⑴ 高中數學全面系統的復習
高中數學復習指導
高三即將畢業，我們高二就是高三了。數學復習已經擺在我們面前了，下面就復習給出一點建議，供大家參考。
一、 基礎復習階段———系統整理，構建數學知識網路
第一輪復習，也稱「知識篇」，在這一階段，老師將帶領同學們重溫高一、高二所學課程，但這絕不只是以前所學知識的簡單重復，而是站在更高的角度，對舊知識產生全新認識的重要過程。因為在高一、高二時，老師是以知識點為主線索，依次傳授講解的，由於後面的相關知識還沒有學到，不能進行縱向聯系，所以，你學的往往是零碎的、散亂的知識點，而在第一輪復習時，老師的主線索是知識的縱向聯系與橫向聯系，以章節為單位，將那些零碎的、散亂的知識點串聯起來，並將他們系統化、綜合化，側重點在於各個知識點之間的融會貫通。平時復習中應重視教材中概念、定理、公式等基礎知識、基本技能；同時，更應注重知識的發展形成過程，例題的分析思路，求解過程。在復習中應立足教材、夯實基礎，以課本為主，全面梳理知識、方法，注意知識結構的重組與概括。將高中階段所學的數學知識進行系統整理，用簡明的圖表形式把基礎知識進行有機的串聯，構建成知識網路，使學生對整個高中數學體系有一個全面的認識和把握，以便於知識的存儲,提取和應用，也有利於學生思維品質的培養和提高，這是數學復習的重要環節。第一輪重點是「三基」(基礎知識、基本技能、基本方法)復習，目標是全面、扎實、系統、靈活。學生極易忽視復習課本重要例習題所蘊含的數學思想方法。如上海高考曾出現「解析幾何重要思想方法為何」，江蘇高考曾出現「用定義法求某函數的導數」等試題。《考試說明》明確指出：易、中、難題的佔分比例控制在3：5：2左右，即中低檔題占總分的80％左右，這就決定了我們在高考復習中必須抓基礎，常抓不懈，只有基礎打好了，做中低檔題才會概念清楚，得心應手，做難題和綜合題才能思路清晰，運算準確。所以大家在復習過程中應做到：
① 立足課本，迅速激活已學過的各個知識點。（建議大家在高三前的一個暑假裡通讀高一、高二教材）
② 注意所做題目使用知識點覆蓋范圍的變化，有意識地思考、研究這些知識點在課本中所處的地位和相互之間的聯系。注意到老師選題的綜合性在不斷地加強。
③ 明了課本從前到後的知識結構，將整個知識體系框架化、網路化。
通觀高中數學教材，是由一個大陸、一個半島和一個群島組成的。這個大陸，就是二維空間的形與數，涉及集合、映射與函數，方程與不等式，數列及其極限，直角坐標系下的點與數對、曲線與方程、曲線的交點、參數方程及相關參數的意義，導數及其應用；這個半島，是指立體幾何。它的體系與平面幾何一脈相承，都是古典的公理體系，進行嚴密的推理論證，且立體幾何問題一般都要化歸為平面幾何問題來加以解決。當然，還要特別關注向量這一工具的作用，總結出利用面向量解決立體幾何問題的基本模式。這個群島，是指離散數學撒在中學教材中的一些珍珠，如排列組合、二項式定理、概率與統計、數學歸納法等。中學數學內容的結構可看作是數與點的集合，數的集合形成了代數式、函數、復數集、排列與組合四大塊，點的集合構成了圖形，可分為平面圖形(平面幾何)、空間圖形(立體幾何)、坐標平面上的圖形(解析幾何)三大塊，每塊下面再列出具體的內容和要點，縱向橫向聯系，這就構成了中學數學知識網路圖，如「函數」這部分縱橫向聯系的知識結構，能提煉解題所用知識點，並說出其出處。
④經常將使用最多的知識點總結起來，研究重點知識所在章節，並了解各章節在課本中的地位和作用。以下列舉各章節的重點，供參考．
1．函數與不等式（主體）．代數以函數為主幹，不等式與函數的結合是「熱點』」．
（1）關於函數性質．單調性、奇偶性、周期性（常以三角函數為載體）、對稱性及反函數等處處可考．常以具體函數，結合圖象的幾何直觀展開，有時作適當抽象．這種題型較難，而通過找到一個符合條件的常見函數作為解決本題的入手是一個不錯的方法.
（2）關於一元二次函數，是重中之重，有關性質及應用的訓練要深入、廣泛．函數值域（最值），以二次函數或轉化為二次函數的值域，待別是含參變數的二次函數值域研究為重點；方法以突出配方、換元和基本不等式法為重點．一元二次方程根的分布與討論，一元二次不等式解的討論，二次曲線交點問題，都與一元二次函數，息息相關，在訓練中應占較大比重．強化「三個二次式」的復習。
（3）關於不等式證明．與函數聯系的不等式證明，與數列聯系結合數學歸納法是重點．方法要突出比較法和利用基本不等式的公式法．對於放縮法雖不是高考重點，因歷年考題中都或多或少用到放縮法，掌握幾種簡單的放縮技巧是必要的．證明不等式要善於分析式子結構特徵和尋找已知求證之間的差異，從中找到與相關定理的聯系來作為解決問題的突破口.
（4）關於解不等式．以熟練掌握一元二次不等式及可化為一元二次不等式的綜合題型為目標，突出靈活轉化，突出分類討論．解不等式往往帶有字母，需要討論，還需要掌握轉化、數形結合等方法以及函數與方程的思想和八種常見不等式的一般解法。
2．數列（主體）．以等差、等比兩種基本數列為載體考查數列的通項、求和、極限等為重點．關於抽象數列（用遞推關系給出的），不只限定「歸納一證明」，需加強．數列求和的幾種方法，如並項、拆項，裂項、錯位相減等常用方法必須掌握(注意對q的討論)。
3．三角（非主體）．「調整意見」「對和差化積、積化和差的8個公式，不要求記憶」．考題難度不降．訓練中要抓基本公式的熟練運用，突出正用、逆用和變式用. 三角問題主要有兩種形式：一是求較為復雜的三角函數表達式的某些性質；二是三角形中有關邊角的問題。凡是三角公式變換的問題都可以從分析角、函數類型和式子結構特徵這三個方面的差異作為入手及解題的突破口。
4．復數（非主體，文科不考）．近幾年呈降溫趨勢．訓練題型、方法、難度等達到教材水準即可．
5．立體幾何（主體）．
突出「空間」、「立體」．即把線線、線面、面面的位置關系考查置於某幾何體的情景中．幾何體以棱錐、稜柱為重點．稜柱中又以三稜柱、正方體為重點；棱錐以一條側棱或一個側面垂直於底面為重點，稜柱和棱錐的結合體也要重視．位置關系以判斷或證明垂直為重點，突出三垂線定理及逆定理的靈活運用。
空間角以二面角為重點，強化三垂線定理定角法．空間距以點面距、線面距為重點，二者結合尤為重要．等積轉化、等距轉化是最常用方法．角、距離的計算最後都轉化到一個三角形中進行。
面積、體積計算，解答題涉及棱錐（特別是三棱錐）居多．因為三棱錐體積求法靈活，思路廣泛．
6．解析幾何（主體）．
直線與圓錐曲線的方程、有關性質以及相互位置關系是重要內容。客觀題照顧面，解答題應綜合，直線與圓錐曲線的位置關系是高考主要題型，突出直線和圓錐曲線的交點、中點、弦長、軌跡是經常考查的問題，含參的范圍問題是難點。突出與函數，向量的聯系。
二、綜合復習階段———綜合深化，掌握數學思想方法
第二輪復習，通常稱為「方法篇」。大約從第二學期開學到四月中旬結束。在這一階段，老師將以方法、技巧為主線，主要研究數學思想方法。在復習中要注重把提高自己的數學能力作為目標，提高邏輯思維能力、運算能力、空間想像能力、分析問題和解決問題的能力、數學探究與創新能力。擴大新視野，完善高考要求的知識結構，優化思維品質，從根本上提高數學素養。這些都是數學復習中必須重點突破的方向與追尋的目標。學數學需要解題，但解題不是數學的全部，數學思想方法是數學的靈魂。不掌握數學思想方法的解題是蠻干，學數學而不解題則是「進了寶山空手而歸」，不能掌握數學的真諦。老師的復習，不再重視知識結構的先後次序，而是以提高同學們解決問題、分析問題的能力為目的，提出、分析、解決問題的思路用「配方法、待定系數法、換元法、消元法，數形結合、分類討論」等方法解決一類問題、一系列問題。第二輪復習一般是專題強化訓練，目標在於提高學生解答高考解答題的能力。此階段學生不應沉迷於套卷演練，而應在教師指導下，以典型例題為載體，以數學思想方法的靈活運用為線索，講求解題策略，使自己在第一輪復習的基礎上進行鞏固、完善、綜合、提高的重要階段，要加強對思維品質和綜合能力的培養，主要著眼於知識重組，建立完整的知識能力結構，包括學科的方法能力、思維能力、表達能力，但這都必須建立在知識的識記能力基礎之上，理解知識的來源及其所蘊含的數學思想、數學方法，把握知識的縱橫聯系，培養探索研究問題的能力。第二輪復習要培養數學應用意識，學會從材料的情景、問題中去聯系理論，能根據題目所給的材料，找到和主幹知識的結合點。要學會形成體系和方法，即解題思路，包括對有效信息的提取、解題所需的方法和技巧、對事實材料的分析和判斷及對結論的評價和反思等。不講究方法的「刻苦」無異於蠻干。應該在理清基本概念、基本知識結構的基礎上去做題，有時也可以在做題中加深對基礎知識的理解。不注意總結解題規律和數學思想方法的解題是低效的，有時甚至是無意義的.同學們應做到：
①主動將有關知識進行必要的拆分、加工重組。找出某個知識點會在一系列題目中出現，某種方法可以解決一類問題。
②分析題目時，由原來的注重知識點，漸漸地向探尋解題的思路、方法轉變。
③從現在開始，解題一定要非常規范，俗語說：「不怕難題不得分，就怕每題都扣分」，所以大家務必將解題過程寫得層次分明，結構完整。
④適當選做各地模擬試卷和以往高考題，逐漸弄清高考考查的范圍和重點。
三、強化復習階段———強化訓練，提高應試實戰能力
第三輪復習，大約一個月的時間，也稱為「策略篇」。老師主要講述「選擇題的解法、填空題的解法、應用題的解法、探究性命題的解法、綜合題的解法、創新性試題的解法」，教給同學們一些解題的特殊方法，特殊技巧，以提高同學們的解題速度和應試策略為目的。第三輪一般進行模擬、強化，目的在於調節學生智能、情感、意志等因素，使學生逐漸熟悉數學高考對學生的各項要求。此階段學生應加強解題後反思，並捨得花一定的時間再次鑽研考試大綱、考試說明及歷屆高考試題和各地的模擬試題，掌握高考信息、命題動向，提高正確率，練出速度，在練中升華到純熟生巧的境界。在練習時要注意以下幾點：解題要規范。俗話說，「不怕難題不得分，就怕每題都扣分」，所以務必將解題過程寫得層次分明，結構完整。重要的是解題質量而非數量，要針對自己的問題有選擇地精練。不滿足於會做，更強調解題後的反思常悟，悟出解題策略、思想方法方面的精華，尤其是一些高考題、新題、難度稍大的題，這種反思更為重要，多思出悟性，常悟獲精華。同學們應做到：
①解題時，會從多種方法中選擇最省時、最省事的方法，力求多方位，多角度的思考問題，逐漸適應高考對「減縮思維」的要求。
②注意自己的解題速度，審題要慢，思維要全，下筆要准，答題要快。有時只是一個符號的誤差，會讓你體會到「失之毫釐，差之千里」的滋味，若在關鍵時候會讓你抱憾終生。美國「哥倫比亞」號太空梭返回地面時機毀人亡卻源於一塊絕緣瓦的故障。這些學習品質在以後工作中會讓你受用終生。
③養成在解題過程中分析命題者的意圖的習慣，思考命題者是怎樣將考查的知識點有機的結合起來的，有那些思想方法被復合在其中，對命題者想要考我什麼，我應該會什麼，做到心知肚明。
四備考迎戰階段——心理調節，適應高考
最後，就是沖刺階段，也稱為「備考篇」。在這一階段，老師會將復習的主動權交給你自己。以前學習的重點、難點、方法、思路都是以老師的意志為主線，但是，現在你要直接、主動的研讀《考試說明》，研究近年來的高考試題，掌握高考信息、命題動向，並做到：
①檢索自己的知識系統，緊抓薄弱點，並針對性地做專門的訓練和突擊措施（可請老師專門為你拎一拎）；鎖定重中之重，掌握最重要的知識到爐火純青的地步。
②抓思維易錯點，注重典型題型。
③瀏覽自己以前做過的習題、試卷，回憶自己學習相關知識的歷程，做好「再」糾錯工作。
④博覽群書，博聞強記，使自己見多識廣，注意那些背景新、方法新，知識具有代表性的問題。
⑤不做難題、偏題、怪題，保持情緒穩定，充滿信心，准備應考。考前指導主要包括四個方面的內容：常考易錯的基礎知識；常用的解題方法；考試解題的技巧；考試心理的指導。
提高成績的秘訣
從某種意義上講，數學高考，考的是「難度」和「速度」，要取得好成績，「正確率」和「速度」是保證。每個學生應根據自己實際水平與狀況，系統地梳理知識，找出自己的弱項，挖掘根源。若是知識理解方面存在的問題，應該反復閱讀教材、逐字理解概念前因後果，深入理解課本例題與習題的解題思路、解題方法、內涵與外延。若是本身學習態度、學習習慣方面存在的問題，那麼應尋找那些干擾自己的非智力因素，找出主要矛盾與次要矛盾，一一排除。若是解題方法存在的問題，學生必須精做、精練，領悟解題途徑與方法，才能起到舉一反三的效果。一般說來，考試時首先要調整好心態，不能讓試題的難度、份量、熟悉程度影響自己的情緒，力爭讓會做的題不扣分，不會做的題盡量得分。然後認真、仔細讀題、審題，細心算題，規范答題。其次，應在規定的時間內完成，講究快速、准確。平時做題應做到：想明白、說清楚、算準確，即注意思路的清晰性、思維的嚴密性、敘述的條理性、結果的准確性。當然應試的策略要因人而異，比如基礎好的學生做填空、選擇題可以控制在45分鍾左右，基礎較差的可能需要1小時甚至更多時間，主要是看怎樣處理效果最好。每次考完後，學生自己都應認真總結，教師也要盡可能講評到位。教師講評最好能包括四個方面的內容：①本題考查了哪些知識點？②怎樣審題？怎樣打開解題思路？③本題主要運用了哪些方法和技巧？關鍵步驟在哪裡？④學生答題中有哪些典型錯誤？哪些屬於知識上、邏輯上、心理上還是策略上的原因？教師自己還要考慮一個問題，就是針對學生存在的問題如何調整復習策略，掌握應試技巧, 提高心理素質，使復習更有重點、有針對性。因此，從第一輪復習開始，就應當十分重視解題規范的養成以及運算能力的培養。復習備考還應注意培養自信心，保持平和心態，把握全局，從易到難，沉著應試，注意審題，計算細心，避免無謂差錯，發揮應有的水平。
數學復習中的幾個注意點
關注知識交叉點的訓練。知識的交叉點，即知識之間縱向、橫向的有機聯系，既體現了數學高考的能力立意，又是高考命題的「熱點」，而這恰恰是學生平時學習的「弱點」。
關注思維過程的培養。數學思維過程表現形式，是數學思想方法的集中體現，又是師生共同交流的紐帶。在復習中教師要讓學生人人參與討論，相互進行交流，得以共同提高。
強化數學語言的互譯。在高三復習中，教師應強化對學生數學語言互譯的引導、訓練，使學生理解題意、進行互譯，從而正確解答問題。
強化應用問題考查。把現實生活、現代科技、社會熱點問題作為背景的數學應用問題是高考熱點之一，題目往往不是很難，關鍵是考查對題目信息的理解能力和數學化問題的解決能力。這是今後高考一定會堅持的大方向，但不會形成必考一個難題的「八股」模式，復習時不宜大量搜集大量應用難題，也不宜不加選擇的進行專題訓練，而應把力量放在對問題的語言形式與符號形式的互譯能力的訓練上，並且應把這種訓練貫穿於復習的全過程。
瞄準好熱點。中學教學內容與高等數學的結合部。例：復合函數的概念及其單調性，圖象的平移，伸縮，對稱變換，二次函數閉區間的最值；用二次函數研究方程的根的分布，數列的求和問題等等。這些都是以後進一步學習高等數學的基礎。
抓住一個關鍵。書要學生去念，試要學生去考，誰也無法代替。因此能否把學生的內因調動起來，將直接影響復習效果，復習必須注意好以下幾個問題：（1）培養學生的參與意識。（2）因材施教。①必須從學情出發。②調動學生積極性，做到讓學生學有信心，學有興趣。③控制差生面，抓基礎訓練，抓速度，抓准確，防止丟分。④控制難度。（3）充分暴露思維過程，不能以教師的思維代替學生的思維，要讓學生在教師的引導下不斷掌握數學的基本思想和方法。（4）提高效率，反饋要及時。
做題有幾條原則：先易後難，先做簡單題，再做復雜題，無須拘泥於題號次序。先熟後生，先做那些題型結構和內容比較熟悉的題，後做那些題型、內容甚至語言比較陌生的題。對於前者，不能因一時沖動匆忙對號入座而落入陷阱，碰到似曾相識的題目，更要注意彼此的區別；對於後者，切不可驚慌失措，萬一有偏難題，要及時自我安慰，對別人可能會更難。第三是先高後低，難度大致相當時，先做分值高的題，後做分值低的題。不要專挑高分題做，以免造成「高不成低不就」的尷尬局面。堅持「先易後難\先熟後生\先同後異\先小後大\先點後面\先高後低」的基本原則.
保持最佳的復習心態。心態甚至比學習方法更重要。學習心態是學生學習時的心理狀態，數學活動不僅是「數學認知活動」，而且也是在情感、心態參與下進行的感測活動，成功的數學活動往往是伴隨著最佳心態產生的。那麼怎樣構成復習數學的最佳心態呢？我們必須在復習數學的過程中不斷地給自己創造一種輕松感、愉悅感、嚴謹感和成功感。心理學研究表明，人在輕松的時候，大腦皮層的神經元才能形成興奮中心，使神經細胞傳遞信息的通道暢通無阻，思維也就變得迅速敏捷。愉悅感是積極情感的心理表現，具有主動積極學習的傾向性，它是數學學習最佳心態的催化劑。學習中有了愉悅感，學習起來就會興趣十足，積極主動，思維機制的運轉就會加速。嚴謹感是指追求科學工作作風的情感，它能促使人們言必有據、一絲不苟。心理學告訴我們，嚴謹的作風會遷移到數學學習活動中去，而數學學習活動又能形成嚴謹的作風。因此解題過程中，必須思路清晰，因果分明,准確規范,不應有任何遺漏與含糊之處，即「會做的要得滿分」。成功感是學習的「內動力」，是促使創造性思維引發的巨大精神力量，因此，要對自己的成績有一種獨特的成功快樂和自我欣賞與陶醉。這樣才能保持積極的進取心態。所以，最佳學習心態主要由輕松感、愉悅感、嚴謹感和成功感構成，它們相互聯系，相互促進。輕松是數學活動成功的發動機，愉悅是成功的催化劑，嚴謹則是成功的監控器，而成功既是關鍵又是最終的目的。
復習資料要精。復習資料不可超過兩套，使用過程中，始終注重其系統性。千萬不要貪多，資料多了，不但使自己身陷題海，不能自拔，而且會因為你的顧此失彼，而使知識體系得不到延續。
有的同學漠視自己作業和考試中出現的錯誤，將他們簡單的歸結為粗心大意。這是很嚴重的錯誤想法，我們的錯誤都有其必然性，一定要究根問底，找出真正的原因，及時改正，並記住這樣的教訓。
千萬不要去鑽難題、偏題、怪題。「高考以能力立意」，這里的能力是指：思維能力，對現實生活的觀察分析力，創造性的想像能力，探究性實驗動手能力，理解運用實際問題的能力，分析和解決問題的探究創新能力，處理、運用信息的能力，新材料、新情景、新問題應變理解能力，其重點是概念觀點形成和規律的認識過程，它往往蘊藏在最簡單、最基礎的題目活事實之中。不是鑽牛角尖能鑽出來的能力。
不輕信猜題。合理看待來自老師和社會各界的猜題、壓題信息，不可迷信。因為，他們也不是神，我們上了考場只能憑自己的實力，憑自己的智慧去打拚，所以，我們應該踏踏實實、認認真真做好復習應考工作
2007-4