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1. 2017年高一數學隨機事件及其概率知識點

學好數學就是要掌握主要知識點，那高一數學中隨機事件的一些知識點需要同學們理解，下面是我給大家帶來的2017年高一數學隨機事件及其概率知識點，希望對你有幫助。

隨機事件及其概率知識點一

隨機事件的定義：

在隨機試驗中，可能出現也可能不出現，而在大量重復試驗中具有某種規律性的事件叫做隨機事件，隨機事件通常用大寫英文字母A、B、C等表示。

必然事件的定義：

必然會發生的事件叫做必然事件;

不可能事件：

肯定不會發生的事件叫做不可能事件;

概率的定義：

在大量進行重復試驗時，事件A發生的頻率

總是接近於某個常數，在它附近擺動。這時就把這個常數叫做事件A的概率，記作P(A)。

m，n的意義：事件A在n次試驗中發生了m次。

因0≤m≤n，所以，0≤P(A)≤1，必然事件的概率為1，不可能發生的事件的概率0。

隨機事件概率的定義：

對於給定的隨機事件A，隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率

總是接近於區間[0，1]中的某個常數，我們就把這個常數叫做事件A的概率，記作P(A)。

頻率的穩定性：

即大量重復試驗時，任何結果(事件)出現的頻率盡管是隨機的，卻“穩定”在某一個常數附近，試驗的次數越多，頻率與這個常數的偏差大的可能性越小，這一常數就成為該事件的概率;

“頻率”和“概率”這兩個概念的區別是：

頻率具有隨機性，它反映的是某一隨機事件出現的頻繁程度，它反映的是隨機事件出現的可能性;概率是一個客觀常數，它反映了隨機事件的屬性。

隨機事件及其概率知識點二

1、隨機事件的概念

在一定的條件下所出現的某種結果叫做事件。

(1)隨機事件：在一定條件下可能發生也可能不發生的事件;

(2)必然事件：在一定條件下必然要發生的事件;

(3)不可能事件：在一定條件下不可能發生的事件。

2、隨機事件的概率

事件A的概率：在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率

總接近於某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件A的概率，記作P(A)。

由定義可知0≤P(A)≤1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

3、事件間的關系

(1)互斥事件：不能同時發生的兩個事件叫做互斥事件;

(2)對立事件：不能同時發生，但必有一個發生的兩個事件叫做互斥事件;

4、事件間的運算

(1)並事件(和事件)

若某事件的發生是事件A或事件B發生，則此事件稱為事件A與事件B的並事件。

註：當A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：

P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥);且有P(A+

)=P(A)+P(

)=1。

(2)交事件(積事件)

若某事件的發生是事件A和事件B同時發生，則此事件稱為事件A與事件B的交事件。

5、古典概型

(1)古典概型的兩大特點：1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;2)每個基本事件出現的可能性相等;

(2)古典概型的概率計算公式：P(A)=

;

一次試驗連同其中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件，通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成.如果一次試驗中可能出現的結果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都相等，那麼每一基本事件的概率都是

。如果某個事件A包含的結果有m個，那麼事件A的概率P(A)=

。

6、隨機數的概念

隨機數是在一定范圍內隨機產生的數，並且得到這個范圍內任何一個數的機會是均等的。

7、隨機數的產生方法

(1)利用函數計算器可以得到0~1之間的隨機數;

(2)在Scilab語言中，應用不同的函數可產生0~1或a~b之間的隨機數。

8、幾何概型的概念

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型;

9、幾何概型的概率公式：

P(A)=

。

10、幾種常見的幾何概型

(1)設線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點.若落在線段l上的點數與線段L的長度成正比，而與線段l在線段L上的相對位置無關，則點落在線段l上的概率為：

P=l的長度/L的長度

(2)設平面區域g是平面區域G的一部分，向區域G上任投一點，若落在區域g上的點數與區域G的面積成正比，而與區域g在區域G上的相對位置無關，則點落在區域g上概率為：P=g的面積/G的面積

(3)設空間區域上v是空間區域V的一部分，向區域V上任投一點。若落在區域v上的點數與區域V的體積成正比，而與區域v在區域V上的相對位置無關，則點落在區域v上的概率為：P=v的體積/V的體積

2. 高中數學知識整個體系脈絡或框架

高考數學基礎知識匯總
第一部分 集合
（1）含n個元素的集合的子集數為2^n,真子集數為2^n－1；非空真子集的數為2^n-2；
（2） 注意：討論的時候不要遺忘了 的情況。
（3）
第二部分 函數與導數
1．映射：注意 ①第一個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。
2．函數值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判別式法 ；④利用函數單調性 ；
⑤換元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數有界性（ 、 、 等）；⑨導數法
3．復合函數的有關問題
（1）復合函數定義域求法：
① 若f(x)的定義域為〔a，b〕,則復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當於x∈[a,b]時，求g(x)的值域。
（2）復合函數單調性的判定：
①首先將原函數 分解為基本函數：內函數 與外函數 ；
②分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性；
③根據「同性則增，異性則減」來判斷原函數在其定義域內的單調性。
注意：外函數 的定義域是內函數 的值域。
4．分段函數：值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。
5．函數的奇偶性
⑴函數的定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件；
⑵ 是奇函數 ；
⑶ 是偶函數 ；
⑷奇函數 在原點有定義，則 ；
⑸在關於原點對稱的單調區間內：奇函數有相同的單調性，偶函數有相反的單調性；
（6）若所給函數的解析式較為復雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性；
6．函數的單調性
⑴單調性的定義：
① 在區間 上是增函數 當 時有 ；
② 在區間 上是減函數 當 時有 ；
⑵單調性的判定
1 定義法：
注意：一般要將式子 化為幾個因式作積或作商的形式，以利於判斷符號；
②導數法（見導數部分）；
③復合函數法（見2 （2））；
④圖像法。
註：證明單調性主要用定義法和導數法。
7．函數的周期性
(1)周期性的定義：
對定義域內的任意 ，若有 （其中 為非零常數），則稱函數 為周期函數， 為它的一個周期。
所有正周期中最小的稱為函數的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函數的周期
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；
⑶函數周期的判定
①定義法（試值） ②圖像法 ③公式法（利用（2）中結論）
⑷與周期有關的結論
① 或 的周期為 ；
② 的圖象關於點 中心對稱 周期為2 ；
③ 的圖象關於直線 軸對稱 周期為2 ；
④ 的圖象關於點 中心對稱，直線 軸對稱 周期為4 ；
8．基本初等函數的圖像與性質
⑴冪函數： （ ；⑵指數函數： ；
⑶對數函數: ；⑷正弦函數: ；
⑸餘弦函數： ；（6）正切函數： ；⑺一元二次函數： ；
⑻其它常用函數：
1 正比例函數： ；②反比例函數： ；特別的
2 函數 ；
9．二次函數：
⑴解析式：
①一般式： ；②頂點式： ， 為頂點；
③零點式： 。
⑵二次函數問題解決需考慮的因素：
①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。
⑶二次函數問題解決方法：①數形結合；②分類討論。
10．函數圖象：
⑴圖象作法 ：①描點法 （特別注意三角函數的五點作圖）②圖象變換法③導數法
⑵圖象變換：
1 平移變換：ⅰ ，2 ———「正左負右」
ⅱ ———「正上負下」；
3 伸縮變換：
ⅰ ， （ ———縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的 倍；
ⅱ ， （ ———橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的 倍；
4 對稱變換：ⅰ ；ⅱ ；
ⅲ ； ⅳ ；
5 翻轉變換：
ⅰ ———右不動，右向左翻（ 在 左側圖象去掉）；
ⅱ ———上不動，下向上翻（| |在 下面無圖象）；
11．函數圖象（曲線）對稱性的證明
(1)證明函數 圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；
（2）證明函數 與 圖象的對稱性，即證明 圖象上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點在 的圖象上，反之亦然；
註：
①曲線C1:f(x,y)=0關於點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲線C1:f(x,y)=0關於直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2a－x, y)=0;
③曲線C1：f(x,y)=0,關於y=x+a(或y=－x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);
④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） y=f(x)圖像關於直線x= 對稱；
特別地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） y=f(x)圖像關於直線x=a對稱；
⑤函數y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關於直線x= 對稱；
12．函數零點的求法：
⑴直接法（求 的根）；⑵圖象法；⑶二分法.
13．導數
⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作 ；
⑵常見函數的導數公式: ① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；
⑧ 。
⑶導數的四則運演算法則：
⑷（理科）復合函數的導數：
⑸導數的應用：
①利用導數求切線：注意：ⅰ所給點是切點嗎？ⅱ所求的是「在」還是「過」該點的切線？
②利用導數判斷函數單調性：
ⅰ 是增函數；ⅱ 為減函數；
ⅲ 為常數；
③利用導數求極值：ⅰ求導數 ；ⅱ求方程 的根；ⅲ列表得極值。
④利用導數最大值與最小值：ⅰ求的極值；ⅱ求區間端點值（如果有）；ⅲ得最值。
14．（理科）定積分
⑴定積分的定義：
⑵定積分的性質：① （ 常數）；
② ；
③ （其中 。
⑶微積分基本定理（牛頓—萊布尼茲公式）：
⑷定積分的應用：①求曲邊梯形的面積： ；
3 求變速直線運動的路程： ；③求變力做功： 。
第三部分 三角函數、三角恆等變換與解三角形
1．⑴角度制與弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
⑵弧長公式： ；扇形面積公式： 。
2．三角函數定義：角 中邊上任意一點 為 ，設 則：

3．三角函數符號規律：一全正，二正弦，三兩切，四餘弦；
4．誘導公式記憶規律：「函數名不（改）變，符號看象限」；
5．⑴ 對稱軸： ；對稱中心： ；
⑵ 對稱軸： ；對稱中心： ；
6．同角三角函數的基本關系： ；

7．兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式：①

② ③ 。

8．二倍角公式：① ；
② ；③ 。

9．正、餘弦定理：
⑴正弦定理： （ 是 外接圓直徑 ）
註：① ；② ；③ 。
⑵餘弦定理： 等三個；註： 等三個。
10。幾個公式:
⑴三角形面積公式： ；
⑵內切圓半徑r= ；外接圓直徑2R=
11．已知 時三角形解的個數的判定：

第四部分 立體幾何
1．三視圖與直觀圖：註：原圖形與直觀圖面積之比為 。
2．表（側）面積與體積公式：
⑴柱體：①表面積：S=S側+2S底；②側面積：S側= ；③體積：V=S底h
⑵錐體：①表面積：S=S側+S底；②側面積：S側= ；③體積：V= S底h：
⑶台體：①表面積：S=S側+S上底S下底；②側面積：S側= ；③體積：V= （S+ ）h；
⑷球體：①表面積：S= ；②體積：V= 。
3．位置關系的證明（主要方法）：
⑴直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質定理；③面面平行的性質定理。
⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行 線面平行。
⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直於同一直線的兩平面平行。
⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質定理。
⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。
註：理科還可用向量法。
4.求角：（步驟-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴異面直線所成角的求法：
1 平移法：平移直線，2 構造三角形；
3 ②補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，4 發現兩條異面直線間的關系。
註：理科還可用向量法，轉化為兩直線方向向量的夾角。
⑵直線與平面所成的角：
①直接法（利用線面角定義）；②先求斜線上的點到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin 。
註：理科還可用向量法，轉化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。
⑶二面角的求法：
①定義法：在二面角的棱上取一點（特殊點），作出平面角，再求解；
②三垂線法：由一個半面內一點作（或找）到另一個半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；
③射影法：利用面積射影公式： ,其中 為平面角的大小；
註：對於沒有給出棱的二面角，應先作出棱，然後再選用上述方法；
理科還可用向量法，轉化為兩個班平面法向量的夾角。
5.求距離：（步驟-------Ⅰ。找或作垂線段；Ⅱ。求距離）
⑴兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進行計算；
⑵點到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解；
⑶點到平面的距離：
①垂面法：藉助面面垂直的性質作垂線段（確定已知面的垂面是關鍵），再求解；
5 等體積法；
理科還可用向量法： 。
⑷球面距離：（步驟）
（Ⅰ）求線段AB的長；（Ⅱ）求球心角∠AOB的弧度數；(Ⅲ)求劣弧AB的長。
6．結論：
⑴從一點O出發的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；
⑵立平斜公式(最小角定理公式)：
⑶正棱錐的各側面與底面所成的角相等，記為 ，則S側cos =S底；
⑷長方體的性質
①長方體體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為 則：cos2 +cos2 +cos2 =1；sin2 +sin2 +sin2 =2 。
②長方體體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為 則有cos2 +cos2 +cos2 =2；sin2 +sin2 +sin2 =1 。
⑸正四面體的性質：設棱長為 ，則正四面體的：
1 高： ；②對棱間距離： ；③相鄰兩面所成角餘弦值： ；④內切2 球半徑： ；外接球半徑： ；
第五部分 直線與圓
1．直線方程
⑴點斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ；
⑷兩點式： ；⑸一般式： ，（A，B不全為0）。
（直線的方向向量：（ ，法向量（
2．求解線性規劃問題的步驟是：
（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標函數；（3）確定目標函數的最優解。
3．兩條直線的位置關系：

4．直線系

5．幾個公式
⑴設A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（ ）；
⑵點P（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離： ；
⑶兩條平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是 ；
6．圓的方程：
⑴標准方程：① ；② 。
⑵一般方程： （
註：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓 A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；
7．圓的方程的求法：⑴待定系數法；⑵幾何法；⑶圓系法。
8．圓系：
⑴ ；
註：當 時表示兩圓交線。
⑵ 。
9．點、直線與圓的位置關系：（主要掌握幾何法）
⑴點與圓的位置關系：（ 表示點到圓心的距離）
① 點在圓上；② 點在圓內；③ 點在圓外。
⑵直線與圓的位置關系：（ 表示圓心到直線的距離）
① 相切；② 相交；③ 相離。
⑶圓與圓的位置關系：（ 表示圓心距， 表示兩圓半徑，且 ）
① 相離；② 外切；③ 相交；
④ 內切；⑤ 內含。
10．與圓有關的結論：
⑴過圓x2+y2=r2上的點M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2；
過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；
⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。
第六部分 圓錐曲線
1．定義：⑴橢圓： ；
⑵雙曲線： ；⑶拋物線：略
2．結論
⑴焦半徑：①橢圓： （e為離心率）； （左「+」右「-」）；
②拋物線：
⑵弦長公式：
；
註：（Ⅰ）焦點弦長：①橢圓： ；②拋物線： ＝x1+x2+p= ；（Ⅱ）通徑（最短弦）：①橢圓、雙曲線： ；②拋物線：2p。
⑶過兩點的橢圓、雙曲線標准方程可設為： （ 同時大於0時表示橢圓， 時表示雙曲線）；
⑷橢圓中的結論：
①內接矩形最大面積 ：2ab；
②P，Q為橢圓上任意兩點，且OP 0Q，則 ；
③橢圓焦點三角形：<Ⅰ>． ，（ ）；<Ⅱ>．點 是 內心， 交 於點 ，則 ；
④當點 與橢圓短軸頂點重合時 最大；
⑸雙曲線中的結論：
①雙曲線 （a>0,b>0）的漸近線： ；
②共漸進線 的雙曲線標准方程為 為參數， ≠0）；
③雙曲線焦點三角形：<Ⅰ>． ，（ ）；<Ⅱ>．P是雙曲線 － =1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一點，F1、F2分別為左、右焦點，則△PF1F2的內切圓的圓心橫坐標為 ；
④雙曲線為等軸雙曲線 漸近線為 漸近線互相垂直；
（6）拋物線中的結論：
①拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦AB性質：<Ⅰ>． x1x2= ；y1y2=－p2；
<Ⅱ>． ；<Ⅲ>．以AB為直徑的圓與准線相切；<Ⅳ>．以AF（或BF）為直徑的圓與 軸相切；<Ⅴ>． 。
②拋物線y2=2px(p>0)內結直角三角形OAB的性質：
<Ⅰ>． ； <Ⅱ>． 恆過定點 ；
<Ⅲ>． 中點軌跡方程： ；<Ⅳ>． ，則 軌跡方程為： ；<Ⅴ>． 。
③拋物線y2=2px(p>0)，對稱軸上一定點 ，則：
<Ⅰ>．當 時，頂點到點A距離最小，最小值為 ；<Ⅱ>．當 時，拋物線上有關於 軸對稱的兩點到點A距離最小，最小值為 。
3．直線與圓錐曲線問題解法：
⑴直接法（通法）：聯立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解。
注意以下問題：
①聯立的關於「 」還是關於「 」的一元二次方程？
②直線斜率不存在時考慮了嗎？
③判別式驗證了嗎？
⑵設而不求（代點相減法）：--------處理弦中點問題
步驟如下：①設點A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得 ；③解決問題。
4．求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相關點法或轉移法）；⑷待定系數法；（5）參數法；（6）交軌法。
第七部分 平面向量
⑴設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則： ① a‖b(b≠0) a= b （ x1y2－x2y1=0；
② a⊥b(a、b≠0) a•b=0 x1x2+y1y2=0 .
⑵a•b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2；
註：①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；
6 a•b的幾何意義：a•b等於|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘積。
⑶cos<a,b>= ；
⑷三點共線的充要條件：P，A，B三點共線 ；
附：（理科）P，A，B，C四點共面 。
第八部分 數列
1．定義：
⑴等差數列 ；
⑵等比數列
；
2．等差、等比數列性質
等差數列 等比數列
通項公式
前n項和
性質 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q時am+an=ap+aq ②m+n=p+q時aman=apaq
③ 成AP ③ 成GP
④ 成AP, ④ 成GP,
等差數列特有性質：
1 項數為2n時：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)； ； ；
2 項數為2n-1時：S2n-1=(2n-1) ； ； ；
3 若 ；若 ；
若 。
3．數列通項的求法：
⑴分析法；⑵定義法（利用AP,GP的定義）；⑶公式法：累加法（ ；
⑷疊乘法（ 型）；⑸構造法（ 型）；（6）迭代法；
⑺間接法（例如： ）；⑻作商法（ 型）；⑼待定系數法；⑽（理科）數學歸納法。
註：當遇到 時，要分奇數項偶數項討論，結果是分段形式。
4．前 項和的求法：
⑴拆、並、裂項法；⑵倒序相加法；⑶錯位相減法。
5．等差數列前n項和最值的求法：
⑴ ；⑵利用二次函數的圖象與性質。
第九部分 不等式
1．均值不等式：
注意：①一正二定三相等；②變形， 。
2．絕對值不等式：
3．不等式的性質：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；
；⑷ ； ；
；⑸ ；（6）
。
4．不等式等證明（主要）方法：
⑴比較法：作差或作比；⑵綜合法；⑶分析法。
第十部分 復數
1．概念：
⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0；
⑵z=a+bi是虛數 b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi是純虛數 a=0且b≠0(a,b∈R) z＋ ＝0（z≠0） z2<0；
⑷a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．復數的代數形式及其運算：設z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，則：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)•(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;
3．幾個重要的結論：
；⑶ ；⑷
⑸ 性質：T=4； ；
（6） 以3為周期，且 ； =0；
（7） 。
4．運算律：（1）
5．共軛的性質：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。
6．模的性質：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；
第十一部分 概率
1．事件的關系：
⑴事件B包含事件A：事件A發生，事件B一定發生，記作 ；
⑵事件A與事件B相等：若 ，則事件A與B相等，記作A=B；
⑶並（和）事件：某事件發生，當且僅當事件A發生或B發生，記作 （或 ）；
⑷並（積）事件：某事件發生，當且僅當事件A發生且B發生，記作 （或 ） ；
⑸事件A與事件B互斥：若 為不可能事件（ ），則事件A與互斥；
（6）對立事件： 為不可能事件， 為必然事件，則A與B互為對立事件。
2．概率公式：
⑴互斥事件（有一個發生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型： ；
⑶幾何概型： ；

第十二部分 統計與統計案例
1．抽樣方法
⑴簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體的個數為N，通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本，且每個個體被抽到的機會相等，就稱這種抽樣為簡單隨機抽樣。
註：①每個個體被抽到的概率為 ；
②常用的簡單隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數法。
⑵系統抽樣：當總體個數較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然後按照預先制定的
規則，從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統抽樣。
註：步驟：①編號；②分段；③在第一段採用簡單隨機抽樣方法確定其時個體編號 ；
④按預先制定的規則抽取樣本。
⑶分層抽樣：當已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然後按照各部分佔總體的比例進行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。
註：每個部分所抽取的樣本個體數=該部分個體數
2．總體特徵數的估計：
⑴樣本平均數 ；
⑵樣本方差 ；
⑶樣本標准差 = ；
3．相關系數（判定兩個變數線性相關性）：
註：⑴ >0時，變數 正相關； <0時，變數 負相關；
⑵① 越接近於1，兩個變數的線性相關性越強；② 接近於0時，兩個變數之間幾乎不存在線性相關關系。
4．回歸分析中回歸效果的判定：
⑴總偏差平方和： ⑵殘差： ；⑶殘差平方和： ；⑷回歸平方和： － ；⑸相關指數 。
註：① 得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好；
② 越接近於1，，則回歸效果越好。
5．獨立性檢驗（分類變數關系）：
隨機變數 越大，說明兩個分類變數，關系越強，反之，越弱。
第十四部分 常用邏輯用語與推理證明
1． 四種命題：
⑴原命題：若p則q； ⑵逆命題：若q則p；
⑶否命題：若 p則 q；⑷逆否命題：若 q則 p
註：原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。
2．充要條件的判斷：
（1）定義法----正、反方向推理；
（2）利用集合間的包含關系：例如：若 ，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；
3．邏輯連接詞：
⑴且(and) ：命題形式 p q； p q p q p q p
⑵或（or）：命題形式 p q； 真 真 真 真 假
⑶非（not）：命題形式 p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4．全稱量詞與存在量詞
⑴全稱量詞-------「所有的」、「任意一個」等，用 表示；
全稱命題p： ；
全稱命題p的否定 p： 。
⑵存在量詞--------「存在一個」、「至少有一個」等，用 表示；
特稱命題p： ；
特稱命題p的否定 p： ；
第十五部分 推理與證明
1．推理：
⑴合情推理：歸納推理和類比推理都是根據已有事實，經過觀察、分析、比較、聯想，在進行歸納、類比，然後提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。
①歸納推理：由某類食物的部分對象具有某些特徵，推出該類事物的全部對象都具有這些特徵的推理，或者有個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。
註：歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。
②類比推理：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特徵，推出另一類對象也具有這些特徵的推理，稱為類比推理，簡稱類比。
註：類比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演繹推理：從一般的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理叫演繹推理。
註：演繹推理是由一般到特殊的推理。
「三段論」是演繹推理的一般模式，包括：
⑴大前提---------已知的一般結論；
⑵小前提---------所研究的特殊情況；
⑶結 論---------根據一般原理，對特殊情況得出的判斷。
二．證明
⒈直接證明
⑴綜合法
一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因導果法。
⑵分析法
一般地，從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執果索因法。
2．間接證明------反證法
一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。
附：數學歸納法（僅限理科）
一般的證明一個與正整數 有關的一個命題，可按以下步驟進行：
⑴證明當 取第一個值 是命題成立；
⑵假設當 命題成立，證明當 時命題也成立。
那麼由⑴⑵就可以判定命題對從 開始所有的正整數都成立。
這種證明方法叫數學歸納法。
註：①數學歸納法的兩個步驟缺一不可，用數學歸納法證明問題時必須嚴格按步驟進行；
3 的取值視題目而4 定，5 可能是1，6 也可能是2等。
第十六部分 理科選修部分
1． 排列、組合和二項式定理
⑴排列數公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)= (m≤n,m、n∈N*),當m=n時為全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;
⑵組合數公式： （m≤n）, ；
⑶組合數性質： ；
⑷二項式定理：
①通項： ②注意二項式系數與系數的區別；
⑸二項式系數的性質：
①與首末兩端等距離的二項式系數相等；②若n為偶數，中間一項（第 ＋1項）二項式系數最大；若n為奇數，中間兩項（第 和 ＋1項）二項式系數最大；
③
(6)求二項展開式各項系數和或奇（偶）數項系數和時，注意運用賦值法。
2. 概率與統計
⑴隨機變數的分布列：
①隨機變數分布列的性質：pi≥0,i=1,2,…； p1+p2+…=1;
②離散型隨機變數：
X x1 X2 … xn …
P P1 P2 … Pn …
期望：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;
方差：DX＝ ;
註： ；
③兩點分布：
X 0 1 期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).
P 1－p p

4 超幾何分布：
一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則 其中， 。
稱分布列

X 0 1 … m
P …
為超幾何分布列， 稱X服從超幾何分布。
⑤二項分布（獨立重復試驗）：
若X～B（n,p）,則EX＝np, DX＝np（1- p）;註： 。
⑵條件概率：稱 為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率。
註：①0 P（B|A） 1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶獨立事件同時發生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正態總體的概率密度函數： 式中 是參數，分別表示總體的平均數（期望值）與標准差；
（6）正態曲線的性質：
①曲線位於x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，關於直線x＝ 對稱；
③曲線在x＝ 處達到峰值 ；④曲線與x軸之間的面積為1；
5 當 一定時，6 曲線隨 質的變化沿x軸平移；
7 當 一定時，8 曲線形狀由 確定： 越大，9 曲線越「矮胖」，10 表示總體分布越集中；
越小，曲線越「高瘦」，表示總體分布越分散。
註：P =0.6826；P =0.9544
P =0.9974

3. 高中數學概率部分包括哪些知識點

（一）基礎知識梳理：
1.事件的概念：
（1）事件：在一次試驗中出現的試驗結果，叫做事件。一般用大寫字母A，B，C，„表示。
（2）必然事件：在一定條件下，一定會發生的事件。 （3）不可能事件：在一定條件下，一定不會發生的事件 （4）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為確定事件。
（5）隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件。 2.隨機事件的概率：
（1）頻數與頻率：在相同的條件下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試
驗中事件A出現的次數An為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例n
n
AfAn)(為事件A
出現的頻率。
（2）概率：在相同的條件下，大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率會在某個常數附近擺動，即隨機事件A發生的頻率具有穩定性。我們把這個常數叫做隨機事件A的概率，記作)(AP。
3.概率的性質：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，隨機事件的概率為
0()1PA，必然事件和不可能事件看作隨機事件的兩個極端情形
4.事件的和的意義: 事件A、B的和記作A+B，表示事件A和事件B至少有一個發生。 5.互斥事件: 在隨機試驗中，把一次試驗下不能同時發生的兩個事件叫做互斥事件。 當A、B為互斥事件時，事件A+B是由「A發生而B不發生」以及「B發生而A不發生」構成的， 因此當A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)（A、B互斥）. 一般地：如果事件12,,,nAAA中的任何兩個都是互斥的，那麼就說事件12,,,nAAA彼此互斥如果事件12,,,nAAA彼此互斥，那麼12()nPAAA＝
12()()()nPAPAPA。
6．對立事件: 事件A和事件B必有一個發生的互斥事件. A、B對立，即事件A、B不可能同時發生，但A、B中必然有一個發生 這時P(A+B)=P(A)+P(B)＝1 即P(A+A)=P(A)+P(A)=1
當計算事件A的概率P（A）比較困難時，有時計算它的對立事件A的概率則要容易些，為此有P（A）=1－P（A）
7. 事件與集合：從集合角度來看，A、B兩個事件互斥，則表示A、B這兩個事件所含結果組成的集合的交集是空集. 事件A的對立事件A所含結果的集合正是全集U中由事件A所含結果組成集合的補集，即A∪A=U，A∩A=對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件
（二）典型例題分析：
例1．將一枚均勻的硬幣向上拋擲10次，其中正面向上恰有5次是( ) A．必然事件 B．隨機事件 C．不可能事件 D．無法確定
例2．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那麼互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有1個白球，都是白球 B．至少有1個白球，至少有1個紅球 C．恰有1個白球，恰有2個白球 D．至少有1個白球，都是紅球
例3．甲、乙兩名圍棋選手在一次比賽中對局，分析甲勝的概率比乙勝的概率高5％，和

2
棋的概率為59％，則乙勝的概率為_____________．
例4．如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取1張，那麼抽到紅心（事件A）的概率為________，取到方片（事件B）的概率是 _______．取到紅色牌（事件C）的概率是_______,取到黑色牌（事件D）的概率是________.

4. 高中數學統計知識點

統計是一種數學方法，可以將數據做一定的處理，然後歸納，最後將結果清晰的呈現在人們面前。下面是我為你整理的高中數學統計知識點，一起來看看吧。

高中數學統計知識點：統計

1.1.1簡單隨機抽樣

1.總體和樣本

在統計學中 , 把研究對象的全體叫做總體.

把每個研究對象叫做個體.

把總體中個體的總數叫做總體容量.

為了研究總體 x 的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：x₁，x₂……，xn 研究，我們稱它為樣本.其中個體的個數稱為樣本容量.

2.簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨 機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才採用這種方法。

3.簡單隨機抽樣常用的方法：

(1)抽簽法;⑵隨機數表法;⑶計算機模擬法;⑷使用統計軟體直接抽取。在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況;②允許誤差范圍;③概率保證程度。

4.抽簽法:

(1)給調查對象群體中的每一個對象編號

(2)准備抽簽的工具，實施抽簽

(3)對樣本中的每一個個體進行測量或調查

例：請調查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。

5.隨機數表法：

例：利用隨機數表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。

1.1.2系統抽樣

1.系統抽樣(等距抽樣或機械抽樣)：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然後按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本採用簡單隨機抽樣的辦法抽取。

K(抽樣距離)=N(總體規模)/n(樣本規模)

前提條件：總體中個體的排列對於研究的變數來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變數相關的規則分布。可以在調查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環性規律，且這種循環和抽樣距離重合。

2.系統抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助變數可供使用，總體單元按輔助變數的大小順序排隊的話，使用系統抽樣可以大大提高估計精度。

1.1.3分層抽樣

1.分層抽樣(類型抽樣)：

先將總體中的所有單位按照某種特徵或標志(性別、年齡等)劃分成若干類型或層次，然後再在各個類型或層次中採用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最後，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。

兩種方法：

1.先以分層變數將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

2.先以分層變數將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最後用系統抽樣的方法抽取樣本。

2.分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標准：

(1)以調查所要分析和研究的主要變數或相關的變數作為分層的標准。

(2)以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變數作為分層變數。

(3)以那些有明顯分層區分的變數作為分層變數。

3.分層的比例問題：

(1)按比例分層抽樣：根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比重來抽取子樣本的方法。

(2)不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時採用該方法，主要是便於對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數據資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數據恢復到總體中各層實際的比例結構。

高中數學統計知識點：概率

2.1.1—2.1.2隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

(1)必然事件：在條件S下，一定會發生的事件，叫相對於條件S的必然事件;

(2)不可能事件：在條件S下，一定不會發生的事件，叫相對於條件S的不可能事件;

(3)確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對於條件S的確定事件; (4)隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對於條件S的隨機事件;

(5)頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數;稱事件A出現的比例為事件A出現的概率：對於給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作P(A)，稱為事件A的概率。

(6)頻率與概率的區別與聯系：隨機事件的頻率，指此事件發生的次數nA與試驗總次數n的比值，它具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

2.1.3概率的基本性質

1、基本概念：

(1)事件的包含、並事件、交事件、相等事件

(2)若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那麼稱事件A與事件B互斥;

(3)若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那麼稱事件A與事件B互為對立事件;

(4)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，於是有P(A)=1—P(B)

2、概率的基本性質：

1)必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1;

2)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B);

3)若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，於是有P(A)=1—P(B);

4)互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生，其具體包括三種不同的情形：(1)事件A發生且事件B不發生;(2)事件A不發生且事件B發生;(3)事件A與事件B同時不發生，而對立事件是指事件A 與事件B有且僅有一個發生，其包括兩種情形：(1)事件A發生B不發生;(2)事件B發生事件A不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。

高中數學統計知識點

1、科學記數法：把一個數字寫成的形式的記數方法。

2、統計圖：形象地表示收集到的數據的圖。

3、扇形統計圖：用圓和扇形來表示總體和部分的關系，扇形大小反映部分佔總體的百分比的大小;在扇形統計圖中，每個部分佔總體的百分比等於該部分對應的扇形圓心角與360°的比。

4、條形統計圖：清楚地表示出每個項目的具體數目。

5、折線統計圖：清楚地反映事物的變化情況。

6、確定事件包括：肯定會發生的必然事件和一定不會發生的不可能事件。

7、不確定事件：可能發生也可能不發生的事件;不確定事件發生的可能性大小不同;不確定。

8、事件的概率：可用事件結果除以所以可能結果求得理論概率。

9、有效數字：對於一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到精確到的數位為止的數字。

10、游戲雙方公平：雙方獲勝的可能性相同。

11、算數平均數：簡稱“平均數”，最常用，受極端值得影響較大;加權平均數12、中位數：數據按大小排列，處於中間位置的數，計算簡單，受極端值得影響較小。

13、眾數：一組數據中出現次數最多的數據，受極端值得影響較小，跟其他數據關系不大。

14、平均數、眾數、中位數都是數據的代表，刻畫了一組數據的“平均水平”。

15、普查：為了一定目的對考察對象進行全面調查;考察對象全體叫總體，每個考察對象叫個體。

16、抽樣調查：從總體中抽取部分個體進行調查;從總體中抽出的一部分個體叫樣本(有代表性)。

17、隨機調查：按機會均等的原則進行調查，總體中每個個體被調查的概率相同。

18、頻數：每次對象出現的次數。

19、頻率：每次對象出現的次數與總次數的比值

20、級差：一組數據中最大數據與最小數據的差，刻畫數據的離散程度

21、方差：各個數據與平均數之差的平方的平均數，刻畫數據的離散程度

22、方差計算公式

23、標准方差：方差的算數平方根刻畫數據的離散程度。

24、一組數據的級差、方差、標准方差越小，這組數據就越穩定。

25、利用樹狀圖或表格方便求出某事件發生的概率。

5. 高中數學概率計演算法則

高中數學概率計演算法則

概率統計

【考點透視】

1．了解隨機事件的發生存在著規律性和隨機事件概率的意義．

2．了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率.

3．了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率．

4．會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率． 5． 掌握離散型隨機變數的分布列. 6．掌握離散型隨機變數的期望與方差. 7．掌握抽樣方法與總體分布的估計. 8．掌握正態分布與線性回歸. 【例題解析】

考點1. 求等可能性事件、互斥事件和相互獨立事件的概率 解此類題目常應用以下知識:

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝card(A)/card(I)＝m/n;

等可能事件概率的計算步驟：

① 計算一次試驗的基本事件總數n;

② 設所求事件A，並計算事件A包含的基本事件的個數m; ③ 依公式P(A)=m/n求值;

④ 答，即給問題一個明確的答復.

(2)互斥事件有一個發生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：對立事件的概率：P(A)＋P(A̅)＝P(A＋A̅)＝1. (3)相互獨立事件同時發生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);