㈠ 高中數學知識整個體系脈絡或框架
高考數學基礎知識匯總
第一部分 集合
(1)含n個元素的集合的子集數為2^n,真子集數為2^n-1;非空真子集的數為2^n-2;
(2) 注意:討論的時候不要遺忘了 的情況。
(3)
第二部分 函數與導數
1.映射:注意 ①第一個集合中的元素必須有象;②一對一,或多對一。
2.函數值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判別式法 ;④利用函數單調性 ;
⑤換元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用數形結合或幾何意義(斜率、距離、絕對值的意義等);⑧利用函數有界性( 、 、 等);⑨導數法
3.復合函數的有關問題
(1)復合函數定義域求法:
① 若f(x)的定義域為〔a,b〕,則復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域,相當於x∈[a,b]時,求g(x)的值域。
(2)復合函數單調性的判定:
①首先將原函數 分解為基本函數:內函數 與外函數 ;
②分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性;
③根據「同性則增,異性則減」來判斷原函數在其定義域內的單調性。
注意:外函數 的定義域是內函數 的值域。
4.分段函數:值域(最值)、單調性、圖象等問題,先分段解決,再下結論。
5.函數的奇偶性
⑴函數的定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件;
⑵ 是奇函數 ;
⑶ 是偶函數 ;
⑷奇函數 在原點有定義,則 ;
⑸在關於原點對稱的單調區間內:奇函數有相同的單調性,偶函數有相反的單調性;
(6)若所給函數的解析式較為復雜,應先等價變形,再判斷其奇偶性;
6.函數的單調性
⑴單調性的定義:
① 在區間 上是增函數 當 時有 ;
② 在區間 上是減函數 當 時有 ;
⑵單調性的判定
1 定義法:
注意:一般要將式子 化為幾個因式作積或作商的形式,以利於判斷符號;
②導數法(見導數部分);
③復合函數法(見2 (2));
④圖像法。
註:證明單調性主要用定義法和導數法。
7.函數的周期性
(1)周期性的定義:
對定義域內的任意 ,若有 (其中 為非零常數),則稱函數 為周期函數, 為它的一個周期。
所有正周期中最小的稱為函數的最小正周期。如沒有特別說明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函數的周期
① ;② ;③ ;
④ ;⑤ ;
⑶函數周期的判定
①定義法(試值) ②圖像法 ③公式法(利用(2)中結論)
⑷與周期有關的結論
① 或 的周期為 ;
② 的圖象關於點 中心對稱 周期為2 ;
③ 的圖象關於直線 軸對稱 周期為2 ;
④ 的圖象關於點 中心對稱,直線 軸對稱 周期為4 ;
8.基本初等函數的圖像與性質
⑴冪函數: ( ;⑵指數函數: ;
⑶對數函數: ;⑷正弦函數: ;
⑸餘弦函數: ;(6)正切函數: ;⑺一元二次函數: ;
⑻其它常用函數:
1 正比例函數: ;②反比例函數: ;特別的
2 函數 ;
9.二次函數:
⑴解析式:
①一般式: ;②頂點式: , 為頂點;
③零點式: 。
⑵二次函數問題解決需考慮的因素:
①開口方向;②對稱軸;③端點值;④與坐標軸交點;⑤判別式;⑥兩根符號。
⑶二次函數問題解決方法:①數形結合;②分類討論。
10.函數圖象:
⑴圖象作法 :①描點法 (特別注意三角函數的五點作圖)②圖象變換法③導數法
⑵圖象變換:
1 平移變換:ⅰ ,2 ———「正左負右」
ⅱ ———「正上負下」;
3 伸縮變換:
ⅰ , ( ———縱坐標不變,橫坐標伸長為原來的 倍;
ⅱ , ( ———橫坐標不變,縱坐標伸長為原來的 倍;
4 對稱變換:ⅰ ;ⅱ ;
ⅲ ; ⅳ ;
5 翻轉變換:
ⅰ ———右不動,右向左翻( 在 左側圖象去掉);
ⅱ ———上不動,下向上翻(| |在 下面無圖象);
11.函數圖象(曲線)對稱性的證明
(1)證明函數 圖像的對稱性,即證明圖像上任意點關於對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
(2)證明函數 與 圖象的對稱性,即證明 圖象上任意點關於對稱中心(對稱軸)的對稱點在 的圖象上,反之亦然;
註:
①曲線C1:f(x,y)=0關於點(a,b)的對稱曲線C2方程為:f(2a-x,2b-y)=0;
②曲線C1:f(x,y)=0關於直線x=a的對稱曲線C2方程為:f(2a-x, y)=0;
③曲線C1:f(x,y)=0,關於y=x+a(或y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)圖像關於直線x= 對稱;
特別地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)圖像關於直線x=a對稱;
⑤函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關於直線x= 對稱;
12.函數零點的求法:
⑴直接法(求 的根);⑵圖象法;⑶二分法.
13.導數
⑴導數定義:f(x)在點x0處的導數記作 ;
⑵常見函數的導數公式: ① ;② ;③ ;
④ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;
⑧ 。
⑶導數的四則運演算法則:
⑷(理科)復合函數的導數:
⑸導數的應用:
①利用導數求切線:注意:ⅰ所給點是切點嗎?ⅱ所求的是「在」還是「過」該點的切線?
②利用導數判斷函數單調性:
ⅰ 是增函數;ⅱ 為減函數;
ⅲ 為常數;
③利用導數求極值:ⅰ求導數 ;ⅱ求方程 的根;ⅲ列表得極值。
④利用導數最大值與最小值:ⅰ求的極值;ⅱ求區間端點值(如果有);ⅲ得最值。
14.(理科)定積分
⑴定積分的定義:
⑵定積分的性質:① ( 常數);
② ;
③ (其中 。
⑶微積分基本定理(牛頓—萊布尼茲公式):
⑷定積分的應用:①求曲邊梯形的面積: ;
3 求變速直線運動的路程: ;③求變力做功: 。
第三部分 三角函數、三角恆等變換與解三角形
1.⑴角度制與弧度制的互化: 弧度 , 弧度, 弧度
⑵弧長公式: ;扇形面積公式: 。
2.三角函數定義:角 中邊上任意一點 為 ,設 則:
3.三角函數符號規律:一全正,二正弦,三兩切,四餘弦;
4.誘導公式記憶規律:「函數名不(改)變,符號看象限」;
5.⑴ 對稱軸: ;對稱中心: ;
⑵ 對稱軸: ;對稱中心: ;
6.同角三角函數的基本關系: ;
7.兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式:①
② ③ 。
8.二倍角公式:① ;
② ;③ 。
9.正、餘弦定理:
⑴正弦定理: ( 是 外接圓直徑 )
註:① ;② ;③ 。
⑵餘弦定理: 等三個;註: 等三個。
10。幾個公式:
⑴三角形面積公式: ;
⑵內切圓半徑r= ;外接圓直徑2R=
11.已知 時三角形解的個數的判定:
第四部分 立體幾何
1.三視圖與直觀圖:註:原圖形與直觀圖面積之比為 。
2.表(側)面積與體積公式:
⑴柱體:①表面積:S=S側+2S底;②側面積:S側= ;③體積:V=S底h
⑵錐體:①表面積:S=S側+S底;②側面積:S側= ;③體積:V= S底h:
⑶台體:①表面積:S=S側+S上底S下底;②側面積:S側= ;③體積:V= (S+ )h;
⑷球體:①表面積:S= ;②體積:V= 。
3.位置關系的證明(主要方法):
⑴直線與直線平行:①公理4;②線面平行的性質定理;③面面平行的性質定理。
⑵直線與平面平行:①線面平行的判定定理;②面面平行 線面平行。
⑶平面與平面平行:①面面平行的判定定理及推論;②垂直於同一直線的兩平面平行。
⑷直線與平面垂直:①直線與平面垂直的判定定理;②面面垂直的性質定理。
⑸平面與平面垂直:①定義---兩平面所成二面角為直角;②面面垂直的判定定理。
註:理科還可用向量法。
4.求角:(步驟-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)
⑴異面直線所成角的求法:
1 平移法:平移直線,2 構造三角形;
3 ②補形法:補成正方體、平行六面體、長方體等,4 發現兩條異面直線間的關系。
註:理科還可用向量法,轉化為兩直線方向向量的夾角。
⑵直線與平面所成的角:
①直接法(利用線面角定義);②先求斜線上的點到平面距離h,與斜線段長度作比,得sin 。
註:理科還可用向量法,轉化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。
⑶二面角的求法:
①定義法:在二面角的棱上取一點(特殊點),作出平面角,再求解;
②三垂線法:由一個半面內一點作(或找)到另一個半平面的垂線,用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解;
③射影法:利用面積射影公式: ,其中 為平面角的大小;
註:對於沒有給出棱的二面角,應先作出棱,然後再選用上述方法;
理科還可用向量法,轉化為兩個班平面法向量的夾角。
5.求距離:(步驟-------Ⅰ。找或作垂線段;Ⅱ。求距離)
⑴兩異面直線間的距離:一般先作出公垂線段,再進行計算;
⑵點到直線的距離:一般用三垂線定理作出垂線段,再求解;
⑶點到平面的距離:
①垂面法:藉助面面垂直的性質作垂線段(確定已知面的垂面是關鍵),再求解;
5 等體積法;
理科還可用向量法: 。
⑷球面距離:(步驟)
(Ⅰ)求線段AB的長;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度數;(Ⅲ)求劣弧AB的長。
6.結論:
⑴從一點O出發的三條射線OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,則點A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上;
⑵立平斜公式(最小角定理公式):
⑶正棱錐的各側面與底面所成的角相等,記為 ,則S側cos =S底;
⑷長方體的性質
①長方體體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為 則:cos2 +cos2 +cos2 =1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。
②長方體體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為 則有cos2 +cos2 +cos2 =2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。
⑸正四面體的性質:設棱長為 ,則正四面體的:
1 高: ;②對棱間距離: ;③相鄰兩面所成角餘弦值: ;④內切2 球半徑: ;外接球半徑: ;
第五部分 直線與圓
1.直線方程
⑴點斜式: ;⑵斜截式: ;⑶截距式: ;
⑷兩點式: ;⑸一般式: ,(A,B不全為0)。
(直線的方向向量:( ,法向量(
2.求解線性規劃問題的步驟是:
(1)列約束條件;(2)作可行域,寫目標函數;(3)確定目標函數的最優解。
3.兩條直線的位置關系:
4.直線系
5.幾個公式
⑴設A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),⊿ABC的重心G:( );
⑵點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離: ;
⑶兩條平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是 ;
6.圓的方程:
⑴標准方程:① ;② 。
⑵一般方程: (
註:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓 A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
7.圓的方程的求法:⑴待定系數法;⑵幾何法;⑶圓系法。
8.圓系:
⑴ ;
註:當 時表示兩圓交線。
⑵ 。
9.點、直線與圓的位置關系:(主要掌握幾何法)
⑴點與圓的位置關系:( 表示點到圓心的距離)
① 點在圓上;② 點在圓內;③ 點在圓外。
⑵直線與圓的位置關系:( 表示圓心到直線的距離)
① 相切;② 相交;③ 相離。
⑶圓與圓的位置關系:( 表示圓心距, 表示兩圓半徑,且 )
① 相離;② 外切;③ 相交;
④ 內切;⑤ 內含。
10.與圓有關的結論:
⑴過圓x2+y2=r2上的點M(x0,y0)的切線方程為:x0x+y0y=r2;
過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點M(x0,y0)的切線方程為:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
⑵以A(x1,y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
第六部分 圓錐曲線
1.定義:⑴橢圓: ;
⑵雙曲線: ;⑶拋物線:略
2.結論
⑴焦半徑:①橢圓: (e為離心率); (左「+」右「-」);
②拋物線:
⑵弦長公式:
;
註:(Ⅰ)焦點弦長:①橢圓: ;②拋物線: =x1+x2+p= ;(Ⅱ)通徑(最短弦):①橢圓、雙曲線: ;②拋物線:2p。
⑶過兩點的橢圓、雙曲線標准方程可設為: ( 同時大於0時表示橢圓, 時表示雙曲線);
⑷橢圓中的結論:
①內接矩形最大面積 :2ab;
②P,Q為橢圓上任意兩點,且OP 0Q,則 ;
③橢圓焦點三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.點 是 內心, 交 於點 ,則 ;
④當點 與橢圓短軸頂點重合時 最大;
⑸雙曲線中的結論:
①雙曲線 (a>0,b>0)的漸近線: ;
②共漸進線 的雙曲線標准方程為 為參數, ≠0);
③雙曲線焦點三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.P是雙曲線 - =1(a>0,b>0)的左(右)支上一點,F1、F2分別為左、右焦點,則△PF1F2的內切圓的圓心橫坐標為 ;
④雙曲線為等軸雙曲線 漸近線為 漸近線互相垂直;
(6)拋物線中的結論:
①拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦AB性質:<Ⅰ>. x1x2= ;y1y2=-p2;
<Ⅱ>. ;<Ⅲ>.以AB為直徑的圓與准線相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)為直徑的圓與 軸相切;<Ⅴ>. 。
②拋物線y2=2px(p>0)內結直角三角形OAB的性質:
<Ⅰ>. ; <Ⅱ>. 恆過定點 ;
<Ⅲ>. 中點軌跡方程: ;<Ⅳ>. ,則 軌跡方程為: ;<Ⅴ>. 。
③拋物線y2=2px(p>0),對稱軸上一定點 ,則:
<Ⅰ>.當 時,頂點到點A距離最小,最小值為 ;<Ⅱ>.當 時,拋物線上有關於 軸對稱的兩點到點A距離最小,最小值為 。
3.直線與圓錐曲線問題解法:
⑴直接法(通法):聯立直線與圓錐曲線方程,構造一元二次方程求解。
注意以下問題:
①聯立的關於「 」還是關於「 」的一元二次方程?
②直線斜率不存在時考慮了嗎?
③判別式驗證了嗎?
⑵設而不求(代點相減法):--------處理弦中點問題
步驟如下:①設點A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 ;③解決問題。
4.求軌跡的常用方法:(1)定義法:利用圓錐曲線的定義; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相關點法或轉移法);⑷待定系數法;(5)參數法;(6)交軌法。
第七部分 平面向量
⑴設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則: ① a‖b(b≠0) a= b ( x1y2-x2y1=0;
② a⊥b(a、b≠0) a•b=0 x1x2+y1y2=0 .
⑵a•b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2;
註:①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影;
6 a•b的幾何意義:a•b等於|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘積。
⑶cos<a,b>= ;
⑷三點共線的充要條件:P,A,B三點共線 ;
附:(理科)P,A,B,C四點共面 。
第八部分 數列
1.定義:
⑴等差數列 ;
⑵等比數列
;
2.等差、等比數列性質
等差數列 等比數列
通項公式
前n項和
性質 ①an=am+ (n-m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q時am+an=ap+aq ②m+n=p+q時aman=apaq
③ 成AP ③ 成GP
④ 成AP, ④ 成GP,
等差數列特有性質:
1 項數為2n時:S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n); ; ;
2 項數為2n-1時:S2n-1=(2n-1) ; ; ;
3 若 ;若 ;
若 。
3.數列通項的求法:
⑴分析法;⑵定義法(利用AP,GP的定義);⑶公式法:累加法( ;
⑷疊乘法( 型);⑸構造法( 型);(6)迭代法;
⑺間接法(例如: );⑻作商法( 型);⑼待定系數法;⑽(理科)數學歸納法。
註:當遇到 時,要分奇數項偶數項討論,結果是分段形式。
4.前 項和的求法:
⑴拆、並、裂項法;⑵倒序相加法;⑶錯位相減法。
5.等差數列前n項和最值的求法:
⑴ ;⑵利用二次函數的圖象與性質。
第九部分 不等式
1.均值不等式:
注意:①一正二定三相等;②變形, 。
2.絕對值不等式:
3.不等式的性質:
⑴ ;⑵ ;⑶ ;
;⑷ ; ;
;⑸ ;(6)
。
4.不等式等證明(主要)方法:
⑴比較法:作差或作比;⑵綜合法;⑶分析法。
第十部分 復數
1.概念:
⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0;
⑵z=a+bi是虛數 b≠0(a,b∈R);
⑶z=a+bi是純虛數 a=0且b≠0(a,b∈R) z+ =0(z≠0) z2<0;
⑷a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R);
2.復數的代數形式及其運算:設z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),則:
(1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;
3.幾個重要的結論:
;⑶ ;⑷
⑸ 性質:T=4; ;
(6) 以3為周期,且 ; =0;
(7) 。
4.運算律:(1)
5.共軛的性質:⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ 。
6.模的性質:⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ ;
第十一部分 概率
1.事件的關系:
⑴事件B包含事件A:事件A發生,事件B一定發生,記作 ;
⑵事件A與事件B相等:若 ,則事件A與B相等,記作A=B;
⑶並(和)事件:某事件發生,當且僅當事件A發生或B發生,記作 (或 );
⑷並(積)事件:某事件發生,當且僅當事件A發生且B發生,記作 (或 ) ;
⑸事件A與事件B互斥:若 為不可能事件( ),則事件A與互斥;
(6)對立事件: 為不可能事件, 為必然事件,則A與B互為對立事件。
2.概率公式:
⑴互斥事件(有一個發生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);
⑵古典概型: ;
⑶幾何概型: ;
第十二部分 統計與統計案例
1.抽樣方法
⑴簡單隨機抽樣:一般地,設一個總體的個數為N,通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本,且每個個體被抽到的機會相等,就稱這種抽樣為簡單隨機抽樣。
註:①每個個體被抽到的概率為 ;
②常用的簡單隨機抽樣方法有:抽簽法;隨機數法。
⑵系統抽樣:當總體個數較多時,可將總體均衡的分成幾個部分,然後按照預先制定的
規則,從每一個部分抽取一個個體,得到所需樣本,這種抽樣方法叫系統抽樣。
註:步驟:①編號;②分段;③在第一段採用簡單隨機抽樣方法確定其時個體編號 ;
④按預先制定的規則抽取樣本。
⑶分層抽樣:當已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時,為使樣本更充分的反映總體的情況,將總體分成幾部分,然後按照各部分佔總體的比例進行抽樣,這種抽樣叫分層抽樣。
註:每個部分所抽取的樣本個體數=該部分個體數
2.總體特徵數的估計:
⑴樣本平均數 ;
⑵樣本方差 ;
⑶樣本標准差 = ;
3.相關系數(判定兩個變數線性相關性):
註:⑴ >0時,變數 正相關; <0時,變數 負相關;
⑵① 越接近於1,兩個變數的線性相關性越強;② 接近於0時,兩個變數之間幾乎不存在線性相關關系。
4.回歸分析中回歸效果的判定:
⑴總偏差平方和: ⑵殘差: ;⑶殘差平方和: ;⑷回歸平方和: - ;⑸相關指數 。
註:① 得知越大,說明殘差平方和越小,則模型擬合效果越好;
② 越接近於1,,則回歸效果越好。
5.獨立性檢驗(分類變數關系):
隨機變數 越大,說明兩個分類變數,關系越強,反之,越弱。
第十四部分 常用邏輯用語與推理證明
1. 四種命題:
⑴原命題:若p則q; ⑵逆命題:若q則p;
⑶否命題:若 p則 q;⑷逆否命題:若 q則 p
註:原命題與逆否命題等價;逆命題與否命題等價。
2.充要條件的判斷:
(1)定義法----正、反方向推理;
(2)利用集合間的包含關系:例如:若 ,則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件;
3.邏輯連接詞:
⑴且(and) :命題形式 p q; p q p q p q p
⑵或(or):命題形式 p q; 真 真 真 真 假
⑶非(not):命題形式 p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4.全稱量詞與存在量詞
⑴全稱量詞-------「所有的」、「任意一個」等,用 表示;
全稱命題p: ;
全稱命題p的否定 p: 。
⑵存在量詞--------「存在一個」、「至少有一個」等,用 表示;
特稱命題p: ;
特稱命題p的否定 p: ;
第十五部分 推理與證明
1.推理:
⑴合情推理:歸納推理和類比推理都是根據已有事實,經過觀察、分析、比較、聯想,在進行歸納、類比,然後提出猜想的推理,我們把它們稱為合情推理。
①歸納推理:由某類食物的部分對象具有某些特徵,推出該類事物的全部對象都具有這些特徵的推理,或者有個別事實概括出一般結論的推理,稱為歸納推理,簡稱歸納。
註:歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理。
②類比推理:由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特徵,推出另一類對象也具有這些特徵的推理,稱為類比推理,簡稱類比。
註:類比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演繹推理:從一般的原理出發,推出某個特殊情況下的結論,這種推理叫演繹推理。
註:演繹推理是由一般到特殊的推理。
「三段論」是演繹推理的一般模式,包括:
⑴大前提---------已知的一般結論;
⑵小前提---------所研究的特殊情況;
⑶結 論---------根據一般原理,對特殊情況得出的判斷。
二.證明
⒈直接證明
⑴綜合法
一般地,利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等,經過一系列的推理論證,最後推導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因導果法。
⑵分析法
一般地,從要證明的結論出發,逐步尋求使它成立的充分條件,直至最後,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等),這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執果索因法。
2.間接證明------反證法
一般地,假設原命題不成立,經過正確的推理,最後得出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明原命題成立,這種證明方法叫反證法。
附:數學歸納法(僅限理科)
一般的證明一個與正整數 有關的一個命題,可按以下步驟進行:
⑴證明當 取第一個值 是命題成立;
⑵假設當 命題成立,證明當 時命題也成立。
那麼由⑴⑵就可以判定命題對從 開始所有的正整數都成立。
這種證明方法叫數學歸納法。
註:①數學歸納法的兩個步驟缺一不可,用數學歸納法證明問題時必須嚴格按步驟進行;
3 的取值視題目而4 定,5 可能是1,6 也可能是2等。
第十六部分 理科選修部分
1. 排列、組合和二項式定理
⑴排列數公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (m≤n,m、n∈N*),當m=n時為全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;
⑵組合數公式: (m≤n), ;
⑶組合數性質: ;
⑷二項式定理:
①通項: ②注意二項式系數與系數的區別;
⑸二項式系數的性質:
①與首末兩端等距離的二項式系數相等;②若n為偶數,中間一項(第 +1項)二項式系數最大;若n為奇數,中間兩項(第 和 +1項)二項式系數最大;
③
(6)求二項展開式各項系數和或奇(偶)數項系數和時,注意運用賦值法。
2. 概率與統計
⑴隨機變數的分布列:
①隨機變數分布列的性質:pi≥0,i=1,2,…; p1+p2+…=1;
②離散型隨機變數:
X x1 X2 … xn …
P P1 P2 … Pn …
期望:EX= x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;
方差:DX= ;
註: ;
③兩點分布:
X 0 1 期望:EX=p;方差:DX=p(1-p).
P 1-p p
4 超幾何分布:
一般地,在含有M件次品的N件產品中,任取n件,其中恰有X件次品,則 其中, 。
稱分布列
X 0 1 … m
P …
為超幾何分布列, 稱X服從超幾何分布。
⑤二項分布(獨立重復試驗):
若X~B(n,p),則EX=np, DX=np(1- p);註: 。
⑵條件概率:稱 為在事件A發生的條件下,事件B發生的概率。
註:①0 P(B|A) 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶獨立事件同時發生的概率:P(AB)=P(A)P(B)。
⑷正態總體的概率密度函數: 式中 是參數,分別表示總體的平均數(期望值)與標准差;
(6)正態曲線的性質:
①曲線位於x軸上方,與x軸不相交;②曲線是單峰的,關於直線x= 對稱;
③曲線在x= 處達到峰值 ;④曲線與x軸之間的面積為1;
5 當 一定時,6 曲線隨 質的變化沿x軸平移;
7 當 一定時,8 曲線形狀由 確定: 越大,9 曲線越「矮胖」,10 表示總體分布越集中;
越小,曲線越「高瘦」,表示總體分布越分散。
註:P =0.6826;P =0.9544
P =0.9974
㈡ 涓轟粈涔堚滆繍綆楁濇兂鈥濇槸楂樹腑鏁板﹁劇▼鐨勪富綰誇箣
楂樹腑鏁板﹁劇▼鍐呭逛富綰匡紙涓夛級鈥旇繍綆椾富綰
鐭ヨ瘑緇撴瀯妗嗗浘錛
鍚庝袱涓榪愮畻鏄瀵兼暟榪愮畻鎵鐗規湁鐨勩
瀵逛簬涓婅堪榪愮畻涓庤繍綆楀緥鐨勫︿範鏈夊姪浜庡︾敓鐞嗚В榪愮畻鐨勬剰涔変互鍙婅繍綆楀緥瀵圭爺絀惰繍綆楃殑閲嶈佹с