❶ 數學素養與數學知識的區別聯系實際
數學是科學的工具,在人類物質文明的進程中已充分顯示出其實用價值。數學更是一種文化,是人類智慧的結晶,其價值已滲透到人類社會的每一個角落。數學本質的雙重性決定了作為教育任務的數學價值取向應是多極的。數學教育不僅是知識的傳授、能力的培養,而且是一種文化熏陶、素質的培養。數學素質教育應該是人文教育和科學教育的相互滲透,即整合。樹立新型的教育觀,是深化教育改革的關鍵。
一、數學教學中數學能力的培養途徑
基於數學思維能力體現數學認識和建構的需要 ,也反映數學自身特徵的要求,是數學能力的核心;另外,素質教育的核心是創新教育,我們所談及的數學能力具備多方面的內容,但在其核心內容中必須定位在促進學生的創新能力方面。
(一)應用數學能力的培養
數學是一種語言,是認識世界必不可少的方法,運用數學的能力是未來公民應當具有的最基本的素質之一。九年義務教育數學教學大綱明確規定:「要使學生受到把實際問題抽象成數學問題的訓練」,「形成用數學的意識」 。
1.重現知識形成的過程,培養學生用數學的意識。數學概念和數學規律大多是由實際問題抽象出來的,因而在進行數學概念和數學規律的教學中,我們不應當只是單純地向學生講授這些數學知識,而忽視對其原型的分析和抽象。我們應當從實際事例或學生已有知識出發,逐步引導學生對原型加以抽象、概括,弄清知識的抽象過程,了解它們的用途和適用范圍,從而使學生形成對學數學、用數學所必須遵循的途徑的認識。這不僅能加深學生對知識的理解和記憶,而且對激發學生學數學的興趣、增強學生用數學的意識大有裨益。
2.創造條件,讓學生運用數學解決實際問題。數學思想是對數學知識與方法形成的規律性的理性認識,是解決數學問題的根本策略。數學方法是解決問題的手段和工具。數學思想方法是數學的精髓,只有掌握了數學思想方法,才算真正掌握了數學。
因而,數學思想方法也應是學生必須具備的基本素質之一。現行教材中蘊涵了多種數學基礎知識和方法,在教學時,我們應充分挖掘由數學基礎知識所反映出來的數學思想和方法,設計數學思想方法的教學目標,結合教學內容適時滲透、反復強化、及時總結,用數學思想方式武裝學生,使學生真正成為數學的主人。
(二)思維能力的培養
思維品質的優良與否是國民素質的重要決定因素。為了促進學生思維能力的發展,我們必須高度關注學生在數學學習過程中的思維活動,必須研究思維活動的發展規律,研究思維的有關類型和功能、結構、內在聯系及其在數學教學中所起的作用。
1.重視數學思想培養的教學觀中學數學思想內容包括:
①符合思想。數學語言准確而清楚,使用它使數學的運轉成為可能。
②映射思想。以映射的原則,可以得到換元法,初等變換法及母函數法等解決問題的方法。
③化歸思想。化歸的實質就是把新問題轉化為已經解決的問題來解決,把復雜問題轉化為易於解決的簡單問題來解決。它是處理數學問題的一種基本思想。換元法、配方法、分組法、反證法等都是化歸思想的具體應用。
④分解思想。其特點是化整為零,其實質是分解――組合、分割――拼合的辯證思想。
⑤參數思想。參數作為橋梁,以溝通問題的條件與結論。在解題時引入新的變數,或將題設中多元里的一元看做已知數,根據已知條件列式推算,從而使問題獲得解決。換元法、比值法、主元法、待定系數法等都是參數思想的具體應用。
⑥歸納思想。從幾個簡單的、個別的、特殊的事例出發,歸納出一般的規律和性質。即以特殊到一般的思維方式。
⑦類比思想。是由已知的兩類事物具有某些相似性質,從而推斷它們在其他性質上也可能相似的推理形式。
⑧演繹思想。由一般到特殊的邏輯推理方法。
⑨模型思想。實際問題可數學化,通過數學模型加以解決。數學思想在數學整個體系中起著「靈魂」的作用,只有重現數學思想的教學才能從高一層次提高學生的能力水平,培養學生的數學觀念和良好品質,進而提高學生的數學素質。
2.重視「問題解決」的教學觀問題解決作為一種教學模式或作為一種教學過程,是培養學生數學素質的一條有效途徑。華師大張奠宙教授指出「問題解決反對單純模仿,更多地從問題情景出發,構造數學模型,提供數學想像,伴以實際操作,鼓勵發散思想,誘發創造能力,把數學嵌入活的認知過程中,而不是死的知識積累。我認為『問題解決』是可以影響當前數學教育的突破口,它和『升學率』不矛盾,有助於大眾數學的推廣,能全面提高數學素質」。重視「問題解決」,在一定的意義上也就是重視數學的應用價值。現在「能夠運用所學知識解決簡單的實際問題」被列為數學教學目的之一,就是要求我們順應社會發展,加強數學應用的教學。
在教學中,我們尤其要注重培養學生良好的思維品質,使學生的思維既有明確的目的方向,又有自己的見解;既有廣闊的思路,又能揭露問題的實質;既敢於創新,又能具體問題具體分析。
二、重視學生能力的個別差異,注意麵向全體學生
針對學生的「個別差異」,我們要了解不同發展水平的學生理解運用知識的情況,及時注入不同的信息以調控學生的學習心理和認識的發展水平。根據學生的心理差別,我們要做到面向全體學生,建立良好的師生關系。幫助後進生克服心理障礙,關心他們,使他們有信心學好,提高克服困難的勇氣。同時注意及時捕捉後進生的問題,發現他們的閃光點,有計劃地設計一些後進生能回答的問題,保護他們的自尊心,激發他們的求知慾和學習熱情,以達到大面積豐收。
總之,在數學教學中加強素質教育,就是要全面提高教育教學質量,全面提高學生整體素質。這樣就能把素質教育推向一個新的高度,我們的素質教育定能取得喜人的成果。
❷ 初中數學解題方法歸納總結
想要在初中學好數學，學會解題是關鍵。那麼初中數學解題方法有哪些呢?為了幫助同學們更好的學習數學，我給大家整理了初中數學解題方法。
初中數學解題方法歸納
1. 觀察與實驗
( 1 )觀察法：有目的有計劃的通過視覺直觀的發現數學對象的規律、性質和解決問題的途徑。
( 2 )實驗法：實驗法是有目的的、模擬的創設一些有利於觀察的數學對象，通過觀察研究將復雜的問題直觀化、簡單化。它具有直觀性強，特徵清晰，同時可以試探解法、檢驗結論的重要優勢。
2. 比較與分類
( 1 )比較法
是確定事物共同點和不同點的思維方法。在數學上兩類數學對象必須有一定的關系才好比較。我們常比較兩類數學對象的相同點、相異點或者是同異綜合比較。
( 2 )分類的方法
分類是在比較的基礎上，依據數學對象的性質的異同，把相同性質的對象歸入一類，不同性質的對象歸為不同類的思維方法。如上圖中一次函數的 k 在不等於零的情況下的分類是大於零和小於零體現了不重不漏的原則。
3 .特殊與一般
( 1 )特殊化的方法
特殊化的方法是從給定的區域內縮小范圍，甚至縮小到一個特殊的值、特殊的點、特殊的圖形等情況，再去考慮問題的解答和合理性。
( 2 )一般化的方法
4. 聯想與猜想
( 1 )類比聯想
類比就是根據兩個對象或兩類事物間存在著的相同或不同屬性，聯想到另一事物也可能具有某種屬性的思維方法。
通過類比聯想可以發現新的知識;通過類比聯想可以尋求到數學解題的方法和途徑：
( 2 )歸納猜想
牛頓說過：沒有大膽的猜想就沒有偉大的發明。猜想可以發現真理，發現論斷;猜想可以預見證明的方法和思路。初中數學主要是對命題的條件觀察得出對結論的猜想，或對條件和結論的觀察提出解決問題的方案與方法的猜想。
歸納是對同類事物中的所蘊含的同類性或相似性而得出的一般性結論的思維過程。歸納有完全歸納和不完全歸納。完全歸納得出的猜想是正確的，不完全歸納得出的猜想有可能正確也有可能錯誤，因此作為結論是需要證明的。關鍵是猜之有理、猜之有據。
5. 換元與配方
( 1 )換元法
解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變數去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標准型問題標准化、復雜問題簡單化，變得容易處理。
換元法又稱輔助元素法、變數代換法。通過引進新的變數，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。
我們使用換元法時，要遵循有利於運算、有利於標准化的原則，換元後要注重新變數范圍的選取，一定要使新變數范圍對應於原變數的取值范圍，不能縮小也不能擴大。 你可以先觀察算式，你可以發現這種要換元法的算式中總是有相同的式子，然後把他們用一個字母代替，算出答案，然後答案中如果有這個字母，就把式子帶進去，計算就出來啦。
( 2 )配方法
配方法是對數學式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，並且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恆等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用於：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解。配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式
6. 構造法與待定系數法
( 1 )構造法所謂構造性的方法就是數學中的概念和方法按固定的方式經有限個步驟能夠定義的概念和能夠實現的方法。常見的有構造函數，構造圖形，構造恆等式。平面幾何裡面的添輔助線法就是常見的構造法。構造法解題有：直接構造、變更條件構造和變更結論構造等途徑。
( 2 )待定系數法：將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式，這樣就得到一個恆等式。然後根據恆等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其後通過解方程或方程組便可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫做待定系數法。
7. 公式法與反證法
( 1 )公式法
利用公式解決問題的方法。初中最常用的有一元二次方程求根時使用求根公式的方法;完全平方公式的方法等。如下面一組題就是完全平方公式的應用：
( 2 )反證法是“間接證明法”一類，即：肯定題設而否定結論，從而得出矛盾，就可以肯定命題的結論的正確性，從而使命題獲得了證明。
初中學數學解題技巧
1. 數學探索題
所謂探索題就是從問題給定的題設條件中探究其相應的結論並加以證明，或從給定的題目要求中探究相應的必需具備的條件、解決問題的途徑。
條件探索題：解答策略之一是將題設和結論視為已知，同時推理，在演繹的過程中尋找出相應所需的條件。
結論探索題：通常指結論不確定不唯一，或結論需通過類比、引申、推廣，或給出特例需通過歸納得出一般結論。可以先猜測再去證明;也可以尋求具體情況下的結論再證明;或直接演繹推證。
規律探索題：實際就是探索多種解決問題的途徑，制定多種解題的策略。
活動型探索題：讓學生參與一定的社會實踐，在課內和課外的活動中，通過探究完成問題解決。
推廣型探索題：將一個簡單的問題，加以推廣，可產生新的結論，在初中教學中常見。如平行四邊形的判定，就可以產生許多新的推廣，一方面是自身的推廣，一方面可以延伸到菱形和正方形中。
探索是數學的生命線，解探索題是一種富有創造性的思維活動，一種數學形式的探索絕不是單一的思維方式的結果，而是多種思維方式的聯系和滲透，這樣可使學生在學習數學的過程中敢於質疑、提問、反思、推廣。通過探索去經歷數學發現、數學探究、數學創造的過程，體會創造帶來的快樂。
2. 數學情境題
情境題是以一段生活實際、故事、歷史、游戲與數學問題、數學思想和方法於情境中。這類問題往往生動有趣，激發學生強烈的研究動機，但同時數學情景題又有信息量大，開放性強的特點，因此需要學生能從場景中提煉出數學問題，同時經歷了藉助數學知識研究實際問題的數學化過程。
如老師在講有理數的混合運算時，
3. 數學開放題
數學開放題是相對於傳統的封閉題而言的一種新題型，其特徵是題目的條件不充分，或沒有確定的結論，也正因為這樣，所以開放題的解題策略往往也是多種多樣的。
( 1 )數學開放題一般具有下列特徵
①不確定性：所提的問題常常是不確定的和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，因此需收集其他必要的信息，才能著手解的題目。
②探究性：沒有現成的解題模式，有些答案可能易於直覺地被發現，但是求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索。
③非完備性：有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在於尋求解答的過程中學生的認知結構的重建。
④發散性：在求解過程中往往可以引出新的問題，或將問題加以推廣，找出更一般、更概括性的結論。常常通過實際問題提出，學生必須用數學語言將其數學化，也就是建立數學模型。
⑤發展性：能激起多數學生的好奇性，全體學生都可以參與解答過程。
⑥創新性：教師難以用注入式進行教學，學生能自然地主動參與，教師在解題過程中的地位是示範者、啟發者、鼓勵者、合作者。
( 2 )對數學開放題的分類
從構成數學題系統的四要素(條件、依據、方法、結論)出發，定性地可分成四類;如果尋求的答案是數學題的條件，則稱為條件開放題;如果尋求的答案是依據或方法，則稱為策略開放題;如果尋求的答案是結論，則稱為結論開放題;如果數學題的條件、解題策略或結論都要求解題者在給定的情境中自行設定與尋找，則稱為綜合開放題。
從學生的學習生活和熟悉的事物中收集材料，設計成各種形式的數學開放性問題，意在開放學生的思路，開放學生潛在的學習能力，開放性數學問題給不同層次的學生學好數學創設了機會，多種解題策略的應用，有力地發展了學生的創新思維，培養了學生的創新技能，提高了學生的創新能力。
( 3 )以數學開放題為載體的教學特徵
①師生關系開放：教師與學生成為問題解決的共同合作者和研究者
②教學內容開放：開放題往往條件不完全、或結論不完全，需要收集信息加以分析和研究，給數學留下了創新的空間。
③教學過程的開放性：由於研究的內容的開放性可以激起學生的好奇心、同時由於問題的開放性，就沒有現成的解題模式，因此就會留下想像的空間，使所有的學生都可參與想像和解答。
( 4 )開放題的教育價值
有利於培養學生良好的思維品質;
有助於學生主體意識的形成;
有利於全體學生的參與，實現教學的民主性和合作性;
有利於學生體驗成功、樹立信心，增強學習的興趣;
有助於提高學生解決問題的能力。
4. 數學建模題(初中數學建模題也可以看作是數學應用題)
數學新課程標准指出 : 要學生會應用所學知識解決實際問題 , 能適應社會日常生活和生產勞動的基本需要。初中數學的學習目的之一 , 就是培養學生解決實際問題的能力 , 要求學生會分析和解決生產、生活中的數學問題 , 形成善於應用數學的意識和能力。從各省市的中考數學命題來看 , 也更關注學生靈活運用數學知識解決實際問題能力的考查 , 可以說培養學生解答應用題的能力是使學生能夠運用所學數學知識解決實際問題的基本途徑之一
初中數學應用問題類型
( 1 )探求結論型數學應用問題
根據命題中所給出的條件，要求找出一個或一個以上的正確結論
( 2 )跨學科的數學應用問題
①數學與物理
②數學與生化
以上兩題是與生物和化學有關的問題，體現了數學在生化學科的應用。
總之，數學應用問題較好地考察了學生閱讀理解能力與日常生活體驗，同時又考察了學生獲取信息後的抽象概括與建模能力，判斷決策能力。中考數學應用問題熱點題型主要包括生活、統計、測量、設計、決策、銷售、開放探索、跨學科等等，中考在強化學生應用意識和應用能力方面發揮及其良好的導向功能。這就要求我們在平時教學中善於挖掘課本例題、習題的潛在的應用功能。巧妙地將課本中具有典型意義的數學問題回歸生活、生產的原型，創設一個實際背景，改造成有深刻數學內涵的實際問題，以增強應用意識，發展數學建模能力。
四、掌握初中數學解題策略提來提高數學學習效率
(1)認真分析問題，找解題准切入點
由於數學問題紛繁復雜，學生容易受定勢思維的影響，這樣就會響解題思路造成很大的影響。為此，這時教師要給予學生正確指導，幫助學生進行思路的調整，對題目進行重新認真的分析，將切入點找准後，問題就能游刃而解了。例如：已知：AB=DC，AC=DB。求證:∠A=∠D。
此題是一道比較經典的證明全等的題型，主要是對學生對已知條件整合能力和觀察識圖能力的鍛煉。然而，從圖形的直觀角度來證明∠AOC=∠DOB，這樣的思路只會落入題目所設下的陷阱。為此，在對此題的審題時，教師要引導學生注意將題目已知的兩個條件充分結合起來考慮，提醒學生可以適當添加一定的輔助線。
(2)發揮想像力，藉助面積出奇制勝
面積問題是數學中常出現的問題，在面積定義及相關規律中，蘊含著深刻的數學思想，如果學生能充分了解其中的韻味，能夠熟練的掌握其中的數學論證思維，就有可能在其他數學問題中藉助面積，出奇制勝順利實現解題。由於幾何圖形的面積與線段、角、弧等有密切的聯系，所以用面積法不但可證各種幾何圖形面積的等量關系，還可證某些線段相等、線段不等、角的相等以及比例式等多種類型的幾何題。例1、 若E、F分別是矩形ABCD邊AB、CD的中點，且矩形EFDA與矩形ABCD相似，則矩形ABCD的寬與長之比為( ) (A) 1∶2(B) 2∶1(C) 1∶2(D) 2∶1
由上題已知信息可知，矩形ABCD的寬AD與AB的比，就是矩形EFDA與矩形ABCD的相似比。解：設矩形EFDA與矩形ABCD的相似比為k。因為E、F分別是矩形ABCD的中點，所以S矩形ABCD=2S矩形EFDA。所以S矩形EFDA∶S矩形ABCD=k2。所以k=1∶2。即矩形ABCD的寬與長之比為1∶2;故選(C)。
此題利用了“相似多邊形面積的比等於相似比平方”這一性質，巧妙解決相似矩形中的長與寬比的問題。事實上，藉助面積，形成解題思路的過程，就是學生思維轉換的過程。
(3)巧取特殊值，以簡代繁
初中數學雖然是基礎數學，但是這並不意味著就沒有難度，特別是在素質教育下，從培養學生綜合素質能力的角度出發，初中數學越來越重視數學思維的培養，因此在很多數學問題的設置上，都進行了相當難度的調整，使得數學問題顯得較為繁雜，單一的思維或者解題方式，在有些題目面前會顯得較為艱難。如有些數學問題是在一定的范圍內研究它的性質，如果從所有的值去逐一考慮，那麼問題將不勝其繁甚至陷入困境。在這種情況下，避開常規解法，跳出既定數學思維，就成了解題的關鍵。
例2、分解因式：x2+2xy-8y2+2x+14y-3。
思路分析：本題是二元多項式，從常規思路進行解題也未嘗不可，但是從鍛煉學生思維能力的角度出發，教師可以在立足常規解法的基礎上，引導學生進行其他方面解題思路的探索。如從巧取特值的角度出發，把其中的一個未知數設為0，則可以暫時隱去這個未知數，而就另一個未知數的式子來分解因式，達到化二元為一元的目的。
解：令y=0，得x2+2x-3=(x+3)(x-1);令x=0,得:-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。當把兩次分解的一次項的系數1、1;-2、4。可知，1×4+(-2)×1正好等於原式中xy項的系數。因此，綜合起來有：x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。
其實，用特殊值法，也叫取零法。這種方法在因式分解中可以發揮很大的作用，幫助學生找到其他的解題思路。一般來說其步驟是：A、把多項式中的一個字母設為0所得的結果分解因式，B、把多項中的另一個字母設為0所得的結果分解因式，C、把上兩步分解的結果綜合起來，得出原多項式的分解結果。但要注意：兩次分解的一次因式的常數項必須相等，如本題中，x+3的3和-2y+3的3相等，x-1的-1和4y-1的-1相等。否則，在綜合這兩步的結果時就無所適從了。
(4)巧妙轉換，過渡求解法
在解數學題時，即要對已知的條件進行全面分析，還要善於將題目中的隱性條件挖掘出來，將數學中各知識之間的聯系巧妙的運用起來，用全面、全新的視角來解決問題。
例如：已知：AB為半圓的直徑，其長度為30 cm，點C、D是該半圓的三等分點，求弦AC、AD與弧CD所圍成的圖形的面積。
本題需要解出的是一個不規則圖形的面積，可能大多數同學的思維就是將CD連結起來，將其轉變為一個角形和弓形，兩者面積之和就為該題需要解決的問題。這時，教師就要引導學生學會對半徑這一已知條件加以利用，幫助其將另外兩條OC、OD輔助線連結起來，將題目要求解的不規則圖形的面積，轉化成求扇形OCD的面積，這樣該題的解題思維就能一目瞭然了。
綜上所述，初中數學解題存在很強的靈活性。有的數學題不只一種解法，而有多種解法，有的數學題用常規方法解決不了，要用特殊方法。因此，解數學題要注意它的靈活性和技巧性。解題技巧在升學考試中至關重要，不能忽視。初中數學教師要注意對解題技巧的鑽研，並鼓勵學生發散思維，尋找解題技巧，提高解題效率，增強學習數學的能力。
猜你喜歡：
1. 初中數學規律題公式
2. 初中數學學習方法與技巧
3. 關於初中數學的學習方法有哪些
4. 初一數學解題技巧
5. 初中數學學習方法的六大要點
❸ 數學有什麼實際作用
數學這門學科，向來一般是以系統、邏輯、精確、嚴密等形象展示在世人面前。當我們在敘述和解決一個與數學有關問題的時候，追求或得到的結果必須是准確和精確無誤。即使是在運用數學知識去解決問題的過程中，無論是語言的表述或是論點的論證，也都需要有理有據的論證。
不過，這也正是數學的偉大和魅力所在之一，當我們去解決問題，必會形成新的知識理論，同時在解決問題的過程中產生新的問題，周而復始，不斷循環的推動著數學向前發展。從某個角度來講，問題的解決促進了數學的形成和發展。
問題的出現，代表著某一事物的內部出現矛盾，或是事物與事物產生了矛盾，而這些矛盾的斗爭或解決，需要的正是數學精髓。
因此，從某種意義上來講，學習數學就是學會如何去解決問題，最終解決了矛盾。
如非常著名的費馬大定理：當整數n > 2時，關於x,y,z的不定方程 xn + yn= zn無正整數解。
在早期的數學家手裡，他們能夠證明n=3、4、5、6……等特殊情況之下的費馬大定理是成立，但整數的個數是有無窮多個，一個個去證明是永遠算不完，也非常不現實。即使你從n=3開始到一個很大的整數都能連續證明費馬大定理都成立，但也許你會碰到一個更大的整數使定理不成立，甚至這樣的整數也可能存在著多個的情況等。
此時，擺在所有數學家面前最重要的任務，就是怎麼用有限的步驟去解決涉及到無窮的問題，即用一個完整且有限的步驟去證明費馬大定理的成立。
進入二十世紀之後，隨著計算機技術的不斷發展，數學家雖然能藉助於計算機完成數量巨大的費馬大定理證明洞薯，但最終也需要把無窮多的整數歸結成有限步驟證明的情形，沒有有限的證明步驟過程，所謂的計算機證明也只是一種特例。
因此，所有的數學家和科學家都認識到一點，解決數學問題永遠都需要去解決「有限與無窮」這一對立矛盾。一個數學問題只要有「無窮」的存在，那麼我們就需要主動去解決它，可以說這也是促進數學發展的根源之一。
從費馬大定理的提出到解決，耗費了近三個多世紀的時間，無數的數學家參與其中，如經過包括黎曼、莫德爾等許多數學家前赴後續的工作，把費馬大定理與代數曲線上的有理點（坐標都是有理數的點）聯系起來，這些種種轉化推動了數學相關領域的發展，也推動了費馬大定理的證明進程。
英國年輕的數學家懷爾斯利用前人研究並發展起來的橢圓函數理論及其研究成果，最終證明了費馬大定理。
費馬大定理的證明，不僅給大家提供了解決「有限與無窮」這一矛盾的啟示，更提醒世人要想解決問題，有時候需要作一定的變換，如把未解決的問題轉化為已知的或易於解決的領域的新問題去解決。
因此，當數學家去處理問題的時候，就會進行加工和創造，形成新的知識理論等。如早期的人類在發明自然數之後，在一定程度上解決了已有問題，但隨著社會的不斷發展，貿易的往來，就出現了負債的情況。此時，人們為了能更好解決新的問題，就必須創造出像0、負數這些知識概念。
像有理數、無理數、實數、復數等一系列知識的出現，都是因當時社會發展過程中不斷產生新的矛盾，發生問題，人們在解決這些問題過程中創造了新的知識理論。
數學史上最著名的矛盾問題，應該就屬「三次數學危機」，前兩次數學危機已經順利解決，但第三次數學危機其實並沒有完全解決。
第三次數學危機主要是由於在集合理論的邊緣發現悖論的存在，加上整個數學王國實質上是建立在集合論的基礎之上，它已經滲透到眾多的數學分支當中，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。
直白的講，當我們承認無窮集合和無窮基數的時候，就需要解決好「有限和無窮」這一矛盾，要不然很多數學問題就隨之而來，這也就是第三次數學危機的本質所在。
數學追求的是解決矛盾，解決問題，說白了是為了沒有矛盾。不過，到底什麼叫沒有矛盾呢？從邏輯學的角度來講，存在即合理，沒有矛盾，但這只是形式邏輯的規律。不過，數學要解決的並不是形式邏輯這么簡單，因為還要在「無窮」上證明沒有矛盾，而形式邏輯只是從人類有限經驗推出來而已。
雖然第三次數學危機表面上已經解決了，但它卻以其他形式存神李在數學當中，我們不能把認為存在矛盾的集合納瞎者論全部扔掉，因為它們在一些領域當中又有著非常重要的作用。
數學，從來都不怕矛盾，不怕問題，因為隨著矛盾和問題的解決，能給數學和其他領域帶來許多新的知識內容和認知等，甚至會給人類社會帶來革命性的變化。
如人類近兩個世紀以來，無論是所取得的數學知識和成就，還是對事物的認識程度等，都比前幾個世紀加起來的還要多，特別是在第二次世界大戰之後，包括數學在內的很多學科，都迎來大爆發和快速發展，很多新成果層出不窮。
近代數學自從誕生集合論以來，就創造出了抽象代數學、拓撲學、泛函分析與測度論等重要數學分支，特別是像傳統的代數幾何、微分幾何、復分析等，都已經推廣到高維層面，如代數數論不斷經過很多數學家的完善，已經變得非常完美。
很多時候，一個問題的解決，必將會豐富相關的知識理論，甚至會產生新的問題，這也正是學習和研究數學的本質之一。
❹ 怎樣運用你所學的數學知識去靈活運用呢
小學數學的研究性學習正是要引導學生去發現他所未知的問題，通過數學手段來解決問題，且能用數學解決問題的策略遷移到其它問題的解決上。例如五年級數學的第三單元「公倍數和公因數 」的教學內容的看起來挺簡單，但實質上對學生的要求挺高，這單元的知識是在四年級認識倍數和因數的基礎上學習公倍數和公因數的，要求學生會求兩個數的公倍數和公因數及最小公倍數和最大公因數，絕大部分學生都會求，但把這部分的知識放到解決問題中讓學生去解決就很難了，盡管我在教學時認識到這個難點，但我沒有注重學生學習方法的培養。一旦考試出現了這樣的題目，大部分學生都不明確題意、不會分析題目，更不知道怎樣去尋找解題的策略和方法，所以我班學生在這單元的考試中得分比較低。從這個教訓中我認識到了培養學生研究性學習的必要性，因為我們在教給學生知識的同時更重要的是教會學生學習的方法，數學的靈活性特別強，而且現在的數學特愛考學生理解問題和分析問題及解決問題的能力，因此教會學生研究性學習才是提高學生數學能力的根本。
那麼，在小學數學教學中如何進行研究性學習呢?根據我自己對教學理論的學習以及自己的教學實踐體會，我認為在小學數學教學中要進行研究性學習，要做到以下幾點。1．要激發學生主動參與的興趣。蘇霍姆林斯基說過：「在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是感到自己是一個發現者、研究者、探索者，而在兒童的精神世界裡，這種需要特別強烈。」教師要引導學生進入研究性學習，就要激發學生心靈深處的那種強烈的探求慾望，使其產生強大的內部動力。例如我在教學「平行四邊形和梯形」這單元的知識時，對平行四邊形和梯形具有哪些特徵的教學，我就是提供給學生的學具，引導學生自己動手操作去發現圖形的特徵，最後進行交流總結。這樣的教學不僅讓學生學到了新知識，更培養了學生研究性的學習方法。2．注意聯系學生生活實際。現代教育理論認為，數學源於生活，生活充滿著數學，數學教學應寓於生活實際，且運用於生活實際。所以，我在數學教學中有意識地引導學生溝通生活中的具體問題與有關數學問題的聯系，藉助學生熟悉的生活實際中的具體事例，激起學生學習數學的求知慾，尋找生活中的數學問題，運用所學知識分析、解決實際問題，引導他們進行研究性學習。例如「升和毫升」的教學就是緊密聯系學生的生活實際，讓學生通過對家庭容器的容量進行調查認識升和毫升，通過動手操作製作1升的容器，感受1升的容量有多少，再動手倒1升的液體到500毫升的量杯中發現1升=1000毫升。3、要盡量讓學生自己去研究發現。在教學中，教師應當經常給學生提供能引起觀察、研究的環境，善於提出一些學生既熟悉而又不能立刻解決的問題，引導他們自己去發現和尋找問題的答案，把學習的主動權交給學生，多給學生一些研究的機會，多一些成功的體驗，多一份創造的信心。例如「確定位置」的教學中「同一列或同一行的位置在用數對表示時有什麼的特點」，我就是讓學生自己通過實際的觀察和體會去找出答案。4、要注意培養學生的創造性思維。對小學生來說，能夠獨立解題並有獨到見解，這就是科學研究的縮影，也是他們在人生道路上探究創新的初步嘗試。在教學中我經常鼓勵學生敢於打破常規，別出心裁，勇於標新立異，尋找與眾不同的解題途徑，啟發他們從多角度、多側面、多渠道進行大膽嘗試，提出新穎、獨特的解題方法，這樣有利於發展學生的創造性思維。基於以上的認識，我認為在小學數學教學中開展研究性學習可以激發學生學習的慾望，可以在動手實踐、自主探索與合作交流中幫助學生真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想和方法，提高學生的數學能力，使學生得到全面的發展，真正成為數學學習的主人。