數學選修21知識框圖

1. 高中數學選修知識點

高中數學 選修2－3知識點
第一章 計數原理
1、分類加法計數原理：做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有M1種不同的方法，在第二類辦法中有M2種不同的方法，……，在第N類辦法中有MN種不同的方法，那麼完成這件事情共有M1+M2+……+MN種不同的方法。
2、分步乘法計數原理：做一件事，完成它需要分成N個步驟，做第一 步有m1種不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那麼完成這件事共有 N=M1M2...MN 種不同的方法。
3、排列：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序．．．．．．排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
4、排列數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一
個排列. 從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數，用符號mnA表示。
),,()!
(!
)1()1(NmnnmmnnmnnnAm


5、公式：
，

11mnm
n
nA
A
6、組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。
7、公式：)!(!!!)1()1(mnmnCmmnnnAACmn
mm
mnmn

)!(!!!)1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn ;
m
nnmnCC

mnmnmnCCC1
1
8、二項式定理：
()
011222„„ 9、二項式通項公式展開式的通項公式：，„„TCabrnrn
rnrr
101() 10、二項式系數Cn
r
為二項式系數（區別於該項的系數） 11、楊輝三角：

（）對稱性：，，，„„，1012CCrnnrnnr
 （）系數和：„2CCCnnn
nn
012

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（3）最值：n為偶數時，n＋1為奇數，中間一項的二項式系數最大且為第
nCnnn
n
2
112
項，二項式系數為；為奇數時，為偶數，中間兩項的二項式() 系數最大即第項及第項，其二項式系數為nnCCnnn
n1212
1121
2
第二章 隨機變數及其分布

1、隨機變數：如果隨機試驗可能出現的結果可以用一個變數X來表示，並且X是隨著試驗的結果的不同而變化，那麼這樣的變數叫做隨機變數． 隨機變數常用大寫字母X、Y等或希臘字母 ξ、η等表示。 2、離散型隨機變數：在上面的射擊、產品檢驗等例子中，對於隨機變數X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變數叫做離散型隨機變數．
3、離散型隨機變數的分布列：一般的,設離散型隨機變數X可能取的值為x1,x2,..... ,xi ,......,xn
X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變數X 的概率分布，簡稱分布列

4、分布列性質① pi≥0, i =1，2， „ ；② p1 + p2 +„+pn= 1． 5、二項分布：如果隨機變數X的分布列為：

其中0<p<1，q=1-p，則稱離散型隨機變數X服從參數p的二點分布

6、超幾何分布：一般地, 設總數為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n(n≤N)件,這n件中所含這類物品件數X是一個離散型隨機變數，
則它取值為k時的概率為()(0,1,2,,)knkMNM
n
N
CCPXkkmC， 其中min
,mMn,且*,,,,nNMNnMNN≤≤
7、條件概率：對任意事件A和事件B，在已知事件A發生的條件下事件B發生的概率，叫做條件概率.記作P(B|A)，讀作A發生的條件下B的概率 8、公式：
.
0)(,)()
()|(APAPABPABP 9、相互獨立事件：事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響,這樣的兩個事件叫做相互
獨立事件。)()()(BPAPBAP

10、n次獨立重復事件：在同等條件下進行的，各次之間相互獨立的一種試驗

11、概率：
12、二項分布： 設在n次獨立重復試驗中某個事件A發生的次數，A發生次數ξ是一個隨機變數．如果在一次試驗中某事件發生的概率是p，事件A不發生的概率為q=1-p，那麼在n次獨立重復試驗中
)(kPk
nkknqpC（其中 k=0,1, „„,n，q=1-p ）
於是可得隨機變數ξ的概率分布如下：

這樣的隨機變數ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p) ，其中n，p為參數 13、數學期望：一般地，若離散型隨機變數ξ的概率分布為

則稱 Eξ＝x1p1＋x2p2＋„＋xnpn＋„ 為ξ的數學期望或平均數、均值，數學期望又簡稱為期望．是離散型隨機變數。
14、兩點分布數學期望：E(X)=np
15、超幾何分布數學期望：E（X）=MnN

.
16、方差:D(ξ)=(x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2 +......+（xn-Eξ)2·Pn 叫隨機變數ξ的均方差，簡稱方差。 17、集中分布的期望與方差一覽：

期望 方差
兩點分布 Eξ=p
Dξ=pq，q=1-p
超幾何分布
的超幾何分布服從參數為n,M,N
N
MnE
D（X）=np（1-p）* （N-n）/（N-1）
（不要求） 二項分布，ξ ～ B（n,p）
Eξ=np

Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）

幾何分布，p(ξ=k)=g(k，p)
1
p
2p
qD

knkkn
nppCkP)1()(

17.正態分布：
若概率密度曲線就是或近似地是函數

)
,(,21
)(2
22)(

xexfx

的圖像，其中解析式中的實數0)
、（是參數，分別表示總體的平均數與標准差． 則其分布叫正態分布(,)N記作：，f( x )的圖象稱為正態曲線。 18.基本性質：

①曲線在x軸的上方，與x軸不相交． ②曲線關於直線x=對稱，且在x=
時位於最高點.
③當時x，曲線上升；當時x，曲線下降．並且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近．

④當一定時，曲線的形狀由確定．越大，曲線越「矮胖」，表示總體的分布越分散；越小，曲線越「瘦高」，表示總體的分布越集中．
⑤當σ相同時,正態分布曲線的位置由期望值μ來決定. ⑥正態曲線下的總面積等於1.
19. 3原則：

),(
)2,2(
)3,3(

從上表看到,正態總體在 )2,2( 以外取值的概率 只有4.6%,在 )3,3(以外取值的概率只有0.3% 由於這些概率很小,通常稱這些情況發生為小概率事件.也就是說,通常認為這些情況在一次試驗中幾乎是不可能發生的.
第三章 統計案例

1、獨立性檢驗
假設有兩個分類變數X和Y，它們的值域分另為{x1, x2}和{y1, y2}，其樣本頻數列聯表為： y1 y2 總計 x1 a b a+b x2 c d c+d 總計
a+c
b+d
a+b+c+d
若要推斷的論述為H1：「X與Y有關系」，可以利用獨立性檢驗來考察兩個變數是否有關系，並且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。具體的做法是，由表中的數據算出隨機變數K^2的值（即K的平方） K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d為樣本容量，K2的值越大，說明「X與Y有關系」成立的可能性越大。
K2≤3.841時，X與Y無關； K2>3.841時，X與Y有95%可能性有關；K2>6.635時X與Y有99%可能性有關
2、回歸分析
回歸直線方程bxay
ˆ 其中x
SSSPxxyyxxxnxyxnxyb
2
22)
())(()
(1
1
,
xbya

2. 高中數學選修2-1有什麼內容給個目錄就好了

選修2-1

第一章 常用邏輯用語

1-1命題及其關系

1-2充分條件與必要條件

1-3簡單的邏輯聯結詞

1-4全稱量詞與存在量詞

小結

復習參考題

第二章 圓錐曲線與方程

2-1曲線與方程

2-2橢圓

探究與發現 為什麼截口曲線是橢圓

信息技術應用 用《幾何畫板》探究點的軌跡：橢圓

2-3雙曲線

探究與發現

2-4拋物線

探究與發現

閱讀與思考 圓錐曲線的光學性質及其應用

小結

復習參考題

第三章 空間向量與立體幾何

3-1空間向量及其運算

閱讀與思考 向量概念的推廣與應用

3-2立體幾何中的向量方法

小結

復習參考題

3. 高中數學選修2-1第二章圓錐曲線與方程會牽扯到那些知識點我的基礎不好老師上課我都不知道在說什麼，

可能你是被曲線方程定義給蒙暈了！沒關系的這節課掌握軌跡方程的求法就行！

4. 數學教材解析選修2-1，41頁知識點一，關於橢圓的第二定義，見補充

這個要綜合考慮的.
圓錐曲線的第二定義在極坐標系下更容易理解.
橢圓是圓錐曲線的一種, 如果你注意的話,課本上橢圓,雙曲線,拋物線是在同一章裡面講的.一般來說, 圓錐曲線就包括這三種, 實際上還有另外的情形,分別是一個點, 圓,兩條相交直線,一條直線.
對於圓錐曲線的第二定義,最重要的部分是比例常數e, 根據e的范圍來區分該軌跡的形狀.
即: 0<e<1為橢圓
e=1為拋物線
e>1為雙曲線.
在極坐標系下,上面三種曲線的表達式是一樣的, 不一樣的地方就是e.
極坐標表達式:
ρ=ep/(1-ecosθ）
p為動點到定直線的距離,e為離心率,通過限定e的范圍,就可以分別得到上面的三種曲線.

5. 高中數學知識結構框架圖

原發布者:呂明龍88
高中數學知識結構框圖必修一：第一章集合第三章基本初等函數(Ⅰ)必修二：第一章立體幾何初步第二章平面解析幾何初步必修三：第一章演算法初步第二章統計第三章概率必修四：第一章基本初等函數（II）第二章平面向量第三章三角恆等變換必修五：第一章解三角形第二章數列第三章不等式選修2-1：第一章常用邏輯用語第二章圓錐曲線與方程第三章空間向量與立體幾何選修2-2：第一章導數及其應用第二章推理與證明第三章數系的擴充與復數選修2-3：第一章計數原理第二章概率第三章統計案例

6. 求高中數學選修知識點

選修課程
（一）選修1－1
本模塊包括常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用。
1．常用邏輯用語
（1）命題及其關系

（2）簡單的邏輯聯結詞
通過數學實例，了解邏輯聯結詞「或」「且」「非」的含義。
（3）全稱量詞與存在量詞

2．圓錐曲線與方程
（1）了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。
（2）經歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握橢圓的定義、標准方程、幾何圖形及簡單性質。
（3）了解拋物線、雙曲線的定義、幾何圖形和標准方程，知道它們的簡單幾何性質。
（4）通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想。
（5）了解圓錐曲線的簡單應用。

3．導數及其應用
（1）導數概念及其幾何意義

（2）導數的運算
① 能根據導數定義
（3）導數在研究函數中的應用

（4）生活中的優化問題舉例
例如，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的作用。
（5）數學文化
收集有關微積分創立的時代背景和有關人物的資料，並進行交流，體會微積分的建立在人類文化發展中的意義和價值。
微積分的創立是數學發展中的里程碑，它的發展和廣泛應用開創了向近代數學過渡的新時期，為研究變數和函數提供了重要的方法和手段。導數概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。
導數的概念應從其實際背景加以引入，教學中，可以通過研究曲線的切線、增長率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導數應用的實例，突出幾何形象描述，引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，得到對導數概念抽象和形象的理解。
在教學中，要防止將導數僅僅作為一些規則和步驟來學習，而忽視它的思想和價值。應使學生認識到，任何事物的變化率都可以用導數來描述，應當避免過量的形式化運算練習。
利用導數判斷函數的單調性，是導數應用的重點，教學中應多選取具體的函數（如： ），利用它們的圖象，藉助幾何直觀，了解函數的導數與函數單調性之間的本質聯系，學會用導數研究函數的單調性，進而完成對函數的最值（極值）以及生活中的優化問題的教學。在學習利用導數研究函數性質的同時，感受導數在研究函數和解決實際問題中的作用，體會導數的思想及其內涵，幫助學生理解導數的背景、思想和作用。
本章內容的教學，整體上要貫穿用形象展示抽象，用微觀說明宏觀，注重研究問題的方法和學生認識的過程，注重培養學生的研究探索能力，注重數形結合思想的滲透。
（二）選修1-2
本模塊包括統計案例、推理與證明、數系擴充及復數的引入、框圖。
1．統計案例
通過典型案例，學習下列一些常見的統計方法，並能初步應用這些方法解決一些實際問題。
（1）通過對典型案例 (如「肺癌與吸煙有關嗎」 等)的探究，了解獨立性檢驗 (只要求2×2列聯表) 的基本思想、方法及初步應用。
（2）通過對典型案例(如「人的體重與身高的關系」等)的探究，了解回歸的基本思想、方法及其初步應用。
本部分內容是學生在初中階段和高中數學必修課程已學習統計的基礎上，通過對典型案例的討論，了解和使用一些常用的統計方法，進一步體會運用統計方法解決實際問題，認識統計方法在決策中的作用。
本部分內容的《課程標准》要求都是了解，因此教學中要注意難度的把握，宜採用案例教學的方式。本部分的內容公式多，但重點應放在通過統計案例，讓學生了解回歸分析和獨立性檢驗的基本思想及其初步應用，對於其理論基礎不做要求，避免學生單純記憶和機械套用公式。
教學中，應鼓勵學生經歷數據處理的過程，培養他們對數據的直觀感覺，認識統計方法的特點(如統計推斷可能犯錯誤，估計結果的隨機性)，體會統計方法應用的廣泛性。應盡量給學生提供一定的實踐活動機會，可結合數學建模的活動，選擇一個案例，要求學生親自實踐。
教學中，應鼓勵學生使用計算器、計算機等現代技術手段來處理數據，有條件的學校還可運用一些常見的統計軟體解決實際問題。
在統計案例中，還應介紹所學統計方法在社會生活中的廣泛應用，以豐富學生對數學文化價值的認識。
2．推理與證明
（1）合情推理與演繹推理
① 結合已學過的數學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會並認識合情推理在數學發現中的作用。
② 結合已學過的數學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理。
③ 通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異。
（2）直接證明與間接證明
① 結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。
② 結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點。
（3）數學文化
① 通過對實例的介紹（如歐幾里得《幾何原本》、馬克思《資本論》、傑弗遜《獨立宣言》、牛頓三定律），體會公理化思想。
② 介紹計算機在自動推理領域和數學證明中的作用。
「推理與證明」是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，證明通常包括邏輯證明和實驗、實踐證明。合情推理得出的結論不一定正確，數學結論是否正確，必須通過演繹推理或邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎上，通過正確使用推理規則得出結論。
在本部分內容中，學生將通過對已學知識的回顧，進一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯系與差異；體會數學證明的特點，了解數學證明的基本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數學以及日常生活中的作用，養成言之有理、論證有據的習慣。
教學中應通過實例，引導學生運用合情推理去探索、猜測一些數學結論，並用演繹推理確認所得結論的正確性，或者用反例推翻錯誤的猜想。教學的重點在於通過具體實例理解合情推理與演繹推理，而不追求對概念的抽象表述。
本部分設置的證明內容是對學生已學過的基本證明方法的總結。在教學中，應通過實例，引導學生認識各種證明方法的特點，體會證明的必要性。對證明的技巧性不宜作過高的要求。
教學中，可從已學知識中的問題出發，體會兩種推理方法的應用，而在對新問題的解決過程中，自然的理解和區分兩種推理，把握兩種推理在解決問題中的協調應用。推理過程中，要注重學生信息檢索、觀察、分析、判斷等能力的培養，還要注重對學生在文字語言表達、數學語言應用，以及規范書寫證明過程等方面的要求。
為了讓學生初步體會公理化方法，在教學中一定要重視實例的作用，使學生了解數學知識的產生和發展過程，體會公理化思想的發展及對科學發現、社會進步等的作用。
3．數系擴充與復數的引入
（1）在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規則、方程理論）在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系。
（2）理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件。
（3）了解復數的代數表示法及其幾何意義。
（4）能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加減運算的幾何意義。
數系擴充的過程體現了數學的發現和創造過程，同時體現了數學發生發展的客觀需求和背景，復數的引入是中學階段數系的又一次擴充。本部分知識的教學，可結合數學文化的學習，進行數系擴充的介紹，使學生感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系。
在復數概念與運算的教學中，應注意避免繁瑣的計算與技巧訓練。對於感興趣的學生，可以安排一些引申的內容，如求 的根，介紹代數基本定理等。
4．框圖
（1）流程圖
① 通過具體實例，進一步認識程序框圖。
② 通過具體實例，了解工序流程圖（即統籌圖）。
③ 能繪制簡單實際問題的流程圖，體會流程圖在解決實際問題中的作用。
（2）結構圖
① 通過實例，了解結構圖；運用結構圖梳理已學過的知識、整理收集到的資料信息。
② 結合做出的結構圖與他人進行交流，體會結構圖在揭示事物聯系中的作用。
框圖是表示一個系統各部分和各環節之間關系的圖示，它的作用在於能夠清晰地表達比較復雜的系統各部分之間的關系。框圖已經廣泛應用於演算法、計算機程序設計、工序流程的表述、設計方案的比較等方面，也是表示數學計算與證明過程中主要邏輯步驟的工具，並將成為日常生活和各門學科中進行交流的一種常用表達方式。
框圖是新增內容，通過框圖的學習過程能夠提高學生的抽象概括能力和邏輯思維能力，能幫助學生清晰地表達和交流思想。尤其對希望在人文、社會科學方面發展的學生是十分必要的。
框圖的教學，應從分析實例入手，結合必修中的演算法，引導學生運用框圖表示數學計算與證明過程中的主要思路與步驟、實際問題中的工序流程、某一數學知識系統的結構關系等。使學生在運用框圖的過程中理解流程圖和結構圖的特徵，掌握框圖的用法，體驗用框圖表示解決問題過程的優越性。
（三）選修2－1
本模塊包括常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間中的向量（簡稱空間向量）與立體幾何。
1．常用邏輯用語
（1）命題及其關系
① 了解命題的逆命題、否命題與逆否命題。
② 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關系。
（2）簡單的邏輯聯結詞
通過數學實例，了解邏輯聯結詞「或」「且」「非」的含義。
（3）全稱量詞與存在量詞
① 通過生活和數學中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義。
② 能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。
本部分教學的目的是讓學生體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語准確地表達數學內容，更好地進行交流，而不是進行邏輯學的教學。因此，教學中要注意把握尺度，不宜過難。
這里考慮的命題是指明確地給出條件和結論的命題，對逆命題、否命題、逆否命題的概念，只要求作一般性的了解，重點關注四種命題的相互關系和命題的必要條件、充分條件、充要條件。
教學中要多用實例，通過實例理解邏輯聯結詞及量詞的含義，避免對邏輯用語的機械記憶和抽象解釋，也不要求使用真值表。注意引導學生使用常用邏輯用語，在運用的過程中，加深對常用邏輯用語的認識,糾正出現的邏輯錯誤，體會運用常用邏輯用語表述數學內容的准確性、簡潔性，感受數學的美。
對於部分感興趣的同學，還可以引導他們進一步選修「開關電路與布爾代數」，繼續接觸有關命題的一些知識。
2．圓錐曲線與方程
（1）圓錐曲線
① 了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。
② 經歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標准方程、幾何圖形及簡單性質。
③ 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標准方程，知道它的有關性質。
④ 能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系）和實際問題。
⑤ 通過圓錐曲線的學習，進一步體會數形結合的思想。
（2）曲線與方程
結合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，進一步感受數形結合的基本思想。
本部分內容所滲透的幾何直觀和數形結合的思想，對於後續的數學學習是很有幫助的，教學中要充分地重視這一點。
教學中可通過多種方式向學生介紹圓錐曲線的背景和應用，有意識地強調數學的科學價值、文化價值和美學價值，一方面引發學生學習的興趣，另一方面，也可以對曲線和方程的關系有進一步的認識。
圓錐曲線在實踐中的應用相當廣泛，是體現數學應用價值的好素材，因此，教學中可以通過豐富的實例，使學生了解其背景和應用。
在學習了橢圓之後，可引導學生運用類比的方法去研究拋物線，雙曲線的幾何性質。對於感興趣的學生，教師也可以引導學生了解圓錐曲線的離心率與統一方程。
有條件的學校，要充分發揮現代教育技術的作用，通過一些軟體演示方程中參數的變化對曲線的影響，使學生進一步理解曲線和方程的關系，把握好曲線的「幾何性質」與方程的「數量關系」之間的對應關系。
3．空間向量與立體幾何
（1）空間向量及其運算
① 經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。
② 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示。
③ 掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。
④ 掌握空間向量的數量積及其坐標表示；能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直。
（2）空間向量的應用
① 理解直線的方向向量與平面的法向量。
② 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系。
③ 能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）。
④ 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題。
空間向量的教學應引導學生運用類比的方法，經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程，體會維數增加所帶來的影響。
在必修的基礎上繼續學習立體幾何，可以鼓勵學生靈活選擇運用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題。
用空間向量處理立體幾何問題，關鍵在於理解直線的方向向量、平面的法向量、兩個向量的數量積的定義，以及實數與向量乘積的幾何意義——平行向量。
向量是代數的，它可以進行豐富的運算，通過這些運算可以解決很多問題；向量又是幾何的，向量可以描述、刻畫幾何中的基本研究對象：點、線、面以及它們之間的關系。向量所發揮的作用，是用代數方法處理幾何問題思想的集中反映。向量不僅僅是一個計算的工具，更重要的是，它還是連接代數與幾何的天然「橋梁」。教學中要讓學生體會向量方法在研究幾何問題中的作用，發展學生的幾何直觀和數形結合的能力，並充分挖掘向量的實際背景，如向量的物理學背景等。
（四）選修2—2
本模塊包括導數及其應用、推理與證明、數系擴充與復數的引入。
1．導數及其應用
（1）導數概念及其幾何意義
① 通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵。
② 通過函數圖象直觀地理解導數的幾何意義。
（2）導數的運算
① 能根據導數定義求函數 ， ， ， ， ， 的導數。
② 能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運演算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數（僅限於形如 ）的導數。
③ 會使用導數公式表。
（3）導數在研究函數中的應用
① 結合實例，藉助幾何直觀探索並了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間。
② 結合函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值，以及閉區間上不超過三次的多項式函數最大值、最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性。
（4）生活中的優化問題舉例
例如，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的作用。
（5）定積分與微積分基本定理
① 通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；藉助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。
② 通過實例（如變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關系），直觀了解微積分基本定理的含義。
（6）數學文化
收集有關微積分創立的時代背景和有關人物的資料，並進行交流；體會微積分的建立在人類文化發展中的意義和價值。
微積分的創立是數學發展中的里程碑，它的發展和廣泛應用開創了向近代數學過渡的新時期，為研究變數和函數提供了重要的方法和手段。導數概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。
導數的概念應從其實際背景加以引入，教學中可以通過研究曲線的切線、增長率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導數應用的實例，突出幾何形象描述，引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的認識過程，得到對導數概念形象的理解。
在教學中，要防止將導數僅僅作為一些規則和步驟來學習，而忽視它的思想和價值。應使學生認識到，任何事物的變化率都可以用導數來描述。
利用導數判斷函數的單調性是導數應用的重點，也是本部分內容的重點之一。教學中應選取具體的函數（如： ），利用它們的圖象，藉助幾何直觀，了解函數的導數與函數單調性之間的本質聯系，學會用導數研究函數的單調性，進而完成對函數的最值（極值）以及生活中的優化問題的教學。在學習利用導數研究函數性質的同時，感受導數在研究函數和解決實際問題中的作用，體會導數的思想及其內涵，幫助學生理解導數的背景、思想和作用。
教師應引導學生在解決具體問題的過程中，將研究函數的導數方法與初等方法作比較，以體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性。
本章內容的教學，整體上要貫穿用形象展示抽象，用微觀說明宏觀，注重研究問題的方法和學生認識的過程，注重培養學生的研究探索能力，注重數形結合思想的滲透。
2．推理與證明
（1）合情推理與演繹推理
① 結合已學過的數學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會並認識合情推理在數學發現中的作用。
② 結合已學過的數學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理。
③ 通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異。
（2）直接證明與間接證明
① 結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。
② 結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點。
（3）數學歸納法
了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題。
（4）數學文化
① 通過對實例的介紹（如歐幾里得《幾何原本》、馬克思《資本論》、傑弗遜《獨立宣言》、牛頓三定律），體會公理化思想。
② 介紹計算機在自動推理領域和數學證明中的作用。
「推理與證明」是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，證明通常包括邏輯證明和實驗、實踐證明。合情推理得出的結論不一定正確，數學結論是否正確，必須通過演繹推理或邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎上，通過正確使用推理規則得出結論。
教學中應通過實例，引導學生運用合情推理去探索、猜測一些數學結論，並用演繹推理確認所得結論的正確性，或者用反例推翻錯誤的猜想。教學的重點在於通過具體實例理解合情推理與演繹推理，而不必追求對概念的抽象表述。
本部分設置的證明內容是對學生已學過的基本證明方法的總結。在教學中，應通過實例，引導學生認識各種證明方法的特點，體會證明的必要性。對證明的技巧性不宜作過高的要求。
教師應藉助具體實例讓學生了解數學歸納法的原理，對證明的問題要控制難度。
教學中，可從已學知識中的問題出發，體會兩種推理方法的應用，而在對新問題的解決過程中，自然的理解和區分兩種推理，把握兩種推理在解決問題中的協調應用。推理過程中，要注重學生信息檢索、觀察、分析、判斷等能力的培養，還要注重對學生在文字語言表達、數學語言應用，以及規范書寫證明過程等方面的要求。
為了讓學生初步體會公理化方法，在教學中一定要重視實例的作用，使學生了解數學知識的產生和發展過程，體會公理化思想的發展及對科學發現、社會進步等的作用。
3．數系擴充與復數的引入
（1）在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規則、方程理論）在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系。
（2）理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件。
（3）了解復數的代數表示法及其幾何意義。
（4）能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加減運算的幾何意義。
數系擴充的過程體現了數學的發現和創造過程，同時體現了數學發生發展的客觀需求和背景，復數的引入是中學階段數系的又一次擴充。本部分知識的教學，可結合數學文化的學習，進行數系擴充的介紹，使學生感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系。
在復數概念與運算的教學中，應注意避免繁瑣的計算與技巧訓練。對於感興趣的學生，可以安排一些引申的內容，如求 的根，介紹代數基本定理等。
（五）選修2—3
本模塊包括計數原理、統計案例、概率。
1．計數原理
（1）分類加法計數原理、分步乘法計數原理
通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理；能根據具體問題的特徵，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題。
（2）排列與組合
通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式，並能解決簡單的實際問題。
（3）二項式定理
能用計數原理證明二項式定理； 會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
教學中要突出分類加法計數原理、分步乘法計數原理的基礎性作用。分類加法計數原理、分步乘法計數原理是處理計數問題的兩種基本方法。當面臨一個復雜問題時，通過分類或分步將它分解成為一些簡單的問題，先解決簡單問題，然後再將它們整合起來得到整個問題的解決，這是一種重要而基本的思想方法。
引導學生體會兩個計數原理在排列數公式、組合數公式和二項式定理推導中的工具性作用。以上知識的學習都是兩個計數原理的重要應用，這樣有利於避免學生單純記憶和機械套用公式進行計算。
通過學生熟悉和感興趣的實例，理解排列組合的概念，區分排列問題中元素的「有序」和組合問題中元素的「無序」，這是解決這兩類問題的關鍵，也是初學者容易犯錯誤的地方。
教學中，應避免繁瑣的、技巧性過高的計數問題。
對於有興趣和能力的學生可自主探究組合數的兩個性質，但在教學中不作統一要求。
在二項式定理的教學過程中可介紹我國古代數學成就「楊輝三角」及數學家楊輝其人其事，激發學生的學習熱情，豐富學生對數學文化價值的認識。
2．統計案例
通過典型案例，學習下列一些常見的統計方法，並能初步應用這些方法解決一些實際問題。
（1）通過對典型案例（如「肺癌與吸煙有關嗎」等）的探究，了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯表）的基本思想、方法及初步應用。
（2）通過對典型案例（如「人的體重與身高的關系」等）的探究，了解回歸的基本思想、方法及其初步應用。
本部分內容是學生在初中階段和高中數學必修課程已學習統計的基礎上，通過對典型案例的討論，了解和使用一些常用的統計方法，進一步體會運用統計方法解決實際問題，認識統計方法在決策中的作用。
本部分內容《課程標准》規定的要求都是了解，應採用案例教學的方式，教學中要注意控制難度。本部分的內容公式多，但重點應放在通過統計案例，讓學生了解回歸分析和獨立性檢驗的基本思想及其初步應用，對於其理論基礎不做要求。
教學中，應鼓勵學生經歷數據處理的過程，培養他們對數據的直觀感覺，認識統計方法的特點（如統計推斷可能犯錯誤，估計結果的隨機性），體會統計方法應用的廣泛性。應盡量給學生提供一定的實踐活動機會，可結合數學建模的活動，選擇一個案例，要求學生親自實踐。
教學中，應鼓勵學生使用計算器、計算機等現代技術手段來處理數據，有條件的學校還可運用一些常見的統計軟體解決實際問題。
3．概率
（1）在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散型隨機變數及其分布列的概念，認識分布列對於刻畫隨機現象的重要性。
（2）通過實例（如彩票抽獎），理解超幾何分布及其導出過程，並能進行簡單的應用。
（3）在具體情境中，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，並能解決一些簡單的實際問題。
（4）通過實例，理解取有限值的離散型隨機變數均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變數的均值、方差，並能解決一些實際問題。
（5）通過實際問題，藉助直觀(如實際問題的直方圖)，認識正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義。
研究一個隨機現象，就是要了解它所有可能出現的結果和每一個結果出現的概率，分布列正是描述了離散型隨機變數取值的概率規律。因此本部分內容的重點是隨機變數的分布列。為了能正確求出隨機變數對應的概率值，教學中應適當復習必修課所學的概率知識。
在學習了離散型隨機變數的基礎上，通過實例，重點研究二項分布和超幾何分布，這些都是應用廣泛的重要的概率模型。對於這些概率模型的教學，注重通過實例引入，讓學生對這些概率模型直觀認識，不追求形式化的描述。
正態分布在自然界中大量存在，因此正態分布是一個重要的數學模型。但高中階段正態分布的教學要注意把握好教學深度。正態分布涉及到連續型隨機變數的總體密度曲線，本部分教學內容只要求簡單介紹。
結合本部分教學內容特點和教學方式，應引導學生利用所學知識解決一些實際問題。讓學生自行選擇一些實際問題，建立恰當的概率模型，培養學生實踐能力，努力提高學生分析和解決問題的能力。體會數學的實際應用價值，努力提高學生數學學習興趣。

7. 高中數學選修2-1知識總結

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高二數學選修2－1知識點

第一章 常用邏輯用語
1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.
真命題：判斷為真的語句.
假命題：判斷為假的語句.
2、「若 ，則 」形式的命題中的 稱為命題的條件， 稱為命題的結論.
3、對於兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題.
若原命題為「若 ，則 」，它的逆命題為「若 ，則 」.
4、對於兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.
若原命題為「若 ，則 」，則它的否命題為「若 ，則 」.
5、對於兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題.
若原命題為「若 ，則 」，則它的否命題為「若 ，則 」.
6、四種命題的真假性：
原命題
逆命題
否命題
逆否命題
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
假
假

四種命題的真假性之間的關系：
兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．
7、若 ，則 是 的充分條件， 是 的必要條件．
若 ，則 是 的充要條件（充分必要條件）．
8、用聯結詞「且」把命題 和命題 聯結起來，得到一個新命題，記作 ．
當 、 都是真命題時， 是真命題；當 、 兩個命題中有一個命題是假命題時， 是假命題．
用聯結詞「或」把命題 和命題 聯結起來，得到一個新命題，記作 ．
當 、 兩個命題中有一個命題是真命題時， 是真命題；當 、 兩個命題都是假命題時， 是假命題．
對一個命題 全盤否定，得到一個新命題，記作 ．
若 是真命題，則 必是假命題；若 是假命題，則 必是真命題．
9、短語「對所有的」、「對任意一個」在邏輯中通常稱為全稱量詞，用「 」表示．
含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．
全稱命題「對 中任意一個 ，有 成立」，記作「 ， 」．
短語「存在一個」、「至少有一個」在邏輯中通常稱為存在量詞，用「 」表示．
含有存在量詞的命題稱為特稱命題．
特稱命題「存在 中的一個 ，使 成立」，記作「 ， 」．
10、全稱命題 ： ， ，它的否定 ： ， ．全稱命題的否定是特稱命題．

第二章 圓錐曲線與方程
11、平面內與兩個定點 ， 的距離之和等於常數（大於 ）的點的軌跡稱為橢圓．這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．
12、橢圓的幾何性質：
焦點的位置
焦點在 軸上
焦點在 軸上
圖形

標准方程

范圍
且
且
頂點
、
、
、
、
軸長
短軸的長 長軸的長
焦點
、
、
焦距

對稱性
關於 軸、 軸、原點對稱
離心率

准線方程

13、設 是橢圓上任一點，點 到 對應准線的距離為 ，點 到 對應准線的距離為 ，則 ．
14、平面內與兩個定點 ， 的距離之差的絕對值等於常數（小於 ）的點的軌跡稱為雙曲線．這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距．
15、雙曲線的幾何性質：
焦點的位置
焦點在 軸上
焦點在 軸上
圖形

標准方程

范圍
或 ，
或 ，
頂點
、
、
軸長
虛軸的長 實軸的長
焦點
、
、
焦距

對稱性
關於 軸、 軸對稱，關於原點中心對稱
離心率

准線方程

漸近線方程

16、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．
17、設 是雙曲線上任一點，點 到 對應准線的距離為 ，點 到 對應准線的距離為 ，則 ．
18、平面內與一個定點 和一條定直線 的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點 稱為拋物線的焦點，定直線 稱為拋物線的准線．
19、過拋物線的焦點作垂直於對稱軸且交拋物線於 、 兩點的線段 ，稱為拋物線的「通徑」，即 ．
20、焦半徑公式：
若點 在拋物線 上，焦點為 ，則 ；
若點 在拋物線 上，焦點為 ，則 ；
若點 在拋物線 上，焦點為 ，則 ；
若點 在拋物線 上，焦點為 ，則 ．
21、拋物線的幾何性質：
標准方程

圖形

頂點

對稱軸
軸
軸
焦點

准線方程

離心率

范圍

第三章 空間向量與立體幾何
22、空間向量的概念：
在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．
向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．
向量 的大小稱為向量的模（或長度），記作 ．
模（或長度）為 的向量稱為零向量；模為 的向量稱為單位向量．
與向量 長度相等且方向相反的向量稱為 的相反向量，記作 ．
方向相同且模相等的向量稱為相等向量．
23、空間向量的加法和減法：

求兩個向量和的運算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則．即：在空間以同一點 為起點的兩個已知向量 、 為鄰邊作平行四邊形 ，則以 起點的對角線 就是 與 的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則．
求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角形法則．即：在空間任取一點 ，作 ， ，則 ．
24、實數 與空間向量 的乘積 是一個向量，稱為向量的數乘運算．當 時， 與 方向相同；當 時， 與 方向相反；當 時， 為零向量，記為 ． 的長度是 的長度的 倍．
25、設 ， 為實數， ， 是空間任意兩個向量，則數乘運算滿足分配律及結合律．
分配律： ；結合律： ．
26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，並規定零向量與任何向量都共線．
27、向量共線的充要條件：對於空間任意兩個向量 ， ， 的充要條件是存在實數 ，使 ．
28、平行於同一個平面的向量稱為共面向量．
29、向量共面定理：空間一點 位於平面 內的充要條件是存在有序實數對 ， ，使 ；或對空間任一定點 ，有 ；或若四點 ， ， ， 共面，則 ．
30、已知兩個非零向量 和 ，在空間任取一點 ，作 ， ，則 稱為向量 ， 的夾角，記作 ．兩個向量夾角的取值范圍是： ．
31、對於兩個非零向量 和 ，若 ，則向量 ， 互相垂直，記作 ．
32、已知兩個非零向量 和 ，則 稱為 ， 的數量積，記作 ．即 ．零向量與任何向量的數量積為 ．
33、 等於 的長度 與 在 的方向上的投影 的乘積．
34、若 ， 為非零向量， 為單位向量，則有 ；
； ， ， ；
； ．
35、向量數乘積的運算律： ； ；
．
36、若 ， ， 是空間三個兩兩垂直的向量，則對空間任一向量 ，存在有序實數組 ，使得 ，稱 ， ， 為向量 在 ， ， 上的分量．
37、空間向量基本定理：若三個向量 ， ， 不共面，則對空間任一向量 ，存在實數組 ，使得 ．
38、若三個向量 ， ， 不共面，則所有空間向量組成的集合是
．這個集合可看作是由向量 ， ， 生成的，
稱為空間的一個基底， ， ， 稱為基向量．空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底．
39、設 ， ， 為有公共起點 的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們為單位正交基底），以 ， ， 的公共起點 為原點，分別以 ， ， 的方向為 軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標系 ．則對於空間任意一個向量 ，一定可以把它平移，使它的起點與原點 重合，得到向量 ．存在有序實數組 ，使得 ．把 ， ， 稱作向量 在單位正交基底 ， ， 下的坐標，記作 ．此時，向量 的坐標是點 在空間直角坐標系 中的坐標 ．
40、設 ， ，則 ．
．
．
．
若 、 為非零向量，則 ．
若 ，則 ．
．
．
， ，則 ．
41、在空間中，取一定點 作為基點，那麼空間中任意一點 的位置可以用向量 來表示．向量 稱為點 的位置向量．
42、空間中任意一條直線 的位置可以由 上一個定點 以及一個定方向確定．點 是直線 上一點，向量 表示直線 的方向向量，則對於直線 上的任意一點 ，有 ，這樣點 和向量 不僅可以確定直線 的位置，還可以具體表示出直線 上的任意一點．
43、空間中平面 的位置可以由 內的兩條相交直線來確定．設這兩條相交直線相交於點 ，它們的方向向量分別為 ， ． 為平面 上任意一點，存在有序實數對 ，使得 ，這樣點 與向量 ， 就確定了平面 的位置．
44、直線 垂直 ，取直線 的方向向量 ，則向量 稱為平面 的法向量．
45、若空間不重合兩條直線 ， 的方向向量分別為 ， ，則
， ．
46、若直線 的方向向量為 ，平面 的法向量為 ，且 ，則
， ．
47、若空間不重合的兩個平面 ， 的法向量分別為 ， ，則
， ．
48、設異面直線 ， 的夾角為 ，方向向量為 ， ，其夾角為 ，則有
．
49、設直線 的方向向量為 ，平面 的法向量為 ， 與 所成的角為 ， 與 的夾角為 ，則有 ．
50、設 ， 是二面角 的兩個面 ， 的法向量，則向量 ， 的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小．若二面角 的平面角為 ，則 ．
51、點 與點 之間的距離可以轉化為兩點對應向量 的模 計算．
52、在直線 上找一點 ，過定點 且垂直於直線 的向量為 ，則定點 到直線 的距離為 ．
53、點 是平面 外一點， 是平面 內的一定點， 為平面 的一個法向量，則點 到平面 的距離為 ．

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8. 高中數學選修2-1目錄是什麼

第一章 常用邏輯用語
1.1 命題及其關系
1.2 充分條件與必要條件
1.3 簡單的邏輯聯結詞
1.4 全稱量詞與存在量詞
小結
復習參考題
第二章 圓錐曲線與方程
2.1 曲線與方程
2.2 橢圓
探究與發現 為什麼截口曲線是橢圓
信息技術應用 用《幾何畫板》探究點的軌跡：橢圓
2.3 雙曲線
探究與發現
2.4 拋物線
探究與發現
閱讀與思考
小結
復習參考題
第三章 空間向量與立體幾何
3.1 空間向量及其運算
閱讀與思考 向量概念的推廣與應用
3.2 立體幾何中的向量方法
小結
復習參考題