Ⅰ 假如你是一名小學數學老師,如何根據維果斯基的最近發展區進行課堂教學
「最近發展區」是前蘇聯心理學家維果茨基提出的，其涵義是指學生的發展有兩種水平，第- 一種稱為現有發展水平，表現 為學生能運用已有的知識經驗獨立完成;第二種是潛在的發展水平，是那些尚處於形成狀態，表現為學生還不能獨立地完成，但在教師的幫助下，通過訓練和自己的努力，才能完成的學習任務。 這兩個水平 的幅度即為「最近發展區。
一在教學層次中引入「最近發展區」
在數學教學中，隨著 知識面的擴展以及深度地進-一步深入，一定要適應學生的思維發展要求，使 學生接受知識，掌握基 本技能以及數學思想方法。換言之，成功的數學教學應置於學生思維的「 最近發展區」。然而，目前有不少老師在數學教學中忽視了「最近發展區」 ，其表現在運用高考尺度要求學生。當然這個「尺度」落實在學生的很多方面，主要方面是-一味採用高考的試題作為課堂講解例子、練習、作業，盡管這種做法對高考備考有利，讓學生體會到高考的緊迫性，但濫用高考試題往往超越了學生的「最近發展區」。對小部分學有餘力的學生具有積極的作用，因為高考中的例子具有新穎、
深刻等特點。然而，課堂的教學並不是面向小部分學生的教學。另-
種表現是在數學教學中當學生對新的教學內容還處於模糊狀態，還需進一步學習與鞏固。假如教師跳過 學生理解模糊的區域，進入下 節課的內容。這時，教師很難設置下節課的「最近發展區」， 甚至超越最近發展區。這兩種情況都會使學生失去學習數學的興趣，甚至 引起學生的厭學情緒。
通俗地講，學生的發展有兩種水平：一種是學生的現有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平；另一種是學生可能的發展水平，也就是通過教學所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發展區。
專業地講，維果茨基的研究表明：教育對兒童的發展能起到主導作用和促進作用，但需要確定兒童發展的兩種水平：一種是已經達到的發展水平；
另一種是兒童可能達到的發展水平，表現為「兒童還不能獨立地完成任務，但在成人的幫助下，在集體活動中，通過模仿，卻能夠完成這些任務」。這兩種水平之間的距離，就是「最近發展區」。教學過程是在教師的牽引和告知中進行的， 教師儼然是主角， 學生是課堂上的配角， 根本就談不上積極和主動， 抑制了學生個性的發展、 能力的培養和智力的開發， 在很大程度上影響了學生自學能力和自我發展能力的提高。 出現這種狀況的根本原因是對「最近發展區」的理論缺乏認識和理解， 更缺乏實踐和探索。 在數學教學中， 教師如何運用「最近發展區」 理論有效組織教學呢？ 我認為應從以下幾點著力提高認識， 不斷嘗試， 大膽實踐。
一、 運用「最近發展區」 理論， 要著力發掘學生數學潛能和培養主觀能動性 數學課堂教學中， 教師應重視在已有水平和可有水平之間、 已知知識和未知知識之間搭台階、 架橋梁， 鼓勵學生主動去嘗試解決問題。在解決問題的過程中， 探索如何確定行動目的、 制訂行動可行方案、驗證行動方案並作出評價、 總結經驗並學以致用， 讓學生在一次次成功和自我實現中激發學習的熱情， 從而形成一種成功的信念。
例如《乘法的認識》 一課的教學案時， 我從學生已有的知識水平和生活經驗出發， 大膽地放手， 通過讓學生利用已有的知識儲備， 即利用加減的方法來解決游樂場的數學問題， 重點引導學生思考幾個加法算式中加數都相同的， 讓學生觀察其特點， 使學生明白每個加法算式都是有幾個相同的加數。 接著教師聯系生活實際， 創設幾個相同加數的和是多少的實際問題， 如「每組有 8 名學生， 老師現在要給每位學生發兩根小棒， 一共要准備多少根小棒？ 」 ， 一方面讓學生感受數學知識與生活的聯系； 另一面讓學生體會到用以前的舊知識來解決新問題，雖然是一種方法， 但很麻煩， 從而啟發學生要用簡便的方法來解決實 際問題。 在學生學習慾望被激發出來的同時， 教師及時進行點撥、 示範和引導， 完成把加法算式改寫成乘法算式， 學生很容易接受這種簡便的方法， 也自然通過比較， 聯想到用這種方法去解決實際問題的方便和高效。 在此教學案例中， 我通過尋找學生知識的最近發展區， 努力建立新舊知識間的聯系， 讓學生產生強烈的探究新問題的慾望，「跳一跳就能摘到桃子」 ， 收獲成功的喜悅， 從而增強了 「我能行、我一定行」 的信心。 教師不僅培養了學生的主動性， 又對學生的潛能進行了較好的發掘。
Ⅱ 什麼樣的數學知識應該成為數學課堂上講授和討論的內容
一、課堂「偽討論」的幾種表現
隨著新課程改革「自主、合作、探究」理念的提出，課堂討論作為一種教學方式更加為人們所關注並逐漸成為評價一堂課是否符合新課程理念的重要緯度之一。對課堂討論的關注和有效運用，使得我們的課堂更加開放而富有活力，但是在教學實踐中，到底什麼時候開展課堂討論，哪些問題適合在課堂上討論，很多教師還是比較茫然的，致使很多課堂討論走過場，圖形式，成了「偽討論」，常見的有以下幾種表現：
1．問題指向不明，討論泛化。有位教師教授「長方形面積計算」一課，在講完長方形面積計算公式之後，教師出示長方形木框對學生說：「如果給這個框子配一塊玻璃，玻璃要多大？請以同桌為單位進行討論，然後每個人說說自己的想法。」同學們先是一臉茫然，隨後進入熱鬧的討論。細察小組討論情形，有的學生在嬉笑並未參與討論，有的學生在互相推扯。幾分鍾後，教師讓各組匯報情況，可沒有人站起來說話，教師很是驚詫，指名一位學生回答。學生說：「配的玻璃和框子一樣大就好。」這句非數學結論的回答告訴我們，學生還不能用數學知識來解決問題。原因在於討論的問題不是很明確，學生不知道該討論什麼。當面對教師拋出的問題時，他們不知道所要討論的問題實際上就是要計算玻璃的面積，而且僅僅面積與木框面積相等還不行，玻璃的長寬還要與木框的長寬相等。由於教師沒有明確討論的方向，沒能有效激發學生的認知沖突，圍繞這個問題的討論也就沒能起到培養學生數學思維能力和用數學知識解決數學問題的作用。
2．無價值的討論，明知故「論」。在一次研究課上，某教師在執教《畫風》時，利用精美的課件引導學生了解了文本內容後，隨即出示問題：陳丹、宋濤、趙小藝三人畫出風了嗎？是怎樣畫的？請同學們分小組討論解決。學生立即湊在一起，唧唧喳喳地說個不停。不到一分鍾，討論結束，小組代表爭先恐後地交流本組的討論結果。教師提出的這個問題，實際上在他的教學中已經做出解答，學生心裡也已經非常清楚，這種既簡單又無討論意義的問題，很有明知故問和作秀之嫌。此外，教學中諸如「是不是」、「對不對」之類的純粹事實判斷性的問題，非此即彼，根本不能激發學生的多元思維，討論的意義也就不是很大。
3．超越極限討論，越難越「論」。有些教師認為在課堂中組織討論的難度越高越能顯示出教師和學生的能力，所以往往會設計一些難度較大的問題。如《赤壁賦》一文，有位教師讓學生討論「作者情感為何會由樂而悲？其感情轉變的線索是什麼？」學生因為不知道蘇軾在賦中表達的寓意和情感，不了解「桂掉」、「蘭槳」、「美人」在古詩詞中的意象所指，更沒有蘇軾那種人生失意的情感體驗，雖經討論，仍不知道如何做答。像這樣刻意追求討論問題的難度，反而會因問題的艱深而使學生望而卻步、不知所措。
我們為什麼要組織課堂討論？正是對這個問題缺乏正確的認識才導致了上述現象的發生。課堂討論的最終目的應該是通過這種教學方式，提高課堂教學實效，促進學生對學習內容的理解、掌握和深化，發展學生的思維能力，幫助學生形成運用學科知識分析問題、解決問題的能力。有了這樣清晰的定位，我們在組織課堂討論時就可以少一些盲目，少一些膚淺。
二、什麼時候適合開展課堂討論
在聽課中，筆者發現很多教師動輒讓學生討論，更有甚者一節課有多少個環節就有多少個討論。其實，課堂討論並不是越多越好，課堂討論也要講究時機。一般來說，在以下情境中的課堂討論才是有意義的。
1．當遇到教學重點和難點問題時。如《夢和淚》一文，通過課文學習獲得對冰心偉大人格的感知是課文的重點之一，但是僅通過學生獨立思考來理解往往比較困難，這時候教師就可以通過適當引導來組織學生進行討論。教師可以就這個問題分解設計幾個相關的子問題，如：作者選取了哪些材料來表現冰心的偉大人格？文章細致地描寫了冰心的哭，這表現冰心的什麼特徵？作者花大量的筆墨敘述冰心的父親和母親，這與寫冰心有什麼關系？等等。
2．當遇到某些容易混淆的內容時。例如，在學習《狼》一文時，學生分組討論。有學生問：「『其一犬坐於前』中的『犬』是什麼意思？」生答：「是名詞狗的意思。」有學生馬上反駁：「不對，課文明明寫狼，咋會是狗呢？」又如，數學教學中，圓的周長和面積是學生很容易混淆的知識點，這些容易出錯的地方都是教師引導學生進行課堂討論的很好的觸發點。
3．當問題的答案存在多種可能時。如《故都的秋》一文，就文章的理解課文提示里說的是「孤獨者的冷落之感」，而有學生提出文章表現的是「追求者的純真之情」，多種理解產生了。教師就可以此創設爭辯情境，打破學生迷信書本的思維定式，發展學生的思辨和創新能力。當然，這要與教學目標密切相關。
4．當課堂教學中出現有效生成時。課堂教學是動態的，課堂討論需要教師事先做好充分的准備，預設教學中適合討論的點和可能的討論方式，但是也要給課堂生成留有一席之地。教師可以就課堂上隨機出現的一些現象和問題迅速進行應對，並選擇其中的有效生成資源組織學生展開討論，這樣不僅能夠提高學生參與討論的積極性，激發他們的討論熱情，又能在討論的情境中深化學生對學習內容的理解，提高學習的效果。
三、什麼樣的問題適合課堂討論
明確了課堂討論的出發點和時機性後，經仔細分析，我們會發現，並不是所有的問題都適合課堂討論。那麼，有效的課堂討論問題應該具備怎樣的特徵呢？我想下面幾點可能是必不可少的：
1．問題要有明確的目標指向。即教師在設計討論問題的時候，要讓學生明白要討論的是什麼，或者教師在學生提出的問題基礎之上組織課堂討論的時候，要對含糊不清、模稜兩可的問題做進一步明確和提升，使得這些問題適合學生討論。比如，上文提到的關於「長方形面積計算」一課的教學，教師就可以將「如果給這個框子配一塊玻璃，玻璃要多大？」這個問題進一步明確為：「如果要給這個框子配一塊玻璃，使得這塊玻璃不大不小正好能裝到框子裡面，那麼你們認為這塊玻璃面積應該是多大？這塊玻璃的長、寬是唯一的嗎？」只有這樣，學生才不會面對問題一臉茫然，討論也不會偏離方向。
2．問題要與學習目標緊密相關。只有有助於學生學習目標達成的課堂討論才有實際意義。例如「《背影》中的『我』為什麼會三次流淚？」這個議題涉及了對作品主題的理解，教師可以引導學生就此展開相關的討論。
3．問題要有一定的不確定性。如果討論的問題具有明確的答案，就沒必要討論。類似「是不是」、「對不對」、「能不能」等事實性判斷的問題往往沒有討論的價值。小組討論的重要價值是讓學生的思維互相碰撞、互相啟發，讓他們的認識進入一個新的境界。如個別學生對《六國論》中把「時速禍焉」的「速」解釋為「招致」產生質疑，他們認為解釋為「加速」、「加快」也說得通。類似這樣的議題能激發學生討論的興趣，能引導學生的思維發展。
4．問題的思考難度比較恰當。一方面用來討論的問題應該是學生目前獨立理解不了、解決不了的議題。但另一方面，討論的問題也不能太難，學生應該具備討論問題所需的知識背景，否則討論就不可能深入下去。如上文提到的《赤壁賦》一文的教學，教師不用急於讓學生討論，可以先為學生補充介紹一下古詩詞的寫作手法及作者的生平經歷，讓學生獲得一定的知識積累之後，再拋出「作者情感為何會由樂而悲？其感情轉變的線索是什麼？」讓學生討論。這樣的課堂討論有知識積累做鋪墊，很容易達到深化理解的目的。另外，在問題的設計上盡量兼顧深淺程度不一的各類選題，這樣可讓班裡水平存在差異的各種學生都能參與討論，踴躍發言，各抒己見。
總之，問題的設計與選擇是課堂討論是否有效的關鍵因素。教師要根據教學目標和學生學習的需求，在仔細分析教學內容包括學科、課型、教學重難點等基礎上，找出最能體現本堂課知識聯系的、最具討論價值的討論點，在教學的適當時機組織學生討論，並把握好課堂討論的時間，讓學生的思維發生碰撞，真正從課堂討論中受益。
課堂討論的四大策略與五個「避免」
一、順利實施課堂討論的四大策略
（一）合理組織課堂討論
首先，討論小組的建立可以同桌為單位，也即雙人討論，兩人一組的討論學習是其他合作方式的基礎，每個人都是這個小組的「主角」，這種學習活動簡便易行。或者是前後排的學生分成小組開展討論，也即3～4人一組討論學習，這種方式進一步培養了學生的合作精神，也是課堂中常採用的一種方法。例如：教學「統計」一章時，可以讓部分學生收集數據，其他學生進行登記、匯總、製表；也可以根據學生的學習成績、學習習慣、性格、興趣、需要等因素加以分組。小組討論這種學習方式可以適度引進競爭機制，以增強學生的集體榮譽感，培養學生互相合作的精神。分組時不僅要重視學生智力因素的發展，而且要重視學生非智力因素的培養。每組各個層面的學生都應兼顧，取長補短，同時教師可設計不同層次的問題讓學生討論，使每個學生生動活潑、主動地發展。
其次，要有效地創設良好的課堂討論環境，有兩個途徑：一是激發學生的討論願望。主要方法有：①反激法，即當遇到「啟而不發」的局面時，可激發學生的好奇心和好勝心，促使他們產生一種急於用自己的見解和做法解決問題的願望。②誘引法，即根據學生的探究心理，通過設置矛盾，來引發學生的探究願望。
最後，必須創設師生平等研討的課堂情境。在討論中教師不「妄加」評判，而是充分尊重學生的不同見解，盡可能從不同角度開掘學生觀點的價值，使學生在「言論自由」的氣氛中獲得「成功感」。
（二）恰當把握討論的時機
課堂討論的成敗及作用的大小，在很大程度上取決於討論時機的選擇與把握。過早地討論，學生的認知水平還未達到最近發展區，學生找不到解決問題的切入點，白白地浪費時間而一無所獲。過遲討論，學生對問題已基本弄懂，討論的意義不大。教師應設計多層次的問題滿足各層面學生的多元需要，把握好學生思維的高潮，及時提出問題讓學生討論，以激發學生思維的火花。
課堂討論的時機掌握可關注下面幾個時間點。
當學生產生對新知的渴求之時。學生的認知需要常常來自於學生學習過程中出現的似乎明白，但又說不清楚，不能立即理解掌握的新知識、新技能，或者不能立即解決的實際問題。譬如在教學「不等式」一節時，教師提出一個有趣的問題：「一群猴子，一天結伴去偷桃子，在分桃子時，如果每個猴子分3個，那麼還剩59個；如果每個猴子分5個，就都能分到桃子，但剩下的一隻猴子分得的桃子不夠5個，你能求出有幾只猴子，幾個桃子嗎？」面對問題，學生產生了對新知的渴求心態。在這種心態的作用下，學生往往也對自己的想法產生懷疑，希望從別人的想法或別人對自己的評價中得到驗證，更希望從別人的發言中得到啟發。所以，這時組織討論效果最佳。
通過操作實驗探究規律之時。數學課程中有很多數學規律需要學生通過操作才能發現其奧妙，如：各種平面圖形的面積公式，圓柱體和圓錐體體積之間的關系等等，這時僅憑學生個人的才智是很難直接達成目標的，須挖掘集體智慧，在集思廣益中，實現學生真正的理解和掌握。
試圖處理開放性問題之時。例如這樣的一個開放性問題：有一個二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，已知當自變數x分別取－5，－1，4，7這四個值時，其中只有一個x所對應的函數值y≤0。試盡可能多地寫出滿足條件的函數的解析式。
解答開放性問題的方法多種多樣，而且結論並不唯一，不同學生常常發現不同的結論，學生間的交流能較好地完成這種差異的解決。學生在小組交流中能自由地表述自己的觀點和解題策略，傾聽同伴的意見，並從中互相啟發，互相補充，共同進步。在這個過程中，可促進學生溝通知識之間的聯系，更好地發揮其發散思維的能力。
（三）科學安排課堂討論的方式
討論的方式必須在教學實踐中不斷「隨物賦形」，而且在具體的實踐教學中要科學地採用恰當、有效的討論方式，才能將課堂討論的作用發揮得淋漓盡致。
目前較常見的討論方式是教師把題目一呈現，便立即讓學生討論，討論了兩三分鍾，教師便草草收場，這樣做往往是只注重表面形式，沒有實際效果。教師不能由於時間關系，等不到學生相互交流的充分展開就終結討論，而應給學生提供自主探究、合作交流的廣大空間。可以根據學生課堂學習的心理特點和課型特點，精心設計各種討論方式。
①導向式討論。這種方式是從主導者角度著眼安排討論程序，通常為：定向導入—循序點撥—歸納總結。這種討論方式的關鍵是選取「討論點」，使討論流程環環相扣，其特點是突出教師的主導作用，又體現學生的主體地位。
②自由式討論。這是一種從發展學生的個性、發揮學生自主性、培養主動探索精神著眼，側重於學生「自由探究」的討論方式。但「何時使用」和「如何控制」難度較大。
③競賽式討論，這是一種根據學生好勝、競爭的「開放性」心理，引進競爭機制來組織討論，解決某些問題，達到教學目標的方式。
（四）精心准備課堂討論的內容
有思考價值的問題可以引起學生大腦皮層的高度興奮，並能使學生產生強烈的求知慾望。受這種慾望的驅動，學習過程往往會變得主動而富有生氣，學生的積極性也被調動起來。課堂討論在通常情況下只安排幾分鍾或者十幾分鍾，這段時間的成效如何，很大程度上取決於討論內容的選取。什麼樣的內容有討論價值，什麼樣的內容能引起學生極大關注並能夠展開討論，至關重要。
因此教師在組織學生進行課堂討論時，首先必須選擇有探討價值的內容。組織討論必須把握教材的重點、難點，越是教材的核心問題，越要讓學生去主動學習，只有學生積極參與，進入角色，才能學有成效；其次是設計能展開討論的內容。討論的內容應有適當的難度，處於班內大多數學生的「最近發展區」，這就要求教師必須針對具體內容和學生的實際情況具體分析，做出恰當安排。譬如在講授「解直角三角形」的引入部分時，提出問題：「你走在街上，空中飛來一架飛機，你也許便會想到：飛機離我有多遠？」讓學生討論，充滿好奇心的學生便會自覺地設想各種方案進行討論，一些學生會利用解直角三角形的方法來看這個問題，甚至自己畫出圖形——直角三角形，這樣學習的效果是相當不錯的。
適合的討論內容才會產生好的效果，否則，不僅達不到提高學習效率的目的，而且會成為影響學生學習進步的障礙。還有課堂討論的問題一次不宜太多，討論的時間也不能太長。問題太多了，學生的思維就不易集中；時間太長了，教師就不能對課堂進行有效的控制和駕馭。
二、課堂討論的五個「避免」
課堂討論作為一種具體的教學方法在實際運用中往往容易步入一些誤區，因此要及時進行反思，避免以下情況出現。
（一）不準備就討論。在教學中發現了問題立即就讓學生討論，由於學生事先無准備，因而很難達到討論的目的。因此，不論採用哪種方式的討論，討論前師生都要做好充分准備，教師要向學生提出討論話題、指出注意事項、布置預習或提供閱讀參考資料，學生也都應該按照要求做好討論發言的准備。
（二）討論偏離核心主題。討論開始之後，學生可能會由於討論中的一些問題而轉移討論中心，從而使討論偏離論題。在討論中，教師要引導學生圍繞中心進行發言，並且根據討論的進展情況，引導學生深入開展討論，以求討論達到一定的深度。
（三）討論被部分學生把持。一個班的學生能力有高有低，語言表達能力有強有弱，少數很健談的或能力強的學生往往會把持討論，而一些能力較差的學生則退出討論，這樣，討論就沒有起到應起的作用。因此，教師要注意讓每個學生都能積極參加討論。
（四）無討論規則的討論。討論前制定一些討論規則是十分必要的，討論如果沒有規則，就會十分混亂。因此，在討論開始之前，應提醒參加者討論要遵守的規則。
（五）只討論不及時總結。討論結束後，如不進行適當的總結，就會使學生對討論的結果和討論中出現的問題缺乏一個明確的認識，反而會引起思想上的混亂，產生各方面的問題。因此在每次討論結束後，師生要及時進行總結，闡釋討論結果，指出討論中存在的問題等。
Ⅲ 數學課如何基於學生的最近發展區開展課堂探究活動的
什麼才是真正的新課程理念下的課堂教學？怎樣才能實現真正的有效課堂教學？這種困惑已成為進一步深化課堂教學改革的瓶頸。為了更好地促進學生的有效學習，在我們教學課堂，教師必須著眼於解決兩方面的問題———我應如何去觸動（或者說喚醒）我的學生；活化知識，實現知識的個人化。無論解決這兩方面問題中的哪一個，我們都要涉及到維果茨基的最近發展區理論，就是說也需要教師在學生最近發展區開展的、實施的課堂教學。
Ⅳ 初中數學教學如何尋找學生的最近發展區
「最近發展區」就是指學生已達到的知識水平和即將達到的知識水平之間的最小差異區域。如果你站在「已有知識」的草坪上,樹上的果子是你「將要學的知識」,而果子生長的地方是你站著摘不著的,要摘下果子,必須跳一跳,而跳起來後能摘到果子的這個高度就是 「最近發展區」 。
陶行知說: 「要以自己的知識為根,以這經驗所發生的知識做枝,然後別人的知識才能成為我們知識的一個有機部分。 」 學生原有的認知結構是其主動完成學習過程的必要條件。 學生的認知結構既包括已掌握的知識,又包括在生活中獲得的一些經驗。在教學中,教師要根據認知內容的需要創設一定的問題情境,充分挖掘出學生已有的經驗,形成新舊知識間的聯系,使模糊的認知明朗化,具體的對象概括化,成為學習新知識可利用的認知條件。
一、用變式練習,幫助學生建立題與題之間的「最近發展區」 。
數學知識之間的聯系是很緊密的,選擇學生已有的知識作為學習新知識的起點,組成一個有利於學生學習的程序,能促進知識的遷移。 例 1.已知線段 AB=28 厘米,在 AB 上取一點 P,使 AP=19 厘米,再在 AB 上取一點 C,使 PC=12厘米,求線段 AC 的長度。 在做此題的過程中,筆者要求學生畫圖、分析、計算,最後可得結果 AC=7 厘米。 完成此題後,學生都覺得很輕松,因為題目太簡單了。那麼,如果在此題的基礎上,我們適當地將數據改變一下,得出的例 2 又該怎樣做呢? 例 2.已知線段 AB=28 厘米,在 AB 上取一點 P,使 AP=15 厘米,再在 AB 上取一點 C,使 PC=12厘米,求線段 AC 的長度。 該題的要求與上題的要求相同。 但是,學生如果不仔細,往往會漏掉一解,而只畫出與圖 1類似的圖 2,並得出 AC=3 厘米。事實上,細心的學生會發現它還有另外一解,即圖 3 的情況。計算可得 AC=27 厘米。故例 2 有兩解。 對於學生的解題,教師不僅要看結果,而且要看其思維過程。教師不應指定學生要采哪個果子,而應該讓他們采完所有夠得著的果子,並嘗試去采跳一跳才能夠著的果子。
二、運用化歸思想,幫助學生建立節與節之間的「最近發展區」 。
數學知識有很強的邏輯性,前後知識聯系緊密。新知識由舊知識引申、擴展而來。舊知識又能為解決問題服務。將未知轉化為已知,將一種運算轉化為另一種運算,將一種圖形轉化為另一種圖形,把待解決問題轉化為已解決問題,最終問題獲得解決。 在教學中,教師可以根據學生的差異,幫助學生建立多個遞增的 「最近發展區」 ,使教學組織的始終有一定的坡度,使學生跳一跳就能摘到果子。
三、不斷探究,幫助學生建立章與章之間的「最近發展區」 。
蘇霍姆林斯基曾說:「在人的心靈深處,都有一種根深蒂固的需要。這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者。而兒童的精神世界中,這種需要特別強烈。 」初中學生雖已不是兒童,但他們心靈深處那種強烈的探求慾望仍十分強烈。隨著知識的積累與學習能力的增強,學生獨立完成學習任務的效率不斷提高。 教師要創造條件讓學生主動參與學習,充分利用學生這種心理,調動學生的積極性,促進學生建立「最近發展區」 。教師應使優等生、中等生、學困生都能夠摘到自己夠的著的果子,吃飽、吃好。
四、縱橫聯系,幫助學生建立整個數學體系中的「最近發展區」 。
要使教學活動取得成功,教師必須精心選擇,有效地實施並進行前期准備。要實現這一目標,教師就要引導學生就開展的活動進行前期准備,在活動過程中提供指導與反饋,並在活動完成之後組織學生進行總結講評。在開始教學時,教師應強調開展教學活動的目的,使學生明確要實現的目標;然後,教師引導學生重溫已學過的相關背景知識,示範學習任務需要的方法, 或就任務要求提供有關信息。 頭腦不是一個要被填滿的容器,而是一個需要點燃的火把。因此,教學不僅是給予學生種種知識,而且是給予種種思維的自由。教師的真正作用是讓學生成為能摘到果子的勞動者,而不是撿果子的旁觀者。 為此,教師要善於巧妙地將數學教學內容轉換成具有潛在意義的問題情境,幫助學生建立起各自的「最近發展區」,使學生原有的知識結構與新知識結構之間產生一座無形的橋梁,從而激發學生求知的慾望。教師應從中相機給予學習方法的指導,啟發學生遇到新問題時要善於利用已有知識的遷移、 組合去解決。 這樣既能使學困生 「吃進」 ,中等生 「吃好」,又能使優等生「吃飽」,使不同水平的學生都有題可做,有新知可學,並獲得不同程度的發展。
把 「最近發展區」 理論運用於實際教學,其積極意義可以用一名多次獲得馬拉松冠軍的運動員的一句話來形象說明: 「長跑時,我以前面不遠的一棵樹或一幢房子為目標,向著這個目標奮斗、沖刺;到達目標時又以前面的樹為目標,又進行沖刺„„直到跑完全程。 」
Ⅳ 如何讓學生體驗數學知識的產生、發展與價值
答:我從以下兩個方面進行分析:
一、基於學生認知基礎，以舊知引新知
要想讓學生能夠體驗到知識的形成過程，首先要基於學生的認知基礎，搭建新舊知識之間的橋梁，將新知轉化為學生已學過的知識，從而降低學生學習難度，激發學生主動探究新知的熱情。而不是機械的等待老師的傳授。例如在教學求「多邊形的內角和」時，不能直接告訴學生多邊形的內角和公式是180°(n–2)，這樣只能讓學生的思維產生惰性，不利於其思維的發展。而是要充分利用多邊形與三角形之間的關系，通過從多邊形的一個頂點出發引對角線，將多邊形分成幾個三角形，然後通過三角形的內角和公式來解決。這樣n邊形從一個頂點出發可以引(n–3)條對角線，將n邊形分成(n–2)個三角形，那麼由於一個三角形的內角和為180度，則(n–2)個三角形的內角和為180°(n–2)，從而n邊形的內角和為180°(n–2)。所以只有基於學生的認知基礎，以學生的最近發展區為切入點，學生有了主動探究知識的意識，才能使他們有機會體驗到知識的產生。
Ⅵ 數學知識的發現和起源
數學的起源和早期發展
數學與其他科學分支一樣，是在一定的社會條件下，通過人類的社會實踐和生產活動發展起來的一種智力積累．其主要內容反映了現實世界的數量關系和空間形式，以及它們之間的關系和結構．這可以從數學的起源得到印證．
古代非洲的尼羅河、西亞的底格里斯河和幼發拉底河、中南亞的印度河和恆河以及東亞的黃河和長江，是數學的發源地．這些地區的先民由於從事農業生產的需要，從控制洪水和灌溉，測量田地的面積、計算倉庫的容積、推算適合農業生產的歷法以及相關的財富計算、產品交換等等長期實踐活動中積累了豐富的經驗，並逐漸形成了相應的技術知識和有關的數學知識．
Ⅶ 高中數學教案設計如何貼近學生的最近發展區
近發展區指已達知識水平即達知識水平間差異區域站已知識草坪,樹要知識,站著摘著,要摘,必須跳跳,跳起能摘高度 近發展區 陶行知說: 要自知識根,經驗所發知識做枝,別知識才能我知識機部 原認知結構其主完習程必要條件 認知結構既包括已掌握知識,包括獲些經驗教,教師要根據認知內容需要創設定問題情境,充挖掘已經驗,形新舊知識間聯系,使模糊認知明朗化,具體象概括化,習新知識利用認知條件 、用變式練習,幫助建立題與題間近發展區 數知識間聯系緊密,選擇已知識作習新知識起點,組利於習程序,能促進知識遷移 例 一.已知線段 AB=二吧 厘米, AB 取點 P,使 AP=一9 厘米,再 AB 取點 C,使 PC=一二厘米,求線段 AC 度 做題程,筆者要求畫圖、析、計算,結 AC=漆 厘米 完題,都覺輕松,題目太簡單,題基礎,我適數據改變,例 二 該做呢? 例 二.已知線段 AB=二吧 厘米, AB 取點 P,使 AP=一5 厘米,再 AB 取點 C,使 PC=一二厘米,求線段 AC 度 該題要求與題要求相同 ,仔細,往往漏掉解,畫與圖 一類似圖 二,並 AC=三 厘米事實,細發現另外解,即圖 三 情況計算 AC=二漆 厘米故例 二 兩解 於解題,教師僅要看結,且要看其思維程教師應指定要采哪,應該讓采完所夠著,並嘗試采跳跳才能夠著 二、運用化歸思想,幫助建立節與節間近發展區 數知識強邏輯性,前知識聯系緊密新知識由舊知識引申、擴展舊知識能解決問題服務未知轉化已知,種運算轉化另種運算,種圖形轉化另種圖形,待解決問題轉化已解決問題,終問題獲解決 教,教師根據差異,幫助建立遞增 近發展區 ,使教組織始終定坡度,使跳跳能摘 三、斷探究,幫助建立章與章間近發展區 蘇霍姆林斯基曾說:靈深處,都種根深蒂固需要希望自發現者、研究者、探索者童精神世界,種需要特別強烈 初雖已童,靈深處種強烈探求慾望仍十強烈隨著知識積累與習能力增強,獨立完習任務效率斷提高 教師要創造條件讓主參與習,充利用種理,調積極性,促進建立近發展區 教師應使優等、等、困都能夠摘自夠著,吃飽、吃 四、縱橫聯系,幫助建立整數體系近發展區 要使教取功,教師必須精選擇,效實施並進行前期准備要實現目標,教師要引導展進行前期准備,程提供指導與反饋,並完組織進行總結講評始教,教師應強調展教目,使明確要實現目標;,教師引導重溫已相關背景知識,示範習任務需要, 或任務要求提供關信息 腦要填滿容器,需要點燃火,教僅給予種種知識,且給予種種思維自由教師真作用讓能摘勞者,撿旁觀者 ,教師要善於巧妙數教內容轉換具潛意義問題情境,幫助建立起各自近發展區,使原知識結構與新知識結構間產座形橋梁,激發求知慾望教師應相機給予習指導,啟發遇新問題要善於利用已知識遷移、 組合解決 既能使困 吃進 ,等 吃,能使優等吃飽,使同水平都題做,新知,並獲同程度發展 近發展區 理論運用於實際教,其積極意義用名獲馬拉松冠軍運員句形象說明: 跑,我前面遠棵樹或幢房目標,向著目標奮斗、沖刺;達目標前面樹目標,進行沖刺„„直跑完全
Ⅷ 數學的發展歷史
算籌是中國古代的計算工具，真正意義上的中國古代數學體系形成於自西漢至南北朝的三、四百年期間。《算數書》成書於西漢初年，是傳世的中國最早的數學專著，它是1984年由考古學家在湖北江陵張家山出土的漢代竹簡中發現的。《周髀算經》編纂於西漢末年，它雖然是一本關於「蓋天說」的天文學著作，但是包括兩項數學成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（「若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日。」——這是中國最早關於勾股定理的書面記載）；（2）測太陽高或遠的「陳子測日法」。
《九章算術》在中國古代數學發展過程中佔有非常重要的地位。它經過許多人整理而成，大約成書於東漢時期。全書共收集了246個數學問題並且提供其解法，主要內容包括分數四則和比例演算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面，《九章算術》在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；現在中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同。注重實際應用是《九章算術》的一個顯著特點。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地區遠至歐洲。
九章算術》標志以籌算為基礎的中國古代數學體系的正式形成。
中國古代數學在三國及兩晉時期側重於理論研究，其中以趙爽與劉徽為主要代表人物。
趙爽學術成就體現於對《周髀算經》的闡釋。在《勾股圓方圖注》中，他還用幾何方法證明了勾股定理，其實這已經體現「割補原理」的方法。用幾何方法求解二次方程也是趙爽對中國古代數學的一大貢獻。三國時期魏人劉徽則注釋了《九章算術》，其著作《九章算術注》不僅對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，並且多有創造。其發明的「割圓術」（圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積），為圓周率的計算奠定了基礎，同時劉徽還算出圓周率的近似值——「3927/1250（3.1416）」。他設計的「牟合方蓋」的幾何模型為後人尋求球體積公式打下重要基礎。在研究多面體體積過程中，劉徽運用極限方法證明了「陽馬術」。另外，《海島算經》也是劉徽編撰的一部數學論著。
南北朝是中國古代數學的蓬勃發展時期，計有《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學著作問世。
祖沖之、祖暅父子的工作在這一時期最具代表性。他們著重進行數學思維和數學推理，在前人劉徽《九章算術注》的基礎上前進了一步。根據史料記載，其著作《綴術》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值；歐洲直到16世紀德國人鄂圖（Otto）和荷蘭人安托尼茲（Anthonisz）才得出同樣結果。②祖暅在劉徽工作的基礎上推導出球體體積公式，並提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等（「冪勢既同則積不容異」）定理；歐洲17世紀義大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同時在天文學上也有一定貢獻。
隋唐時期的主要成就在於建立中國數學教育制度，這大概主要與國子監設立算學館及科舉制度有關。在當時的算學館《算經十書》成為專用教材對學生講授。《算經十書》收集了《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》等10部數學著作。所以當時的數學教育制度對繼承古代數學經典是有積極意義的。
公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》時，在世界上最早提出了等間距二次內插公式；唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發展為不等間距二次內插公式。
從公元11世紀到14世紀的宋、元時期，是以籌算為主要內容的中國古代數學的鼎盛時期，其表現是這一時期涌現許多傑出的數學家和數學著作。中國古代數學以宋、元數學為最高境界。在世界范圍內宋、元數學也幾乎是與阿拉伯數學一道居於領先集團的。
賈憲在《黃帝九章演算法細草》中提出開任意高次冪的「增乘開方法」，同樣的方法至1819年才由英國人霍納發現；賈憲的二項式定理系數表與17世紀歐洲出現的「巴斯加三角」是類似的。遺憾的是賈憲的《黃帝九章演算法細草》書稿已佚。 秦九韶是南宋時期傑出的數學家。1247年，他在《數書九章》中將「增乘開方法」加以推廣，論述了高次方程的數值解法，並且例舉20多個取材於實踐的高次方程的解法（最高為十次方程）。16世紀義大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶還對一次同餘式理論進行過研究。
李冶於1248年發表《測圓海鏡》，該書是首部系統論述「天元術」（一元高次方程）的著作，在數學史上具有里程碑意義。尤其難得的是，在此書的序言中，李冶公開批判輕視科學實踐活動，將數學貶為「賤技」、「玩物」等長期存在的士風謬論。
公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章演算法》中用「垛積術」求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了「九歸捷法」，介紹了籌算乘除的各種運演算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制訂《授時歷》時，列出了三次差的內插公式。郭守敬還運用幾何方法求出相當於現在球面三角的兩個公式。
公元1303年，元代朱世傑（生卒年代不詳）著《四元玉鑒》，他把「天元術」推廣為「四元術」（四元高次聯立方程）,並提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱（Bezout）才提出同樣的解法。朱世傑還對各有限項級數求和問題進行了研究，在此基礎上得出了高次差的內插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年間牛頓（Newton）才提出內插法的一般公式。
14世紀中、後葉明王朝建立以後，統治者奉行以八股文為特徵的科舉制度，在國家科舉考試中大幅度消減數學內容，於是自此中國古代數學便開始呈現全面衰退之勢。
明代珠算開始普及於中國。1592年程大位編撰的《直指演算法統宗》是一部集珠算理論之大成的著作。但是有人認為，珠算的普及是抑制建立在籌算基礎之上的中國古代數學進一步發展的主要原因之一。
由於演算天文歷法的需要，自16世紀末開始，來華的西方傳教士便將西方一些數學知識傳入中國。數學家徐光啟向義大利傳教士利馬竇學習西方數學知識，而且他們還合譯了《幾何原本》的前6卷（1607年完成）。徐光啟應用西方的邏輯推理方法論證了中國的勾股測望術，因此而撰寫了《測量異同》和《勾股義》兩篇著作。鄧玉函編譯的《大測》〔2卷〕、《割圓八線表》〔6卷〕和羅雅谷的《測量全義》〔10卷〕是介紹西方三角學的著作。
此外在數學方面鮮有較大成就取得，中國古代數學自此便衰落了。
數學知識的原始積累
數學知識伴隨著人類文明的產生而起源，並率先在幾個文明古國開始了漫長的原始積累過程，人類的祖先為我們留下了珍貴的、可供研究的原始資料，最著名的古埃及象形文字紙草書和巴比倫楔形文字泥板書，較為集中地反映了古埃及數學和巴比的水平，它們被視為人類早期數學知識積累的代表。
古埃及紙草書，是用尼羅河流域沼澤地水生植物的莖皮壓制、粘連成紙草卷，用天然塗料液書寫而成的。有兩份紙草書直接書寫著數學內容。一份叫做「莫斯科紙草」，大約出自公元前1850年左右，它包括25個數學問題。這份紙草書於1893年被俄國人戈蘭尼采夫買得，也稱之為「戈蘭尼采夫紙草」，現藏莫斯科美術博物館。另一份叫做「萊因特紙草」，大約成書於公元前1650年左右，開頭寫有：「獲知一切奧秘的指南」的字樣，接著是作者阿默士從更早的文獻中抄下來的85個數學問題。這份紙草書於1858年被格蘭人萊因特購得，後為博物館收藏。這兩份草書是我們研究古埃及數學的重要資料，其內容豐富，記述了古埃及的記數法、整數四則運算、單位分數的獨特用法、試位法、求幾何圖形的面積、體積問題，以及數學在生產、生活初中中的應用問題。
古巴比倫泥板書，是用截面呈三角形的利器作筆，在將干未乾的膠泥板上刻寫而成的，由於字體為楔形筆劃，故稱之為楔形文字泥板，從19世紀前期至今，相繼出土了這種泥板有50萬塊之多。它們分別屬於公元前2100年蘇美爾文化末期，公元前1790年至公元前1600年間漢莫拉比時代和公元前600年至公元300年間新巴比倫帝國及隨後的波斯、塞流西得時代。其中，大約有300至400塊是數學泥板，數學泥板中又以數表居多，據信這些數學表是用來運算和解題的。這些古老的泥板，現在散藏於世界各地許多博物館，並且被一一編號，成為我們研究巴比倫數學最可靠的資料。巴比倫數學從整體上講比古埃及數學高明，古巴比倫人採用60進位制記數法，並計算出倒數表、平方表、立方表、平方根表和立方根表，其中2的平方根近似為1.414213...。巴比倫的代數有相當水平，他們用語言文字敘述方程問題及其解法，常用特殊的「長」、「寬」、「面積」等字眼表示未知量，除求解二次、三次方程的問題之外，也有一些數論性質的問題。巴比倫的幾何似乎沒有古埃及的幾何那麼重要，只是收羅了一些計算簡單圖形的面積、體積的法則，也許他們只是在解決實際問題時才搞點幾何。此外，巴比倫數學中有很明顯的商業、農業和天文的應用背景。
我們可以說，在人類早期數學知識積累過程中，由於計數物件的需要，產生了自然數，隨著記數法的產生和發展，逐漸形成了運算，導致算術的產生；由於計量實物的需要，產生了簡單的幾何，隨著農業、建築業、手工業及天文觀測的發展，逐漸積累了有關這些的基本性質和相互關系的經驗知識，於是幾何學萌芽了；由於商業計算、工程計算、天文的需要，在算術計算技巧的基礎上，逐漸積累起代數學基本知識。但是，在這個階段上，直到公元前6世紀，無論如何也找不到我們今天所謂的「理性的數學」，而只是一種初級的「經驗的數學」。
表示一個多位數字時，採用十進位值制，各位值的數目從左到右排列，縱橫相間〔法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當〕，並以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運算建立起良好的條件。
在幾何學方面《史記．夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、准、繩等作圖和測量工具，並早已發現「勾三股四弦五」這個勾股定理〔西方稱畢氏定理〕的特例。戰國時期，齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規范，包含了一些測量的內容，並涉及到一些幾何知識，例如角的概念。
戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關於某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題，強調抽象的數學思想，例如「至大無外謂之大一，至小無內謂之小一」、「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其他數學命題是相當可貴的數學思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發展。
此外，講述陰陽八卦，預言吉凶的《易經》已有了組合數學的萌芽，並反映出二進制的思想。
漢唐初創時期
這一時期包括從秦漢到隋唐1000多年間的數學發展，所經歷的朝代依次為秦、漢、魏、晉、南北朝、隋、唐。
秦漢是中國古代數學體系的形成時期。為使不斷豐富的數學知識系統化、理論化，數學方面的專書陸續出現。
西漢末年〔公元前一世紀〕編纂的天文學著作《周髀算經》在數學方面主要有兩項成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測太陽高、遠的陳子測日法，為後來重差術的先驅。此外，還有較復雜的開方問題和分數運算等。
《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作，約成書於東漢初年〔公元前一世紀〕。全書採用問題集的形式編寫，共收集了246個問題及其解法，分屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例演算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面，《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則，在世界數學史上都是最早的記載；書中關於線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說，它注重應用，注重理論聯系實際，形成了以籌算為中心的數學體系，對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過這些國家傳到歐洲，促進了世界數學的發展。
魏晉時期中國數學在理論上有了較大的發展。其中趙爽和劉徽的工作被認為是中國古代數學理論體系的開端。趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明的最早的數學家之一，對《周髀算經》做了詳盡的注釋。劉徽注釋《九章算術》，不僅對原書的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，且在論述過程中多有創新，更撰寫《海島算經》，應用重差術解決有關測量的問題。劉徽其中一項重要的工作是創立割圓術，為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的演算法。
南北朝時期的社會長期處於戰爭和分裂狀態，但數學的發展依然蓬勃。《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》就是這個時期的作品。《孫子算經》給出「物不知數」問題，導致求解一次同餘組問題；《張丘建算經》的「百雞問題」引出三個未知數的不定方程組問題。 祖沖之、祖日桓父子的工作在這一時期最具代表性，他們在《九章算術》劉徽注的基礎上，將傳統數學大大向前推進了一步，成為重視數學思維和數學推理的典範。他們同時在天文學上也有突出的貢獻。其著作《綴術》已失傳，根據史料記載，他們在數學上主要有三項成就：(1)計算圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113；(2)得到祖 日桓定理〔冪勢既同，則積不容異〕並得到球體積公式；(3)發展了二次與三次方程的解法。
唐朝在數學教育方面有長足的發展。656年國子監設立算學館，設有算學博士和助教，由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》〔包括《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《綴術》〕，作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。
宋元全盛時期
唐朝亡後，五代十國仍是軍閥混戰的繼續，直到北宋王朝統一了中國，農業、手工業、商業迅速繁榮，科學技術突飛猛進。從公元十一世紀到十四世紀〔宋、元兩代〕，籌算數學達到極盛，是中國古代數學空前繁榮，碩果累累的全盛時期。這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章演算法細草》〔11世紀中葉〕，劉益的《議古根源》〔12世紀中葉〕，秦九韶的《數書九章》〔1247〕，李冶的《測圓海鏡》〔1248〕和《益古演段》〔1259〕，楊輝的《詳解九章演算法》〔1261〕、《日用演算法》〔1262〕和《楊輝演算法》〔1274-1275〕，朱世傑的《算學啟蒙》〔1299〕和《四元玉鑒》〔1303〕等等。
高次方程數值解法； 天元術與四元術，即高次方程的立法與解法，是中國數學史上首次引入符號，並用符號運算來解決建立高次方程的問題；
大衍求一術，即一次同餘式組的解法，現在稱為中國剩餘定理；
招差術和垛積術，即高次內插法和高階等差級數求和。
另外，其他成就包括勾股形解法新的發展、解球面直角三角形的研究、縱橫圖〔幻方〕的研究、小數〔十進分數〕具體的應用、珠算的出現等等。
這一時期民間數學教育也有一定的發展，以及中國和伊斯蘭國家之間的數學知識的交流也得到了發展。
西學輸入時期
這一時期從十四世紀中葉明王朝建立到二十世紀清代結束共500多年。數學除珠算外出現全面衰弱的局面，當中涉及到中算的局限、十三世紀的考試制度中已刪減數學內容、明代大興八段考試制度等復雜的問題，不少中外數學史家仍探討當中涉及的原因。十六世紀末，西方初等數學開始傳入中國，使中國數學研究出現了一個中西融合貫通的局面。鴉片戰爭後，近代高等數學開始傳入中國，中國數學轉入一個以學習西方數學為主的時期。直到十九世紀末，中國的近代數學研究才真正開始。
明代最大的成就是珠算的普及，出現了許多珠算讀本，及至程大位的《直指演算法統宗》〔1592〕問世，珠算理論已成系統，標志著從籌算到珠算轉變的完成。但由於珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳，數學出現長期停滯。
隋及唐初，印度數學和天文學知識曾傳入中國，但影響較細。到了十六世紀末，西方傳教士開始到中國活動，和中國學者合譯了許多西方數學專著。其中第一部且有重大影響的是義大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷〔1607〕，其嚴謹的邏輯體系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術。此外，《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創，且沿用至今。在輸入的西方數學中僅次於幾何的是三角學。在此之前，三角學只有零星的知識，而此後獲得迅速發展。介紹西方三角學的著作有鄧玉函編譯的《大測》〔2卷，1631〕、《割圓八線表》〔6卷〕和羅雅谷的《測量全義》〔10卷，1631〕。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》〔137卷，1629-1633〕中，介紹了有關圓椎曲線的數學知識。
入清以後，會通中西數學的傑出代表是梅文鼎，他堅信中國傳統數學「必有精理」，對古代名著做了深入的研究，同時又能正確對待西方數學，使之在中國紮根，對清代中期數學研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數學家還有王錫闡和年希堯等人。
清康熙帝愛好科學研究，他「御定」的《數理精蘊》〔53卷，1723〕，是一部比較全面的初等數學書，對當時的數學研究有一定影響。
在研究傳統數學時，許多數學家還有發明創造，例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》〔約1859〕中得到三角自乘垛求和公式，現在稱之為「李善蘭恆等式」。這些工作較宋元時期的數學進了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學家和數學家傳記《疇人傳》46卷〔1795-1810〕，開數學史研究之先河。
1840年鴉戰爭後，閉關鎖國政策被迫中止。同文館內添設「算學」，上海江南製造局內添設翻譯館，由此開始第二次翻譯引進的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》後9卷〔1857〕，使中國有了完整的《幾何原本》中譯本；《代數學》13卷〔1859〕；《代微積拾級》18卷〔1859〕。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》3卷，華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數術》25卷〔1872〕，《微積溯源》8卷〔1874〕，《決疑數學》10卷〔1880〕等。在這些譯著中，創造了許多數學名詞和術語，至今仍在應用。
1898年建立京師大學堂，同文館並入。1905年廢除科舉，建立西方式學校教育，使用的課本也與西方其他各國相仿。
近現代數學發展時期
這一時期是從20世紀初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標志劃分為兩個階段。
中國近現代數學開始於清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來〔1915年轉留法〕，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家，為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位，成為第一位獲得博士學位的中國數學家。1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學〔今南京大學〕和清華大學建立數學系，不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系，到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵〔1927〕、陳省身〔1934〕、華羅庚〔1936〕、許寶騄〔1936〕等人，他們都成為中國現代數學發展的骨幹力量。同時外國數學家也有來華講學的，例如英國的羅素〔1920〕，美國的伯克霍夫〔1934〕、奧斯古德〔1934〕、維納〔1935〕，法國的阿達馬〔1936〕等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。
但
趙爽是三國時期吳人，在中國歷史上他是最早對數學定理和公式進行證明的數學家之一，其學術成就體現於對《周髀算經》的闡釋。在《勾股圓方圖注》中，他還用幾何方法證明了勾股定理，其實這已經體現「割補原理」的方法。用幾何方法求解二次方程也是趙爽對中國古代數學的一大貢獻。三國時期魏人劉徽則注釋了《九章算術》，其著作《九章算術注》不僅對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，並且多有創造。其發明的「割圓術」（圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積），為圓周率的計算奠定了基礎，同時劉徽還算出圓周率的近似值——「3927/1250（3.1416）」。他設計的「牟合方蓋」的幾何模型為後人尋求球體積公式打下重要基礎。在研究多面體體積過程中，劉徽運用極限方法證明了「陽馬術」。另外，《海島算經》也是劉徽編撰的一部數學論著
祖沖之、祖暅父子的工作在這一時期最具代表性。他們著重進行數學思維和數學推理，在前人劉徽《九章算術注》的基礎上前進了一步。根據史料記載，其著作《綴術》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值；歐洲直到16世紀德國人鄂圖（Otto）和荷蘭人安托尼茲（Anthonisz）才得出同樣結果。②祖暅在劉徽工作的基礎上推導出球體體積公式，並提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等（「冪勢既同則積不容異」）定理；歐洲17世紀義大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同時在天文學上也有一定貢獻。
從公元11世紀到14世紀的宋、元時期，是以籌算為主要內容的中國古代數學的鼎盛時期，其表現是這一時期涌現許多傑出的數學家和數學著作。中國古代數學以宋、元數學為最高境界。在世界范圍內宋、元數學也幾乎是與阿拉伯數學一道居於領先集團的。
賈憲在《黃帝九章演算法細草》中提出開任意高次冪的「增乘開方法」，同樣的方法至1819年才由英國人霍納發現；賈憲的二項式定理系數表與17世紀歐洲出現的「巴斯加三角」是類似的。遺憾的是賈憲的《黃帝九章演算法細草》書稿已佚。
秦九韶是南宋時期傑出的數學家。1247年，他在《數書九章》中將「增乘開方法」加以推廣，論述了高次方程的數值解法，並且例舉20多個取材於實踐的高次方程的解法（最高為十次方程）。16世紀義大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶還對一次同餘式理論進行過研究。
公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章演算法》中用「垛積術」求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了「九歸捷法」，介紹了籌算乘除的各種運演算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制訂公元1303年，元代朱世傑（生卒年代不詳）著《四元玉鑒》，他把「天元術」推廣為「四元術」（四元高次聯立方程）,並提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱（Bezout）才提出同樣的解法。朱世傑還對各有限項級數求和問題進行了研究，在此基礎上得出了高次差的內插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年間牛頓（Newton）才提出內插法的一般公式。
明代珠算開始普及於中國。1592年程大位編撰的《直指演算法統宗》是一部集珠算理論之大成的著作。但是有人認為，珠算的普及是抑制建立在籌算基礎之上的中國古代數學進一步發展的主要原因之一。