1. 高一數學必修五知識點總結
高一是我們進入高中時期的第一階段，我們應該完善己身，好好學習。而數學也是我們必須學習的重要課程之一，我為各位同學整理了高 一年級數學 必修五知識點 總結 ，希望對你有所幫助!
高一數學 必修五知識點總結1
【差數列的基本性質】
⑴公差為d的等差數列,各項同加一數所得數列仍是等差數列,其公差仍為d.
⑵公差為d的等差數列,各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列,其公差為kd.
⑶若{a}、{b}為等差數列,則{a±b}與{ka+b}(k、b為非零常數)也是等差數列.
⑷對任何m、n,在等差數列{a}中有：a=a+(n-m)d,特別地,當m=1時,便得等差數列的通項公式,此式較等差數列的通項公式更具有一般性.
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數,且l+k+p+…=m+n+r+…(兩邊的自然數個數相等),那麼當{a}為等差數列時,有：a+a+a+…=a+a+a+….
⑹公差為d的等差數列,從中取出等距離的項,構成一個新數列,此數列仍是等差數列,其公差為kd(k為取出項數之差).
⑺如果{a}是等差數列,公差為d,那麼,a,a,…,a、a也是等差數列,其公差為-d;在等差數列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、)
⑻在等差數列中,從第一項起,每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項.
⑼當公差d>0時,等差數列中的數隨項數的增大而增大;當d<0時,等差數列中的數隨項數的減少而減小;d=0時,等差數列中的數等於一個常數.
⑽設a,a,a為等差數列中的三項,且a與a,a與a的項距差之比=(≠-1),則a=.
⑴數列{a}為等差數列的充要條件是：數列{a}的前n項和S可以寫成S=an+bn的形式(其中a、b為常數).
⑵在等差數列{a}中,當項數為2n(nN)時,S-S=nd,=;當項數為(2n-1)(n)時,S-S=a,=.
⑶若數列{a}為等差數列,則S,S-S,S-S,…仍然成等差數列,公差為.
⑷若兩個等差數列{a}、{b}的前n項和分別是S、T(n為奇數),則=.
⑸在等差數列{a}中,S=a,S=b(n>m),則S=(a-b).
⑹等差數列{a}中,是n的一次函數,且點(n,)均在直線y=x+(a-)上.
⑺記等差數列{a}的前n項和為S.①若a>0,公差d<0,則當a≥0且a≤0時,S;②若a<0,公差d>0,則當a≤0且a≥0時,S最小.
【等比數列的基本性質】
⑴公比為q的等比數列,從中取出等距離的項,構成一個新數列,此數列仍是等比數列,其公比為q(m為等距離的項數之差).
⑵對任何m、n,在等比數列{a}中有：a=a·q,特別地,當m=1時,便得等比數列的通項公式,此式較等比數列的通項公式更具有普遍性.
⑶一般地,如果t,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數,且t+k,p,…,m+…=m+n+r+…(兩邊的自然數個數相等),那麼當{a}為等比數列時,有：a.a.a.…=a.a.a.…..
⑷若{a}是公比為q的等比數列,則{|a|}、{a}、{ka}、{}也是等比數列,其公比分別為|q|}、{q}、{q}、{}.
⑸如果{a}是等比數列,公比為q,那麼,a,a,a,…,a,…是以q為公比的等比數列.
⑹如果{a}是等比數列,那麼對任意在n,都有a·a=a·q>0.
⑺兩個等比數列各對應項的積組成的數列仍是等比數列,且公比等於這兩個數列的公比的積.
⑻當q>1且a>0或00且01時,等比數列為遞減數列;當q=1時,等比數列為常數列;當q<0時,等比數列為擺動數列.
高中數學必修五：等比數列前n項和公式S的基本性質
⑴如果數列{a}是公比為q的等比數列,那麼,它的前n項和公式是S=
也就是說,公比為q的等比數列的前n項和公式是q的分段函數的一系列函數值,分段的界限是在q=1處.因此,使用等比數列的前n項和公式,必須要弄清公比q是可能等於1還是必不等於1,如果q可能等於1,則需分q=1和q≠1進行討論.
⑵當已知a,q,n時,用公式S=;當已知a,q,a時,用公式S=.
⑶若S是以q為公比的等比數列,則有S=S+qS.⑵
⑷若數列{a}為等比數列,則S,S-S,S-S,…仍然成等比數列.
⑸若項數為3n的等比數列(q≠-1)前n項和與前n項積分別為S與T,次n項和與次n項積分別為S與T,最後n項和與n項積分別為S與T,則S,S,S成等比數列,T,T,T亦成等比數列
萬能公式：sin2α=2tanα/(1+tan^2α)(註：tan^2α是指tan平方α)
cos2α=(1-tan^2α)/(1+tan^2α)tan2α=2tanα/(1-tan^2α)
升冪公式：1+cosα=2cos^2(α/2)1-cosα=2sin^2(α/2)1±sinα=(sin(α/2)±cos(α/2))^2
降冪公式：cos^2α=(1+cos2α)/2sin^2α=(1-cos2α)/21)sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,tan(2kπ+α)=tanα,cot(2kπ+α)=cotα,其中k∈Z;
(2)sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=-cotα
(3)sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα
(4)sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα
(5)sin(π/2-α)=cosα,cos(π/2-α)=sinα,tan(π/2-α)=cotα,cot(π/2-α)=tanα
(6)sin(π/2+α)=cosα,cos(π/2+α)=-sinα,
tan(π/2+α)=-cotα,cot(π/2+α)=-tanα
(7)sin(3π/2+α)=-cosα,cos(3π/2+α)=sinα,
tan(3π/2+α)=-cotα,cot(3π/2+α)=-tanα
(8)sin(3π/2-α)=-cosα,cos(3π/2-α)=-sinα,
tan(3π/2-α)=cotα,cot(3π/2-α)=tanα(k·π/2±α),其中k∈Z
注意：為方便做題,習慣我們把α看成是一個位於第一象限且小於90°的角;
當k是奇數的時候,等式右邊的三角函數發生變化,如sin變成cos.偶數則不變;
用角(k·π/2±α)所在的象限確定等式右邊三角函數的正負.例：tan(3π/2+α)=-cotα
∵在這個式子中k=3,是奇數,因此等式右邊應變為cot
又,∵角(3π/2+α)在第四象限,tan在第四象限為負值,因此為使等式成立,等式右邊應為-cotα.三角函數在各象限中的正負分布
sin：第一第二象限中為正;第三第四象限中為負cos：第一第四象限中為正;第二第三象限中為負cot、tan:第一第三象限中為正;第二第四象限中為負。
高一數學必修五知識點總結2
(一)、映射、函數、反函數
1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射.
2、對於函數的概念，應注意如下幾點：
(1)掌握構成函數的三要素，會判斷兩個函數是否為同一函數.
(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變數間的函數關系式，特別是會求分段函數的解析式.
(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那麼y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數，其中g(x)為內函數，f(u)為外函數.
3、求函數y=f(x)的反函數的一般步驟：
(1)確定原函數的值域，也就是反函數的定義域;
(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);
(3)將x，y對換，得反函數的習慣表達式y=f-1(x)，並註明定義域.
注意①：對於分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然後再合並到一起.
②熟悉的應用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化運算.
(二)、函數的解析式與定義域
1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變數間的對應法則的同時，求出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種類型：
(1)有時一個函數來自於一個實際問題，這時自變數x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮;
(2)已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：
①分式的分母不得為零;
②偶次方根的被開方數不小於零;
③對數函數的真數必須大於零;
④指數函數和對數函數的底數必須大於零且不等於1;
⑤三角函數中的正切函數y=tanx(x∈R，且k∈Z)，餘切函數y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.
應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變數取值的公共部分(即交集).
(3)已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.
已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.
2、求函數的解析式一般有四種情況
(1)根據某實際問題需建立一種函數關系時，必須引入合適的變數，根據數學的有關知識尋求函數的解析式.
(2)有時題設給出函數特徵，求函數的解析式，可採用待定系數法.比如函數是一次函數，可設f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.
(3)若題設給出復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法求函數f(x)的表達式，這時必須求出g(x)的值域，這相當於求函數的定義域.
(4)若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.
(三)、函數的值域與最值
1、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採用何種 方法 求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：
(1)直接法：亦稱觀察法，對於結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.
(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元.
(3)反函數法：利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(a≠0)的函數值域可採用此法求得.
(4)配方法：對於二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.
(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件「一正二定三相等」有時需用到平方等技巧.
(6)判別式法：把y=f(x)變形為關於x的一元二次方程，利用「△≥0」求值域.其題型特徵是解析式中含有根式或分式.
(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可採用單調性法求出函數的值域.
(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，藉助於幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.
2、求函數的最值與值域的區別和聯系
求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.
如函數的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數無值和最小值，只有在改變函數定義域後，如x>0時，函數的最小值為2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.
3、函數的最值在實際問題中的應用
函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為「工程造價最低」，「利潤」或「面積(體積)(最小)」等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變數的制約，以便能正確求得最值.
(四)、函數的奇偶性
1、函數的奇偶性的定義：對於函數f(x)，如果對於函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那麼函數f(x)就叫做奇函數(或偶函數).
正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：(1)定義域在數軸上關於原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恆等式.(奇偶性是函數定義域上的整體性質).
2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便於判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式：
注意如下結論的運用：
(1)不論f(x)是奇函數還是偶函數，f(|x|)總是偶函數;
(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數，那麼在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數，f(x)·g(x)是偶函數，類似地有「奇±奇=奇」「奇×奇=偶」，「偶±偶=偶」「偶×偶=偶」「奇×偶=奇」;
(3)奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數;
(4)奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。
3、有關奇偶性的幾個性質及結論
(1)一個函數為奇函數的充要條件是它的圖象關於原點對稱;一個函數為偶函數的充要條件是它的圖象關於y軸對稱.
(2)如要函數的定義域關於原點對稱且函數值恆為零，那麼它既是奇函數又是偶函數.
(3)若奇函數f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.
(4)若f(x)是具有奇偶性的區間單調函數，則奇(偶)函數在正負對稱區間上的單調性是相同(反)的。
(5)若f(x)的定義域關於原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數.
(6)奇偶性的推廣
函數y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關於直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數.函數y=f(x)對定義域內的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關於點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數。
高一數學必修五知識點總結3
1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變數，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.
注意：如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.
定義域補充
能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零;
(2)偶次方根的被開方數不小於零;
(3)對數式的真數必須大於零;
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等於零
2.構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域
再注意：
(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由於值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)
(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變數和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致(兩點必須同時具備)
值域補充
(1)、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎.(3).求函數值域的常用方法有：直接法、反函數法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調性法等.
3.函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.
C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成.
(2)畫法
A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x,y)，最後用平滑的曲線將這些點連接起來.
B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3)作用：
1、直觀的看出函數的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發現解題中的錯誤。
4.快去了解區間的概念
(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間;(2)無窮區間;(3)區間的數軸表示.
5.什麼叫做映射
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作「f：AB」
給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有「方向性」，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的;③對於映射f：A→B來說，則應滿足：(Ⅰ)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
常用的函數表示法及各自的優點：
函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;解析法：必須註明函數的定義域;圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特徵;列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵.
注意啊：解析法：便於算出函數值。列表法：便於查出函數值。圖象法：便於量出函數值
補充一：分段函數(參見課本P24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變數代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式並用一個左大括弧括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況.(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數;(2)分段函數的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集.
補充二：復合函數
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復合函數。
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高中數學數列知識點總結
數學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段，可以應用於現實世界的任何問題，所有的數學對象本質上都是人為定義的。下面是我為大家收集的高中數學數列知識點總結，歡迎大家分享！
高中數學數列知識點：
等差數列公式
等差數列的通項公式為：an=a1+(n-1)d
或an=am+(n-m)d
前n項和公式為：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2
若m+n=2p則：am+an=2ap
以上n均為正整數
文字翻譯
第n項的值=首項+(項數-1)*公差
前n項的和=(首項+末項)*項數/2
公差=後項-前項
等比數列公式
等比數列求和公式
(1) 等比數列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通項公式：an=a1×q^(n-1); 推廣式：an=am×q^(n-m);
(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q為公比，n為項數)
(4)性質：
①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq;
②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列.
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=aq^2
(5)"G是a、b的等比中項""G^2=ab(G ≠ 0)".
(6)在等比數列中，首項a1與公比q都不為零. 注意：上述公式中an表示等比數列的第n項。
等比數列求和公式推導： Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q) q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1*q^n Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) Sn=(a1-an*q)/(1-q) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。
拓展：高中數學知識點等差數列的定義及性質
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的`差等於同一個常數，那麼這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做公差，用符號語言表示為an+1-an=d。
等差數列的性質：
（1）若公差d＞0，則為遞增等差數列；若公差d＜0，則為遞減等差數列；若公差d＝0，則為常數列；
（2）有窮等差數列中，與首末兩端「等距離」的兩項和相等，並且等於首末兩項之和；
（3）m，n∈N*，則am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，則as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是數列中的項，特別地，當s+t=2p時,高一，有as+at=2ap；
（5）若數列｛an｝，｛bn｝均是等差數列，則數列｛man+kbn｝仍為等差數列，其中m，k均為常數。
（6）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前後兩項的等差中項，即
對等差數列定義的理解：
①如果一個數列不是從第2項起，而是從第3項或某一項起，每一項與它前一項的差是同一個常數，那麼此數列不是等差數列，但可以說從第2項或某項開始是等差數列．
②求公差d時，因為d是這個數列的後一項與前一項的差，故有 還有
③公差d∈R，當d=0時，數列為常數列（也是等差數列）；當d>0時，數列為遞增數列；當d<0時，數列為遞減數列；
④ 是證明或判斷一個數列是否為等差數列的依據；
⑤證明一個數列是等差數列，只需證明an+1-an是一個與n無關的常數即可。
等差數列求解與證明的基本方法：
(1)學會運用函數與方程思想解題；
(2)抓住首項與公差是解決等差數列問題的關鍵；
(3)等差數列的通項公式、前n項和公式涉及五個量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三個就可以列方程組求出另外兩個(俗稱「知三求二』)．
;3. 高一數學必修五數列的知識體系。
數列
一．數列的概念：數列是一個定義域為正整數集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數，數列的通項公式也就是相應函數的解析式。如
（1）已知 ，則在數列 的最大項為__
（答： ）；
（2）數列 的通項為 ，其中 均為正數，則 與 的大小關系為___
（答： ）；
（3）已知數列 中， ，且 是遞增數列，求實數 的取值范圍
（答： ）；
（4）一給定函數 的圖象在下列圖中，並且對任意 ，由關系式 得到的數列 滿足 ，則該函數的圖象是 （）
（答：A）
A B C D
二．等差數列的有關概念：
1．等差數列的判斷方法：定義法 或 。如
設 是等差數列，求證：以bn= 為通項公式的數列 為等差數列。
2．等差數列的通項： 或 。如
(1)等差數列 中， ， ，則通項
（答： ）；
（2）首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值范圍是______
（答： ）
3．等差數列的前 和： ， 。如
（1）數列 中， ， ，前n項和 ，則 ＝＿， ＝＿
（答： ， ）；
（2）已知數列 的前n項和 ，求數列 的前 項和
（答： ）.
4．等差中項：若 成等差數列，則A叫做 與 的等差中項，且 。
提醒：
（1）等差數列的通項公式及前 和公式中，涉及到5個元素： 、 、 、 及 ，其中 、 稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2。
（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為…， …（公差為 ）；偶數個數成等差，可設為…， ,…（公差為2 ）
三．等差數列的性質：
1．當公差 時，等差數列的通項公式 是關於 的一次函數，且斜率為公差 ；前 和 是關於 的二次函數且常數項為0.
2．若公差 ，則為遞增等差數列，若公差 ，則為遞減等差數列，若公差 ，則為常數列。
3．當 時,則有 ，特別地，當 時，則有 .如
（1）等差數列 中， ，則 ＝____
（答：27）；
（2）在等差數列 中， ，且 ， 是其前 項和，則
A、 都小於0， 都大於0
B、 都小於0， 都大於0
C、 都小於0， 都大於0
D、 都小於0， 都大於0
（答：B）
4．若 、 是等差數列，則 、 ( 、 是非零常數)、 、 ，…也成等差數列，而 成等比數列；若 是等比數列，且 ，則 是等差數列. 如
等差數列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 。
（答：225）
5．在等差數列 中，當項數為偶數 時， ；項數為奇數 時， ， （這里 即 ）； 。如
（1）在等差數列中，S11＝22，則 ＝______
（答：2）；
（2）項數為奇數的等差數列 中，奇數項和為80，偶數項和為75，求此數列的中間項與項數
（答：5；31）.
6．若等差數列 、 的前 和分別為 、 ，且 ，則
.如
設{ }與{ }是兩個等差數列，它們的前 項和分別為 和 ，若 ，那麼 ___________
（答： ）
7．「首正」的遞減等差數列中，前 項和的最大值是所有非負項之和；「首負」的遞增等差數列中，前 項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組 確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數列前 項是關於 的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性 。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？（函數思想），由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？如
（1）等差數列 中， ， ，問此數列前多少項和最大？並求此最大值。
（答：前13項和最大，最大值為169）；
（2）若 是等差數列，首項 ，
，則使前n項和 成立的最大正整數n是
（答：4006）
8．如果兩等差數列有公共項，那麼由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數. 注意：公共項僅是公共的項，其項數不一定相同，即研究 .
四．等比數列的有關概念：
1．等比數列的判斷方法：定義法 ，其中 或
。如
（1）一個等比數列{ }共有 項，奇數項之積為100，偶數項之積為120，則 為____
（答： ）；
（2）數列 中， =4 +1 ( )且 =1，若 ，求證：數列｛ ｝是等比數列。
2．等比數列的通項： 或 。如
設等比數列 中， ， ，前 項和 ＝126，求 和公比 .
（答： ， 或2）
3．等比數列的前 和：當 時， ；當 時， 。如
（1）等比數列中， ＝2，S99=77，求
（答：44）；
（2） 的值為__________
（答：2046）；
特別提醒：等比數列前 項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前 項和時，首先要判斷公比 是否為1，再由 的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比 是否為1時，要對 分 和 兩種情形討論求解。
4．等比中項：若 成等比數列，那麼A叫做 與 的等比中項。提醒：不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個 。如已知兩個正數 的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關系為______（答：A＞B）
提醒：（1）等比數列的通項公式及前 和公式中，涉及到5個元素： 、 、 、 及 ，其中 、 稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等比，可設為…， …（公比為 ）；但偶數個數成等比時，不能設為… ，…，因公比不一定為正數，只有公比為正時才可如此設，且公比為 。如有四個數，其中前三個數成等差數列，後三個成等比數列，且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和為12，求此四個數。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比數列的性質：
（1）當 時，則有 ，特別地，當 時，則有 .如
（1）在等比數列 中， ，公比q是整數，則 =___
（答：512）；
（2）各項均為正數的等比數列 中，若 ，則
（答：10）。
(2) 若 是等比數列，則 、 、 成等比數列；若 成等比數列，則 、 成等比數列； 若 是等比數列，且公比 ，則數列 ，…也是等比數列。當 ，且 為偶數時，數列 ，…是常數數列0，它不是等比數列. 如
（1）已知 且 ，設數列 滿足 ，且 ，則 .
（答： ）；
（2）在等比數列 中， 為其前n項和，若 ，則 的值為______
（答：40）
(3)若 ，則 為遞增數列；若 , 則 為遞減數列；若 ，則 為遞減數列；若 , 則 為遞增數列；若 ，則 為擺動數列；若 ，則 為常數列.
(4) 當 時， ，這里 ，但 ，這是等比數列前 項和公式的一個特徵，據此很容易根據 ，判斷數列 是否為等比數列。如若 是等比數列，且 ，則 ＝
（答：－1）
(5) .如設等比數列 的公比為 ，前 項和為 ，若 成等差數列，則 的值為¬¬_____
（答：－2）
(6) 在等比數列 中，當項數為偶數 時， ；項數為奇數 時， .
(7)如果數列 既成等差數列又成等比數列，那麼數列 是非零常數數列，故常數數列 僅是此數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件。如設
數列 的前 項和為 （ ）， 關於數列 有下列三個命題：①若 ，則 既是等差數列又是等比數列；②若 ，則 是等差數列；③若 ，則 是等比數列。這些命題中，真命題的序號是
（答：②③）
五.數列的通項的求法：
⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。如已知數列 試寫出其一個通項公式：__________
（答： ）
⑵已知 （即 ）求 ，用作差法： 。如
①已知 的前 項和滿足 ，求
（答： ）；
②數列 滿足 ，求
（答： ）
⑶已知 求 ，用作商法： 。如數列 中， 對所有的 都有 ，則 ______
（答： ）
⑷若 求 用累加法：
。如已知數列 滿足 ， ，則 =________
（答： ）
⑸已知 求 ，用累乘法： 。如已知數列 中， ，前 項和 ，若 ，求
（答： ）
⑹已知遞推關系求 ，用構造法（構造等差、等比數列）。特別地，（1）形如 、 （ 為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為 的等比數列後，再求 。如①已知 ，求 （答： ）；②已知 ，求 （答： ）；（2）形如 的遞推數列都可以用倒數法求通項。如①已知 ，求 （答： ）；②已知數列滿足 =1， ，求 （答： ）
注意：（1）用 求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（ ，當 時， ）；（2）一般地當已知條件中含有 與 的混合關系時，常需運用關系式 ，先將已知條件轉化為只含 或 的關系式，然後再求解。如數列 滿足 ，求 （答： ）
六.數列求和的常用方法：
1．公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式，特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論.；③常用公式： ， ， .如
（1）等比數列 的前 項和Sn＝2n－1，則 ＝_____
（答： ）；
（2）計算機是將信息轉換成二進制數進行處理的。二進制即「逢2進1」，如 表示二進制數，將它轉換成十進制形式是 ，那麼將二進制 轉換成十進制數是_______
（答： ）
2．分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將「和式」中「同類項」先合並在一起，再運用公式法求和. 如求： （答： ）
3．倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前 和公式的推導方法）. 如
①求證： ；
②已知 ，則 ＝______
（答： ）
4．錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那麼常選用錯位相減法（這也是等比數列前 和公式的推導方法）.
如（1）設 為等比數列， ，已知 ， ，①求數列 的首項和公比；②求數列 的通項公式.（答：① ， ；② ）；
（2）設函數 ，數列 滿足：
，①求證：數列 是等比數列；②令
，求函數 在點 處的導數 ，並比較 與 的大小。（答：①略；② ，當 時， ＝ ；當 時， < ；當 時， > ）
5．裂項相消法：如果數列的通項可「分裂成兩項差」的形式，且相鄰項分裂後相關聯，那麼常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
① ； ② ；
③ ， ；
④ ；⑤ ；
⑥ .
如（1）求和：
（答： ）；
（2）在數列 中， ，且Sn＝9，則n＝_____
（答：99）；
6．通項轉換法：先對通項進行變形，發現其內在特徵，再運用分組求和法求和。如
①求數列1×4，2×5，3×6，…， ，…前 項和 =
（答： ）；
②求和：
（答： ）
七．「分期付款」、「森林木材」型應用問題
1．這類應用題一般可轉化為等差數列或等比數列問題.但在求解過程中，務必「卡手指」，細心計算「年限」.對於「森林木材」既增長又砍伐的問題，則常選用「統一法」統一到「最後」解決.
2．利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金 元，每期利率為 ，則 期後本利和為：
（等差數列問題）；②復利問題：按揭貸款的分期等額還款（復利）模型：若貸款（向銀行借款） 元，採用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）後為第一次還款日，如此下去，分 期還清。如果每期利率為 （按復利），那麼每期等額還款 元應滿足： （等比數列問題）.