Ⅰ 有關完美數的知識
任何一個自然數的約數中都有1和它本身，我們把小於它本身的因數叫做這個自然數的真約數。如6的所有真約數是1、2、3，而且6=1＋2＋3。像這樣，一個數所有真約數的和正好等於這個數，通常把這個數叫做完美數。
古希臘人非常重視完美數。畢達哥拉斯發現它之後，人們就開始了對完美數的研究。也許完美數太少了，一直到現在，數學家才發現了29個完美數，而且都是偶完美數。前5個完美數分別是：6，28，496，8128，33550336。
完美數有許多有趣的性質，如，它們都能寫成連續自然數之和：
6=1＋2＋3
28=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
8128=1＋2＋3＋4……＋127
===================================
Ⅱ 判斷一個數是否為完全數
一、數學知識：
完數即完全數。
完全數（Perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數。它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函數），恰好等於它本身。如果一個數恰好等於它的因子之和，則稱該數為「完全數」。
二、演算法分析：
根據數學定義，要判斷是否為完數，則需要取出所有真因子相加，然後判斷是否相等即可。
三、參考代碼：
#include<stdio.h>
intisPerfectNum(intn)//判斷n是否為完數，如果是，則返回1，否則返回0.
{
inti,s=0;
for(i=1;i<n;i++)//遍歷小於n的整數。
if(n%i==0)//可以整除，為真因子。
s+=i;//累加每個真因子到s上。
if(s==n)return1;//符合完數條件，返回1。
elsereturn0;//不是完數，返回0。
}
intmain()
{
intn;
scanf("%d",&n);//輸入n值。
if(isPerfectNum(n))//判斷是否為完數，並輸出結果。
printf("%d是完數 ",n);
else
printf("%d不是完數 ",n);
return0;
}
Ⅲ 人教版小學五年級數學下冊1-2單元學習重點有哪些
《因數與倍數》教 案 首 頁
教材版本
新人教版
學段
五年級下冊
學科
數學
章節
第二單元
課題名
因數與倍數
課時
1課時
執教教師單位
崇仁四小
教師姓名
楊縣文
教學
目標
1、學生掌握找一個數的因數，倍數的方法；
2、學生能了解一個數的因數是有限的，倍數是無限的；
3、能熟練地找一個數的因數和倍數；
4、培養學生的觀察能力。
教學重點
理解因數和倍數的含義；自主探索並總結找一個數的因數和倍數的方法。
教學難點
自主探索並總結找一個數的因數和倍數的方法；歸納一個數的因數的特點。
教具
學號牌數字卡片
時間
安排
復習（3分鍾）
合作交流、共探新知（20分鍾）
探究找一個數的因數的方法（10分鍾）
b、探究找一個數的倍數的方法（10分鍾）
三、深化練習，鞏固新知（12分鍾）
四、通過這堂課的學習，你有什麼收獲？（4分鍾）
五、布置作業、結束全課：（1分鍾）
課後
小結
一節概念課如果按傳統方法去教學是非常枯燥的。教師只有真正做到「讀懂教材、讀懂學生、讀懂課堂」，才能讓學生感覺「樂學、易學」，真正充分參與到知識的獲取過程中來。
備注
《因數與倍數》教學設計
教學內容：新人教版小學數學五年級下冊第13~16頁。
教學目標：
1、學生掌握找一個數的因數，倍數的方法；
2、學生能了解一個數的因數是有限的，倍數是無限的；
3、能熟練地找一個數的因數和倍數；
4、培養學生的觀察能力。
教學重點：
理解因數和倍數的含義；自主探索並總結找一個數的因數和倍數的方法。
教學難點：
自主探索並總結找一個數的因數和倍數的方法；歸納一個數的因數的特點。
教學具准備：學號牌數字卡片（也可讓學生按要求自己准備）。
教法學法：談話法、比較法、歸納法。
快樂學習、大膽言問、不怕出錯！
課前安排學號：1~40號
課前故事：
說明道理：學習最重要的是快樂，要掌握學習的方法。
教學過程：
復習
1、4×0.5＝2，所以4和0.5都是2的因數，2是4和0.5的倍數。這句話對嗎？
2、我們在因數與倍數的學習中，只討論什麼數？
3、8÷2＝4，所以8是倍數，4是因數。這句話對嗎？
今天，我和大家一道來繼續共同探討「因數與倍數」
合作交流、共探新知
探究找一個數的因數的方法（談話法、比較法、歸納法）
請認為自己是18的因數的同學帶著號碼牌上台來。
a、學生上台――找對子，擊掌―――。完後提示：老師覺得有點亂，有沒有什麼方法可以讓這些找因數的方法有序些？
b、學生再次依照1*18，2*9，3*6的順序一個個講出乘法算式。接著追問：那18的因數就有？？？從1開始做手勢：（1，18，2，9，3，6）有沒有遺漏的呢？為了讓人家看得更明白，我們從小到大排一下，好不好？
學生預設：有的學生可能會說還有6*3，9*2，18*1等，出現這種情況時可以冷一下，讓學生想一想這樣寫的話會出現什麼情況，最後讓學生明白一個數的因數是不能重復的。
c、可是老師覺得這樣子寫又有點亂，有沒有更好的辦法讓人看得更清楚些，讓這些數字的有序地排列？
d、介紹寫一個數因數的方法
可以用一串數字表示；也可以用集合圈的方法表示。
說一說：
18的因數共有幾個？
它最小的因數是幾？
最大的因數是幾？
做一做（在做這些練習時應放手讓學生去做，相信學生的知識遷移與消化新知的能力）
a、30的因數有哪些，你是怎麼想的？
b、36的因數有幾個?你是怎麼想的？為什麼6*6＝36，這里只寫一個因數？
c、對比18、30、36的因數，分別讓學生說說每個數最小的因數是幾？最大的因數是幾？各有幾個因數？
d、讓學生討論：你從中發現了「一個數的因數」有什麼相同的地方嗎？
學生總結：
板書：
一個數最小的因數是1；
最大的因數是它本身；
因數的個數是有限的。
輕松一下：
我們來了解一點小知識：完全數，什麼叫完全數呢？就是一個數所有的因數中，把除了本身以外的因數加起來，所得的和恰好是這個數本身，那這樣的數我們就叫它完全數，也叫完美數，比如6~~（學生讀課本14頁完全數的相關知識）
b、探究找一個數的倍數的方法（談話法、比較法、歸納法）
因為有了前面探究找一個數因數的方法，在這一環節更可大膽讓學生自己去想，去說，去發現，去歸納。教師只要適當做點組織和引導工作就行。
過渡：大家都很棒！這么快就找出了一個數的因數並總結好了它的規律，現在楊老師想放開手來讓大家自己來學習下面的知識：找一個數的倍數。
a、2的倍數有哪些？你是怎麼想的？從1開始做手勢：1*2＝2，2*2＝4，2*3＝6，一倍一倍地往上遞加。
發現：這樣子寫下去，寫得完嗎？寫不完，我們可以用一個什麼號來表示？這個省略號就表示像這樣子的數還有多少個？
b、那5的倍數有哪些？按從小到大的順序至少寫出5個來，看誰寫得又快又好
c、對比「一個數的因數」的規律，學生自由討論：一個數的倍數有什麼規律呢？
（到這一環節就無需再提問了，要相信學生能夠在類比中找到學習的方法）
學生總結：
板書：
一個數最小的倍數是它本身；
沒有最大的倍數；
倍數的個數是無限的。
（哦，大家這么聰明啊，不用老師教都會了，看來你們真的是太棒了，這也說明學習要學得輕松就一定要掌握~~方法！）
c、看樣子大家都滿懷信心了，那老師就用黑板上的兩個例題來考考大家，看大家的觀察能力是不是真的好厲害。
指著板書中的18的因數與2的倍數提問：
你能從中找出既是18的因數又是2的倍數的數嗎？（計時開始：10，9，8，~~~）
學生完成後表揚：哇，好厲害！
三、深化練習，鞏固新知
1、做練習二的第3題
在題中出示的數字里分別找出8的倍數和9的倍數
注意「公倍數」概念的初步滲透。
做練習二的第6題
四、通過這堂課的學習，你有什麼收獲？
五、布置作業：
六、結束全課：
請學號是2的倍數的同學起立，你們先離場，
不是2的倍數的同學後離場。
七、板書設計：
18＝1 ×18
18＝2 × 9
18＝3 × 6
有序 不重復不遺漏
18的因數有:1、2、3、6、9、18。
因 數 和 倍 數
一個數的最小因數是1，最大因數是它本身。
因數的個數是有限的。
2的倍數
2，4，6，……
一個數的最小倍數是它本身，沒有最大倍數。
倍數的個數是無限的。
Ⅳ 什麼是完美數
完全數（Perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數。它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函數），恰好等於它本身。
如果一個數恰好等於它的真因子之和，則稱該數為「完全數」。第一個完全數是6，第二個完全數是28，第三個完全數是496，後面的完全數還有8128、33550336等等。截至2018年，相關研究者已經找到51個完全數。
推導公式：
大數學家歐拉曾推算出完全數的獲得公式：如果p是質數，且2^p-1也是質數，那麼（2^p-1）X2^（p-1）便是一個完全數。
例如p=2，是一個質數，2^p-1=3也是質數，（2^p-1）X2^（p-1）=3X2=6，是完全數。
例如p=3，是一個質數，2^p-1=7也是質數，（2^p-1）X2^（p-1）=7X4=28，是完全數。
例如p=5，是一個質數，2^p-1=31也是質數，（2^p-1）X2^（p-1）=31X16=496是完全數。
但是2^p-1什麼條件下才是質數呢?事實上，當2^p-1是質數的時候，稱其為梅森素數。到2013年2月6日為止，人類只發現了48個梅森素數，較小的有3、7、31、127等。
Ⅳ 完全數是什麼
公元1世紀，畢達哥拉斯學派成員、古希臘著名數學家尼可馬修斯在他的數論專著《算術入門》一書中，給出了6、28、496、8128這四個完全數，並且通俗地復述了歐幾里得尋找完全數的定理及其證明。他還將自然數劃分為三類：富裕數、不足數和完全數，其意義分別是小於、大於和等於所有真因數之和。
公元前3世紀時，古希臘數學家對數字情有獨鍾。他們在對數的因數分解中，發現了一些奇妙的性質，如有的數的真因數之和彼此相等，於是誕生了親和數；而有的真因數之和居然等於自身，於是人們又誕生了完全數。6是人們最先認識的完全數。當研究數字的先師畢達哥拉斯發現6的真因數1、2、3之和還等於6。他激動地說：「6象徵著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它是完整的，並且其和等於自身。」
完全數在古希臘誕生後，像謎一樣吸引著眾多數學家和數學愛好者去尋找更多的完全數。可是，縱然為此嘔心瀝血，仍然沒有人找到第五個完全數。後來，由於歐洲戰爭不斷，希臘、羅馬的科學也逐漸衰退，一些優秀的科學家帶著他們的成果和智慧紛紛逃往阿拉伯、印度、義大利等國。從此，希臘、羅馬文明一蹶不振。
直到1202年才出現一線曙光。義大利的斐波那契，青年時隨父游歷古代文明的希臘、埃及、阿拉伯等國，學到了不少數學知識。他才華橫溢，後來寫出名著《算盤書》，成為13世紀在歐洲傳播東方文化和將東方數學系統地介紹到西方的第一人，並且成為西方文藝復興前夜的數學啟明星。斐波那契經過推算後宣布找到了一個尋找完全數的有效法則，可惜沒有得到當時數學界的共鳴，只好不了了之。
1460年，當人們還在為尋找更多完全數樂此不疲時，有人偶然發現在一位無名氏的手稿中，竟神秘地給出了第五個完全數33550336。它比第四個完全數8128大了4000多倍。
跨度如此之大，在計算並不發達的時代可想而知發現者的艱辛了。可惜手稿里沒有說明他用什麼方法得到的，也沒有公布自己的姓名，使得人們迷惑不解。不過，在這位無名氏成果的鼓勵下，15－19世紀是研究完全數不平凡的時代，其中17世紀出現了小高潮，而著名的「梅森猜測」就是這個時候誕生的。
在研究與尋找的過程中，人們還發現完全數的一個奇妙現象。如果把一個完全數的各位數字加起來得到一個數，再把這個數的各位數字加起來，又得到一個數，一直這樣做下去，結果一定是1。
例如：數字28：2＋8＝10，1＋0＝1數字496：4＋9＋6＝19，1+9＝10，1＋0＝1
這一現象意味著什麼？法國數學家笛卡爾曾公開預言：「能找出的完全數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完全人亦非易事。」所以關於完全數還有許多待解之謎，比如：完全數之間有什麼關系？完全數是有限還是無窮多個？存在不存在奇數完全數？
從1952年開始，人們藉助高性能計算機尋找完全數，至1985年才找到18個。而迄今為止，發現的30個完全數，統統都是偶數，於是，數學家提出猜測：存不存在奇數完全數？
1633年11月，笛卡爾給梅森的一封信中，首次提出了奇數完全數的研究。可惜直到他死也未能找到。而且至今，沒有任何一個數學家發現一個奇數完全數。這又成為世界數論的一大難題。雖然誰也不知道它們是否存在，但經過一代又一代數學家的研究計算，有一點是明確的，那就是如果存在一個奇數完全數的話，那麼它一定是非常大的。對奇數完全數是否存在，產生如此多的估計，也算得上是數學界的一大奇聞了。
Ⅵ 完全數是幾年級學的
完全數是小學5年級學的。
一、教學內容：人教版小學數學五年級下冊《第二單元：因數與倍數》，教材第12——14頁。
二、教學建議：
在學生學習掌握了因數、倍數的相關知識後，及時給出6和其他1-2個數，寫出它們的因數，讓學生了解到6的因數相加剛好等於6，讓學生試著找一找，你能找到幾個這樣的數（既比賽又在無形中練習了寫一個數的因數，可謂一舉兩得），從而引入完全數，介紹完全數的知識，拓寬知識面，展現數學中的「美」。
性質
1、所有的完全數都是三角形數。例如：6=1+2+3；28=1+2+3+...+6+7；496=1+2+3+...+30+31；8128=1+2+3…+126+127。
2、所有的完全數的倒數都是調和數。例如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。
3、可以表示成連續奇立方數之和。除6以外的完全數，都可以表示成連續奇立方數之和，並規律式增加。例如：28=1³+3^3；496=1^3+3^3+5^3+7^3；8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3；33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3。
4、都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和。不但如此，而且它們的數量為連續質數。例如：6=2^1+2^2；28=2^2+2^3+2^4；496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8；8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12；33550336=2^12+2^13+……+2^24。
Ⅶ 2\什麼是完數，及什麼是完數的因子
完數必備條件的公式、推理及其證明
一提起數，一般人總認為它是枯燥無味的，不像音樂那樣動聽，不像小說那樣迷人，不像美術作品那樣使人陶醉。其實，這是很不公正的。不要說數和人類生活有著密不可分的聯系，就說數本身，也充滿著無窮的趣味呢。
我們舉個例子。數6，連小學生也認得的。它等於1＋2＋3，而且，1、2、3都是6的整約數，也就是說，他們都能除盡6。這是眾人皆知、最簡單的知識。可是誰去注意過它呢？也許有人會說，這有什麼奧秘呢？不是很平常、很簡單的小學算術嗎？
不！公元前兩千多年，古希臘人就不是這樣簡單地看問題的。他們對於數6等於它所有整約數（6本身除外）的和這個奇妙的事實很感興趣。他們把6命名為「完數」（即完全的數）。
當時，很快找到了第二個完數28：1＋2＋4＋7＋14=28。不久，大數學家歐幾里德找出了第三個完數496和第四個完數8128。而第五個完數33550336則是在歐幾里德死後一千零五年才找到的。
「完數」引起了世界上許多著名數學家的興趣。從1644年至1957年9月，經過許多著名數學家的辛勤勞動，共找到了十八個完數，第十八個完數約2000位。
6的整約數是：1、2、3。
28的整約數是：1、2、4、7、14。
496的整約數是：1、2、4、8、16、31、62、124、248。
……
我們發現，每個完數的所有整約數正好都是公比為2的兩個等比數列。假如我們把它們由小到大依次排列，並把前一個數列的項數用P表示，那麼，前一個等比數列的首項是1，末項是2的P－1次方；後一個等比數列的首項是2的P次方－1，末項是（2的P次方－1）·2的P－2次方。如果用S和S』分別表示兩個數列之和，則：
S= 1－2的P－1次方·2 / 1－2 = 2的P次方－1
S』=（2的P次方－1）－（2的P次方－1）·2的P－2次方·2 / 1－2 =（2的P次方－1）·2的P－1次方－（2的P次方－1）
=（2的P次方－1）·（2的P－1次方－1）
現在，我們再用W來表示完數，那麼：
W= S＋S』=（2的P次方－1）＋（2的P次方－1）·（2的P－1次方－1）
W=（2的P次方－1）·2的P－1次方
但是，並不是所有符合這個公式的數都是完數。例如，當P=4時，W=120就不是完數。那麼，需要附加什麼條件呢？
讓我們把公式展開來觀察一下：
（2的P次方－1）·2的P－1次方 = 2的0次方＋2的1次方＋2的2次方＋…＋2的P－1次方＋（2的P次方－1）·2的0次方＋（2的P次方－1）·2的1次方＋
…＋（2的P次方－1）·2的P－2次方 （其中P≥2）
展開以後右邊各項即數（2的P次方－1）·2的P－1次方的所有整約數。當然，右邊各項都可能會有自己的整約數，他們的整約數也就是數（2的P次方－1）·2的P－1次方的整約數。如果右邊任意一項的整約數都包含在右邊各項里，每一項都不再有右邊各項以外的新的整約數，那麼，數（2的P次方－1）·2的P－1次方就一定是一個完數。
比如28的整約數是1、2、4、7、14。其中4的整約數是1和2，14的整約數是1、2和7（這里我們把數自身除外），並沒有這五個整約數之外的新的整約數，因此，28是完數。
要滿足這個條件，很明顯，關鍵在於2的P次方－1必須是一個素數。也就是說，只要2的P次方－1除了1和它本身之外，再沒有任何一個整約數，那麼，W=（2的P次方－1）·2的P－1次方就一定是一個完數。例如完數6中的2的P次方－1=3、完數28中的2的P次方－1=7、完數496中的2的P次方－1=31等等就都是素數。
朋友，你讀到這里，一定會問，在什麼情況下，2的P次方－1才會是素數呢？
首先，我們可以證明，當P不是素數時，2的P次方－1就不會是素數。證明過程如下：
1、當P是偶數時，根據因式分解公式，
a的n次方－b的n次方 =（a＋b）·（a的n－1次方－a的n－2次方·b＋…＋ab的n－2次方－b的n－1次方）
則有
2的P次方－1=（2＋1）·（2的P－1次方－2的P－2次方＋…＋2－1）
顯然，2的P次方－1不是素數，它至少還能被3除盡。
2、當P是奇數、但不是素數時，假設P被x除盡，即P÷x = a P = ax（a、x是奇數），
則有
2的P次方－1=1＋2的1次方＋2的2次方＋…＋2的x－1次方＋2的x次方＋…＋2的2x－1次方＋2的2x次方＋…＋2的（a－1）x－1次方＋2的（a－1）x次方＋…＋2的ax－1次方
=（2的x次方－1）＋[（2的2x次方－1）－（2的x次方－1）]＋…＋[（2的ax次方－1）－（2的（a－1）x次方－1）]
=（2的x次方－1）·（1＋2的x次方＋…＋2的（a－1）x次方）
也就是說，2的P次方－1被其展開式中由小到大的前x項之和除盡（x是P的整約數），因此，2的P次方－1不是素數。
這樣看來，只有當P是素數時，2的P次方－1才可能是素數。1644年默森尼證明了當P是下列的9個素數之一，即
P=2、3、5、7、13、17、19、31、127
時，則（2的P次方－1）是素數。由於默森尼在這個問題上的貢獻，人們把形狀為2的P次方－1的正整數叫做默森尼數。
默森尼數2P－1在什麼條件下才可能是素數呢？我們有：
2的P次方－1=1＋2的1次方＋2的2次方＋2的3次方＋…＋2的P－1次方
=1＋2·（1＋2的1次方＋2的2次方＋…＋2的P－2次方）
=1＋2·（2的P－1次方－1）
=1＋2P·（2的P－1次方－1）/ P
設 K=（2的P－1次方－1）/ P
則 2的P次方－1=1＋2KP
1、如果2的P次方－1不是素數，那麼，它一定有素因子乘積的形式。
設 K=2Pxy＋x＋y （x、y是任意自然數）
則2的P次方－1=1＋2KP
=1＋2P（2Pxy＋x＋y）
=1＋4 P的2次方xy＋2Px＋2Py
2的P次方－1=（2xP＋1）（2yP＋1）
這里，K=2Pxy＋x＋y 有x≠0、y≠0 的正整數解。
2、反之，如果K=2Pxy＋x＋y 沒有x≠0、y≠0 的正整數解，或者說，小於或等於（2P－1）開平方的所有形式為（2xP＋1）的素因子都不能除盡2的P次方－1時，2的P次方－1就一定是素數。
雖然是否存在有無限多個默森尼數是素數尚是數論中的一個難題，但到目前為止，所知道的默森尼數
P項的M=2的P次方－1
是素數的，已有25個。即當
P=2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701時，則2的P次方－1都是素數（註：其中最後一個即221701－1是1978年兩名美國大學生新發現的截止目前為止最大的一個素數。載1978年11月21日《參考消息》第四版）。
因此，目前我們所知道的完數就不止是18個而是25個了，即當P是上述25個素數之一時，
W=（2的P次方－1）·2的P－1次方就是完數。
Ⅷ 如何解開完全數之謎
公元前３世紀時，古希臘數學家在對數的因數分解中，發現了有的數的真因數之和彼此相等，於是誕生了親和數；而有的真因數之和居然等於自身，於是發現了完全數。６是人們最先認識的完全數。
發現完全數研究數字的先師畢達哥拉斯發現６的真因數１、２、３之和還等於６。
古希臘哲學家柏拉圖在他的《共和國》一書中提出了完全數的概念。
約公元前３００年，幾何大師歐幾里得在他的巨著《幾何原本》第九章最後一個命題首次給出了尋找完全數的方法，被譽譽（ｙù）：名譽，稱贊。為歐幾里得定理：「如果２ｎ－１是一個素數，那麼自然數２ｎ－１(２ｎ－１)一定是一個完全數。」並給出了證明。
公元１世紀，畢達哥拉斯學派成員、古希臘著名數學家尼可馬修斯在他的數論專著《算術入門》一書中，正確地給出了６、２８、４９６、８１２８這四個完全數，並且通俗地復述了歐幾里得尋找完全數的定理及其證明。
神秘的第五個完全數完全數在古希臘誕生後，吸引著眾多數學家和數學愛好者像淘金般去尋找。可是，一代又一代人付出了無數的心血，第五個完全數沒人找到。
直到１２０２年才出現一線曙光。義大利的斐斐：ｆěｉ。波那契，青年時隨父游歷古代文明的希臘、埃及、阿拉伯等地區，學到了不少數學知識。他才華橫溢，回國後潛心研究所搜集搜集（ｓōｕｊí）：到處尋找（事物）並聚集在一起。的數學，寫出了名著《算盤書》，成為１３世紀在歐洲傳播東方文化和系統將東方數學介紹到西方的第一個人，並且成為西方文藝復興前夜的數學啟明星。斐波那契沒有放過完全數的研究，他經過推算宣布找到了一個尋找完全數的有效法則，可惜沒有人共鳴，成為過眼煙雲。
１４６０年，有人偶然發現在一位無名氏的手稿中，竟神秘地給出了第五個完全數３３５５０３３６。這比起第四個完全數８１２８大了４０００多倍。跨度如此之大，在計算落後的古代可想發現者之艱辛了，但是，手稿里沒有說明他用什麼方法得到的，又沒有公布自己的姓名，這更使人迷惑迷惑（ｍíｈｕò）：辨不清是非；摸不著頭腦，使迷惑。不解了。
不平凡的研究歷程１６世紀義大利數學家塔塔利亞小時曾被法國入侵者用刀砍傷舌頭，落下了口吃的疾患，後來靠自學成為一位著名數學家。他研究發現：當ｎ＝２和ｎ＝３至３９的奇數時，２ｎ－１(２ｎ－１)是完全數。
１７世紀「神數術」大師龐格斯在一本洋洋７００頁的巨著《數的玄學》中，一口氣列出了２８個所謂「完全數」，他是在塔塔利亞給出的２０個的基礎上補充了８個。可惜兩人都沒有給出證明和運算過程，後人發現其中有許多是錯誤的。
１９６３年，數學家克特迪歷盡艱辛終於證明了無名氏手稿中第五個完全數是正確的，同時他還正確地發現了第六個和第七個完全數２１６(２１７－１７)和２１８(２１９－１)但他又錯誤地認為２２２(２２３)－１、２２８(２２９－１)和２３６(２３７－１)也是完全數。這三個數後來被大數學家費馬和歐拉否定了。
１６４４年，法國神甫兼大數學家梅森指出，龐格斯給出的２８個「完全數」中，只有８個是正確的，即當ｎ＝２，３，５，７，１３，１７，１９，３１時，２ｎ－１(２ｎ－１)是完全數，同時又增加了ｎ＝６７，１２７和２５７。
在未證明的情況下他武斷地說：當ｎ≤２５７時，只有這１１個完全數。這就是著名的「梅森猜測」。
「梅森猜測」吸引了許多人的研究，哥德巴赫認為是對的；微積分發現者之一的德國萊萊：ｌáｉ。布尼茲也認為是對的。他們低估了完全數的難度。
１７３０年，被稱為世界四大數學家雄獅之一的歐拉，時年２３歲，正值風華風華（ｆēｎɡｈｕá）：風采和才華。正茂。他出手不凡，給出了一個出色的定理：「每一個偶完全數都是形如２ｎ－１(２ｎ－１)的自然數，其中ｎ是素數，２ｎ－１也是素數」，並給出了他一直沒有發表的證明。這是歐幾里得定理的逆理。有了歐幾里得與歐拉兩個互逆定理，公式２ｎ－１(２ｎ－１)成為判斷一個偶數是不是完全數的充要條件了。
歐拉研究「梅森猜想」後指出：我冒險斷言：每一個小於５０的素數，甚至小於１００的素數，使２ｎ－１(２ｎ－１)是完全數的僅有ｎ取３，５，７，１３，１７，１９，３１，４１，４７，我以一個優美的定理出發得到了這些結果，我自信它們具有真實性。」１７７２年，歐拉因過度拚命研究使雙目已經失明了，但他仍未停止研究，他在致瑞士數學家丹尼爾的一封信中說：「我已經心算證明ｎ＝３１時２２０(２３１－１)是第８個完全數。」同時，他發現他過去認為ｎ＝４１和ｎ＝４７時是完全數是錯誤的。
歐拉定理和他發現的第８個完全數的方法。使完全數的研究發生了深刻變化，可是，人們仍不能徹底徹底（ｃｈèｄǐ）：一直到底，深而透，也作澈底。解決「梅森猜測」。
１８７６年法國數學家魯卡斯創立了一種檢驗素數的新方法，證明ｎ＝１２７時確實是一個完全數，這使「梅森猜測」之一變成事實，魯卡斯的新辦法給研究完全數者帶來一線生機，同時也動搖了「梅森猜測」。因數家藉助他的方法發現猜沒中ｎ＝６７，ｎ＝２５７時不是完全數。
在以後１８８３—１９３１年的４８年間，數學家發現「梅森猜測」中ｎ≤２５７范圍內漏掉了ｎ＝６１，８９，１０７時的三個完全數。
至此，人們前赴後繼，不斷另闢新路徑，創造新方法，用筆算紙錄，耗時兩千多年，共找到１２個完全數，即ｎ＝２，３，５，７，１３，１７，１９，３１，６１，８９，１０７，１２７時，２ｎ－１(２ｎ－１)是完全數。
笛卡爾曾公開預言：「能找出完全數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完全人亦非易事。」
歷史證明了他的預言。
從１９９２年開始，人們藉助高性能計算機發現完全數，至１９９６年才找到１８個。
等待揭穿之謎迄迄：ｑì。今為止，發現的３０個完全數，統統都是偶數，於是，數學家提出猜測猜測（ｃāｉｃè）：推測，憑想像估計。：存不存在奇數完全數。
１６３３年１１月，法國數學家笛卡爾給梅森一封信中，首次開創奇數完全數的研究，他認為每一奇完全數必具有ＰＱ２的形式，其中Ｐ是素數，並聲稱不久他會找到，可不僅直到他死時未能找到，而且至今，沒有任何一個數學家發現一個奇完全數。這成為世界數論又一大難題。
雖然，誰也不知道它們是否存在，但經過一代又一代數學家研究計算，有一點是明確的。那就是如果存在一個奇完全數的話，那麼它一定是非常大的。
有多大呢?遠的不說，當代大數學家奧爾檢查檢查（ｊｉāｎｃｈá）：為了發現問題而用心查看；翻檢查考。過要１０１８以下自然數，沒有一個奇完全數；１９６７年，塔克曼宣布，如果奇完全數存在，它必須大於１０３６，這是一個３７位數；１９７２年，有人證明它必大於１０５０，１９８２年，有人證明，它必須大於１０１２０；……這種難於捉摸的奇完全數也許可能有，但它實在太大，以至超出了人們能夠用計算機計算的范圍了。
對奇完全數是否存在，產生如此多的估計，也是數學界的一大奇聞!
關於完全數還有許多待揭之謎，比如：完全數之間有什麼關系?完全數是有限還是無窮多個!存在不存在奇完全數?人們還發現完全數的一個奇妙現象，把一個完全數的各位數字加起來得到一個數，再把這個數的各位數字加起來，又得到一個數，一直這樣做下去，結果一定是１。例如，對於２８，２＋８＝１０，１＋０＝１對於４９６有，４＋９＋６。１９，１＋９＝１０，１＋０＝１等等。這一現象，對除６外的所有完全數是否成立?以上這些難題，與其他數學難題一樣，有待人們去攻克攻克（ɡōｎɡｋè）：攻下（敵人的據點）。。