❶ 高中數學平面向量的數量積教案設計
講授新課前，做一份完美的教案，能夠更大程度的調動學生在上課時的積極性。接下來是我為大家整理的高中數學平面向量的數量積教案設計，希望大家喜歡!
高中數學平面向量的數量積教案設計一
《平面向量數量積》教學設計
案例名稱 平面向量數量積的設計 主備人 組員 課時 3課時 一、教材內容分析 平面向量數量積是人教版高一下冊第五章第六節內容，本節課是以解決某些幾何問題、物理問題等的重肆腔要工具。學習本節要掌握好數量積的定義、公式和性質，它是考查數學能力的一個結合點，可以構建向量模型，解決函數、三角、數列、不等式、解析幾何、立體幾何中有關長度、角度、垂直、平行等問題，因此是高考命題中「在知識網路處設計命題」的重要載體。 二、教學目標(知識，技能，情感態度、價值觀) (一)知識與技能目標
1、知道平面向量數量積的定義的產生過程，掌握其定義，了解其幾何意義;
2、能夠由定義探究平面向量數量積的重要性質;
3、能運用數量積表示兩個向量的夾角，會鏈岩用數量積判斷兩個平面向量的垂直、共線關系
(二)過程與 方法 目標
(1)通過物理學中同學們已經學習過的功的概念引導學生探究出數量積的定義並由定義探究性質;
(2)由功的物理意義導出數量積的幾何意義;
(三)情感、態度與價值觀目標
通過本節的自主性學習，讓學生嘗試數學研究的過程，培養學生發現、提出、解決數學問題的能力，有助於發展學生的創新意識。
三、學習者特徵分析 學生已經學習了有關向量的基本概念和基礎知識，同時也已經具備一定的自學能力，多數同學對數學的學習有相當的興趣和積極性。但在探究問題的能力、合作交流的意識等方面發展不夠均衡，尚有待加強。 四、教學策略選擇與設計 教法：觀察法、討論法、比較法、歸納法、啟發引導法。
學法：自主探究、合作交流、歸納 總結 。
教師與學生互動：學生自主探究，教師引導點撥。 五、教學環境及資源准備 三角尺 六、教學過程 教學過程裂喚衫 教師活動 學生活動 設計意圖及資源准備
創設情景引入新課
問題1 在物理學中，我們學過功的概念，如果給出力的大小和位移的大小能否求出功的大小? 師】：提出學生已學過的問題設置疑問，激發學生興趣。
【生】：W=FS cos 讓學生復習已學過的物理知識激發學生興趣，並能夠分析此公式的形式。 問題2 在上述公式中的 角是誰與誰的夾角?兩向量的夾角是如何定義的? 【師】：提問 角從而引出兩向量夾角的定義。
【生】：指出 角是力與所發生的位移的夾角 能夠通過物理學中功的概念及公式中夾角的定義，從而給出兩向量夾角的定義。
師生互動探索新知
1 引出兩個向量的夾角的定義
定義：向量夾角的定義：設兩個非零向量a=OA與b=OB，稱∠AOB= 為向量a與b的夾角， (00≤θ≤1800)。
(此概念可由老師用定義的方式向學生直接接示)
【師】：給出任意兩個向量由學生作出夾角並通過作圖引導學生歸納、總結出兩向量夾角的特徵及各種特殊情況。
【生】：學生作圖，任意兩向量的夾角包括垂直，同向及反向的情況。
註：(1)當非零向量a與b同方向時，θ=00
(2)當a與b反方向時θ=1800 (共線或平行時)
(3)0與 其它 非零向量不談夾角問題
(4)a⊥b時θ=900
(5)求兩向量夾角須將兩個向量平移至公共起點
實際應用鞏固新知
1 實際問題我能行
例1 在三角形ABC中，∠ABC=450，BA 與 BC 夾角是多少?BA 與 CB 夾角呢? 【生】：以四人為小組合作、交流。
高中數學平面向量的數量積教案設計二
一、總體設想：
本節課的設計有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數量積的概念和幾何意義;二是圍繞數量積的概念通過變形和限定衍生出新知識――垂直的判斷、求夾角和線段長度的公式。教學方案可從三方面加以設計：一是數量積的概念;二是幾何意義和運算律;三是兩個向量的模與夾角的計算。
二、教學目標：
1.了解向量的數量積的抽象根源。
2.了解平面的數量積的概念、向量的夾角
3.數量積與向量投影的關系及數量積的幾何意義
4.理解掌握向量的數量積的性質和運算律，並能進行相關的判斷和計算
三、重、難點：
【重點】1.平面向量數量積的概念和性質
2.平面向量數量積的運算律的探究和應用
【難點】平面向量數量積的應用
課時安排：
2課時
五、教學方案及其設計意圖：
1.平面向量數量積的物理背景
平面向量的數量積，其源自對受力物體在其運動方向上做功等物理問題的抽象。首先說明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移是s，此問題中出現了兩個矢量，即數學中所謂的向量，這時物體力F的所做的功為W ，這里的(是矢量F和s的夾角，也即是兩個向量夾角的定義基礎，在定義兩個向量的夾角時，要使學生明確「把向量的起點放在同一點上」這一重要條件，並理解向量夾角的范圍。這給我們一個啟示：功是否是兩個向量某種運算的結果呢?以此為基礎引出了兩非零向量a， b的數量積的概念。
平面向量數量積(內積)的定義
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cos(叫a與b的數量積，記作a(b，即有a(b = |a||b|cos(，(0≤θ≤π).
並規定0與任何向量的數量積為0.
零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的，按數量積的定義a(b = |a||b|cos(無法得到，因此另外進行了規定。
3. 兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量a與b，作 =a， =b，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a與b的夾角.
， 是記法， 是定義的實質――它是一個實數。按照推理，當 時，數量積為正數;當 時，數量積為零;當 時，數量積為負。
4.「投影」的概念
定義：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一個數量，它的符號取決於角(的大小。當(為銳角時投影為正值;當(為鈍角時投影為負值;當(為直角時投影為0;當( = 0(時投影為 |b|;當( = 180(時投影為 (|b|. 因此投影可正、可負，還可為零。
根據數量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫成
注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應結合圖形加以區分。
5.向量的數量積的幾何意義：
數量積a(b等於a的長度與b在a方向上投影|b|cos(的乘積.
向量數量積的幾何意義在證明分配律方向起著關鍵性的作用。其幾何意義實質上是將乘積拆成兩部分： 。此概念也以物體做功為基礎給出。 是向量b在a的方向上的投影。
6.兩個向量的數量積的性質：
設a、b為兩個非零向量，則
(1) a(b ( a(b = 0;
(2)當a與b同向時，a(b = |a||b|;當a與b反向時，a(b = (|a||b|. 特別的a(a = |a|2或
(3)|a(b| ≤ |a||b|
(4) ，其中 為非零向量a和b的夾角。
例1. (1) 已知向量a ，b，滿足 ，a與b的夾角為 ，則b在a上的投影為______
(2)若 ， ，則a在b方向上投影為 _______
例2. 已知 ， ，按下列條件求
高中數學平面向量的數量積教案設計三
教材分析：
教科書以物體受力做功為背景，引出向量數量積的概念，功是一個標量，它用力和位移兩個向量來定義，反應在數學上就是向量的數量積。
向量的數量積是過去學習中沒有遇到過的一種新的乘法，與數的乘法既有區別又有聯系。教科書通過「探究」，要求學生自己利用向量的數量積定義推導有關結論。這些結論可以看成是定義的直接推論。
教材例一是對數量積含義的直接應用。
學情分析：
前面已經學習了向量的概念及向量的線性運算，這里引入一種新的向量運算——向量的數量積，教科書以物體受力做功為背景引入向量數量積的概念，既使向量數量積運算與學生已有知識建立了聯系，又使學生看到數量積與向量模的大小有及夾角有關，同時與前面的向量運算不同，其計算結果不是向量而是數量。
三維目標：
(一)知識與技能
1、學生通過物理中「功」等實例，認識理解平面向量數量積的含義及其物理意義，體會平面向量數量積與向量投影的關系。
2、學生通過平面向量數量積的3個重要性質的探究，體會類比與歸納、對比與辨析等數學方法，正確熟練的應用平面向量數量積的定義、性質進行運算。
(二)過程與方法
1、學生經歷由實例到抽象到抽象的的數學定義的形成過程，性質的發現過程，進一步感悟數學的本質。
(三)情感態度價值觀
1、學生通過本課學習體會特殊到一般，一般到特殊的數學研究思想。
2、通過問題的解決，培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的實際操作能力;培養學生的交流意識、合作精神;培養學生敘述表達自己解題思路和探索問題的能力.
四、教學重難點：
1、重點：平面向量數量積的概念、性質的發現論證;
2、難點：平面向量數量積、向量投影的理解;
五、教具准備：多媒體、三角板
六、課時安排：1課時
七、教學過程：
(一)創設問題情景，引出新課
問題：請同學們回顧一下，我們已經研究了向量的哪些運算?這些運算的結果是什麼?
新課引入：本節課我們來研究學習向量的另外一種運算：平面向量的數量積的物理背景及其含義
新課：
1、探究一：數量積的概念
展示物理背景：視頻「力士拉車」，從視頻中抽象出下面的物理模型
背景的第一次分析：
問題：真正使汽車前進的力是什麼?它的大小是多少?
答：實際上是力 在位移方向上的分力，即 ，在數學中我們給它一個名字叫投影。
「投影」的概念：作圖
定義：| |cos(叫做向量 在 方向上的投影.投影也是一個數量，不是向量;
2、背景的第二次分析：
問題：你能用文字語言表述「功的計算公式」嗎?
分析： 用文字語言表示即：力對物體所做的功，等於力的大小、位移的大小、力與位移夾角的餘弦這三者的乘積;功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定。這給我們一種啟示，能否把「功」看成是這兩個向量的一種運算結果呢?
平面向量數量積(內積)的定義：已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數量| || | 叫 與 的數量積，記作 · ，即有 · = | || | (0≤θ≤π).並規定 與任何向量的數量積為0.
註：兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos 的符號所決定.
3、向量的數量積的幾何意義：
數量積 · 等於 的長度與 在 方向上投影| |cos(的乘積.
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