① 空間向量與立體幾何知識點有哪些
空間向量與立體幾何知識點如下：
量是作為數學工具來解決兩類問題：垂直問題，尤其是線面垂直問題，面面垂直基本類似；角度問題，主要講二面角的平面角通過兩個平面法向量所稱的角來進行轉化。而立體幾何中的平行問題一般是用基本定理來進行解決的。
立體幾何的題目是有規律的，比如證明線面平行就要想要線面平行定理，線線平行，面面平行，線面垂直，面面垂直之類也是同理。一直線上不重合的兩點在平面內，則這條直線在平面內。
若兩個平面互相垂直，則經過第一個平面內的一點垂直於第二個平面的直線在第一個平面內，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，則AB∈α。
過一點和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點而垂直於已知直線的平面內，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則a∈α。
基本定理：
共線向量定理：兩個空間向量a,b向量(b向量不等於0)，a∥b的充要條件是存在唯一的實數λ，使a=λb。
共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是:存在唯一的一對實數x,y,使c=ax+by。
空間向量分解定理：如果三個向量a、b、c不共面，那麼對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，零向量的表示唯一。
② 高二數學空間向量的公式及定理
科學是人類的共同財富，而真正科學家的任務就是豐富這個全人類都能受益的知識寶庫。下面是我為大家整理的高二數學空間向量的公式及定理，希望大家喜歡。
空間向量
一、空間向量知識點
1.空間向量的概念：
定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量，並且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。
具有大小和方向的量叫做向量註：
⑴空間的一個平移就是一個向量
⑵向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量
⑶空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示
ⅰ定理：如果三個向量 不共面，那麼對於空間任一向量 ，存在唯一的有序實數組x、y、z，使 。且把 叫做空間的一個基底， 都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空間一個基底的三個基向量是兩兩相互垂直，那麼這個基底叫正交基底。
ⅲ 單位正交基底：當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱為單位正交基底，通常用 表示。
ⅳ 空間四點共面：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間中任意一點P，都存在唯一的有序實數組x、y、z，使 。
2.空間向量的運算
二、復習點睛：
1、立體幾何初步是側重於定性研究，而空間向量則側重於定量研究。空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具。
2、根據空間向量的基本定理，出現了用基向量解決立體幾何問題的向量法，建立空間直角坐標系，形成了用空間坐標研究空間圖形的坐標法，它們的解答通常遵循「三步」：一化向量問題，二進行向量運算，三回到圖形問題。其實質是數形結合思想與等價轉化思想的運用。
3、實數的運算與向量的運算既有聯系又有區別，向量的數量積滿足交換律和分配律，但不滿足結合律，因此在進行數量積相關運算的過程中不可以隨意組合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然適用，數量積的運算在許多方面和多項式的運算如出一轍，尤其去括弧就顯得更為突出，下面兩個公式較為常用，請務必記住並學會應用： 。
2、空間向量的坐標表示：
(1)空間直角坐標系：
①空間直角坐標系O-xyz，在空間選定一點O和一個單位正交基底 ，以點O為原點，分別以 的方向為正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，點O叫做原點，向量 叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面。
②右手直角坐標系：右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以90°角度轉向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向;
③構成元素：點(原點)、線(x、y、z軸)、面(xOy平面，yOz平面，zOx平面);
④空間直角坐標系的畫法：作空間直角坐標系O-xyz時，一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°，z軸垂直於y軸，z軸、y軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的一半;
(2)空間向量的坐標表示：
①已知空間直角坐標系和向量 ，且設 為坐標向量(如圖)，
由空間向量基本定理知，存在唯一的有序實數組 叫做向量在此直角坐標系中的坐標，記作 。
②在空間直角坐標系O-xyz中，對於空間任一點A，對應一個向量 ，若 ，則有序數組(x，y，z)叫做點在此空間直角坐標系中的'坐標，記為A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標， y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標，寫點的坐標時，三個坐標間的順序不能變。
③空間任一點的坐標的確定：過P分別作三個與坐標平面平行的平面(或垂面)，分別交坐標軸於A、B、C三點，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，當 與 的方向相同時，x>0，當 與 的方向相反時，x<0，同理可確y、z(如圖)。
④規定：一切空間向量的起點都是坐標系原點，於是，空間任意一個向量與它的終點坐標一一對應。
⑤一個向量在直角坐標系中的坐標等於表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。
(3)空間向量的直角坐標運算：
⑦空間兩點間距離： ;
⑧空間線段 的中點M(x，y，z)的坐標： ;
⑨球面方程：
4、過定點O，作三條互相垂直的數軸，它們都以O為原點且一般具有相同的長度單位。這三條軸分別叫做z軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸);統稱坐標軸。通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線;它們的正方向要符合右手規則，即以這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點。
5、空間直角坐標系中的特殊點:
(1)點(原點)的坐標：(0,0,0);
(2)線(坐標軸)上的點的坐標：x軸上的坐標為(x,0,0)，y軸上的坐標為(0,y,0)，z軸上的坐標為(0,0,z);
(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)內的點的坐標：平面上的坐標為(x,y,0)、平面上的坐標為(0,y,z)、平面上的坐標為(x,0,z)
6、要使向量 與z軸垂直，只要z=0即可。事實上，要使向量 與哪一個坐標軸垂直，只要向量 的相應坐標為0即可。
7、空間直角坐標系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行於平面yOz的平面、方程y=b表示平行於平面zOx的平面、方程z=c表示平行於平面xOy平面;
8、只要將 和 代入，即可證明空間向量的運演算法則與平面向量一樣;
9、由空間向量基本定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個向量生成.任意不共面的三個向量 都可以構成空間的一個基底，此定理是空間向量分解的基礎。
③ 絀洪棿鍚戦噺鐨勭浉鍏沖叕寮忔湁鍝浜涳紵
絀洪棿鍚戦噺鐩鎬箻鍏寮忔渶鍒濅互鍧愭爣褰㈠紡琛ㄧず錛岀敤涓や釜涓夌淮絀洪棿鍚戦噺鏉ヨ〃紺猴紝褰㈠紡涓猴細
1銆佺偣涔橈細A B = AxBx + AyBy + AzBz錛
2銆佸弶涔橈細AB=(AyBz-AzBy, AzBx- AxBz, AxBy- AyBx)錛
3銆佺浉浼間箻縐錛欰 B錛(AxxBx,AyyBy錛孉zzBz)銆
闀垮害鐩哥瓑涓旀柟鍚戠浉鍚岀殑鍚戦噺鍙鍋氱浉絳夊悜閲忥紟鍚戦噺a涓巄鐩哥瓑錛岃頒綔a=b銆傛墍鏈夌殑闆跺悜閲忛兘鐩哥瓑銆傚綋鐢ㄦ湁鍚戠嚎孌佃〃紺哄悜閲忔椂錛岃搗鐐瑰彲浠ヤ換鎰忛夊彇銆備換鎰忎袱涓鐩哥瓑鐨勯潪闆跺悜閲忥紝閮藉彲鐢ㄥ悓涓鏉℃湁鍚戠嚎孌墊潵琛ㄧず銆
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絀洪棿鍚戦噺鍦ㄥ嚑浣曚腑鏈夌潃騫挎硾鐨勫簲鐢錛屽傚緩絳戣捐°佹満姊板伐紼嬨佺數瀛愬伐紼嬬瓑棰嗗煙銆傚悓鏃訛紝絀洪棿鍚戦噺涔熸槸楂樼瓑鏁板︺佺嚎鎬т唬鏁扮瓑瀛︾戜腑鐨勫熀紜姒傚康錛屾槸瀛︾敓鍦ㄥ︿範榪欎簺瀛︾戞椂蹇呴』娣卞埢鐞嗚В鍜屾帉鎻＄殑鏁板﹀伐鍏楓
④ 數學空間向量及其運算方法
空間向量及其運算
●考試目標 主詞填空
1.空間向量基本定理及應用
空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，那麼對空間任一向量p存在惟一的有序實數組x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.
2.向量的直角坐標運算：
設a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).
則a+b= .
a-b= .
ab= .
若a、b為兩非零向量，則a⊥b ab=0 =0.
●題型示例 點津歸納
【例1】已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=
∠AOC,且OA=OB=OC.，N分別是OA，BC的中點，G是
N的中點.
求證：OG⊥BC.
【解前點津】 要證OG⊥BC，只須證明 即可.
而要證 ,必須把 、 用一組已知的空間基向量表示.又已知條為∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可選 為已知的基向量.
【規范解答】 連ON由線段中點公式得：
又 ,
所以 )
因為 .
且 ，∠AOB=∠AOC.
所以 =0,即OG⊥BC.
【解後歸納】 本題考查應用平面向量、空間向量和平面幾何知識證線線垂直的能力.
【例2】 在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：異面直線BA1與AC所成的角.
【解前點津】 利用 ，求出向量 與 的夾角〈 , 〉，再根據異面直線BA1，AC所成角的范圍確定異面直線所成角.
【規范解答】 因為 ,
所以
因為AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2圖
所以 =0,
=-a2.
所以 =-a2.
又
所以〈 〉=120°.
所以異面直線BA1與AC所成的角為60°．
【解後歸納】 求異面直線所成角的關鍵是求異面直線上兩向量的數量積，而要求兩向量的數量積，必須會把所求向量用空間的一組基向量表示.
【例3】 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分
別是BB1、DC的中點.
(1)求AE與D1F所成的角；
(2)證明AE⊥平面A1D1F.
【解前點津】 設已知正方體的棱長為1，且 =e1，
=e2， =e3，以e1，e2,e3為坐標向量，建立空間直角坐標系D—xyz,
則：(1)A(1，0，0)，E(1，1， )，F(0， ，0)，D1(0，0，1)，
所以 =(0,1, ), =(0, ,-1).
所以 =(0,1 ),(0, ,-1)=0.
所以 ⊥ ，即AE與D1F所成的角為90°．
(2)又 =(1,0,0)= ，
且 =(1,0,0)(0,1, )=0.
所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.
所以AE⊥平面A1D1F.
【解後歸納】本題考查應用空間向量的坐標運算求異面直線所成的角和證線面垂直的方法.
【例4】 證明：四面體中連接對棱中點的三條直線交於一點且互相平分(此點稱為四面體的重心).
【規范解答】∵E,G分別為AB,AC的中點,
∴EG ,同理HF ，∴EG HF .
從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF,
GH相交於一點O,且O為它們的中點,連接OP,OQ.
只要能證明向量 =- 就可以說明P,O,Q三點共線且O
為PQ的中點,事實上, ,而O為GH的中點, 例4圖
∴ CD,QH CD,
∴= =0.
∴ =,∴PQ經過O點,且O為PQ的中點.
【解後歸納】本例要證明三條直線相交於一點O,我們採用的方法是先證明兩條直線相交於一點,然後證明 兩向量共線,從而說明P、O、Q三點共線進而說明PQ直線過O點.
●對應訓練 分階提升
一、基礎夯實
1.在下列條中,使與A、B、C一定共面的是( )
A. B.
C. D.
2.與向量a=(12,5)平行的單位向量是( )
A. B.
C. D.
3.若向量｛a， b，c｝是空間的一個基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那麼可以與m、n構成空間另一個基底的向量是( )?
A.a B.b ? C. c D.2a?
4. a、b是非零向量，則〈a，b〉的范圍是 ( )?
A.(0， ) B.［0， ］? C.(0，π)? D.［0，π］?
5.若a與b是垂直的，則ab的值是( )?
A.大於0 B.等於零? ?C.小於0 D.不能確定
6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，則a與b( )
A.相交 B.垂直? C.平行 ?D.以上都不對
7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，則線段AB的長度是( )?
A.1 B.2 C.3 D.4
8. m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，則a+b的`值為( )
A.0 B. C. D.8
9. a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，則m的值為( )?
A.0B.6 C.-6 D.±6
10. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝ ，b＝ ，則a+b對應的點為( )
A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)
11. a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，則a與b的夾角為( )
A.arc cos B. C. D.90°
12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y2，z2｝,則 是a與b同向或反向的( )
A.充分不必要條 B.必要非充分條?
C.充要條 D.不充分不必要條
二、思維激活
13.已知向量a, b, c滿足a+b+c=0,a=3, b=1, c=4.則ab+bc+ca= .?
14.已知a＝2 ，b＝ ，ab＝- ，則a、b所夾的角為 .
15.已知空間三點A、B、C坐標分別為(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，點P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，則P點坐標為 .
16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為 .
三、能力提高
17.已知線段AB在平面α內，線段AC⊥α，線段BD⊥AB，且與α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之間的距離.
18.長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AB、B1C1中點，若AB＝BC＝2，AA1＝4，試用向量法求：
(1) 的夾角的大小.
(2)直線A1E與FC所夾角的大小.
19.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、DC的中點，求證：D1F⊥平面ADE.
20.如圖所示,已知 ABCD,O是平面AC外的一點, ,求證:A1,B1,C1,D1四點共面.
空間向量及其運算習題解答
1.C 由向量共線定義知.?
2.C 設此向量為(x,y),∴ ，?∴
3.C
4.D 根據兩向量所成的角的定義知選D.
5. B 當a⊥b時，ab=0(cos 〈a, b〉=0)?
6.C a=(1,2,-2)=- b ∴a∥b.
7.C AB= =3.?
8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，?
∴k= 故a= ,b=8,∴a+b= +8=
9.B ∵a⊥b ∴1m+52-2(m+2)=0. ∴m=6.
10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).
11.C cos(ab)= =- .
12.A?若 ，則a與b同向或反向，反之不成立.
13.-13 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?
∴ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13.
14. ?cos〈a, b〉= .∴a,b所夾的角為 .
15.(-8,6,0) 由向量的數量的積求得.
16.9 S=absin〈a, b〉求得.
17.如圖，由AC⊥α，知AC⊥AB.?
過D作DD′⊥α，D′為垂足，則∠DBD′＝30°，
〈 〉＝120°，
∴CD2=
＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.
∴CD＝
點評：本題把線段轉化成向量表示，然後利用向量進行運算.
18.如圖，建立空間坐標系，則D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)
、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).
由題設可知E(2，1，0)，F(1，2，4).
(1)令 的夾角為θ，?
則cosθ＝ .
∴ 的夾角為π-arccos .
(2)∴直線A1E與FC的夾角為arccos
19.如圖所示，不妨設正方體的棱長為1，且設 ＝i， ＝j， ＝k，
以i、j、k的坐標向量建立空間直角坐標系D—xyz，
則 ＝（－1，0，0）， ＝(0, ,-1)，?
＝(-1，0，0)(0， ，-1)＝0，∴AD⊥D1F.
又 ＝(0，1， )， ＝(0， ，-1)，
∴ ＝(0，1， )(0， ，-1)＝ - ＝0.
∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A， ∴D1F⊥平面ADE.
點評：利用向量法解決立體幾何問題，首先必須建立適當的坐標系.
20.證明：∵
=2
∴A1,B1,C1,D1四點共面.