1. 為什麼說數學對哲學的影響既深刻又不幸
我說一下我的看法，僅供交流。
這個問題分兩方面，第一，數學對哲學有很深刻的影響。數學開始對哲學有影響，是從畢達哥拉斯開始的。畢達哥拉斯的定理(中國也叫勾股定理)，引起了第一次數學危機(這個請自行網路，說起來太冗雜了)，導致了數形分離。這開創了形而上學的開端，雖然還不如後來那麼深刻，但是這是形而上學的源頭。而形而上學是西方哲學的核心，起碼對古典哲學來說是這樣的。自此開始的幾千年，開始了對形而上學永無止境的探索。
但，不幸，也就此開始了。一方面，用現在的語言來表述的話。數學是一門形式科學，自成一個嚴密的體系，在這個系統內，由一個大前提出發，幾乎可以推出一切知識。最主要的是，數學是可以脫離經驗而存在。所以，數學堪稱科學的典範，當時的哲學家都試圖使哲學成為像數學一樣的學科，但經過幾千年的嘗試發現，這是不可能的。這就是第一個不幸。這是由哲學的性質所造成的，這里我也不多做討論哲學的定義了。再次，還有一個不幸是要到現代哲學才突出。現代哲學有一個特點，一反2000多年的本質主義，認為根本就不存在什麼本質，不存在什麼形而上學問題。所以，哲學這幾千年，都是走了彎路。
有問題的話，歡迎指出。
2. 到底什麼叫知識點請以數學為例進行解釋
在教育實踐中，對某一個知識的泛稱，多用於口語化，特指教科書上或考試的知識
我個人認為知識點應該具有中國特色，因為現在是應試教育，一切為了考試，知識點就是考試時會涉及的知識，也就是大綱的分支，比如數學集合的知識點
1.什麼是集合
2.集合包括什麼
3.集合的分類
知識點分為了解，掌握，熟練運用，純屬個人觀點，希望幫到你（PS非復制）
3. 關於數學的小知識
1，零
在很早的時候，以為「1」是「數字字元表」的開始，並且它進一步引出了2，3，4，5等其他數字。這些數字的作用是，對那些真實存在的物體，如蘋果、香蕉、梨等進行計數。直到後來，才學會，當盒子里邊已經沒有蘋果時，如何計數里邊的蘋果數。
2，數字系統
數字系統是一種處理「多少」的方法。不同的文化在不同的時代採用了各種不同的方法，從基本的「1，2，3，很多」延伸到今天所使用的高度復雜的十進製表示方法。
3，π
π是數學中最著名的數。忘記自然界中的所有其他常數也不會忘記它，π總是出現在名單中的第一個位置。如果數字也有奧斯卡獎，那麼π肯定每年都會得獎。
π或者pi，是圓周的周長和它的直徑的比值。它的值，即這兩個長度之間的比值，不取決於圓周的大小。無論圓周是大是小，π的值都是恆定不變的。π產生於圓周，但是在數學中它卻無處不在，甚至涉及那些和圓周毫不相關的地方。
4，代數
代數給了一種嶄新的解決間題的方式，一種「迴旋」的演年方法。這種「迴旋」是「反向思維」的。讓我們考慮一下這個問題，當給數字25加上17時，結果將是42。這是正向思維。這些數，需要做的只是把它們加起來。
但是，假如已經知道了答案42，並提出一個不同的問題，即現在想要知道的是什麼數和25相加得42。這里便需要用到反向思維。想要知道未知數x的值，它滿足等式25＋x＝42，然後，只需將42減去25便可知道答案。
5，函數
萊昂哈德·歐拉是瑞士數學家和物理學家。歐拉是第一個使用「函數」一詞來描述包含各種參數的表達式的人,例如：y = F(x)，他是把微積分應用於物理學的先驅者之一。
4. 名人名言數學小知識
1.、王菊珍的百分數
我國科學家王菊珍對待實驗失敗有句格言，叫做「幹下去還有50％成功的希望，不幹便是100％的失敗。」
2、托爾斯泰的分數
俄國大文豪托爾斯泰在談到人的評價時，把人比作一個分數。他說：「一個人就好像一個分數，他的實際才能好比分子，而他對自己的估價好比分母。分母越大，則分數的值就越小。」
1、數學的本質在於它的自由. 康扥爾(Cantor)
2、在數學的領域中, 提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要. 康扥爾(Cantor)
3、沒有任何問題可以向無窮那樣深深的觸動人的情感, 很少有別的觀念能像無窮那樣激勵理智產生富有成果的思想, 然而也沒有任何其他的概念能向無窮那樣需要加以闡明. 希爾伯特(Hilbert)
4、數學是無窮的科學. 赫爾曼外爾
5、問題是數學的心臟. P.R.Halmos
6、 只要一門科學分支能提出大量的問題, 它就充滿著生命力, 而問題缺乏則預示著獨立發展的終止或衰 亡. Hilbert
7、數學中的一些美麗定理具有這樣的特性: 它們極易從事實中歸納出來, 但證明卻隱藏的極深. 高斯
3、雷巴柯夫的常數與變數
俄國歷史學家雷巴柯夫在利用時間方面是這樣說的：「時間是個常數，但對勤奮者來說，是個『變數』。用『分』來計算時間的人比用『小時』來計算時間的人時間多59倍。」
二、用符號寫格言
4、華羅庚的減號
我國著名數學家華羅庚在談到學習與探索時指出：「在學習中要敢於做減法，就是減去前人已經解決的部分，看看還有那些問題沒有解決，需要我們去探索解決。」
5、愛迪生的加號
大發明家愛迪生在談天才時用一個加號來描述，他說：「天才=1％的靈感+99％的血汗。」
6、季米特洛夫的正負號
著名的國際工人運動活動家季米特洛夫在評價一天的工作時說：「要利用時間，思考一下一天之中做了些什麼，是『正號』還是『負號』，倘若是『+』，則進步；倘若是『-』，就得吸取教訓，採取措施。」
5. 數學問題！
高一數學的知識是整個高中知識的基礎，每一章節都比較重要，所以先不要分什麼重點、難點的，都要把那弄通透，以方便以後的學習，在這里附上一個不錯的學習方法，希望對你有所幫助。謝謝！
談談怎樣學好高中數學和初中數學相比，高中數學的內容多，抽象性、理論性強，因為不少同學進入高中之後很不適應，特別是高一年級，進校後，代數里首先遇到的是理論性很強的函數，再加上立體幾何，空間概念、空間想像能力又不可能一下子就建立起來，這就使一些初中數學學得還不錯的同學不能很快地適應而感到困難，以下就怎樣學好高中數學談幾點意見和建議。
一、首先要改變觀念
初中階段，特別是初中三年級，通過大量的練習，可使你的成績有明顯的提高，這是因為初中數學知識相對比較淺顯，更易於掌握，通過反復練習，提高了熟練程度，即可提高成績，既使是這樣，對有些問題理解得不夠深刻甚至是不理解的。例如在初中問|a|=2時，a等於什麼，在中考中錯的人極少，然而進入高中後，老師問，如果|a|＝2，且a＜0，那麼a等於什麼，既使是重點學校的學生也會有一些同學毫不思索地回答：a=2.就是以說明了這個問題。
又如，前幾年北京四中高一年級的一個同學在高一上學期期中考試以後，曾向老師提出"抗議"說："你們平時的作業也不多，測驗也很少，我不會學"，這也正說明了改變觀念的重要性。
高中數學的理論性、抽象性強，就需要在對二、提高聽課的效率是關鍵
學生學習期間，在課堂的時間佔了一大部分。因此聽課的效率如何，決定著學習的基本狀況，提高聽課效率應注意以下幾個方面：1、課前預習能提高聽課的針對性。
預習中發現的難點，就是聽課的重點；對預習中遇到的沒有掌握好的有關的舊知識，可進行補缺，以減少聽課過程中的困難；有助於提高思維能力，預習後把自己理解了的東西與老師的講解進行比較、分析即可提高自己思維水平；預習還可以培養自己的自學能力。
2、聽課過程中的科學。
首先應做好課前的物質准備和精神准備，以使得上課時不至於出現書、本等物丟三落四的現象；上課前也不應做過於激烈的體育運動或看小書、下棋、打牌、激烈爭論等。以免上課後還喘噓噓，或不能平靜下來。
其次就是聽課要全神貫注。
全神貫注就是全身心地投入課堂學習，耳到、眼到、心到、口到、手到。
耳到：就是專心聽講，聽老師如何講課，如何分析，如何歸納總結，另外，還要聽同學們的答問，看是否對自己有所啟發。
眼到：就是在聽講的同時看課本和板書，看老師講課的表情，手勢和演示實驗的動作，生動而深刻的接受老師所要表達的思想。
心到：就是用心思考，跟上老師的數學思路，分析老師是如何抓住重點，解決疑難的。
口到：就是在老師的指導下，主動回答問題或參加討論。
手到：就是在聽、看、想、說的基礎上劃出課文的重點，記下講課的要點以及自己的感受或有創新思維的見解。
若能做到上述"五到"，精力便會高度集中，課堂所學的一切重要內容便會在自己頭腦中留下深刻的印象。
3、特別注意老師講課的開頭和結尾。
老師講課開頭，一般是概括前節課的要點指出本節課要講的內容，是把舊知識和新知識聯系起來的環節，結尾常常是對一節課所講知識的歸納總結，具有高度的概括性，是在理解的基礎上掌握本節知識方法的綱要。
知識的理解上下功夫，要多思考，多研究。 4、要認真把握好思維邏輯，分析問題的思路和解決問題的思想方法，堅持下去，就一定能舉一反三，提高思維和解決問題的能力。
此外還要特別注意老師講課中的提示。
老師講課中常常對一些重點難點會作出某些語言、語氣、甚至是某種動作的提示。
最後一點就是作好筆記，筆記不是記錄而是將上述聽課中的要點，思維方法等作出簡單扼要的記錄，以便復習，消化，思考。
三、做好復習和總結工作
1、做好及時的復習。
課完課的當天，必須做好當天的復習。
復習的有效方法不是一遍遍地看書或筆記，而是採取回憶式的復習：先把書，筆記合起來回憶上課老師講的內容，例題：分析問題的思路、方法等（也可邊想邊在草稿本上寫一寫）盡量想得完整些。然後打開筆記與書本，對照一下還有哪些沒記清的，把它補起來，就使得當天上課內容鞏固下來，同時也就檢查了當天課堂聽課的效果如何，也為改進聽課方法及提高聽課效果提出必要的改進措施。
2、做好單元復習。
學習一個單元後應進行階段復習，復習方法也同及時復習一樣，採取回憶式復習，而後與書、筆記相對照，使其內容完善，而後應做好單元小節。
3、做好單元小結。
單元小結內容應包括以下部分。
（1）本單元（章）的知識網路；（2）本章的基本思想與方法（應以典型例題形式將其表達出來）；（3）自我體會：對本章內，自己做錯的典型問題應有記載，分析其原因及正確答案，應記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今後將其補上。 四、關於做練習題量的問題
有不少同學把提高數學成績的希望寄託在大量做題上。我認為這是不妥當的，我認為，"不要以做題多少論英雄"，重要的不在做題多，而在於做題的效益要高。做題的目的在於檢查你學的知識，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不準，甚至有偏差，那麼多做題的結果，反而鞏固了你的缺欠，因此，要在准確地把握住基本知識和方法的基礎上做一定量的練習是必要的。而對於中檔題，尢其要講究做題的效益，即做題後有多大收獲，這就需要在做題後進行一定的"反思"，思考一下本題所用的基礎知識，數學思想方法是什麼，為什麼要這樣想，是否還有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問題時，是否也用到過，把它們聯系起來，你就會得到更多的經驗和教訓，更重要的是養成善於思考的好習慣，這將大大有利於你今後的學習。當然沒有一定量（老師布置的作業量）的練習就不能形成技能，也是不行的。
另外，就是無論是作業還是測驗，都應把准確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，也是學好數學的重要問題。
最後想說的是："興趣"和信心是學好數學的最好的老師。這里說的"興趣"沒有將來去研究數學，做數學家的意思，而主要指的是不煩感，不要當做負擔。"偉大的動力產生於偉大的理想".只要明白學習數學的重要，你就會有無窮的力量，並逐步對數學感到興趣。有了一定的興趣，隨之信心就會增強，也就不會因為某次考試的成績不理想而泄氣，在不斷總結經驗和教訓的過程中，你的信心就會不斷地增強，你也就會越來越認識到"興趣"和信心是你學習中的最好的老師。
6. 什麽是數學知識
就是和數學有關的知識！
下面分別解釋什麼是數學，什麼是知識。
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數學：
數學，其英文是mathematics，這是一個復數名詞，「數學曾經是四門學科：算術、幾何、天文學和音樂，處於一種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位。」
自古以來，多數人把數學看成是一種知識體系，是經過嚴密的邏輯推理而形成的系統化的理論知識總和，它既反映了人們對「現實世界的空間形式和數量關系（恩格斯）」的認識（恩格斯），又反映了人們對「可能的量的關系和形式」的認識。數學既可以來自現實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的勞動創造。
從人類社會的發展史看，人們對數學本質特徵的認識在不斷變化和深化。「數學的根源在於普通的常識，最顯著的例子是非負整數。"歐幾里德的算術來源於普通常識中的非負整數，而且直到19世紀中葉，對於數的科學探索還停留在普通的常識，」另一個例子是幾何中的相似性，「在個體發展中幾何學甚至先於算術」，其「最早的徵兆之一是相似性的知識，」相似性知識被發現得如此之早，「就象是大生的。」因此，19世紀以前，人們普遍認為數學是一門自然科學、經驗科學，因為那時的數學與現實之間的聯系非常密切，隨著數學研究的不斷深入，從19世紀中葉以後，數學是一門演繹科學的觀點逐漸占據主導地位，這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發展，他們認為數學是研究結構的科學，一切數學都建立在代數結構、序結構和拓撲結構這三種母結構之上。與這種觀點相對應，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認為數學是研究模式的學問，數學家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數學與善》中說，「數學的本質特徵就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，」數學對於理解模式和分析模式之間的關系，是最強有力的技術。」1931年，歌德爾（K，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數學是經驗科學的觀點，著名數學家馮·諾伊曼就認為，數學兼有演繹科學和經驗科學兩種特性。
對於上述關於數學本質特徵的看法，我們應當以歷史的眼光來分析，實際上，對數本質特徵的認識是隨數學的發展而發展的。由於數學源於分配物品、計算時間、丈量土地和容積等實踐，因而這時的數學對象（作為抽象思維的產物）與客觀實在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數學概念的現實原型，這樣，人們自然地認為數學是一種經驗科學；隨著數學研究的深入，非歐幾何、抽象代數和集合論等的產生，特別是現代數學向抽象、多元、高維發展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數學與現實之間的距離越來越遠，而且數學證明（作為一種演繹推理）在數學研究中占據了重要地位，因此，出現了認為數學是人類思維的自由創造物，是研究量的關系的科學，是研究抽象結構的理論，是關於模式的學問，等等觀點。這些認識，既反映了人們對數學理解的深化，也是人們從不同側面對數學進行認識的結果。正如有人所說的，「恩格斯的關於數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的提法與布爾巴基的結構觀點是不矛盾的，前者反映了數學的來源，後者反映了現代數學的水平，現代數學是一座由一系列抽象結構建成的大廈。」而關於數學是研究模式的學問的說法，則是從數學的抽象過程和抽象水平的角度對數學本質特徵的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數學看成是演繹科學、研究結構的科學，是基於人類對數學推理的必然性、准確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現，因此人們認為，發展數學理論的這套方法，即從不證自明的公理出發進行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那麼由它演繹出來的結論也一定是真的，通過應用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數學家們得出的結論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。
事實上，上述對數學本質特徵的認識是從數學的來源、存在方式、抽象水平等方面進行的，並且主要是從數學研究的結果來看數學的本質特徵的。顯然，結果（作為一種理論的演繹體系）並不能反映數學的全貌，組成數學整體的另一個非常重要的方面是數學研究的過程，而且從總體上來說，數學是一個動態的過程，是一個「思維的實驗過程」，是數學真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系則是這個過程的一種自然結果。在數學研究的過程中，數學對象的豐富、生動且富於變化的一面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認為，「數學有兩個側面，它是歐幾里德式的嚴謹科學，但也是別的什麼東西。由歐幾里德方法提出來的數學看來象是一門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。」弗賴登塔爾說，「數學是一種相當特殊的活動，這種觀點「是區別於數學作為印在書上和銘，記在腦子里的東西。」他認為，數學家或者數學教科書喜歡把數學表示成「一種組織得很好的狀態，」也即「數學的形式」是數學家將數學（活動）內容經過自己的組織（活動）而形成的；但對大多數人來說，他們是把數學當成一種工具，他們不能沒有數學是因為他們需要應用數學，這就是，對於大眾來說，是要通過數學的形式來學習數學的內容，從而學會相應的（應用數學的）活動。這大概就是弗賴登塔爾所說的「數學是在內容和形式的互相影響之中的一種發現和組織的活動」的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）說，「數學家的理想是要獲得嚴謹的、條理清楚的、具有邏輯結構的知識實體，這一事實並不排除必須將數學看成是個創造性過程：數學本質上是人類活動，數學是由人類發明的，」數學活動由形式的、演算法的與直覺的等三個基本成分之間的相互作用構成。庫朗和羅賓遜（Courani Robbins）也說，「數學是人類意志的表達，反映積極的意願、深思熟慮的推理，以及精美而完善的願望，它的基本要素是邏輯與直覺、分析與構造、一般性與個別性。雖然不同的傳統可能強調不同的側面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構成數學科學的生命、效用與高度的價值。」
另外，對數學還有一些更加廣義的理解。如，有人認為，「數學是一種文化體系」，「數學是一種語言」，數學活動是社會性的，它是在人類文明發展的歷史進程中，人類認識自然、適應和改造自然、完善自我與社會的一種高度智慧的結晶。數學對人類的思維方式產生了關鍵性的影響．也有人認為，數學是一門藝術，「和把數學看作一門學科相比，我幾乎更喜歡把它看作一門藝術，因為數學家在理性世界指導下（雖然不是控制下）所表現出的經久的創造性活動，具有和藝術家的，例如畫家的活動相似之處，這是真實的而並非臆造的。數學家的嚴格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數學家，這些品質是最基本的，它與其它一些要微妙得多的品質共同構成一個優秀的藝術家或優秀的數學家的素質，其中最主要的一條在兩種情況下都是想像力。」「數學是推理的音樂，」而「音樂是形象的數學」．這是從數學研究的過程和數學家應具備的品質來論述數學的本質，還有人把數學看成是一種對待事物的基本態度和方法，一種精神和觀念，即數學精神、數學觀念和態度。尼斯（Mogens Niss）等在《社會中的數學》一文中認為，數學是一門學科，「在認識論的意義上它是一門科學，目標是要建立、描述和理解某些領域中的對象、現象、關系和機制等。如果這個領域是由我們通常認為的數學實體所構成的，數學就扮演著純粹科學的角色。在這種情況下，數學以內在的自我發展和自我理解為目標，獨立於外部世界，另一方面，如果所考慮的領域存在於數學之外，數學就起著用科學的作用，數學的這兩個側面之間的差異並非數學內容本身的問題，而是人們所關注的焦點不同。無論是純粹的還是應用的，作為科學的數學有助於產生知識和洞察力。數學也是一個工具、產品以及過程構成的系統，它有助於我們作出與掌握數學以外的實踐領域有關的決定和行動，數學是美學的一個領域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和激動的體驗，作為一門學科，數學的傳播和發展都要求它能被新一代的人們所掌握。數學的學習不會同時而自動地進行，需要靠人來傳授，所以，數學也是我們社會的教育體系中的一個教學科目．」
從上所述可以看出，人們是從數學內部（又從數學的內容、表現形式及研究過程等幾個角度）。數學與社會的關系、數學與其它學科的關系、數學與人的發展的關系等幾個方面來討論數學的性質的。它們都從一個側面反映了數學的本質特徵，為我們全面認識數學的性質提供了一個視角。
基於對數學本質特徵的上述認識，人們也從不同側面討論了數學的具體特點。比較普遍的觀點是，數學有抽象性、精確性和應用的廣泛性等特點，其中最本質的特點是抽象性。A，。亞歷山大洛夫說，「甚至對數學只有很膚淺的知識就能容易地覺察到數學的這些特點：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說是邏輯的嚴格性以及它的結論的確定性，最後是它的應用的極端廣泛性」王梓坤說，「數學的特點是：內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴謹性和結論的明確必」這種看法主要從數學的內容、表現形式和數學的作用等方面來理解數學的特點，是數學特點的一個方面。另外，從數學研究的過程方面、數學與其它學科之間的關系方面來看，數學還有形象性、似真性、擬經驗性。「可證偽性」的特點。對數學特點的認識也是有時代特徵的，例如，關於數學的嚴謹性，在各個數學歷史發展時期有不同的標准，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關於嚴謹性的評價標准有很大差異，尤其是哥德爾提出並證明了「不完備性定理…以後，人們發現即使是公理化這一曾經被極度推崇的嚴謹的科學方法也是有缺陷的。因此，數學的嚴謹性是在數學發展歷史中表現出來的，具有相對性。關於數學的似真性，波利亞在他的《數學與猜想》中指出，「數學被人看作是一門論證科學。然而這僅僅是它的一個方面，以最後確定的形式出現的定型的數學，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數學的創造過程是與任何其它知識的創造過程一樣的，在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀察到的結果加以綜合然後加以類比．你得一次又一次地進行嘗試。數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，那麼就應當讓猜測、合情推理佔有適當的位置。」正是從這個角度，我們說數學的確定性是相對的，有條件的，對數學的形象性、似真性、擬經驗性。「可證偽性」特點的強調，實際上是突出了數學研究中觀察、實驗、分析。比較、類比、歸納、聯想等思維過程的重要性。
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知識：
知識到底是什麼，目前仍然有爭議。我國對知識的定義一般是從哲學角度作出的，如在《中國大網路全書·教育》中「知識」條目是這樣表述的：「所謂知識，就它反映的內容而言，是客觀事物的屬性與聯系的反映，是客觀世界在人腦中的主觀映象。就它的反映活動形式而言，有時表現為主體對事物的感性知覺或表象，屬於感性知識，有時表現為關於事物的概念或規律，屬於理性知識。」從這一定義中我們可以看出，知識是主客體相互統一的產物。它來源於外部世界，所以知識是客觀的；但是知識本身並不是客觀現實，而是事物的特徵與聯系在人腦中的反映，是客觀事物的一種主觀表徵，知識是在主客體相互作用的基礎上，通過人腦的反映活動而產生的。
上述定義為我們討論知識的內涵提供了哲學基礎。但宏觀的哲學反映論的認識還需要從個體認知角度進行具體化，這樣才能有效地用以指導學校的具體教學。
與哲學不同，認知心理學是從知識的來源、個體知識的產生過程及表徵形式等角度對知識進行研究的。例如，皮亞傑認為，經驗（即知識）來源於個體與環境的交互作用，這種經驗可分為兩類：一類是物理經驗，它來自外部世界，是個體作用於客體而獲得的關於客觀事物及其聯系認識；另一類是邏輯——數學經驗，它來自主體的動作，是個體理解動作與動作之間相互協調的結果。如兒童通過擺弄物體，獲得關於數量守恆的經驗，學生通過數學推理獲得關於數學原理的認識。皮亞傑對知識的定義是從個體知識的產生過程來表述的。布盧姆在《教育目標分類學》中認為知識是「對具體事物和普遍原理的回憶，對方法和過程的回憶，或者對一種模式、結構或框架的回憶」，這是從知識所包含的內容的角度說的，屬於一種現象描述。
我們認為，在理解知識的含義時，有必要把作為人類社會共同財富的知識與作為個體頭腦中的知識區分開來。人類社會的知識是客觀存在的，但個體頭腦中的知識並不是客觀現實本身，而是個體的一種主觀表徵，即人腦中的知識結構，它既包括感覺、知覺、表象等，又包括概念、命題、圖式，它們分別標志著個體對客觀事物反應的不同廣度和深度，這是通過個體的認知活動而形成的。一般來說，個體的知識以從具體到抽象的層次網路結構（認知結構）的形式存儲於大腦之中。哲學主要對人類社會共同知識的性質進行研究，心理學則主要對個體知識的性質進行研究。
有關知識的名言
高爾基： 愛護書籍吧，它是知識的源泉。
諾思科特： 博學的人是知識的蓄水池，而不是源泉。
不吸取知識之光，心靈就會被黑暗籠罩。
弗萊克斯： 大學是這樣一種機構：它自覺地獻身於對知識的追，力爭解決難題，用挑剔的眼光去評價人們的成就，並用真正的高水平去教育人。
切斯特菲爾德： 當我們步入晚年，知識將是我們舒適而必要的隱退的去處；如果我們年輕時不去栽種知識之樹，到老就沒有乘涼的地方了。
宋·朱熹： 當務之急，不求難知；力行所知，不憚所難為。
切斯特菲爾德： 讀書能獲得知識；但更有用的知識對世界的認識卻只能通過研究各種各樣的人才能獲得。
塞·約翰遜： 對知識的渴求是人類的自然意向，任何頭腦健全的人都會為獲取知識而不惜一切。
恩格斯： 復雜的勞動包含著需要耗費或多或少的辛勞、時間和金錢去獲得的技巧和知識的運用。
卡斯特： 管理者不承擔創造知識的任務，他的任務是有效地運用知識。
·里格斯： 經理人員的管理能力是他在品質、知識和經驗方面的功能。這三種因素相互作用形成一個特殊的管理方式。
鄧小平： 靠空講不能實現現代化，必須有知識，有人才。沒有知識，沒有人才，怎麼上得去？
科爾莫戈羅夫： 科學是人類的共同財富，而真正的科學家的任務就是豐富這個令人類都能受益的知識寶庫。
赫·斯賓塞： 科學是系統化了的知識。
約瑟夫·魯： 科學是為了那些勤奮好學的人，詩歌是為了那些知識淵博的人。
奧·霍姆斯： 科學是「無知」的局部解剖學。
叔本華： 沒有深厚經驗襯托的廣博思想和知識，就像是一本每頁僅有兩行正文卻有四十行注釋的教科書。
論衡： 人有知識，則有力矣。
實踐是知識的母親，知識是生活的明燈。
愛因斯坦： 學習知識要善於思考，思考，再思考。
7. 數學是一切科學的基礎 出自哪裡
這句話是達芬奇的名言。
達·芬奇認為，在科學中，凡是用不上數學的地方，凡是和數學沒有聯系的地方，都是不可靠的，數學是一切科學的基礎。他畫的各種機械平面圖、動植物圖，他所從事的每一項工作，沒有哪一項不得益於數學的准確性。
達·芬奇在哥倫布之前，就算出了地球半徑為6000餘千米。他還發現了立體幾何中正六面體、球體和圓柱之間的面積規律。
(7)認為一切知識當以數學擴展閱讀：
達芬奇的科學思想：
最初，人們學習科學知識也只是學習像《聖經》一樣的亞里士多德理論，只相信文字記載。
達·芬奇反對經院哲學家們把過去的教義和言論作為知識基礎，他鼓勵人們向大自然學習，到自然界中尋求知識和真理。他認為知識起源於實踐，應該從實踐出發，通過實踐去探索科學的奧秘。他說「理論脫離實踐是最大的不幸」，「實踐應以好的理論為基礎」。
達·芬奇提出並掌握了這種先進的科學方法，採用這種科學方法去進行科學研究，在自然科學方面作出了巨大的貢獻。他提出的這一方法，後來得到了伽利略的發展，並由英國哲學家培根從理論上加以總結，成為近代自然科學最基本的研究方法。
達·芬奇堅信科學，他對宗教感到厭惡，抨擊天主教那些掌權的為「一個販賣欺騙與謊言者」。他說：「真理只有一個，他不是在宗教之中，而是在科學之中。」達·芬奇的實驗工作方法為後來哥白尼、伽利略、開普勒、牛頓、愛因斯坦等人的發明創造開辟了新的道路。
8. 關於數學的所有知識
「O」的自述
人人都輕視我，認為我可有可無、有時讀數不讀我，有時計算中一筆把我劃掉。可你們知道嗎？我也有許多實實在在的意義。
1．我表示「沒有」。在數物體時，如果沒有任何物體可數，就要用我來表示。
2．我有占數位的作用。記數時，如果數的某一數位上一個單位也沒有，就用我來佔位。比如：1080中百位、個位上一個單位也沒有就用：0來佔位。
3.我表示起點。直尺、秤的起點都是用我來表示的。
4．我表示界限。溫度計上，我的上邊叫「零上」，我的下邊叫「零下」。
5．我可以表示不同的精確度。在近似計算中，小數部分末尾的我可不能隨便劃去。如:7.00、7.0、7的精確度是不同的。
6．我不能做除數。讓我做除數可就麻煩了，因為我做除數是沒有意義的。
以後你們還會學到我的很多特殊性質、小朋友，請你不要看不起我。
為什麼電子計算機要用二進位制
由於人的雙手有十個手指，人類發明了十進位制記數法。然而，十進位制和電子計算機卻沒有天然的聯系，所以在計算機的理論和應用中難以暢通無阻。究竟為什麼十進位制和計算機沒有天然的聯系？和計算機聯系最自然的記數方法又是什麼呢?
這要從計算機的工作原理說起。計算機的運行要靠電流，對於一個電路節點而言，電流通過的狀態只有兩個：通電和斷電。計算機信息存儲常用硬磁碟和軟磁碟，對於磁碟上的每一個記錄點而言，也只有兩個狀態：磁化和未磁化。近年來用光碟記錄信息的做法也越來越普遍，光碟上海一個信息點的物理狀態有兩個：凹和凸，分別起著聚光和散光的作用。由此可見，計算機所使用的各種介質所能表現的都是兩種狀態，如果要記錄十進位制的一位數，至少要有四個記錄點（可有十六個信息狀態），但此時又有六個信息狀態閑置，這勢必造成資源和資金的大量浪費。因此，十進位制不適合於作為計算機工作的數字進位制。那麼該用什麼樣的進位制呢？人們從十進位制的發明中得到啟示：既然每種介質都是具有兩個狀態的，最自然的進位制當然是二進位制。
二進位制所需要的記數的基本符號只要兩個，即0和1。可以用1表示通電，0表示斷電；或1表示磁化，0表示未磁化；或1表示凹點，0表示凸點。總之，二進位制的一個數位正好對應計算機介質的一個信息記錄點。用計算機科學的語言，二進位制的一個數位稱為一個比特（bit），8個比特稱為一個位元組（byte）。
二進位制在計算機內部使用是再自然不過的。但在人機交流上，二進位制有致命的弱點——數字的書寫特別冗長。例如，十進位制的100000寫成二進位製成為11000011010100000。為了解決這個問題，在計算機的理論和應用中還使用兩種輔助的進位制——八進位制和十六進位制。二進位制的三個數位正好記為八進位制的一個數位，這樣，數字長度就只有二進位制的三分之一，與十進位制記的數長度相差不多。例如，十進位制的100000寫成八進位制就是303240。十六進位制的一個數位可以代表二進位制的四個數位，這樣，一個位元組正好是十六進位制的兩個數位。十六進位制要求使用十六個不同的符號，除了0—9十個符號外，常用A、B、C、D、E、F六個符號分別代表（十進位制的）10、11、12、13、14、15。這樣，十進位制的100000寫成十六進位制就是186A0。
二進位制和八進位制、二進位制和十六進位制之間的換算都十分簡便，而採用八進位制和十六進位制又避免了數字冗長帶來的不便，所以八進位制、十六進位制已成為人機交流中常用的記數法。
為什麼時間和角度的單位用六十進位制
時間的單位是小時，角度的單位是度，從表面上看，它們完全沒有關系。可是，為什麼它們都分成分、秒等名稱相同的小單位呢？為什麼又都用六十進位制呢？
我們仔細研究一下，就知道這兩種量是緊密聯系著的。原來，古代人由於生產勞動的需要，要研究天文和歷法，就牽涉到時間和角度了。譬如研究晝夜的變化，就要觀察地球的自轉，這里自轉的角度和時間是緊密地聯系在一起的。因為歷法需要的精確度較高，時間的單位「小時」、角度的單位「度」都嫌太大，必須進一步研究它們的小數。時間和角度都要求它們的小數單位具有這樣的性質：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成為它的整數倍。以1/60作為單位，就正好具有這個性質。譬如：1/2等於30個1/60，1/3等於20個1/60，1/4等於15個1/60……
數學上習慣把這個1/60的單位叫做「分」，用符號「′」來表示；把1分的1/60的單位叫做「秒」，用符號「〃」來表示。時間和角度都用分、秒作小數單位。
這個小數的進位制在表示有些數字時很方便。例如常遇到的1/3，在十進位制里要變成無限小數，但在這種進位制中就是一個整數。
這種六十進位制（嚴格地說是六十退位制）的小數記數法，在天文歷法方面已長久地為全世界的科學家們所習慣，所以也就一直沿用到今天。
長度單位的自述
一天，長度單位的弟兄們到一起開會，主持會議的是「公里」老大哥，它首先發了言：「我們長度等單位是個國際大家庭，今天來參加會的是我們大家庭中的少數派，人們對我們非常生疏，因此，我們先作一下自我介紹。」首先從會場中央站起來一個說道：「我叫『引』，是中國籍的單位長度，中國古代《漢書：律歷志上》有我的名字，所以我的年齡很大啦！是中國籍古時十丈為一引，今為『市引』的簡稱，1公里（千米）＝30（市）引。」說完就坐下了。接著從會議室一個角落站起一個「單位」大聲喊道：「我叫『碼』，是英籍長度單位．英語『yard』的譯名，1碼＝3英尺，1英里＝1760碼。與公制及市制的關系是：1碼＝0.9144米＝2．743市尺。」「碼」發言完後，就一個接一個的說開了。「我叫『節』，我是無國籍『人士』，也可以說，每一國都是我的國籍，因為我是國際通用的航海速度單位，也可用於度量水流速度和水中兵器（如魚雷）的速度。我是離不開長度的，海里是我的爸爸，小時是我的媽媽。1節＝1海里／小時，例如，某船相對於靜止水面的速度為15海里／小時，那麼它的航速就是15節」.「我叫『鏈』，生長在海上，是海上計量短距離的一種專用單位，我是一海里的十分之一。」「我的名字大約誰也沒聽說過吧！我叫『潯』；海洋測量中計量水深的專用單位，也可以說是無國籍人士，1潯＝1／100鏈＝1／1000海里＝1.852米。」「我叫『町』，是日本籍，也是一種長度單位，是國際長度等單位大家庭中的一員，只是我的面孔怪僻。所以大家見的不多（町＝1／36日里，1公里＝9．167町＝0．2546日里）。」大家發言完後，「公里」說：「很好！我們初次見面，大家認識了一下，我們快回各自的崗位吧！繼續發揮我們各自的偉大作用。」
人身上的「尺子」
你知道嗎？我們每個人身上都攜帶著幾把尺子。假如你「一拃」的長度為8厘米，量一下你課桌的長為7拃，則可知課桌長為56厘米。如果你每步長65厘米，你上學時，數一數你走了多少步，就能算出從你家到學校有多遠。身高也是一把尺子。如果你的身高是150厘米，那麼你抱住一棵大樹，兩手正好合攏，這棵樹的一周的長度大約是150厘米。因為每個人兩臂平伸，兩手指尖之間的長度和身高大約是一樣的。要是你想量樹的高，影子也可以幫助你的。你只要量一量樹的影子和自己的影子長度就可以了。因為樹的高度＝樹影長×身高÷人影長。這是為什麼？等你學會比例以後就明白了。你若去遊玩，要想知道前面的山距你有多遠，可以請聲音幫你量一量。聲音每秒能走331米，那麼你對著山喊一聲，再看幾秒可聽到回聲，用331乘聽到回聲的時間，再除以2就能算出來了。學會用你身上這幾把尺子，對你計算一些問題是很有好處的。同時，在你的日常生活中，它也會為你提供方便的。你可要想著它呀！
阿拉伯數字
在生活中，我們經常會用到0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這些數字。那麼你知道這些數字是誰發明的嗎？
這些數字元號原來是古代印度人發明的，後來傳到阿拉伯，又從阿拉伯傳到歐洲，歐洲人誤以為是阿拉伯人發明的，就把它們叫做「阿拉伯數字」，因為流傳了許多年，人們叫得順口，所以至今人們仍然將錯就錯，把這些古代印度人發明的數字元號叫做阿拉伯數字。
現在，阿拉伯數字已成了全世界通用的數字元號。
九 九 歌
九九歌就是我們現在使用的乘法口訣。
遠在公元前的春秋戰國時代，九九歌就已經被人們廣泛使用。在當時的許多著作中，都有關於九九歌的記載。最初的九九歌是從「九九八十一」起到「二二如四」止，共36句。因為是從「九九八十一」開始，所以取名九九歌。大約在公元五至十世紀間，九九歌才擴充到「一一如一」。大約在公元十三、十四世紀，九九歌的順序才變成和現在所用的一樣，從「一一如一」起到「九九八十一」止。
現在我國使用的乘法口訣有兩種，一種是45句的，通常稱為「小九九」；還有一種是81句的，通常稱為「大九九」。
數學符號的起源
數學除了記數以外，還需要一套數學符號來表示數和數、數和形的相互關系。
數學符號的發明和使用比數字晚，但是數量多得多。現在常用的有200多個，初中數學書里就不下20多種。它們都有一段有趣的經歷。
例如加號曾經有好幾種，現在通用"+"號。
"+"號是由拉丁文"et"（"和"的意思）演變而來的。十六世紀，義大利科學家塔塔里亞用義大利文"più"（加的意思）的第一個字母表示加，草為"μ"最後都變成了"+"號。
"-"號是從拉丁文"minus"（"減"的意思）演變來的，簡寫m，再省略掉字母，就成了"-"了。
也有人說，賣酒的商人用"-"表示酒桶里的酒賣了多少。以後，當把新酒灌入大桶的時候，就在"-"上加一豎，意思是把原線條勾銷，這樣就成了個"+"號。
到了十五世紀，德國數學家魏德美正式確定："+"用作加號，"-"用作減號。
乘號曾經用過十幾種，現在通用兩種。一個是"×"，最早是英國數學家奧屈特1631年提出的；一個是"· "，最早是英國數學家赫銳奧特首創的。德國數學家萊布尼茨認為："×"號象拉丁字母"X"，加以反對，而贊成用"· "號。他自己還提出用"п"表示相乘。可是這個符號現在應用到集合論中去了。
到了十八世紀，美國數學家歐德萊確定，把"×"作為乘號。他認為"×"是"+"斜起來寫，是另一種表示增加的符號。
"÷"最初作為減號，在歐洲大陸長期流行。直到1631年英國數學家奧屈特用"："表示除或比，另外有人用"-"（除線）表示除。後來瑞士數學家拉哈在他所著的《代數學》里，才根據群眾創造，正式將"÷"作為除號。
平方根號曾經用拉丁文"Radix"（根）的首尾兩個字母合並起來表示，十七世紀初葉，法國數學家笛卡兒在他的《幾何學》中，第一次用"√"表示根號。"r"是由拉丁字線"r"變，"--"是括線。
十六世紀法國數學家維葉特用"="表示兩個量的差別。可是英國牛津大學數學、修辭學教授列考爾德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數相等是最合適不過的了，於是等於符號"="就從1540年開始使用起來。
1591年，法國數學家韋達在菱中大量使用這個符號，才逐漸為人們接受。十七世紀德國萊布尼茨廣泛使用了"="號，他還在幾何學中用"∽"表示相似，用"≌"表示全等。
大於號"〉"和小於號"〈"，是1631年英國著名代數學家赫銳奧特創用。至於≯""≮"、"≠"這三個符號的出現，是很晚很晚的事了。大括弧"{ }"和中括弧"[ ]"是代數創始人之一魏治德創造的。
世界盃中的數學問題
當韓日世界盃進行得如火如荼的時候，大家有沒有發現世界盃中有許多數學問題。不信，你往下看。
在世界盃小組賽上，每四個隊進行單循環比賽，每場比賽勝隊得3分，負隊得0分，平局兩隊各得1分。小組賽結束後，總積分高的兩隊出線，進入下一輪比賽。如果總積分相同，還要按進一步的規則排序。
問題一：
一個隊為了晉級下一輪，至少要積幾分才能保證必然出線？
4個隊單循環賽要賽6場，每場比賽最多產生3分，6場比賽最多產生18分。
若某隊積6分，則剩下12分，可能有另兩個隊也各得6分，這樣就要按進一步規則排序，因此該隊有可能不出線。
我想出來了：若一個隊積7分，則剩下11分，這樣另外三個隊中不可能再有兩個隊積分等於或者超過7分，這樣該隊必然出線。因此一個隊為了晉級下一輪，至少要積分7分才能保證必然出線。
問題二：
一個隊只積3分，這個隊有可能出線嗎？
有可能。6場比賽都是平局，4個隊都只得了3分，按進一步規則排序，該隊如果處於前兩位，就有可能出線。
還有一種情況，大家能想出來嗎？
想一想：（1）一個球隊積5分，該隊能出線嗎？為什麼？
（2）一個球隊積2分，該隊能出線嗎？為什麼？
小朋友，你們在觀看世界盃比賽的過程中，有沒有想過這些問題呢？其實，生活中數學無處不在，只要大家留心觀察，你會有不小的收獲的。
9. 認為一切知識當以數學為范型,肯定理性為正確知識的來源的理性主義代表人物是
二元論的法國哲學家笛卡爾。
10. 康德所說的先驗指的什麼
先驗（A priori；又譯：先天）在拉丁文中指「來自先前的東西」，或稍稍引申指「在經驗之前」。近代西方傳統中，認為先驗指無需經驗或先於經驗獲得的知識。它通常與後驗知識相比較，後驗意指「在經驗之後」，需要經驗。這一區分來自於中世紀邏輯所區分的兩種論證，從原因到結果的論證稱為「先驗的」，而從結果到原因的論證稱為「後驗的」。
認識論的基本問題之一是究竟是否存在任何重要的先驗知識。通常來說，理性主義者相信存在先驗知識，而經驗主義者認為所有知識根本上源於某種經驗（通常是外部經驗），即便有先驗知識在某種意義上也不重要。還有些經驗主義者認為先驗知識只是對語詞意義的分析，而與世界無關。
理性主義思想家給予使用先驗這個術語合適的立足點，如笛卡爾和萊布尼茲，他們認為知識通過推理獲得，而非經驗，數學和邏輯真理的必然性即是其佐證。笛卡爾認為關於自我的知識，或者說我思故我在，是先驗的，因為他認為一個人無需訴諸過去的經驗就能確認自我的存在。萊布尼茨區分了先驗真理，即理性真理，與後驗真理，即由經驗確立的真理。
康德說，不論是空間，還是空間的任何一個幾何學的先天規定，都不是一種先驗的表象，而只有關於這些表象根本不具有經驗的來源、以及何以它們還是能夠先天地與經驗對象發生關系的這種可能性的知識，才能稱之為先驗的。
^ 對先驗感性論的解說 -純粹理性批判. 慧田哲學網 [2012-09-15].
洛克認為反思只是經驗的一部分, 提出先驗這整個觀念應被拋棄的綱領。休謨認為所有先驗知識不過是觀念之間的關系，這在他的《人類理智研究》中多次提及。由於經驗主義認為一切知識基於經驗，對數學真理和邏輯真理提供一個經驗主義的說明就成為其重要任務。
伊曼紐爾·康德
十八世紀的德國哲學家伊曼紐爾·康德提出了一種混合了理性主義和經驗主義的理論。康德聲稱，「盡管我們的全部知識開始於經驗，知識卻並不遵循經驗產生的途徑。」按照康德的理論，後驗知識是經驗的，由經驗的內容所決定。康德說，「……很有可能，我們的經驗知識只是我們通過印象和認知器官本身提供的內容（感官印象只提供了一種「偶然性」）所得到的一個集合。」[1] 於是，與經驗主義者們不同，康德認為先驗知識獨立於經驗而存在；更進一步地，與理性主義者們不同，康德認為以它的純粹形式存在，並不混雜有任何經驗內容的「先驗」知識是對經驗可能性的條件的推理。這種「先驗」，或者超驗的條件，是在人類認知器官中先天具備的，不可能由任何經驗得到。康德提出並討論了純粹形式推導出來的「先驗」而引起的超驗邏輯的可能性。純粹「先驗」知識包括類似如時間和因果的概念。康德認為，純粹先驗知識可以由他的超驗美學和超驗邏輯所確立。康德提出，如果沒有這些「先驗」知識對人類個體認知的建構，人類個體就不具備經驗的能力。例如，當一個人的認知器官中時間和因果律的部分都失效時，他便無法把這個世界認知為一個有規律的，由自然規律所統治的世界。這一看法被普遍認為是康德的主要作品「純粹理性批判」中的中心論點，超驗推理。超驗推理並不迴避時間和因果律的客觀性，但考慮到主觀性的存在，康德嘗試著去討論主觀性如何產生以及它在客觀實體與經驗之間的關系，以實現「先驗」邏輯。
克里普克在《命名與必然性》中批評康德道，先驗性是與認識論相關的性質，而必然性與形而上學相關，兩者不應混為一談。首先，他論證道，某些後驗命題被視為必然的：例如，啟明星是長庚星。（雖然各自叫法不同，但我們現在知道它們都是金星的名稱）。它們必然是同一事物（參見嚴格指示詞），但這一同一性卻由後驗得知。同樣，他論證道，可能有偶然先驗命題。例如，巴黎的米原器過去作為一米的標准。這就伴隨著下述命題，「米原器長一米」，該命題是偶然的，因為我們本可能以其他長度定義一米。然而，它卻是先驗的，因為一米即由該米原器長度來定義，所以米原器肯定長一米（在它還作為一米的標準的時候），這是重言式。
伯特蘭·羅素在《哲學問題》中認為先驗知識是共相之間的關系。例如，「2+2=4」，顯示了「2」、「+」、「=」、「4」這些羅素稱之為共相之間的關系。
當代關注於先驗概念的哲學家包括艾耶爾、齊碩姆、奎因。