特征向量写成通解的形式是乘上ki并加到一起。这是基础解系和通解的关系。
㈤ 基础解系可以是0吗，比如Ax=0的系数矩阵为（1，0，0；0，1，0；0，0，0；）
基础解系是解空间的一组基。所谓“基础”，顾名思义，指的是：基础解系可以线性表示解空间当中任意一个解向量。需要指出，一个线性方程组解空间的基础解系的选取并不唯一。假设这个解空间的维数是n-r，那么解空间中任意n-r个线性无关的解向量构成的向量组都可以作为这个解空间的基础解系。相信你也注意到了上文提到的“线性无关”这一基础解系作为向量组的基本属性。如果将零向量放入基础解系，那么基础解系就会变成一个线性相关的向量组。因为任何一个含有零向量的向量组都一定是线性相关的。因此，在“线性方程组解的结构”这一节内容中，关于基础解系的定义：“解空间中任意n-r个线性无关的解向量”已经隐含了“零向量不可能被纳入基础解系”这一层含义了。另外，需要指出，题主所举例的这个齐次方程组的系数矩阵A=[1 0 0;0 1 0;0 0 0]的秩rank(A)=2。因为系数矩阵的列数(解向量中的变元数)等于3，所以这个齐次方程组的解空间是1维的。它的一个基础解系为：[0;0;1]
㈥ 线性代数关于基础解系的问题
第一个： 即 x2 + x3 = 0, 取 x3 = -1，则 x2 = 1， x1 任意，可写为基础解系 (0, 1, -1)^T;
取 x3 = 0，则 x2 = 0， x1 任意，但不能再为 0， 可写为基础解系 (1, 0, 0)^T;
通解 x = k (0, 1, -1)^T + c (1, 0, 0)^T.
第二个： 即 x3 = 0, 取 x1 = 1， x2 任意，可写为基础解系 (1, 0, 0)^T;
x3 = 0, 取 x1 = 0，则 x2 任意，但不能再为 0， 可写为基础解系 (0, 1, 0)^T;
通解 x = k (1, 0, 0)^T + c (0, 1, 0)^T.