① 試論述小學數學學習的基本過程。
小學數學學習是以學生為主體 的數學認知活動,在活動中學生獲取數學知識,形成數學技能和能力。這種活動一般需要經過以下幾個基本過程來完成。一、動機的激發學習動機是指引起學生學習 行為,並使學習行為趨向一定目標的內在心理歷程的動力。它的實質是學習需要,這種需要是學生學習積極性的源泉。新課程改革早已深入人心,可是通過調查我們發現,許多小學數學教 師在進行概念教學時,仍然停留在過去那種陳舊的教學觀念中.例如,很多教師在進行概念教學時特別重視課本,而對從生活經驗中學習概念卻沒有足夠的重視；而 在引導學生掌握概念時又過於重視最後的結論,卻不重視引導學生來探索概念形成的過程；在深入理解概念的過程中,重視利用概念來解題,卻不重視把理論應用於 生活實踐中去。這些問題對小學生理解數學概念有著很大的影響,也限制了學生數學思維的形成與發展。
② 簡述數學知識的特點
數學知識的特點
1.數學，其英文是mathematics，這是一個復數名詞，「數學曾經是四門學科：算術、幾何、天文學和音樂，處於一種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位。」自古以來，多數人把數學看成是一種知識體系，是經過嚴密的邏輯推理而形成的系統化的理論知識總和，它既反映了人們對「現實世界的空間形式和數量關系」的認識，又反映了人們對「可能的量的關系和形式」的認識。數學既可以來自現實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的能動創造。
2.從人類社會的發展史看，人們對數學本質特徵的認識在不斷變化和深化。「數學的根源在於普通的常識，最顯著的例子是非負整數。"歐幾里德的算術來源於普通常識中的非負整數，而且直到19世紀中葉，對於數的科學探索還停留在普通的常識，」另一個例子是幾何中的相似性，「在個體發展中幾何學甚至先於算術」，其「最早的徵兆之一是相似性的知識，」相似性知識被發現得如此之早，「就象是大生的。」因此，19世紀以前，人們普遍認為數學是一門自然科學、經驗科學，因為那時的數學與現實之間的聯系非常密切，隨著數學研究的不斷深入，從19世紀中葉以後，數學是一門演繹科學的觀點逐漸占據主導地位，這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發展，他們認為數學是研究結構的科學，一切數學都建立在代數結構、序結構和拓撲結構這三種母結構之上。與這種觀點相對應，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認為數學是研究模式的學問，數學家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數學與善》中說，「數學的本質特徵就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，」數學對於理解模式和分析模式之間的關系，是最強有力的技術。」1931年，歌德爾（K，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數學是經驗科學的觀點，著名數學家馮·諾伊曼就認為，數學兼有演繹科學和經驗科學兩種特性。
3.對於上述關於數學本質特徵的看法，我們應當以歷史的眼光來分析，實際上，對數本質特徵的認識是隨數學的發展而發展的。由於數學源於分配物品、計算時間、丈量土地和容積等實踐，因而這時的數學對象（作為抽象思維的產物）與客觀實在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數學概念的現實原型，這樣，人們自然地認為數學是一種經驗科學；隨著數學研究的深入，非歐幾何、抽象代數和集合論等的產生，特別是現代數學向抽象、多元、高維發展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數學與現實之間的距離越來越遠，而且數學證明（作為一種演繹推理）在數學研究中占據了重要地位，因此，出現了認為數學是人類思維的自由創造物，是研究量的關系的科學，是研究抽象結構的理論，是關於模式的學問，等等觀點。這些認識，既反映了人們對數學理解的深化，也是人們從不同側面對數學進行認識的結果。正如有人所說的，「恩格斯的關於數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的提法與布爾巴基的結構觀點是不矛盾的，前者反映了數學的來源，後者反映了現代數學的水平，現代數學是一座由一系列抽象結構建成的大廈。」而關於數學是研究模式的學問的說法，則是從數學的抽象過程和抽象水平的角度對數學本質特徵的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數學看成是演繹科學、研究結構的科學，是基於人類對數學推理的必然性、准確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現，因此人們認為，發展數學理論的這套方法，即從不證自明的公理出發進行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那麼由它演繹出來的結論也一定是真的，通過應用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數學家們得出的結論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。
4.事實上，上述對數學本質特徵的認識是從數學的來源、存在方式、抽象水平等方面進行的，並且主要是從數學研究的結果來看數學的本質特徵的。顯然，結果（作為一種理論的演繹體系）並不能反映數學的全貌，組成數學整體的另一個非常重要的方面是數學研究的過程，而且從總體上來說，數學是一個動態的過程，是一個「思維的實驗過程」，是數學真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系則是這個過程的一種自然結果。在數學研究的過程中，數學對象的豐富、生動且富於變化的一面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認為，「數學有兩個側面，它是歐幾里德式的嚴謹科學，但也是別的什麼東西。由歐幾里德方法提出來的數學看來象是一門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。」弗賴登塔爾說，「數學是一種相當特殊的活動，這種觀點「是區別於數學作為印在書上和銘，記在腦子里的東西。」他認為，數學家或者數學教科書喜歡把數學表示成「一種組織得很好的狀態，」也即「數學的形式」是數學家將數學（活動）內容經過自己的組織（活動）而形成的；但對大多數人來說，他們是把數學當成一種工具，他們不能沒有數學是因為他們需要應用數學，這就是，對於大眾來說，是要通過數學的形式來學習數學的內容，從而學會相應的（應用數學的）活動。這大概就是弗賴登塔爾所說的「數學是在內容和形式的互相影響之中的一種發現和組織的活動」的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）說，「數學家的理想是要獲得嚴謹的、條理清楚的、具有邏輯結構的知識實體，這一事實並不排除必須將數學看成是個創造性過程：數學本質上是人類活動，數學是由人類發明的，」數學活動由形式的、演算法的與直覺的等三個基本成分之間的相互作用構成。庫朗和羅賓遜（Courani Robbins）也說，「數學是人類意志的表達，反映積極的意願、深思熟慮的推理，以及精美而完善的願望，它的基本要素是邏輯與直覺、分析與構造、一般性與個別性。雖然不同的傳統可能強調不同的側面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構成數學科學的生命、效用與高度的價值。」
5.另外，對數學還有一些更加廣義的理解。如，有人認為，「數學是一種文化體系」，「數學是一種語言」，數學活動是社會性的，它是在人類文明發展的歷史進程中，人類認識自然、適應和改造自然、完善自我與社會的一種高度智慧的結晶。數學對人類的思維方式產生了關鍵性的影響．也有人認為，數學是一門藝術，「和把數學看作一門學科相比，我幾乎更喜歡把它看作一門藝術，因為數學家在理性世界指導下（雖然不是控制下）所表現出的經久的創造性活動，具有和藝術家的，例如畫家的活動相似之處，這是真實的而並非臆造的。數學家的嚴格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數學家，這些品質是最基本的，……，它與其它一些要微妙得多的品質共同構成一個優秀的藝術家或優秀的數學家的素質，其中最主要的一條在兩種情況下都是想像力。」「數學是推理的音樂，」而「音樂是形象的數學」．這是從數學研究的過程和數學家應具備的品質來論述數學的本質，還有人把數學看成是一種對待事物的基本態度和方法，一種精神和觀念，即數學精神、數學觀念和態度。尼斯（Mogens Niss）等在《社會中的數學》一文中認為，數學是一門學科，「在認識論的意義上它是一門科學，目標是要建立、描述和理解某些領域中的對象、現象、關系和機制等。如果這個領域是由我們通常認為的數學實體所構成的，數學就扮演著純粹科學的角色。在這種情況下，數學以內在的自我發展和自我理解為目標，獨立於外部世界，…，另一方面，如果所考慮的領域存在於數學之外，…，數學就起著用科學的作用…·，數學的這兩個側面之間的差異並非數學內容本身的問題，而是人們所關注的焦點不同。無論是純粹的還是應用的，作為科學的數學有助於產生知識和洞察力。數學也是一個工具、產品以及過程構成的系統，它有助於我們作出與掌握數學以外的實踐領域有關的決定和行動…·，數學是美學的一個領域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和激動的體驗…·，作為一門學科，數學的傳播和發展都要求它能被新一代的人們所掌握。數學的學習不會同時而自動地進行，需要靠人來傳授，所以，數學也是我們社會的教育體系中的一個教學科目．」
從上所述可以看出，人們是從數學內部（又從數學的內容、表現形式及研究過程等幾個角度）。數學與社會的關系、數學與其它學科的關系、數學與人的發展的關系等幾個方面來討論數學的性質的。它們都從一個側面反映了數學的本質特徵，為我們全面認識數學的性質提供了一個視角。
6.基於對數學本質特徵的上述認識，人們也從不同側面討論了數學的具體特點。比較普遍的觀點是，數學有抽象性、精確性和應用的廣泛性等特點，其中最本質的特點是抽象性。A，。亞歷山大洛夫說，「甚至對數學只有很膚淺的知識就能容易地覺察到數學的這些特點：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說是邏輯的嚴格性以及它的結論的確定性，最後是它的應用的極端廣泛、性，」「5」王粹坤說，「數學的特點是：內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴謹性和結論的明確必」這種看法主要從數學的內容、表現形式和數學的作用等方面來理解數學的特點，是數學特點的一個方面。另外，從數學研究的過程方面、數學與其它學科之間的關系方面來看，數學還有形象性、似真性、擬經驗性。「可證偽性」的特點。對數學特點的認識也是有時代特徵的，例如，關於數學的嚴謹性，在各個數學歷史發展時期有不同的標准，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關於嚴謹性的評價標准有很大差異，尤其是哥德爾提出並證明了「不完備性定理…以後，人們發現即使是公理化這一曾經被極度推崇的嚴謹的科學方法也是有缺陷的。因此，數學的嚴謹性是在數學發展歷史中表現出來的，具有相對性。關於數學的似真性，波利亞在他的《數學與猜想》中指出，「數學被人看作是一門論證科學。然而這僅僅是它的一個方面，以最後確定的形式出現的定型的數學，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數學的創造過程是與任何其它知識的創造過程一樣的，在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀察到的結果加以綜合然後加以類比．你得一次又一次地進行嘗試。數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，那麼就應當讓猜測、合情推理佔有適當的位置。」正是從這個角度，我們說數學的確定性是相對的，有條件的，對數學的形象性、似真性、擬經驗性。「可證偽性」特點的強調，實際上是突出了數學研究中觀察、實驗、分析。比較、類比、歸納、聯想等思維過程的重要性。
綜上所述，對數學本質特徵的認識是發展的。變化的，用歷史的、發展的觀點來看待數學的本質特徵，恩格斯的「純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系」的論斷並不過時，對初等數學來說就更是如此，當然，對「空間形式和數量關系」的內涵，我們應當作適當的拓展和深化。順便指出，對數學本質特徵的討論中，採取現象與本質並重、過程與結果並重、形式與內容並重的觀點：，對數學教學具有重要的指導意義。
關於數學所具有的特點，可以把數學和其他學科相比較，這種特點就十分明顯了。
同其他學科相比，數學是比較抽象的。數學的抽象性表現在哪裡呢?那就是暫時撇開事物的具體內容，僅僅從抽象的數方面去進行研究。比如在簡單的計算中，2+3既可以理解成兩棵樹加三棵樹，也可以理解成兩部機床加三台機床。在數學里，我們撇開樹、機床的具體內容，而只是研究2+3的運算規律，掌握了這個規律，那就不論是樹、機床，還是汽車或者別的什麼事物都可以按加法的運算規律進行計算。乘法、除法等運算也都是研究抽象的數，而撇開了具體的內容。
數學中的許多概念都是從現實世界抽象出來的。比如幾何學中的「直線」這一概念，並不是指現實世界中的拉緊的線，而是把現實的線的質量、彈性、粗細等性質都撇開了，只留下了「向兩方無限伸長」這一屬性，但是現實世界中是沒有向兩方無限伸長的線的。幾何圖形的概念、函數概念都是比較抽象的。但是，抽象並不是數學獨有的屬性，它是任何一門科學乃至全部人類思維都具有的特性。只是數學的抽象性有它不同於其他學科抽象的特徵罷了。
數學的抽象性具有下列三個特徵：第一，它保留了數量關系或者空間形式。第二，數學的抽象是經過一系列的階段形成的，它達到的抽象程度大大超過了自然科學中的一般抽象。從最原始的概念一直到像函數、復數、微分、積分、泛函、n維甚至無限維空間等抽象的概念都是從簡單到復雜、從具體到抽象這樣不斷深化的過程。當然，形式是抽象的，但是內容卻是非常現實的。正如列寧所說的那樣：「一切科學的(正確的、鄭重的、不是荒唐的)抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然。」(《黑格爾〈邏輯學〉一書摘要》，《列寧全集》第38卷第181頁)第三，不僅數學的概念是抽象的，而數學方法本身也是抽象的。物理或化學家為了證明自己的理論，總是通過實驗的方法；而數學家證明一個定理卻不能用實驗的方法，必須用推理和計算。比如雖然我們千百次地精確測量等腰三角形的兩底角都是相等的，但是還不能說已經證明了等腰三角形的底角相等，而必須用邏輯推理的方法嚴格地給予證明。在數學里證明一個定理，必須利用已經學過或者已經證過的概念、定理用推理的方法導出這個新定理來。我們都知道數學歸納法，它就是一種比較抽象的數學證明方法。它的原理是把研究的元素排成一個序列，某種性質對於這個序列的首項是成立的，假設當第k項成立，如果能證明第k+1項也能成立，那麼這一性質對這序列的任何一項都是成立的，即使這一序列是無窮序列。
數學的第二個特點是准確性，或者說邏輯的嚴密性，結論的確定性。
數學的推理和它的結論是無可爭辯、毋容置疑的。數學證明的精確性、確定性從中學課本中就充分顯示出來了。
歐幾里得的幾何經典著作《幾何原本》可以作為邏輯的嚴密性的一個很好的例子。它從少數定義、公理出發，利用邏輯推理的方法，推演出整個幾何體系，把豐富而零散的幾何材料整理成了系統嚴明的整體，成為人類歷史上的科學傑作之一，一直被後世推崇。兩千多年來，所有初等幾何教科書以及19世紀以前一切有關初等幾何的論著都以《幾何原本》作為根據。「歐幾里得」成為幾何學的代名詞，人們並且把這種體系的幾何學叫做歐幾里得幾何學。
但是數學的嚴密性不是絕對的，數學的原則也不是一成不變的，它也在發展著。比如，前面已經講過《幾何原本》也有不完美的地方，某些概念定義得不明確，採用了本身應該定義的概念，基本命題中還缺乏嚴密的邏輯根據。因此，後來又逐步建立了更嚴密的希爾伯特公理體系。
第三個特點是應用的廣泛性。
我們幾乎每時每刻都要在生產和日常生活中用到數學，丈量土地、計算產量、制訂計劃、設計建築都離不開數學。沒有數學，現代科學技術的進步也是不可能的，從簡單的技術革新到復雜的人造衛星的發射都離不開數學。
而且，幾乎所有的精密科學、力學、天文學、物理學甚至化學通常都是以一些數學公式來表達自己的定律的，並且在發展自己的理論的時候，廣泛地應用數學這一工具。當然，力學、天文學和物理學對數學的需要也促進了數學本身的發展，比如力學的研究就促使了微積分的建立和發展。
數學的抽象性往往和應用的廣泛性緊密相連，某一個數量關系，往往代表一切具有這樣數量關系的實際問題。比如，一個力學系統的振動和一個電路的振盪等用同一個微分方程來描述。撇開具體的物理現象中的意義來研究這一公式，所得的結果又可用於類似的物理現象中，這樣，我們掌握了一種方法就能解決許多類似的問題。對於不同性質的現象具有相同的數學形式，就是相同的數量關系，是反映了物質世界的統一性，因為量的關系不只是存在於某一種特定的物質形態或者它的特定的運動形式中，而是普遍存在於各種物質形態和各種運動形式中，所以數學的應用是很廣泛的。
正因為數學來自現實世界，正確地反映了客觀世界聯系形式的一部分，所以它才能被應用，才能指導實踐，才表現出數學的預見性。比如，在火箭、導彈發射之前，可以通過精密的計算，預測它的飛行軌道和著陸地點；在天體中的未知行星未被直接觀察到以前，就從天文計算上預測它的存在。同樣的道理也才使得數學成為工程技術中的重要工具。
下面舉幾個應用數學的光輝例子。
第一，海王星的發現。太陽系中的行星之一的海王星是在1846年在數學計算的基礎上發現的。1781年發現了天王星以後，觀察它的運行軌道總是和預測的結果有相當程度的差異，是萬有引力定律不正確呢，還是有其他的原因?有人懷疑在它周圍有另一顆行星存在，影響了它的運行軌道。1844年英國的亞當斯(1819—1892)利用引力定律和對天王星的觀察資料，推算這顆未知行星的軌道，花了很長的時間計算出這顆未知行星的位置，以及它出現在天空中的方位。亞當斯於1845年9～10月把結果分別寄給了劍橋大學天文台台長查理士和英國格林尼治天文台台長艾里，但是查理士和艾里迷信權威，把它束之高閣，不予理睬。
1845年，法國一個年輕的天文學家、數學家勒維烈(1811—1877)經過一年多的計算，於1846年9月寫了一封信給德國柏林天文台助理員加勒(1812—1910)，信中說：「請你把望遠鏡對准黃道上的寶瓶星座，就是經度326°的地方，那時你將在那個地方1°之內，見到一顆九等亮度的星。」加勒按勒維烈所指出的方位進行觀察，果然在離所指出的位置相差不到1°的地方找到了一顆在星圖上沒有的星——海王星。海王星的發現不僅是力學和天文學特別是哥白尼日心學說的偉大勝利，而且也是數學計算的偉大勝利。
第二，穀神星的發現。1801年元旦，義大利天文學家皮亞齊(1746—1826)發現了一顆新的小行星——穀神星。不過它很快又躲藏起來，皮亞齊只記下了這顆小行星是沿著9°的弧運動的，對於它的整個軌道，皮亞齊和其他天文學家都沒有辦法求得。德國的24歲的高斯根據觀察的結果進行了計算，求得了這顆小行星的軌道。天文學家們在這一年的12月7日在高斯預先指出的方位又重新發現了穀神星。
第三，電磁波的發現。英國物理學家麥克斯韋(1831—1879)概括了由實驗建立起來的電磁現象，呈現為二階微分方程的形式。他用純數學的觀點，從這些方程推導出存在著電磁波，這種波以光速傳播著。根據這一點，他提出了光的電磁理論，這理論後來被全面發展和論證了。麥克斯韋的結論還推動了人們去尋找純電起源的電磁波，比如由振動放電所發射的電磁波。這樣的電磁波後來果然被德國物理學家赫茲(1857—1894)發現了。這就是現代無線電技術的起源。
第四，1930年，英國理論物理學家狄拉克(1902—1984)利用數學演繹法和計算預言了正電子的存在。1932年，美國物理學家安德遜在宇宙射線實驗中發現了正電子。類似的例子不勝枚舉。總之，在天體力學中，在聲學中，在流體力學中，在材料力學中，在光學中，在電磁學中，在工程科學中，數學都作出了異常准確的預言。
③ 論述幼兒數學學習的特點及教育原則
幼兒數學教育的原則是指在對幼兒開展數學教育時應遵循的一些基本准則。毫無疑問，對幼兒進行數學教育，首先要考慮的就是幼兒學習數學的心理特點。以下的教育原則，就是在幼兒學習數學的心理特點基礎上，結合數學知識本身所具有的特點所提出的。
一、密切聯系生活的原則
現實生活是幼兒數學概念的源泉。幼兒的數學知識和他們的現實生活有著密切的聯系。可以說幼兒的生活中到處都有數學。幼兒每天接觸的各種事物都會和數、量、形有關。比如，他們說到自己幾歲了，就要涉及數；和別的幼兒比身高，實際上就是量的比較；在搭積木時，就會看到不同的形狀。幼兒在生活中還會遇到各種各樣的問題需要運用數學來加以解決。比如，幼兒要知道家裡有幾個人，就需進行計數，在拿取東西時，幼兒總希望拿「多多」、拿「大的」，這就需要判別多和少、大和小等數量關系。總之，生活中的很多問題，都可以歸結為一個數學問題來解決，都可以變成幼兒學習數學的機會。
另方面，從數學知識本身的特點看，很多抽象的數學概念，如果不藉助於具體的事物，兒童就很難理解。現實生活為兒童提供了通向抽象數學知識的橋梁。舉例來說，有些兒童不能理解加減運算的抽象意義，而實際上他們可能在生活中經常會用加減運算解決問題，只不過沒有把這種「生活中的數學」和「學校里的數學」聯系起來。如果教師不是「從概念到概念」地教兒童，而是聯系兒童的實際生活，藉助兒童已有的生活經驗，就完全能夠使這些抽象的數學概念建立在兒童熟悉的生活經驗基礎上。如讓兒童在游戲角中做商店買賣的游戲，甚至請家長帶兒童到商店去購物，給兒童自己計算錢物的機會，可以使兒童認識到抽象的加減運算在現實生活中的運用，同時也幫助兒童理解這些抽象的數學概念。
數學教育要密切聯系生活的原則，具體地應表現在：
數學教育內容應和幼兒的生活相聯系，要從幼兒的生活中選擇教育內容。我們給幼兒的學習內容，不應是抽象的數學知識，而應緊密聯系他們的生活實際。例如，在教數的組成的知識時，可以引入幼兒日常生活中分東西的事情，讓幼兒分各種東西，這樣他們就會感到比較熟悉，也比較容易接受數的組成的概念。
在生活中引導幼兒學數學。數學教育除了要通過有計劃、有組織的集體教學外，更要結合幼兒的日常生活，在幼兒的生活中進行教育。例如，在分點心時，就可引導幼兒注意，有多少點心，有多少小朋友，可以怎樣分，等等。
此外，數學教育聯系幼兒的生活，還要引導幼兒用數學，讓幼兒感受到數學作為一種工具在實際生活中的應用和作用。例如，幼兒園中飼養小動物，可以引導幼兒去測量小動物的生長。在游戲活動中，也可創設情境，讓幼兒用數學，例如在商店游戲中讓幼兒學習買東西，計算商品的價格等等。這些實際上正是一種隱含的數學學習活動。幼兒常常在不自覺之中，就積累了豐富的數學經驗。而這些經驗又為他們學習數學知識提供了廣泛的基礎。
二、發展幼兒思維結構的原則
「發展幼兒思維結構」的原則，是指數學教育不應只是著眼於具體的數學知識和技能的教學，而應指向幼兒的思維結構的發展。
按照皮亞傑的理論，幼兒的思維是一個整體的結構，幼兒思維的發展就表現為思維結構的發展。思維結構具有一般性和普遍性，它是幼兒學習任何具體知識的前提。例如，當學前兒童的思維結構中還沒有形成抽象的序列觀念時，他們就不可能用邏輯的方法給不同長短的木棍排序。反過來，幼兒對數學概念的學習過程，也有助於其一般的思維結構的發展。這是因為數學知識具有高度的邏輯性和抽象性，學習數學可以鍛煉幼兒思維的邏輯性和抽象性。總之，幼兒建構數學概念的過程，和其思維結構的建構過程之間具有相當的一致性。
在幼兒數學教育中，幼兒掌握某些具體的數學知識只是一種表面的現象，發展的實質在於幼兒的思維結構是否發生了改變。以長短排序為例，有的教師把排序的「正確」方法教給幼兒：每次找出最長的一根，排在最前面，然後再從剩下的木棍中找出最長的……幼兒按照教師教給的方法，似乎都能正確地完成排序任務，但實際上，他們並沒有獲得序列的邏輯觀念，其思維結構並沒有得到發展。而幼兒真正需要的並不是教給他們排序的技能，而是充分的操作和嘗試，並從中得到領悟的機會。只有這樣，他們才能從中獲得一種邏輯經驗，並逐漸建立起一種序列的邏輯觀念。而一旦具備了必要的邏輯觀念，幼兒掌握相應的數學知識就不再是什麼困難的事情了。
總之，數學知識的獲得和思維結構的建構應該是同步的。在幼兒數學教育中，教師在教給幼兒數學知識的同時，還要考慮其思維結構的發展。而只有當幼兒的思維結構同時得到發展，他們得到的數學知識才是最牢固的、不會遺忘的知識。正如一位兒童對皮亞傑所說的：「一旦你知道了，你就永遠知道了。」（當皮亞傑問一位達到守恆認識的兒童「你是怎麼知道的？」時，兒童說出了上面的話，皮亞傑認為這是一個絕妙的回答。
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在教育實踐中，教師常常需要在傳授數學知識和發展思維結構之間作出一定的選擇。二者之間實際上是具體利益和普遍利益的關系、眼前利益和長遠利益的關系。有時，教師對某些具體的知識技能棄而不教，是為了給幼兒更多的機會進行自我調節和同化的作用，以期從根本上改變幼兒的思維方式，因而並不違背數學教育的宗旨。
三、讓幼兒操作、探索的原則
讓幼兒操作、探索的原則，就是要讓幼兒通過自己的活動建構數學知識。數學知識是幼兒自己建構起來的，而且這個建構過程也是幼兒認知結構建構的過程。如果教師只注重結果的獲得，而「教」給幼兒很多，實際上就剝奪了他們自己獲得發展的機會。事實上，幼兒的認知結構也並不可能通過單方面的「教」獲得發展，而必須依賴他自己和環境之間的相互作用，在主客體的相互作用中獲得發展。
在數學教育中，主客體的相互作用具體地表現為幼兒操作物質材料、探索事物之間關系的活動。讓幼兒操作、擺弄具體實物，並促使其將具體的動作內化於頭腦，是發展幼兒思維的根本途徑。在動作基礎上建構起來的數學知識，是真正符合幼兒年齡特點的、和他的認知結構相適應的知識，也是最可靠的知識。而通過記憶或訓練達到的熟練，則並不具有發展思維的價值。
讓幼兒操作、探索的原則，要求教師在實踐中要以操作活動為主要的教學方法，而不是讓幼兒觀看教師的演示或直觀的圖畫，或者聽教師的講解。因為操作活動能夠給予幼兒在具體動作水平上協調和理解事物之間關系的機會，是適合幼兒特點的學習方法。以小班幼兒認識數量為例。教幼兒口頭數數能夠讓他們了解數的順序，卻不能讓他們理解數量關系。很多小班幼兒數數能數到很多，但是這並不代表他們對數的順序、數序中的數量關系就已經真正理解了。而通過操作活動，幼兒不僅在數數，還能協調口頭數數和點數的動作，從而能理解數的實際意義。
操作活動還為幼兒內化數學概念，理解數的抽象意義提供了基礎。在熟練操作的基礎上，幼兒就能將其外在的動作濃縮、內化，變成內在的動作，最終轉變成為頭腦中的思考。例如，幼兒數概念的發展到了一定程度，就能做到目測數群而無需點數的動作了，最終幼兒看到某個數字就能理解其所代表的數量，而實際上這些能力都建立在最初的操作活動基礎上。因此，操作活動對於幼兒學習數學是非常重要的。
此外，這一原則還要求教師把學數學變成幼兒自己主動探索的過程，讓幼兒自己探索、發現數學關系，自己獲取數學經驗。教師「教」的作用，其實並不在於給幼兒一個知識上的結果，而在於為他們提供學習的環境：和材料相互作用的環境、和人相互作用的環境。當然，教師自己也是環境的一部分，也可以和幼兒交往，但必須是在幼兒的水平上和他們進行平等的相互作用。也只有在這樣的相互作用中，幼兒才能獲得主動的發展。
四、重視個別差異的原則
提出「重視個別差異的原則」的依據是幼兒發展的個別差異性。應該承認，每個幼兒都具有其與生俱來的獨特性。這既表現在每個人有其獨特的發展步驟、節奏和特點，還表現在每個人的脾氣性情和態度傾向性各不相同。
在數學教育中，幼兒的個別差異表現得尤其明顯。這不僅因為數學學習是一種「高強度」的智力活動，能夠充分反映出幼兒思維發展水平的差異，可能也和數學本身的特點有關系——數學是一個有嚴格限定的領域，有一套特定的符號系統和游戲規則，它不像文學等領域那樣需要復雜的生活經歷，因而這方面的天賦也易於表現出來。（當代研究天才兒童的心理學專家加德納也提出，數學和棋藝、音樂演奏是三個最容易產生少年天才的領域。 ）
幼兒學習數學時的個別差異，不僅表現為思維發展水平上的差異，發展速度上的差異，還有學習風格上的差異。即使同樣是學習有困難的幼兒，他們的困難也不盡相同。有的幼兒是缺乏概括抽象的能力，有的是缺乏學習經驗。
作為教育者，應該考慮不同幼兒的個別差異，讓每個幼兒在自己的水平上得到發展，而不是千篇一律，統一要求。例如，在為幼兒提供操作活動時，可以設計不同層次、不同難度的活動，這樣幼兒可以自由選擇適合自己水平和能力的活動。
對於學習有困難的幼兒，教師也應分析他們的具體情況，針對不同的困難，給予不同的指導。如對於缺乏概括抽象能力的幼兒，教師可引導其總結概括，並適當加以點撥和啟發。而對於經驗不足、缺乏概括材料的幼兒，則可單獨提供一些操作練習的機會，補充其學習經驗。
④ 簡述數學與數學知識的特點
前人種樹，後人乘涼。
你只是需要把公式記下來，然後會用公式就好了。
⑤ 簡述數學順應學習的含義,並用適當的例子加以說明。
如果數學新知識在原有的數學認知結構中沒有密切聯系的適當知識，這時，如果要把新知識納人到認知結構中，像同化學習那樣通過與相關舊知識建立聯系來獲得新知識就比較困難。
這時必須要對原有數學認知結構進行改組，使之與新知識內容相適應，從而把它納入進去，這個過程叫做順應。順應學習主要是已有知識適應新知識的過程。
例如：現在很多知識,都採用「樹型結構"進行編排,這種「樹型結構"就相當於我們頭腦中的已有認知結構，當新知識產生後，如果新知識和原有認知結構里的舊知識沒有聯系，當新知識要被納入原有「樹型結構"時，就只能改變原有的結構,這就是順應。
(5)論述數學知識擴展閱讀
學概念學習是對一類數學對象的本質屬性的概括抽象，是不斷感知經驗的活動過程，是主體對客體不斷加工、修正，最終達到主體對客體的建構過程，其核心是抽象。
1、經歷概念形成過程，積累概念學習的基本經驗
創設適量的問題情境．布魯納指出，學習者在一定問題情境中，經過對學習材料的親身體驗和發展過程，才是學習者最有價值的東西．本節課創設八個實際情境，從中建立了八個具體的函數關系，對這些函數的特徵進行分析，並抽象得到一次函的數概念。
若感性材料太少，學生對概念的感知就不充分，就難以對概念中各個要素進行全面界定和鑒別，對概念的本質屬性和無關屬性比較不充分，概念形成的基礎就不堅實。
2、確定合理標准進行分類
根據自變數指數的不同，通過對八個具體函數的分類，將函數解析式右邊關於自變數的一次整式的一類函數的特徵抽象出來，用一個統一的解析式表示，進而歸納出一次函數概念，去掉與一次函數概念無關的屬性。
⑥ 問答題：例舉初中數學的相關內容,談談數學知識、數學技能、數學能力的區別於聯系。
數學知識：比如說初一時理解實數和實數分為有理數和無理數這一類的純概念問題，就是數學知識。數學知識大概可分為（1）數與代數（2）空間與圖形（3）統計與概率。而所要學習的，就是數學知識。學過之後，為了檢驗自己是否理解掌握，就去做題，而你做題的速度，正確率，就是數學能力。
數學能力：例：一次函數Y=-2x+1的圖象經過哪幾象限。就是解答根據數學知識出的題目。它可能像例一樣簡單，也可能會拐幾個彎，需要你的思考。然後思考做某種題型多了，你就有了一些數學技巧。
數學技能：我的理解是數學技巧，比如做圓這種題的時候，證切線首先就會想到連接圓心和切點。又或者是找相似，或者梯形的輔助線。這些都是需要做題歸納總結得出的。
所以總的來說關系就是：數學知識決定數學能力，數學能力衍生數學方法。
本人剛剛中考完，所以發表一下自己的見解，如果有錯，請指出，抱歉，謝謝。純手打，勿抄襲，望採納。謝謝。
⑦ 論述數學思想方法在小學數學中的應用
摘 要 小學數學教育旨在讓學生掌握和理解基本的數學知識，掌握正確的數學思想和應用方法，從而開拓數學學習的思維模式，提高學習能力。數學思想是一種文化，是數學教育的核心思想。作為數學教育工作者，對於數學思想在小學數學教育教學中的實踐應用做出以下幾點分析。
關鍵詞 數學思想;小學;教學;淺析
數學知識廣泛存在於人們的生產和生活當中。小學數學知識初級簡單，卻離不開數學思想方法的應用。小學數學思想方法有很多種。能夠用不同的方法去解決數學問題，對於培養學生的數學基礎，提高學習能力有很大的幫助。
一、數學思想方法的課堂應用狀況
許多從事小學數學教育的老師，雖然意識到了數學思想方法在教學過程中應用的重要性，但是實際應用起來往往概念模糊，不夠到位。大部分人依賴教材，缺乏變通，沒有將數學思想方法融匯到知識當中，影響了數學知識的有效傳授。學生對數學理論與內容的本質沒有深刻體會，對於知識也不能全部吸收，無法付諸實踐准確解決數學問題。
運用正確的數學思想方法對學生進行教育，使其能夠理解並且運用，需要老師持之以恆的教育影響。這是一個緩慢的滲透過程，也是對於數學教學質量的有效提高過程。
二、數學思想方法課堂應用的分析研究
（一）分類思想方法在數學教學中的應用
數學的分類思想方法體現在對數學對象的分類及其分類標准。例如人教版四年級《三角形的分類》一課，三角形按角分讓學生認識直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。三角形按邊分讓學生認識等腰三角形和等邊三角形的各個部分，以及等腰三角形兩底角關系和等邊三角形的三個內角的關系。通過分類的數學思想方法，使得學生經過觀察、操作、比較、概括，體會每一類三角形角的特點和邊的特點。不同的分類標准有不同的分類結果，從而產生新的概念。
（二）假設思想方法在數學教學中的應用
假設是先對題目中的已知條件或問題做出某種假設，然後按照題中的已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，加以適當調整，最後找到正確答案的一種思想方法。比如，在人教版小學五年級方程式的教學當中，老師通過等式保持不變的規律來教學生解方程。教學案例：一個盒子里的皮球和外面的皮球加起來一共有九個，求盒子里有幾個皮球。那麼用假設法，假設盒子里有X個皮球，得出方程式X+3=9。這里同時也用到了符號化思想方法，即用X作為符號化的語言來推導演算。那麼利用等式保持不變的等量關系求方程式的解，方程兩邊同時減去一個3，左右兩邊仍然相等，得出：X+3-3=9-3。則最後算出答案X=6。假設思想是一種有意義的想像思維，掌握之後可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。同時小小的字母表示數，以符號的濃縮形式表達了大量的信息，如定律、公式等。
（三）統計思想方法在數學教學中的應用
小學數學統計表是一些基本的統計方法，求平均數應用題是體現數據處理的思想方法。例如，人教版小學六年級教材《扇形統計圖》的教學中，老師給出一組數據，比如，課外活動中不同的運動項目，分別參加的人數不同，佔全班的百分比也不同。乒乓球12人佔30%;足球8人佔20%;跳繩5人12.5%;踢毽子6人15%;其他9人22.5%;可以看出如果用條形統計圖的話，並不能直觀地表示出百分比。老師在黑板上畫出扇形統計圖，告訴學生用扇形統計圖的整個圓表示全班人數，也就是單位「1」，圓內大小不同的扇形表示百分比，引導學生通過直觀的圖標，思考百分比是怎麼算出來的？即各項運動的人數除以全班人數，所有百分比的和是100%。最後總結扇形統計圖的特點：（1）整個圓代表總數量，扇形代表各部分數量。（2）從扇形的大小可以看出各部分數量佔百分比的大小。（3）圓和扇形關系表示出了總數量與部分數量的關系。教師應將統計思想方法應用到數學教學當中，教會學生在生活中有很多問題可以用統計法來解決，並且能夠運用各種統計方法來解決生活中的問題。
（四）類比思想方法在數學教學中的應用
類比思想方法是依據兩類數學對象的相似性，由可能已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象的思想。例如人教版小學四年級教材《加法交換律》中例題：李叔叔准備騎車旅行一個星期，今天上午騎了40千米，下午騎了56千米。一共是多少千米？讓學生用加法交換的方式列式，得出公式a+b=b+a。總結規律：兩個加數交換位置，和不變。這就是數學類比思想的教學應用。另外類比思想在乘法交換律、長方形的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形面積公式的教學中都有應用。類比思想不僅使得學生們對於數學課本知識更加容易理解，而且讓枯燥的數學公式在記憶上更加容易和方便。
小學數學思想在數學教育教學中廣泛應用，佔有非常重要的地位。除了今天的幾項實踐研究外，還有很多思想方法，比較思想方法、轉化思想方法、集合思想方法等等很多教學形式。
為了跟上不斷改革的小學教育教學發展的節奏，讓學生們能夠獲得更多的數學思想方法，掌握數學知識，作為教育工作者應該在不斷地教學實踐中研究總結。為學生持續的學習和發展奠定基礎，從而有效提高小學數學教育教學質量。
⑧ 生活中的數學知識
人體內的杠桿
幾乎每一台機器中都少不了杠桿，就是在人體中也有許許多多的杠桿在起作用。拿起一件東西，彎一下腰，甚至翹一下腳尖都是人體的杠桿在起作用，了解了人體的杠桿不僅可以增長物理知識，還能學會許多生理知識。
其中，大部分為費力杠桿，也有小部分是等臂和省力杠桿。
點一下頭或抬一下頭是靠杠桿的作用(見圖)，杠桿的支點在脊柱之頂，支點前後各有肌肉，頭顱的重量是阻力。支點前後的肌肉配合起來，有的收縮有的拉長配合起來形成低頭仰頭，從圖里可以看出來低頭比仰頭要省力。
當曲肘把重物舉起來的時候，手臂也是一個杠桿(如圖)。肘關節是支點，支點左右都有肌肉。這是一種費力杠桿，舉起一份的重量，肌肉要花費6倍以上的力氣，雖然費力，但是可以省一定距離。
當你把腳尖翹起來的時候，是腳跟後面的肌肉在起作用，腳尖是支點，體重落在兩者之間。這是一個省力杠桿(如圖)，肌肉的拉力比體重要小。而且腳越長越省力。
如果你彎一下腰，肌肉就要付出接近1200牛頓的拉力。這是 由於在腰部肌肉和脊骨之間形成的杠桿也是一個費力杠桿（如圖)。 所以在彎腰提起立物時，正確的姿式是盡量使重物離身體近一 些。以避免肌肉被拉傷。
⑨ 淺談如何挖掘數學知識中橫向間的聯系
數學知識有著縱橫之間密切的聯系，數學教學重在讓學生把握住知識間的聯系，從而培養起學生自學的能力和善於思考和發現的能力，使學生的素質得到更全面的發展。挖掘知識橫向間的聯系就是要讓學生學會進行知識之間的轉化，達到由此及彼的目的，從而對知識的形成及結果進一步升華，實現教學的根本目的。數學知識橫向間的聯系體現了直線前進與台階發展的作用，能使學生在積累的基礎上得到更大發展的保證，把握了這一點才能更好地促進學生數學素養的提高。
一、「轉化思想」在橫向知識聯系中的應用
轉化思想是數學的重要思想，在知識的橫向聯系中，轉化思想起到了將知識聯繫到一起的重要作用。在教學中滲透轉化思想就是要讓學生明確知識之間有著千絲萬縷的關系，新知識的學習可以在已有知識的前提下進行，從而將新知識轉化為舊知識，幫助學生更好地學習。理清了這一點也就能夠使學生掌握好學習的方法，即在學習新知識時，先找與已學知識的聯系，從而橫向進行比較，在舊的基礎上明確新的點，抓住這一點也就能夠徹底掌握新知識，實現由舊到新的進步。
如教學蘇教版五年級上冊《小數乘法和除法》時，我們可以按照數的學習順序和學生已有的整數乘除法的經驗，讓學生將所學習的小數乘除法的內容轉化為已學過的整數乘除法的知識進行解決，找到知識間的橫向聯系，並在此基礎上發現小數乘除法的算理與法則。如計算10.35×2.04，學生就會在已有經驗的基礎上，每一個因數都擴大100倍轉化為整數進行計算，再將所得的積縮小10000倍求出結果，並且可以看出擴大與縮小就是移動小數點，這樣也就初步理解了小數乘除法其實就是通過移動小數點將因數轉化為整數，再將積的小數點反向移回來，當末尾是0時需要劃去。在此基礎上可以讓學生進行討論與交流，用更規范的語言得出小數乘除法的算理與法則，即一算、二數、三點、四劃。
二、「由此及彼」是實現橫向聯系的至關點
小學數學中，知識的呈現基本是按照由淺入深、由此及彼的順序進行設計。因此在教學時我們應把握好這一規律，在為學生夯實基礎的前提下，讓學生按照這條主線進行自主學習與探究，從而培養學生良好的學習習慣，形成正確的學習方法。由此及彼不僅要求學生能夠理清學習的思路，能夠在原有知識的基礎上學習新知，還要求學生要有所提高與創新，達到觸類旁通、舉一反三的目的。這樣學生就能夠在知識的橫向聯系的本質下，實現更高層次的跨越，從而積累更多的數學經驗。
如教學《多邊形的面積》時，在已經學過了三角形面積的基礎上，對於梯形面積的探究，可以讓學生根據三角形面積的思路與方法自主進行。放手給學生，相信學生會給我們帶來更多的驚喜。有的學生先用三角形的面積公式的得出方法：將兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，類比得出了梯形的面積公式。還有的學生通過將梯形進行分割、拼補的方法來得出梯形的面積公式，如將梯形沿兩腰的中點剪開，拼成一個梯形;將梯形沿一個頂點與另一腰的中點剪開，拼成一個三角形等，並相互驗證公式。這樣既開闊了學生的視野，又提高了學生多方面分析問題、解決問題的能力，還為下一步學習組合圖形的面積提供了方法，真可謂是一舉多得。
三、「知識遷移」是對橫向聯系的升華和提高
把握數學知識橫向間聯系的重點在於實現知識的遷移，讓學生能夠綜合運用轉化、類比的思想來更深層次地把握問題的本質。小學數學中的基礎知識與技能並不是太難，學生掌握起來應該很容易，但是在此基礎上提煉出數學思想與方法並以此指導下一步的學習，對於很多學生來說則不是一件很輕松的事情。因此教學時我們要有意識地對學生進行數學思想與方法的滲透，讓學生能夠實現知識的遷移，從而達到不僅「學會」，還能「會學」。這也是為了更好地提高學生的數學素養作鋪墊，為學生的終身學習奠基。
如教學《方程》時，對於初學方程的學生來說，解方程既是知識的重點，也是難點，如何讓學生由原來學習的知識順利遷移過來是教師需要思考的關鍵問題。在剛開始學習時，我們可以讓學生根據原來學習的加減乘除計算，利用倒推的方法讓學生得出結果，但這種方法對於以後要學習的解復雜的方程卻不實用，所以我們可以通過對比的方式，來讓學生擺脫對倒推的依賴，逐步調整到用等式的基本性質解方程的必然道路上來。如在解x+2=5時，剛開始很多同學都會用一個加數等於和減去另一個加數的方法得出x=3，這時教師可以提醒學生除此之外還可以怎麼想，學生在剛學等式性質的基礎上自然會想到等式兩邊同時減去2得出x=3。這樣的思考更直接，學生慢慢也就能夠很好地適應，這也為以後學習開好了頭，避免了學生停留在對算式倒推的依賴上。
總之，在教學時讓學生把握好知識間的橫向聯系，可以幫助學生養成良好的學習習慣，掌握科學的學習方法，從而提高學生分析問題、解決問題的能力。只有深度挖掘了知識間的橫向聯系，才能使分散在各冊、各單元的知識形成一個完整的體系，便於學生總體上的感知與掌握，使學生能夠由此及彼、舉一反三，真正理解知識、掌握技能、積累經驗、感悟思想，從而實現我們數學教學的根本目的。