⑴ 初中數學七年級上冊地第一章的知識總結
初一數學第一章知識點總結
一、正數和負數
1、以前學過的0以外的數前面加上負號「-」的數叫做負數。
2、以前學過的0以外的數叫做正數。
3、零既不是正數也不是負數，零是正數與負數的分界。
4、在同一個問題中，分別用正數和負數表示的量具有相反的意義。
二、有理數
1、正整數、0、負整數統稱整數，正分數和負分數統稱分數。
2、整數和分數統稱有理數。
3、把一個數放在一起，就組成一個數的集合，簡稱數集。
三、數軸
1、規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。
2、數軸的作用：所有的有理數都可以用數軸上的點來表達。
3、注意事項：⑴數軸的原點、正方向、單位長度三要素，缺一不可。
⑵同一根數軸，單位長度不能改變。
4、性質：(1)在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。
(2)正數都大於零，負數都小於零，正數大於負數。
四、相反數
1、只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。
2、數軸上表示相反數的兩個點關於原點對稱。
3、零的相反數是零。
五、絕對值
1、一般地，在數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記做|a|。
2、一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。
六、有理數的大小比較
1、正數大於0，0大於負數，正數大於負數。
2、兩個負數，絕對值大的反而小。
七、有理數的加法
1、有理數的加法法則
(1)號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加。
(2)絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。
(3)互為相反數的兩個數相加得零。
(4)一個數同零相加，仍得這個數。
2、有理數加法的運算律
(1)加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變。即a+b=b+a
(2)加法結合律：三個數相加，先把前面兩個數相加，或者先把後兩個數相加，和不變。即 (a+b)+c=a+(b+c)
八、有理數的減法
1、有理數減法法則
減去一個數，等於加這個數的相反數。即a-b=a+(-b)
九、有理數的乘法
1、有理數的乘法法則
(1)兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。
(2)任何數同0相乘，都得0。
(3)乘積是1的兩個數互為倒數。
(4)幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數;負因數的個數是奇數時，積是負數。
(5)幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零。
2、有理數的乘法的運算律
(1)乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。即ab=ba
(2)乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把後兩個數相乘，積相等。即(ab)c=a(bc)
(3)乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等於把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。即a(b+c)=ab+ac
十、有理數的除法
1、有理數除法法則
(1)除以一個不等於0的數，等於乘這個數的倒數。
(2)零不能作除數。
(3)兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。
(4)0除以任何一個不等於0的數，都得0。
十一、有理數的乘方
1、求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在an中，a叫做底數，n叫做指數，當an看作a的n次方的結果時，也可以讀作a的n次冪。
2、負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。
3、正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0。
十二、有理數混合運算的運算順序
1、先算乘方，再算乘除，最後算加減;
2、同極運算，從左到右進行;
3、有括弧，先做括弧內的運算，按小括弧、中括弧、大括弧依次進行
十三、科學記數法
1、把一個大於10的數表示成a×10n的形式(其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數)，使用的是科學記數法。
2、用科學記數法表示一個n位整數，其中10的指數是n-1。
十四、近似數和有效數字
1、接近實際數目，但與實際數目還有差別的數叫做近似數。
2、精確度：一個近似數四捨五入到哪一位，就說精確到哪一位。
3、從一個數的左邊第一個非0 數字起，到末位數字止，所有數字都是這個數的有效數字。
4、對於用科學記數法表示的數a×10n，規定它的有效數字就是a中的有效數字。
⑵ 七上數學知識點
這個你買書去看嘍！一般義務教育階段的教科書書店都有出售
⑶ 七上數學知識點歸納有哪些
(1)點、線、面、體。
點:點是最簡單的形，是幾何圖形最基本的組成部分。點是空間中只有位置，沒有大小的圖形。
線:線是由無數個點集合成的圖形。
面在空間中，到兩點距離相同的點的軌跡。
體:多面體是指四個或四個以上多邊形所圍成的立體。
(2)直線、射線、線段。
直線:直線由無數個點構成。沒有端點，向兩端無限延長，長度無法度量。直線是軸對稱圖形。
射線:是指由線段的一端無限延長所形成的直的線，射線有且僅有一個端點，無法測量長度。
線段:是指直線上兩點間的有限部分(包括兩個端點)，有別於直線、射線。
(3)角:在幾何學中，角是由兩條有公共端點的射線組成的幾何對象。這兩條射線叫做角的
邊，它們的公共端點叫做角的頂點。
(4)餘角兩角之和為90°則兩角互為餘角，等角的餘角相等。
(5)補角:兩角之和為180°則兩角互為補角，等角的補角相等。
⑷ 七年級上冊數學每課知識點
七年級下冊數學知識點歸納第五章 平等線與相交線
1、同角或等角的餘角相等，同角或等角的補角相等。
2、對頂角相等
3、判斷兩直線平行的條件：
1）同位角相等，兩直線平行。 （2）內錯角相等，兩直線平行。 3）同旁內角互補，兩直線平行。 （4）如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩面三刀條直線也互相平行。
4、平行線的特徵：
（1）同位角相等，兩直線平行。 （2）內錯角相等，兩直線平行。 （3）同旁內角互補，兩直線平行。
5、命題：
⑴命題的概念：
判斷一件事情的語句，叫做命題。
⑵命題的組成
每個命題都是題設、結論兩部分組成。題設是已知事項；結論是由已知事項推出的事項。命題常寫成「如
果……，那麼……」的形式。具有這種形式的命題中，用「如果」開始的部分是題設，用「那麼」開始的部分是結論。
6、平移
平移是指在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移，平移不改變物體的形狀和大小。
（1） 把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。
（2） 新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動後得到的，這兩個點是對應點。連接各組對應點的線段平行且相等。
第六章 平面直角坐標系
1、含有兩個數的詞來表示一個確定個位置，其中兩個數各自表示不同的意義，我們把這種有順序的兩個數組成的數對，叫做有序數對，記作（a,b）
2、數軸上的點可以用一個數來表示，這個數叫做這個點的坐標。
3、在平面內畫兩條互相垂直，並且有公共原點的數軸。這樣我們就說在平面上建立了平面直角坐標系，簡稱直角坐標系。平面直角坐標系有兩個坐標軸，其中橫軸為X軸，取向右方向為正方向；縱軸為Y軸，取向上為正方向。坐標系所在平面叫做坐標平面，兩坐標軸的公共原點叫做平面直角坐標系的原點。X軸和Y軸把坐標平面分成四個象限，右上面的叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數軸為界，橫軸、縱軸上的點及原點不屬於任何象限。一般情況下，x軸和y軸取相同的單位長度。
3、特殊位置的點的坐標的特點：
（1）.x軸上的點的縱坐標為零；y軸上的點的橫坐標為零。
（2）.第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等；第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數。
（3）.在任意的兩點中，如果兩點的橫坐標相同，則兩點的連線平行於縱軸；如果兩點的縱坐標相同，則兩點的連線平行於橫軸。
4.點到軸及原點的距離
點到x軸的距離為|y|； 點到y軸的距離為|x|；點到原點的距離為x的平方加y的平方再開根號；
在平面直角坐標系中對稱點的特點：
1.關於x成軸對稱的點的坐標，橫坐標相同，縱坐標互為相反數。
2.關於y成軸對稱的點的坐標，縱坐標相同，橫坐標互為相反數。
3關於原點成中心對稱的點的坐標，橫坐標與橫坐標互為相反數，縱坐標與縱坐標互為相反數。
各象限內和坐標軸上的點和坐標的規律：
第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+）第三象限：（-，-）第四象限：（+，-）
x軸正方向：（+，0）x軸負方向：（-，0）y軸正方向：（0，+)y軸負方向：(0，-）
x軸上的點縱坐標為0，y軸橫坐標為0。
第七章 三角形
1、三角形任意兩邊之和大於第三邊，確形任意兩邊之差小於第三邊。
2、三角形三個內角的和等於180度。
3、直角三角形的兩個銳角互余
4、三角形的三條角平分線交於一點，三條中線交於一點；三角形的三條高所在的直線交於一點。
5、直角三角形全等的條件：
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成「斜邊、直角邊」或「HL」。
（只要有任意兩條邊相等，這兩個直角三角形就全等）。
6、三角形全等的條件：
（1）三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為「邊邊邊」或「SSS」。
（2）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為「角邊角」或「ASA」。
（3）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為「角角邊」或「AAS」。
（4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫為「邊角邊」或「SAS」。
27、等腰三角形的特徵：
(1) 有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；
(2) 等腰三角形是軸對稱圖形；
(3) 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的重合（也稱「三線合一」），它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸。
(4)等腰三角形的兩個底角相等。
(5)等腰三角形的底角只能是銳角。
8、三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性。
9.三角形內角和為180°，三角形的一個外交等於與他不相鄰的兩個內角的和，三角形的一個外角大於與它不相鄰的任何一個內角。
多邊形
1.有一些線段首位順次相接組成的圖形叫做多邊形
2、多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角，多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
3、連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
4、畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那麼這個多邊形就是凸多邊形，否則就是凹多邊形。
5.各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
6、n邊形的內角和等於（n-2)*180°
多邊形的外角和等於360°
7、如果說四邊形的一對角互補，那麼另一組角也互補。
鑲嵌
1.鑲嵌也叫作密鋪，指的是：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分無縫隙的完全覆蓋。 補充回答： 第八章 二元一次方程組
1、二元一次方程組的意義：含有兩個未知數的方程並且所含未知項的最高次數是1，這樣的整式方程叫做二元一次方程。
把兩個一次方程聯立在一起，那麼這兩個方程就組成了一個二元一次方程組。
有幾個方程組成的一組方程叫做方程組。如果方程組中含有兩個未知數，且含未知數的項的次數都是一次，那麼這樣的方程組叫做二元一次方程組。
2、二元一次方程組有兩種解法,一種是代入消元法,一種是加減消元法.
代入消元法：把二元一次方程中的一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。
加減消元法：兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或向減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程。
3、三元一次方程組：在3個方程組中,共含有3個未知數,且每個未知數的次數都是1次，像這樣的方程組叫做三元一次方程組. 補充回答： 第九章 不等式與不等式組
1、不等式：用不等號將兩個解析式連結起來所成的式子。
2、不等式的最基本性質有：①如果x＞y，那麼y＜x；如果y＜x，那麼x＞y；②如果x＞y，y＞z；那麼x＞z；③如果x＞y，而z為任意實數，那麼x＋z＞y＋z；④ 如果x＞y，z＞0，那麼xz＞yz；⑤如果x＞y，z＜0，那麼xz＜yz。
2、不等式的基本性質:
性質1:如果a>b,b>c,那麼a>c(不等式的傳遞性).
性質2:如果a>b,那麼a+c>b+c(不等式的可加性).
性質3:如果a>b,c>0,那麼ac>bc;如果a>b,c<0,ac<bc.(不等式的乘法法則）
性質4:如果a>b,c>d,那麼a+c>b+d. (不等式的加法法則)
性質5:如果a>b>0,c>d>0,那麼ac>bd. (可乘性)
性質6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那麼an>bn,且.當0<n<1時也成立. (乘方法則)
性質7:如果a>等於b c>b 那麼c大於等於a
性質7不一定成立，如a取值28，b取值3，c取值19，則c不大於a
4、不等式組：幾個含有相同未知數的不等式聯立起來，叫做不等式組．
5、解不等式組，可以先把其中的不等式逐條算出各自的解集，然後分別在數軸上表示出來。
以兩條不等式組成的不等式組為例，
①若兩個未知數的解集在數軸上表示同向左，就取在左邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃「同小取小」
②若兩個未知數的解集在數軸上表示同向右，就取在右邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃「同大取大」
③若兩個未知數的解集在數軸上相交，就取它們之間的值為不等式組的解集。若x表示不等式的解集，此時一般表示為a＜x＜b，或a≤x≤b。此乃「相交取中」
④若兩個未知數的解集在數軸上向背，那麼不等式組的解集就是空集，不等式組無解。此乃「向背取空」
第十章 數據的收集、整理與描述
1、全面調查：考察全體對象的調查叫做全面調查，也叫普查。
2、抽樣調查：只抽取一部分對象進行調查，然後根據數據推斷全體對象的情況。要考察的全體對象稱為總體，組成總體的每一個考察對象稱為個體，被抽取的那些個體組成一個樣本，樣本中個體的數目稱為樣本容量。 補充回答： 3、直方圖的繪制方法：①集中和記錄數據，求出其最大值和最小值。數據的數量應在100個以上，在數量不多的情況下，至少也應在50個以上。
②將數據分成若干組，並做好記號。分組的數量在5－12之間較為適宜。
③計算組距的寬度。用組數去除最大值和最小值之差，求出組距的寬度。
④計算各組的界限位。各組的界限位可以從第一組開始依次計算，第一組的下界為最小值減去組距的一半，第一組的上界為其下界值加上組距。第二組的下界限位為第一組的上界限值，第二組的下界限值加上組距，就是第二組的上界限位，依此類推。
⑤統計各組數據出現頻數，作頻數分布表。
⑥作直方圖。以組距為底長，以頻數為高，作各組的矩形圖。
4、從數據談節水：加強環境保護，節約用水。
⑸ 七年級上下冊數學知識要點
知識梳理：
⑴正數與負數：負數產生的必要性；具有相反意義的量。
⑵有理數的分類：整數、分數統稱有理數；整數又包括正整數、零、負整數，分數又包括正分數與負分數。
⑶相反數、倒數、絕對值：
只有符號不同的兩個數是互為相反數，a的相反數為－a；
一個數除以1所得的商是這個數的倒數，零沒有倒數；
一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零。
⑷數軸：原點、正方向、單位長度是數軸的三要素。
⑸有理數的大小比較：
方法一：零大於一切正數，而小於一切負數；
兩個負數，絕對值大的反而小。
方法二：在數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大。
實 數
一、 知識梳理：
1、實數的分類.有理數（正有理數、0、負有理數），無理數（無限不循環小數）
2、實數的有關概念：
（1）平方根：一般地，如果一個數的平方等於 ，那麼這個數叫做 的平方根.正數有兩個平方根，負數沒有平方根，0的平方根是0
（2）算術平方根：正數的正平方根和零的平方根，統稱算術平方根.
（3）立方根：一個數的立方等於a，這個數叫做a的立方根。
3、實數與數軸上的點一一對應。會在數軸上表示有些無理數
知識要點】
1．只含有一個未知數，並且未知數的次數是一次的整式方程叫做一元一次方程
2．解一元一次方程的一般步驟是：
（1）去分母（2）去括弧（3）移項（4）合並同類項（5）將未知數的系數化為「1」
3．一元一次方程ax=b的解的情況：
（1）當a≠0時，ax=b有唯一的解
（2）當a=0，b≠0時，ax=b無解
（3）當a=0，b=0時，ax=b有無窮多個解【
知識要點：
1．因式分解定義：把一個多項式化成幾個_______式乘積的形式．因式分解與整式的乘法是互為________．
2.因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法（首先考慮的方法）、應用公式法、分組分解法、十字相乘法．
（2）公式：a2-b2=__ _____，a2±2ab+b2=___ ____，
a3+b3=____ ____，a3-b3=___ ____．
3．因式分解的一般步驟
先看有沒有公因式，若有立即提出；然後看看是幾項式，若是二項式則用平方差、立方或立方差公式；若是三項式用完全平方公式或十字相乘法；若是四項及以上的式子用分組分解法，要注意分解到不能再分解為止.
一，知識梳理：
1、 有理數的加法、減法、乘法、除法、乘方運演算法則、混合運算
2、 運算律：交換律、結合律、分配律，去括弧法則
(1)有理數的加法法則：
1. 同號兩數相加，和取相同的符號，並把絕對值相加；
2. 絕對值不等的異號兩數相加，和取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值；
3. 一個數與零相加仍得這個數；
4. 兩個互為相反數相加和為零。
⑵有理數的減法法則：
減去一個數等於加上這個數的相反數。
補充：去括弧與添括弧：
去括弧法則：括弧前是「+」號時，將括弧連同它前邊的「+」號去掉，括弧內各項都不變；括弧前是「－」號時，將括弧連同它前邊的「－」去掉，括弧內各項都要變號。
添括弧法則：在「+」號後邊添括弧，括到括弧內的各項都不變；在「－」號後邊添括弧，括到括弧內的各項都要變號。
⑶有理數的乘法法則：
① 兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘；
② 任何數與零相乘都得零；
③ 幾個不等於零的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個數，積為負；當負因數的個數為偶數個時，積為正；
④ 幾個有理數相乘，若其中有一個為零，積就為零。
⑷有理數的除法法則：
法則一：兩個有理數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除；
法則二：除以一個數等於乘以這個數的倒數。
⑸有理數的乘方：求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的給果叫做冪。
正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。
⑹有理數的運算順序：
先算乘方，再算乘除，最後算加減；如果有括弧，則先算括弧內，再算括弧外。
⑺運算律：
①加法的交換律；
②加法的結合律；
③乘法的交換律；
④乘法的結合律；
⑤乘法對加法的分配律；
註：除法沒有分配律。
3、 科學記數法:把一個數表示成a（1≤a<10）與10的冪相乘的形式。如：304000=3
4、准確數與近似數：與實際完全符合的數叫准確數，與實際接近的數叫近似數。取近似數有兩種方法（1）精確到哪位，如：把84960精確到萬位得（2）有效數字：從左邊第一個不是零的數字起到到末位數字為止的所有數字都叫做這個數的有效數字。如：把84960保留兩個有效數字得：
5、計算器的使用
1、平移變換
①把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。
②新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動後得到的，這兩個點是對應點
③連接各組對應點的線段平行且相等
2、平移的特徵：
①經過平移之後的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖形的形狀與大小都沒有發生變化。
②經過平移後，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等。
知識點整理：1、相交線
兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關系的角，它們的概念及性質如下表：
圖形 頂點 邊的關系 大小關系
對頂角 ∠1與∠2 有公共頂點 ∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線 對頂角相等即∠1=∠2
鄰補角 ∠3與∠4 有公共頂點 ∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線。 ∠3+∠4=180°
注意點：⑴對頂角是成對出現的，對頂角是具有特殊位置關系的兩個角；
⑵如果∠α與∠β是對頂角，那麼一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那麼∠α與∠β不一定是對頂角
⑶如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角。
⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。
2、垂線
⑴定義，當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
符號語言記作：
如圖所示：AB⊥CD，垂足為O
⑵垂線性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)
⑶垂線性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。
3、垂線的畫法：
⑴過直線上一點畫已知直線的垂線；⑵過直線外一點畫已知直線的垂線。
注意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過一點作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。
畫法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。
4、點到直線的距離
直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離
記得時候應該結合圖形進行記憶。
如圖，PO⊥AB，同P到直線AB的距離是PO的長。PO是垂線段。PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條。
現實生活中開溝引水，牽牛喝水都是「垂線段最短」性質的應用。
5、如何理解「垂線」、「垂線段」、「兩點間距離」、「點到直線的距離」這些相近而又相異的概念
分析它們的聯系與區別
⑴垂線與垂線段 區別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。 聯系：具有垂直於已知直線的共同特徵。(垂直的性質)
⑵兩點間距離與點到直線的距離 區別：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間。 聯系：都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。
⑶線段與距離 距離是線段的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。
2平行線
1、平行線的概念：
在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，直線 與直線 互相平行，記作 ‖ 。
2、兩條直線的位置關系
在同一平面內，兩條直線的位置關系只有兩種：⑴相交；⑵平行。
因此當我們得知在同一平面內兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）
判斷同一平面內兩直線的位置關系時，可以根據它們的公共點的個數來確定：
①有且只有一個公共點，兩直線相交；
②無公共點，則兩直線平行；
③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）
3、平行公理――平行線的存在性與惟一性
經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1．數的分類及概念
數系表：
實數
無理數(無限不循環小數)
有理數
正分數
負分數
正整數
0
負整數
(有限或無限循環性數)
整數
分數
正無理數
負無理數
說明：「分類」的原則：
1）相稱（不重、不漏）
2）有標准
2．非負數：正實數與零的統稱。（表為：x≥0）
│a│
(a≥0)
(a為一切實數)
常見的非負數有：
性質：若干個非負數的和為0，則每個非負擔數均為0。
3．倒數： ①定義及表示法
②性質：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1時1/a＞1;a＞1時，1/a＜1;D.積為1。
4．相反數： ①定義及表示法
②性質：A.a≠0時，a≠-a;B.a與-a在數軸上的位置;C.和為0,商為-1。
5．數軸：①定義（「三要素」）
②作用：A.直觀地比較實數的大小;B.明確體現絕對值意義;C.建立點與實數的一一對應關系。
6．奇數、偶數、質數、合數（正整數—自然數）
定義及表示：
奇數：2n-1
偶數：2n（n為自然數）
a(a≥0)
-a(a<0)
│a│=
7．絕對值：①定義（兩種）：
代數定義：
幾何定義：數a的絕對值頂的幾何意義是實數a在數軸上所對應的點到原點的距離。
②│a│≥0,符號「││」是「非負數」的標志;③數a的絕對值只有一個;④處理任何類型的題目，只要其中有「││」出現，其關鍵一步是去掉「││」符號。
二、實數的運算
1． 運演算法則（加、減、乘、除、乘方、開方）
2． 運算定律（五個—加法[乘法]交換律、結合律;[乘法對加法的]
分配律）
3． 運算順序：A.高級運算到低級運算;B.（同級運算）從「左」
到「右」（如5÷ ×5）;C.(有括弧時)由「小」到「中」到「大」。
三、應用舉例（略）
附：典型例題
1． a
x
b
已知：a、b、x在數軸上的位置如下圖，求證：│x-a│+│x-b│
=b-a.
2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判斷a、b的符號。
第二章 代數式
一、 單項式
多項式
整式
分式樣
有理式
無理式
代數式
重要概念
分類：
1.代數式與有理式
用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨
的一個數或字母也是代數式。
整式和分式統稱為有理式。
2.整式和分式
含有加、減、乘、除、乘方運算的代數式叫做有理式。
沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法運算並且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.單項式與多項式
沒有加減運算的整式叫做單項式。（數字與字母的積—包括單獨的一個數或字母）
幾個單項式的和，叫做多項式。
說明：①根據除式中有否字母，將整式和分式區別開;根據整式中有否加減運算，把單項式、多項式區分開。②進行代數式分類時，是以所給的代數式為對象，而非以變形後的代數式為對象。劃分代數式類別時，是從外形來看。如，
=x, =│x│等。
4.系數與指數
區別與聯系：①從位置上看;②從表示的意義上看
5.同類項及其合並
條件：①字母相同;②相同字母的指數相同
合並依據：乘法分配律
6.根式
表示方根的代數式叫做根式。
含有關於字母開方運算的代數式叫做無理式。
注意：①從外形上判斷;②區別： 、 是根式，但不是無理式（是無理數）。
7.算術平方根
⑴正數a的正的平方根（ [a≥0—與「平方根」的區別]）;
⑵算術平方根與絕對值
① 聯系：都是非負數， =│a│
②區別：│a│中，a為一切實數; 中，a為非負數。
8.同類二次根式、最簡二次根式、分母有理化
化為最簡二次根式以後，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。
滿足條件：①被開方數的因數是整數，因式是整式;②被開方數中不含有開得盡方的因數或因式。
把分母中的根號劃去叫做分母有理化。
a·a…a=
n個
9.指數
⑴ ( —冪，乘方運算)
① a＞0時， ＞0;②a＜0時， ＞0（n是偶數）， ＜0（n是奇數）
⑵零指數： =1（a≠0）
負整指數： =1/ （a≠0,p是正整數）
二、運算定律、性質、法則
1．分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則
2．分式的性質
⑴基本性質： = （m≠0）
⑵符號法則：
⑶繁分式：①定義;②化簡方法（兩種）
3．整式運演算法則（去括弧、添括弧法則）
4．冪的運算性質：① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤
技巧：
5．乘法法則：⑴單×單;⑵單×多;⑶多×多。
6．乘法公式：（正、逆用）
（a+b）（a-b）=
(a±b) =
7．除法法則：⑴單÷單;⑵多÷單。
8．因式分解：⑴定義;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分組分解法;E.求根公式法。
9．算術根的性質： ＝ ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b＞0)(正用、逆用)
10．根式運演算法則：⑴加法法則（合並同類二次根式）;⑵乘、除法法則;⑶分母有理化：A. ;B. ;C. .
11．科學記數法： （1≤a＜10,n是整數）
⑹ 人教版七年級數學上知識點歸納
七年級數學(下)期末復習知識點整理
5.1相交線
1、鄰補角與對頂角
兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關系的角，它們的概念及性質如下表：
圖形
頂點
邊的關系
大小關系
對頂角
∠1與∠2
有公共頂點
∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線
對頂角相等
即∠1=∠2
鄰補角
∠3與∠4
有公共頂點
∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線。
∠3+∠4=180°
注意點：⑴對頂角是成對出現的，對頂角是具有特殊位置關系的兩個角；
⑵如果∠α與∠β是對頂角，那麼一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那麼∠α與∠β不一定是對頂角
⑶如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角。
⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。
2、垂線
⑴定義，當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
符號語言記作：
如圖所示：AB⊥CD，垂足為O
⑵垂線性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)
⑶垂線性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。
3、垂線的畫法：
⑴過直線上一點畫已知直線的垂線；⑵過直線外一點畫已知直線的垂線。
注意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過一點作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。
畫法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。
4、點到直線的距離
直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離
記得時候應該結合圖形進行記憶。
如圖，PO⊥AB，同P到直線AB的距離是PO的長。PO是垂線段。PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條。
現實生活中開溝引水，牽牛喝水都是「垂線段最短」性質的應用。
5、如何理解「垂線」、「垂線段」、「兩點間距離」、「點到直線的距離」這些相近而又相異的概念
分析它們的聯系與區別
⑴垂線與垂線段 區別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。 聯系：具有垂直於已知直線的共同特徵。(垂直的性質)
⑵兩點間距離與點到直線的距離 區別：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間。 聯系：都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。
⑶線段與距離 距離是線段的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。
5.2平行線
1、平行線的概念：
在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作‖。
2、兩條直線的位置關系
在同一平面內，兩條直線的位置關系只有兩種：⑴相交；⑵平行。
因此當我們得知在同一平面內兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）
判斷同一平面內兩直線的位置關系時，可以根據它們的公共點的個數來確定：
①有且只有一個公共點，兩直線相交；
②無公共點，則兩直線平行；
③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）
3、平行公理――平行線的存在性與惟一性
經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
4、平行公理的推論：
如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行
如左圖所示，∵‖，‖
∴‖
注意符號語言書寫，前提條件是兩直線都平行於第三條直線，才會結論，這兩條直線都平行。
5、三線八角
兩條直線被第三條直線所截形成八個角，它們構成了同位角、內錯角與同旁內角。
如圖，直線被直線所截
①∠1與∠5在截線的同側，同在被截直線的上方，
叫做同位角（位置相同）
②∠5與∠3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（內），叫做內錯角（位置在內且交錯）
③∠5與∠4在截線的同側，在被截直線之間（內），叫做同旁內角。
④三線八角也可以成模型中看出。同位角是「A」型；內錯角是「Z」型；同旁內角是「U」型。
6、如何判別三線八角
判別同位角、內錯角或同旁內角的關鍵是找到構成這兩個角的「三線」，有時需要將有關的部分「抽出」或把無關的線略去不看，有時又需要把圖形補全。
例如：
如圖，判斷下列各對角的位置關系：⑴∠1與∠2；⑵∠1與∠7；⑶∠1與∠BAD；⑷∠2與∠6；⑸∠5與∠8。
我們將各對角從圖形中抽出來（或者說略去與有關角無關的線），得到下列各圖。
如圖所示，不難看出∠1與∠2是同旁內角；∠1與∠7是同位角；∠1與∠BAD是同旁內角；∠2與∠6是內錯角；∠5與∠8對頂角。
注意：圖中∠2與∠9，它們是同位角嗎？
不是，因為∠2與∠9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成。
7、兩直線平行的判定方法
方法一 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行
簡稱：同位角相等，兩直線平行
方法二 兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那麼這兩條直線平行
簡稱：內錯角相等，兩直線平行
方法三 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那麼這兩條直線平行
簡稱：同旁內角互補，兩直線平行
幾何符號語言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB‖CD（同位角相等，兩直線平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB‖CD（內錯角相等，兩直線平行）
⑺ 七年級上數學知識點
1．3 有理數的加減法 ——負數概念、四則運算，有理數的絕對值
實驗與探究 填幻方
1．4 有理數的乘除法
觀察與思考 翻牌游戲中的數學道理
1．5 有理數的乘方
數學活動
小結
復習題1
第二章 整式的加減
2．1 整式
閱讀與思考 數字1與字母X的對話
2．2 整式的加減
信息技術應用 電子表格與數據計算
數學活動
小結
復習題2
第三章 一元一次方程
3．1 從算式到方程
閱讀與思考 「方程」史話
3．2 解一元一次方程（一）——合並同類項與移項
實驗與探究 無限循環小數化分數
3．3 解一元一次方程（二）——去括弧與去分母
3．4 實際問題與一元一次方程
數學活動
小結
復習題3
第四章 圖形認識初步
4．1 多姿多彩的圖形
閱讀與思考 幾何學的起源
4．2 直線、射線、線段
閱讀與思考 長度的測量
4．3 角
4．4 課題學習 設計製作長方體形狀的包裝紙盒
數學活動
自己去買本參考書，知識體系更完善
⑻ 七年級數學上冊知識點
1.1 正數與負數
在以前學過的0以外的數前面加上負號「—」的數叫負數(negative number)。
與負數具有相反意義，即以前學過的0以外的數叫做正數(positive number)（根據需要，有時在正數前面也加上「+」）。
1.2 有理數
正整數、0、負整數統稱整數(integer)，正分數和負分數統稱分數(fraction)。
整數和分數統稱有理數(rational number)。
通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫數軸(number axis)。
數軸三要素：原點、正方向、單位長度。
在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點(origin)。
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數(opposite number)。（例：2的相反數是-2；0的相反數是0）
數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值(absolute value),記作|a|。
一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。兩個負數，絕對值大的反而小。
1.3 有理數的加減法
有理數加法法則：
1.同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加。
2.絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。
3.一個數同0相加，仍得這個數。
有理數減法法則：減去一個數，等於加這個數的相反數。
1.4 有理數的乘除法
有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。任何數同0相乘，都得0。
乘積是1的兩個數互為倒數。
有理數除法法則：除以一個不等於0的數，等於乘這個數的倒數。
兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。0除以任何一個不等於0的數，都得0。 mì
求n個相同因數的積的運算，叫乘方，乘方的結果叫冪（power）。在a的n次方中，a叫做底數(base number)，n叫做指數（exponent）。
負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數，0的任何次冪都是0。
把一個大於10的數表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科學計數法。
從一個數的左邊第一個非0數字起，到末位數字止，所有數字都是這個數的有效數字(significant digit)。
第二章 一元一次方程
2.1 從算式到方程
方程是含有未知數的等式。
方程都只含有一個未知數（元）x，未知數x的指數都是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。
解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，這個值就是方程的解(solution)。
等式的性質：
1.等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。
2.等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。
2.2 從古老的代數書說起——一元一次方程的討論（1）
把等式一邊的某項變號後移到另一邊，叫做移項。
第三章 圖形認識初步
3.1 多姿多彩的圖形
幾何體也簡稱體(solid)。包圍著體的是面（surface）。
3.2 直線、射線、線段
線段公理：兩點的所有連線中，線段做短（兩點之間，線段最短）。
連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。
3.3 角的度量
1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度
3.4 角的比較與運算
如果兩個角的和等於90度（直角），就說這兩個叫互為餘角（compiementary angle），即其中每一個角是另一個角的餘角。
如果兩個角的和等於180度（平角），就說這兩個叫互為補角（supplementary angle），即其中每一個角是另一個角的補角。
等角（同角）的補角相等。
等角（同角）的餘角相等
第一章
1.1 正數與負數
在以前學過的0以外的數前面加上負號「—」的數叫負數(negative number)。
與負數具有相反意義，即以前學過的0以外的數叫做正數(positive number)（根據需要，有時在正數前面也加上「+」）。
1.2 有理數
正整數、0、負整數統稱整數(integer)，正分數和負分數統稱分數(fraction)。
整數和分數統稱有理數(rational number)。
通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫數軸(number axis)。
數軸三要素：原點、正方向、單位長度。
在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點(origin)。
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數(opposite number)。（例：2的相反數是-2；0的相反數是0）
數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值(absolute value),記作|a|。
一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。兩個負數，絕對值大的反而小。
1.3 有理數的加減法
有理數加法法則：
1.同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加。
2.絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。
3.一個數同0相加，仍得這個數。
有理數減法法則：減去一個數，等於加這個數的相反數。
1.4 有理數的乘除法
有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。任何數同0相乘，都得0。
乘積是1的兩個數互為倒數。
有理數除法法則：除以一個不等於0的數，等於乘這個數的倒數。
兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。0除以任何一個不等於0的數，都得0。 mì
求n個相同因數的積的運算，叫乘方，乘方的結果叫冪（power）。在a的n次方中，a叫做底數(base number)，n叫做指數（exponent）。
負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數，0的任何次冪都是0。
把一個大於10的數表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科學計數法。
從一個數的左邊第一個非0數字起，到末位數字止，所有數字都是這個數的有效數字(significant digit)。
第二章 一元一次方程
2.1 從算式到方程
方程是含有未知數的等式。
方程都只含有一個未知數（元）x，未知數x的指數都是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。
解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，這個值就是方程的解(solution)。
等式的性質：
1.等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。
2.等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。
2.2 從古老的代數書說起——一元一次方程的討論（1）
把等式一邊的某項變號後移到另一邊，叫做移項。
第三章 圖形認識初步
3.1 多姿多彩的圖形
幾何體也簡稱體(solid)。包圍著體的是面（surface）。
3.2 直線、射線、線段
線段公理：兩點的所有連線中，線段做短（兩點之間，線段最短）。
連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。
3.3 角的度量
1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度
3.4 角的比較與運算
如果兩個角的和等於90度（直角），就說這兩個叫互為餘角（compiementary angle），即其中每一個角是另一個角的餘角。
如果兩個角的和等於180度（平角），就說這兩個叫互為補角（supplementary angle），即其中每一個角是另一個角的補角。
等角（同角）的補角相等。
等角（同角）的餘角相等。
由幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組
不等式組中所有不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集。求不等式組的解集的過程叫做解不等式組。
解不解不等式的訣竅
大於大於取大的（大大大）；
例如：X>-1
X>2
不等式組的解集是X>2
小於小於取小的（小小小）；
例如：X<-4
X<-6
不等式組的解集是X<-6
大於小於交叉取中間；
無公共部分分開無解了；
解方程型:
1.某商店到蘋果產地去收購蘋果，收購價為每千克1.2元，從產地到商店的距離是400km，運費為每噸貨物每運1km收1.5元，如果在運輸及銷售過程中的損耗為10%，商店要想獲得其成本的25%的利潤，零售價應是每千克多少元？
解：
運輸成本：400*1。5=600元
收購成本：1。2*1000=1200元
設銷價是X
1000*90%*X-[600+1200]=[600+1200]*25%
X=2.5
即銷價是2.5元/千克
①某球迷協會組織36名球擬租乘汽車赴比賽場地，為主隊加油助威。可租用的汽車有兩種：一種每輛可乘8人，另一種每輛可乘4人，要求租用的車子不留空位，也不超載。若8個座位的車子的租金是300元/天，4個座位的車子的租金是200元/天，請你設計出費用最少的租車方案，並說明理由。
問題補充：
甲步行，乙騎自行車，兩人同時從相距45km的A、B兩地出發相向而行，2.5h後兩人相遇，已知乙騎自行車的速度是甲步行速度的2倍，求甲步行的速度。（列方程解）
1.某商店到蘋果產地去收購蘋果，收購價為每千克1.2元，從產地到商店的距離是400km，運費為每噸貨物每運1km收1.5元，如果在運輸及銷售過程中的損耗為10%，商店要想獲得其成本的25%的利潤，零售價應是每千克多少元？
解：
運輸成本：400*1。5=600元
收購成本：1。2*1000=1200元
設銷價是X
1000*90%*X-[600+1200]=[600+1200]*25%
X=2.5
即銷價是2.5元/千克
2.甲、乙兩人各坐一遊艇在湖中劃行，甲每搖槳10次時，乙只能搖槳8次；而乙搖槳70次所走的路程等於甲搖槳90次所走的路程。開始時，甲先搖槳4次，乙接著搖槳。問乙搖幾次槳才能追上甲？
解：
設甲每次前進的路程是1,乙要x次才能追上.乙x次的時候,甲劃了(10/8)x=(5/4)x次,甲90次就是90,這需要乙70次,則乙每次前進90/70=9/7,甲先4次,就是4.
4+1*(5/4)x=(9/7)*x
[(9/7)-(5/4)]x=4
(1/28)x=4
x=112(次)
⑼ 人教版七年級數學上下冊知識點
只有上冊,不好意思啊~
第一章 有理數
1.1 正數和負數
正數和負數的概念
用正,負數表示具有相反意義的量
1.2 有理數
有理數的有關概念
有理數的分類
數集的概念
數軸的概念
數軸上的點與有理數之間的關系
相反數
絕對值
有理數的大小比較
1.3有理數的加減法
有理數的加法法則
有理數的加法運算律
有理數的減法法則
有理數的加減混合運算
用計算器對有理數加減混合運算進行計算
1.4有理數的乘除法
有理數的乘法法則
倒數的概念
有理數的乘法運算律
項,項的系數,合並含有相同字母的項
有理數的除法法則
1.5有理數的乘方
乘方的意義
乘方的法則
有理數的混合運算順序
科學記數法
科學記數法中的負指數
近似數和有效數字
(沒有不等式那一章哦~以上是我自己打的,後面的你進http://www..com/s?wd=%C8%CB%BD%CC%B0%E6%C6%DF%C4%EA%BC%B6%CA%FD%D1%A7%C9%CF&lm=0&si=&rn=10&ie=gb2312&ct=0&cl=3&f=1&rsp=2看看,燒腿哦~我實在打到手酸了~)