『壹』 高一數學必修5的知識總結
我就先說說數列的吧：
1.等差數列的基本性質
⑴公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d．
⑵公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd．
⑶若{ a }、{ b }為等差數列，則{ a ±b }與{ka ＋b}(k、b為非零常數)也是等差數列．
⑷對任何m、n ，在等差數列{ a }中有：a = a + (n－m)d，特別地，當m = 1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數，且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數個數相等），那麼當{a }為等差數列時，有：a + a + a + … = a + a + a + … ．
⑹公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd( k為取出項數之差)．
⑺如果{ a }是等差數列，公差為d，那麼，a ，a ，…，a 、a 也是等差數列，其公差為－d；在等差數列{ a }中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )
⑻在等差數列中，從第一項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項．
⑼當公差d＞0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d＜0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小；d＝0時，等差數列中的數等於一個常數．
⑽設a ，a ，a 為等差數列中的三項，且a 與a ，a 與a 的項距差之比 = （ ≠－1），則a = ．
5．等差數列前n項和公式S 的基本性質
⑴數列{ a }為等差數列的充要條件是：數列{ a }的前n項和S 可以寫成S = an + bn的形式(其中a、b為常數)．
⑵在等差數列{ a }中，當項數為2n (n N )時，S －S = nd， = ；當項數為(2n－1) (n )時，S －S = a ， = ．
⑶若數列{ a }為等差數列，則S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差數列，公差為 ．
⑷若兩個等差數列{ a }、{ b }的前n項和分別是S 、T (n為奇數)，則 = ．
⑸在等差數列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，則S = (a－b)．
⑹等差數列{a }中， 是n的一次函數，且點（n， ）均在直線y = x + (a － )上．
⑺記等差數列{a }的前n項和為S ．①若a ＞0，公差d＜0，則當a ≥0且a ≤0時，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，則當a ≤0且a ≥0時，S 最小．
2.等比數列的基本性質
⑴公比為q的等比數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等比數列，其公比為q ( m為等距離的項數之差)．
⑵對任何m、n ，在等比數列{ a }中有：a = a · q ，特別地，當m = 1時，便得等比數列的通項公式，此式較等比數列的通項公式更具有普遍性．
⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (兩邊的自然數個數相等)，那麼當{a }為等比數列時，有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．
⑷若{ a }是公比為q的等比數列，則{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比數列，其公比分別為| q |}、{q }、{q}、{ }．
⑸如果{ a }是等比數列，公比為q，那麼，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 為公比的等比數列．
⑹如果{ a }是等比數列，那麼對任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0．
⑺兩個等比數列各對應項的積組成的數列仍是等比數列，且公比等於這兩個數列的公比的積．
⑻當q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0時，等比數列為遞增數列；當a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1時，等比數列為遞減數列；當q = 1時，等比數列為常數列；當q＜0時，等比數列為擺動數列．
等比數列前n項和公式S 的基本性質
⑴如果數列{a }是公比為q 的等比數列，那麼，它的前n項和公式是S =
也就是說，公比為q的等比數列的前n項和公式是q的分段函數的一系列函數值，分段的界限是在q = 1處．因此，使用等比數列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等於1還是必不等於1，如果q可能等於1，則需分q = 1和q≠1進行討論．
⑵當已知a ，q，n時，用公式S = ；當已知a ，q，a 時，用公式S = ．
⑶若S 是以q為公比的等比數列，則有S = S ＋qS ．⑵
⑷若數列{ a }為等比數列，則S ，S －S ，S －S ，…仍然成等比數列．
⑸若項數為3n的等比數列(q≠－1)前n項和與前n項積分別為S 與T ，次n項和與次n項積分別為S 與T ，最後n項和與n項積分別為S 與T ，則S ，S ，S 成等比數列，T ，T ，T 亦成等比數列．
『貳』 速求 高中數學人教版必修5/選修六知識歸納
數學公式
第三章數列
1、常用公式： =
2、等差數列：⑴定義：若 為常數 ，則 是等差數列（證明等差數列的依據）；
⑵通項公式：① ；② ；③
⑶求和公式：① ；② ；③
⑷性質：① 若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），則
②等差數列中 成等差數列；
③等差數列{ }中 =
3、等比數列：⑴定義：若 為常數 ，則 是等比數列（證明等比數列的依據）；
⑵通項公式：① ；② ；
⑶求和公式：① ；② ； ③
⑷性質：① 若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），則 ;
②等比數列中 成比差數列；
③等比數列 中.
第四章三角函數
1、 任意圓中圓心角弧度的計算公式：____________；弧長公式：____________；扇形的面積公式：____________。（其中α的單位都是_______）
2、任意角的三角函數的定義：設 是一個任意大小的角， 的終邊上任意的一點 ，它與原點的距離是r=_____則： ___， ___， ___， ___， ___， ___。
3、 同角三角函數間的基本關系式：
（1）平方關系：sin2α+cos2α=1；1+tan2α=sec2α；1+cot2α=csc2α
（2）商數關系：
（3）倒數關系：sinα·cscα=1; cosα·secα=1; tanα·cotα=1
4、第一套誘導公式（函數名不變，符號看象限）
（1）sin(2kπ+α)＝_____，cos(2kπ+α)＝_____，tan(2kπ+α)＝____，
（2）sin(－α)＝_______， cos(－α)＝_______， tan(－α)＝_______，
（3）sin(π－α)＝_______， cos(π－α)＝_______， tan(π－α)＝_______，
（4）sin(π+α)＝_______， cos(π+α)＝_______， tan(π+α)＝_______，
（5）sin(2π－α)＝_______， cos(2π－α)＝_______， tan(2π－α)＝_______，
第二套誘導公式（函數名改變，符號看象限）
（1）sin(900－α)＝_______， cos(900－α)＝_______， tan(900－α)＝_______，
（2）sin(900＋α)＝_______， cos(900＋α)＝_______， tan(900＋α)＝_______，
（3）sin(2700－α)＝_______， cos(2700－α)＝_______， tan(2700－α)＝_______，
（4）sin(2700＋α)＝_______， cos(2700＋α)＝_______， tan(2700＋α)＝_______，
5、三角函數的和、差、倍、半公式
（1）和、差角公式：sin(α±β)＝___________，cos(α±β)＝ ， tan(α±β)＝___________
▲變形公式： tanα±tanβ＝tan(α±β)（1 tanα·tanβ）
▲ sinx+ cosx＝ （ sinx+ cosx）＝ sin(x+φ),
(其中cosφ= ，sinφ= ，tanφ= )
（2）二倍角公式：sin2α＝2sinα·cosα； cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1=1－2sin2α
▲萬能公式：sin2α= ； cos2α= ； tan2α=
▲降次公式：sin2α＝ ， cos2α＝
▲變形公式：1+sinα =（sin2 + cos2 ）2；1－sinα =（sin2 －cos2 ）2
1+cosα=2cos2 ； 1－cosα=2 sin2
（3）半形公式：sin ＝________， cos ＝_________，▲tan ＝________＝ ＝ .
6、▲（1）三角函數y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象、定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性。
（2）函數f（x）=Asin（ωx+φ），振幅為 ，周期為
若函數f（x）是偶函數，則φ= ；若函數f（x）是偶函數，則φ= 。
（3）函數f（x）=Acos（ωx+φ），振幅為 ，周期為
若函數f（x）是偶函數，則φ= ；若函數f（x）是偶函數，則φ= 。
7、函數 ，振幅為A，周期為 。，（1） （2）
（3） ＝相鄰的兩個最高點（或最底點）之間的距離， ＝相鄰兩個最高點與最底點的距離，或相鄰兩個拐點的距離， ＝相鄰的最值點與拐點的距離。
第五章平面向量
1、若 （ , ），P ( , )， （ , ），P分 所成的比λ
則定比分點坐標公式是 中點坐標公式是
2、若△ABC三頂點的坐標為A（ , ）、B（ , ）、C（ , ）,則△ABC的重心坐標為 .
3、已知 ＝（ , ）， ＝（ , ），設它們間的夾角是θ，填下表：
定義形式 坐標形式
兩向量的數量積 · ＝ · ＝
向量的長度 │ │＝ │ │＝
兩向量間的角度 ＝ ＝
在 上的投影
兩向量垂直 ⊥ ⊥
兩向量平行 ‖ ‖
4、（a+b）（a-b）= ；（a+b）2= ；（a-b）2=
第六章不等式
1、不等式的性質（作用：解決與不等式有關的問題）
（1）不等式的基本性質：a＞b a-b＞0； ； .
（2）對稱性：a＞b b＜a ；b＜a .
（3）傳遞性：a＞b且b＞c ；c＜b 且b＜a .
（4）加法單調性：a＞b ；同向不等式相加：a＞b且c＞d .
（5）不等式變向原則：a＞b且c 0 ac＞bc；a＞b且c 0 ac＜bc .
同向不等式相乘： ac＞bd ； an＞bn （n N，且n＞1）.
（6） ＞ （n N，且n＞1）.
（7）a＞b且ab＞0 ；a＞b且ab＜0
2、幾個重要的不等式（作用：（1）證明不等式；（2）解不等式；（3）求最大（小）值）
1．如果a，b ，那麼a2+b2≥2ab（當且僅當 時取「=」號）
2．如果a，b ，那麼 ≥ （當且僅當 時取「=」號）
3．如果a，b，c ，那麼 ≥ （當且僅當 時取「=」號）
5．若a，b都是正數，則 ≤ ≤ ≤ （ 時取等號即稱不等式鏈）
6．若a，b，m都是正數，並且a＜b，比較 ≤ ≤ ≤ .
7．三角形不等式： - ≤ ≤ ＋ ，其中不等式 ≤ ＋ 取「=」號時的充要條件是 ，取「＜」號時的充要條件是 ;
第七章直線和圓
1、若直線的斜率是k，則此直線的一個方向向量是_________；
2、經過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線斜率公式k =_________；
3、直線方程：⑴點斜式：若直線經過點P1（x1，y1），且斜率為k，則直線的方程設為_____________，
若直線經過點P1（x1，y1），且斜率為0，則直線的方程為 ，
若直線經過點P1（x1，y1），且斜率不存在，則直線的方程為 .
⑵斜截式：若直線斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線的方程設為 .
⑶若直線經過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）.則方程設為（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）
當x1≠x2，y1≠y2時，這條直線的方程是 ；
當x1=x2，y1≠y2時，這條直線的方程是 ；
當x1≠x2，y1=y2時，這條直線的方程是 .
⑷若截距式：直線在x軸上的截距為a（a≠0），在y軸上的截距為b b≠0 ，則直線的方程是 .
⑸直線方程的一般方程為Ax+By+C=0 （A、B不同時為0），當B≠0時，方程變為 ，斜率為 ，在y軸上的截距為 ；當B=0時，方程變為 .
4、在兩坐標軸上截距相等的直線方程可設為 或 .
5、兩直線的位置關系
斜截式 一般式
直線方程
k1與k2、b1與b2的關系 比例式 乘積式
與 平行
與 重合
與 相交
與 垂直
7、已知兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則 ＝__________________＝_______________；
8、已知直線l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1到l2的角為 ,l2到l1的角為 ,l1與l2的夾角為 ,
若1+k1k2=0,則 = = = ;
若1+k1k2≠0, 則tan = ,tan = , tan = .
9、點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離d= .
10、 兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離d= .
11、曲線C：f x，y =0.關於x軸的對稱曲線C1的方程為 ，關於y軸的對稱曲線C2的方程為 ，
關於原點的對稱曲線C3的方程為 ，關於直線x-y=0的對稱曲線C4的方程為 ，關於直線 x+y=0的對稱曲線C5的方程為 ，關於直線x-y+C=0的對稱曲線C6的方程為 ，關於直線x+y+C=0的對稱曲線C7的方程為 。
12、關於點對稱的兩條直線的位置關系是 .
13、與兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離相等的直線方程是 .
14、與直線Ax+By+C=0平行的直線可設為__________；與直線Ax+By+C=0垂直的直線可設為__________.
15、二元一次不等式表示的平面區域的判斷方法
特殊點代入法：當直線f（x,y）=Ax+By+C=0不過原點時，常用點（0，0）代入
若f(0,0)＞0，則原點所在的平面區域即是Ax+By+C＞0所表示的平面區域
若f(0,0)＜0，則原點所在的平面區域即是Ax+By+C＜0所表示的平面區域
公式法：
若A＞0，B＞0，則Ax+By+C＞0所表示的平面區域在直線Ax+By+C＝0的_____方
若A＞0，B＜0，則Ax+By+C＞0所表示的平面區域在直線Ax+By+C＝0的_____方
若A＜0，B＞0，則Ax+By+C＞0所表示的平面區域在直線Ax+By+C＝0的_____方
若A＜0，B＜0，則Ax+By+C＞0所表示的平面區域在直線Ax+By+C＝0的_____方
不等式Ax+By+C＜0所表示的平面區域與Ax+By+C＞0相反
15、圓的方程
⑴圓的標准方程是__________________，其中圓心是__________，半徑是__________。
⑵二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
①當____________時，方程表示以_____________為圓心，以__________為半徑的圓；
②當____________時，方程表示一個點，此點的坐標是當________________ ；
③當____________時，方程不表示任何圖形。
⑶圓的參數方程是__________________，其中圓心是__________，半徑是__________。
16、過圓x2+y2=r2上一點（x0，y0）的切線方程是x0x+ y0y=r2
過圓(x－a)2+(y－b)2=r2上一點（x0，y0）的切線方程是(x0－a) (x－a)+ (y0－b)(y－b)=r2
17、直線和圓的幾種位置關系
記圓心到直線的距離為d，圓的半徑是r, 則
（1）相離 __________；（2）相切 __________；（3）相交 __________；
18、圓與圓的幾種位置關系
記兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R、r（R≥r），則
（1）相離 __________；（2）相外切 __________；（3）相交 __________；
（4）相內切 __________；（5）內含 __________。
19、.兩圓相交弦所在直線方程的求法：
圓C1的方程為：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.
圓C2的方程為：x2+y2+D2x+E2y+C2=0.
把兩式相減得相交弦所在直線方程為：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
第八章圓錐曲線
一、橢圓
1、橢圓定義：一個動點P，兩定點F1，F2，且 =2 （ 為常數）
⑴若2 ＞ ，則動點P的軌跡是橢圓
⑵若2 = ，則動點P的軌跡是線段F1F2
⑶若2 ＜ ，則動點P無軌跡。
2、 橢圓的方程：
⑴橢圓的標准方程：焦點在x軸上時，方程為 （a＞b＞0）
焦點在y軸上時，方程為 （a＞b＞0）
⑵橢圓的參數方程：焦點在x軸上時，參數方程為 為參數
焦點在y軸上時，參數方程為 為參數
3、 掌握橢圓的性質（范圍、對稱性、頂點坐標、焦點坐標、長軸長2 、短軸長2 、焦距2c、長半軸 、短半軸 、半焦距 、通經 、相應焦准距 、准線方程、離心率 、焦半徑（第二定義）、 2= 2+ 2）
二、雙曲線
1、雙曲線定義：一個動點P，兩定點F1，F2，且 =2 （ 為常數）
⑴若2 ＞ ，則動點P無軌跡
⑵若2 = ，則動點P的軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（在直線F1F2上）
⑶若2 ＜ ，則動點P的軌跡是雙曲線。
2、雙曲線的標准方程：焦點在x軸上時，方程為 （a＞0，b＞0）
焦點在y軸上時，方程為 （a＞0，b＞0）
3、 掌握雙曲線的性質（范圍、對稱性、頂點坐標、焦點坐標、實軸長2 、虛軸長2 、焦距2c、
實半軸 、虛半軸 、半焦距 、通經 、相應焦准距 、准線方程、漸近線方程、離心率 、焦半徑（第二定義）、 2+ 2= 2）
4、①雙曲線方程 - =1(a＞0,b＞0)即 - =0(或y=± x) (a＞0,b＞0)就是其漸近線方程;
②漸近線是 - =0(或y=± x) (a＞0,b＞0)的雙曲線設為 - =λ(λ≠0),k是待定系數.
5、等軸雙曲線表示為 ,離心率為 ,漸近線為 .
三、拋物線
1、 拋物線定義：一個動點P到定點F的距離與P到定直線 的距離的比為 .
若0＜ ＜1,則動點P的軌跡是橢圓; 若 =1, ,則動點P的軌跡是拋物線;
若 ＞1, ,則動點P的軌跡是雙曲線
2、 拋物線的標准方程：焦點在x軸上時，方程可設為y=2px2,焦點為( ，0),准線方程是x=
焦點在y軸上時，方程可設為x=2py2,焦點為(0， ),准線方程是y=
3、拋物線的性質（范圍、對稱性、頂點坐標、通經為2p、焦准距p、離心率1）
3、 關於拋物線y2=2px（p＞0）焦點F弦的端點為A（x1，y1）、B（x2，y2），性質:⑴ = x1+ x2+ p，
x 1x2= ，⑶y1y2= ，⑷ ，⑸若AB與對稱軸的夾角為 ，則 = 。
四、圓錐曲線的性質：
1、P是橢圓 （ ＞ b＞0）上的一點,F1、F2是兩焦點，若∠F1PF2= （0＜ ＜ ），
求證△F1PF2的面積為 tan .
2、P是雙曲線 （a＞0,b＞0）上的一點,F1、F2是兩焦點，若∠F1PF2= （0＜ ＜ ），
求證△F1PF2的面積為 cot .
3、弦長公式(直線和曲線相交時,其被曲線所截的線段叫做弦) 設M(x,y),N(x,y),則弦長
= = = (k為已知直線斜率)
第九章 立體幾何
一、證明（線線、線面、面面）平行和垂直
1、平行的證明：
(1)線線平行的證明
①若 ‖ ， ‖ .則 ‖ ; ②若 ‖ , , = .則 ‖
③若 ‖ , , .則 ‖ ; ④ ‖
(2)線面平行的證明
① ‖ ② ‖ ; ③ ‖
(3)面面平行的證明
① ‖ ② ‖
2、垂直的證明
(1)線線垂直的證明
①若 ‖ ， 則 ； ②
③三垂線定理或三垂線定理的逆定理
；
④向量證明：
(2)線面垂直的證明
① ； ② ；
③ ； ④ .
(3)面面垂直的證明
①二面角 是直二面角 ； ② ；
③
二、所成的角
1、 直線與直線所成的角的范圍是
⑴若直線與直線平行，則所成角為00；⑵若直線與直線相交，則所成角為 ；
⑶兩條異面直線所成角θ的范圍是 (0°，90°].兩條異面直線所成的角是本單元的重點．求兩條異面直線所成的角的基本方法是通過平移將其轉化為兩條相交直線(即作出平面角)．主要有四種方法：
① 直接平移法(利用圖中已有的平行線)；
② 中位線平移法；
③ 補形平移法(延長某線段、延展某個面或補一個與已知幾何體相同的幾何體，以便找出平行線)．
④ 向量法：設 , 分別是異面直線a、b上的兩個非零向量，則cosq=|cos< , >|= ．
2、直線和平面所成的角的范圍是〔00，900〕
⑴若直線和平面平行或在平面內，則直線和平面所成的角是0°；
⑵若直線和平面垂直，那麼就說直線和平面所成的角是900；
⑶斜線 和平面 所成的角是平面 的斜線 和它在這個平面內的射影的夾角.范圍是（00，900）
方法：①關鍵是作垂線，找射影.構造一個直角三角形
②向量求法:求 的法向量 和 , |cos< , >|= =k(0<k<1),
則 和 所成的角是 (或 - )
3、二面角大小范圍是〔0°，180°〕
方法：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法；④射影面積公式S′=Scosθ；
⑤向量求法：求 、 的法向量分別為 和 ，coc＜ ， ＞=k，若二面角 - - 是銳二面角時，則大小為 ；若二面角 - - 是鈍二面角時，則大小為 -
三、距離：(1)兩點之間的距離.(2)點到直線的距離.(3)點到平面的距離.(4)兩條平行線間的距離.(5)兩條異面
直線間的距離.(6)平面的平行直線與平面之間的距離.(7)兩個平行平面之間的距離.在七種距離中，求點到
平面的距離是重點，求兩條異面直線間的距離是難點.
▲求點到平面的距離：(1)直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長.(2)轉移法，轉化成求另一點到該平面的距離.(3)體積法；⑷向量法：如點P到面 的距離d= （其中 是面 的法向量，A ）
四、三個唯一
1、 過直線外一點有且只有一條直線平行於已知直線；
2、 過一點有且只有一條直線垂直於已知平面；3、過一點有且只有一個平面垂直於已知直線.
五、重要性質
1、O是P點在△ABC所在的平面上的射影，即PO⊥面ABC.
⑴若PA=PB=PC,則點O是△ABC的外心;
⑵若PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC垂足分別為D、E、F且PD=PE=PF.
則點O是△ABC的內心;
⑶若PA⊥BC,PB⊥AC. 則點O是△ABC的垂心
3、 ⑴若∠POA=∠POB，則PO在面AOB上的射影是∠AOB的角平分線；
⑵若∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別E、F且PE=PF.
則點P在面AOB上的射影在∠AOB平分線.
4、 如圖，已知OB^平面a於B，OA是平面a的斜線，A為斜足，
直線ACÌ平面a，設ÐOAB=q1，又ÐCAB=q2，ÐOAC=q．
那麼cosq=cosq1×cosq2．
5、 在Rt△ABC中，∠C=900.對應邊分別為 、 、
⑴Rt△ABC的外心（外接圓的圓心）在斜邊的中點且半徑R=
⑵Rt△ABC的內心（內切圓的圓心）且半徑r=
⑶ ⑷
六、簡單幾何體
1稜柱:
(1) {正方體} {正四稜柱} {長方體} {直平行六面體} {直四稜柱} {四稜柱} {稜柱}
{正方體} {正四稜柱} {長方體} {直平行六面體} {平行六面體} {四稜柱} {稜柱}
(2)稜柱的側面積 其中 為直截面的周長, 為棱長 ; 稜柱的體積 =
(3)直稜柱的側面積 ; 直稜柱的體積 =
(4)特殊稜柱長方體A1B1C1D1-ABCD的長、寬、高分別為 、 、
① 對角線長 =
② 長方體外接球的直徑2R等於對角線長 ；
③ 若對角線與一個頂點引的三條棱所成角分別為 、 、 .則 =1;
④ 若對角線與一個頂點引的三個面所成角分別為 、 、 .則 =2;
⑤ 長方體的表面積S=2 ;長方體的體積V= ;
⑥ 正方體的內切球的直徑等於棱長
2、 棱錐:
(1) 棱錐的性質：若棱錐P-ABC…被平行於底面ABC的截面A1B1C1所截，則
① 多邊形ABC…∽多邊形A1B1C1…，設相似比為 ；
② ； ； 。
③ V=
⑵正棱錐（①底面是正多邊形；②頂點在底面的射影是正多邊形的中心）
① ； ②V=
3、多面體
⑴正多面體只有五種：正四面體，正六面體，正八面體，正十二面體，正二十面體。
其中正四面體、正八面體、正二十面體的面都是三角形，正六面體的面是正方形，
正二十面體是五邊形。
⑵簡單多面體的頂點數 、面數 、棱數E之間的關系：
簡單多面體各個面的內角和等於
若各面多邊形的邊數 ，則 ； 若各個頂點引出的棱數 ，則
3、 球
⑴球的截面有以下性質：
① 球心和截面圓心的連線垂直於截面
② 球心到截面的距離 與球的半徑 及截面的半徑 有以下的關系：
⑵球的表面積： ；
⑶球的體積：
第十章 排列組合與二項式定理
1． 計數原理
①加法原理： (分類) ②乘法原理： (分步)
2． 排列（有序）與組合（無序）
① = ②
③
④組合的兩個性質： ；
3． 排列組合混合題的解題原則：先選後排，先分再排
排列組合題的主要解題方法：優先法：以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素. 以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.
捆綁法（集團元素法，把某些必須在一起的元素視為一個整體考慮）
插空法（解決相間問題） 間接法和去雜法等等
在求解排列與組合應用問題時，應注意：(1)把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；(2)通過分析確定運用分類計數原理還是分步計數原理；(3)分析題目條件，避免「選取」時重復和遺漏；(4)列出式子計算和作答.
經常運用的數學思想是：①分類討論思想 ②轉化思想； ③對稱思想.
4． 二項式定理：
①
特別地：
②通項為第 項： 作用：處理與指定項、特定項、常數項、有理項等有關問題。
③主要性質和主要結論：對稱性
最大二項式系數在中間。（要注意n為奇數還是偶數，答案是中間一項還是中間兩項）
所有二項式系數的和：
奇數項二項式系數的和＝偶數項而是系數的和：
5.注意二項式系數與項的系數（字母項的系數，指定項的系數等，指運算結果的系數）的區別，在求某幾項的系數的和時注意賦值法的應用。
6．二項式定理的應用：解決有關近似計算、整除問題，運用二項展開式定理並且結合放縮法證明與指數有關的不等式。
第十一章概率統計
1．必然事件 ，不可能事件 ，隨機事件的定義 。
2.⑴等可能事件的概率：（古典概率） = 理解這里 、 的意義。
⑵事件 、 互斥，即事件 、 不可能同時發生，這時 ， 事件 、 對立，即事件 、 不可能同時發生，但A、B中必然有一個發生。這時 ，
⑶獨立事件：（事件 、 的發生相互獨立，互不影響）
獨立重復事件（貝努里概型） 表示事件 在 次獨立重復試驗中恰好發生了 次的概率。
為在一次獨立重復試驗中事件 發生的概率。
特殊：令 得：在 次獨立重復試驗中，事件 沒有發生的概率為
令 得：在 次獨立重復試驗中，事件A全部發生的概率為
3.統計、總體、個體、樣本、，樣本個體、樣本容量的定義；
抽樣方法：1簡單隨機抽樣：包括隨機數表法，抽簽法；2系統抽樣 3分層抽樣。
樣本平均數：
樣本方差： S2 = [(x1－ )2+(x2－ )2+ (x3－ )2+…+(xn－ )2]
樣本標准差： = 作用：估計總體的穩定程度
『叄』 高中數學必修5 知識點
解三角形：正弦定理、餘弦定理
數列、解不等式、平面規劃、基本不等式運用
『肆』 高中數學知識點總結
《高中數學基礎知識梳理（數學小飛俠）》網路網盤免費下載
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資源目錄
01.集合例題講解.mp4
01.集合進階.mp4
02函數的值域.mp4
03函數的定義域與解析式.mp4
04函數的單調性.mp4
04函數的奇偶性.mp4
05指數運算與指數函數.mp4
07對數運算與對數函數.mp4
08冪函數突破.mp4
09函數零點專題.mp4
10含參二次函數與不等式專題.mp4
11二次函數根的分布專題.mp4
12空間幾何體.mp4
13點線面位置關系進階.mp4
14平行關系突破.mp4
15垂直關系突破.mp4
16空間幾何關系綜合.mp4
17直線方程突破.mp4
18圓的方程突破.mp4
19演算法初步.mp4
20演算法語句與演算法案例.mp4
21數據的收集與頻率分布.mp4
22常用統計量與相關關系.mp4
23古典概型概率.mp4
24幾何概型概率.mp4
25任意角重難點.mp4
26三角函數定義與誘導公式.mp4
27三角函數圖像及性質.mp4
28平面向量幾何運算.mp4
29平面向量代數運算.mp4
30.三角恆等變換.mp4
31.三角函數計算專題.mp4
32.正弦定理與餘弦定理.mp4
33.等差數列突破.mp4
34.等比數列突破.mp4
35.數列通項公式專題 .mp4
36.數列求和公式專題 .mp4
37.二次不等式與分式不等式.mp4
38.線性規劃問題.mp4
39.基本不等式突破.mp4
40.邏輯用語專題.mp4
41.橢圓方程及其幾何性質.mp4
42.雙曲線方程及其性質.mp4
43.拋物線方程及其性質.mp4
44.直線與圓錐曲線綜合.mp4
45.空間向量突破.mp4
46.導數的計算專題.mp4
47.導數的應用.mp4
48.導數的應用（二）.mp4
49.定積分與微積分.mp4
50.復數專題.mp4
51.排列組合.mp4
52.二項式定理.mp4
53.隨機變數及其變數.mp4
54回歸分析與獨立性檢驗.mp4
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『伍』 高中數學必修五總結
一、集合與簡易邏輯：一、理解集合中的有關概念（1）集合中元素的特徵： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。（2）集合與元素的關系用符號=表示。（3）常用數集的符號表示：自然數集 ；正整數集 ；整數集 ；有理數集 、實數集 。（4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法， 韋恩圖 。（5）空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 二、函數一、映射與函數：（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函數的概念：二、函數的三要素：相同函數的判斷方法：①對應法則 ；②定義域 (兩點必須同時具備)（1）函數解析式的求法：①定義法（拼湊）：②換元法：③待定系數法：④賦值法：（2）函數定義域的求法：①含參問題的定義域要分類討論；②對於實際問題，在求出函數解析式後；必須求出其定義域，此時的定義域要根據實際意義來確定。（3）函數值域的求法：①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特徵來求值；常轉化為型如： 的形式；②逆求法（反求法）：通過反解，用 來表示 ，再由 的取值范圍，通過解不等式，得出 的取值范圍；常用來解，型如： ；④換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；⑤三角有界法：轉化為只含正弦、餘弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；⑥基本不等式法：轉化成型如： ，利用平均值不等式公式來求值域；⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。三、函數的性質：函數的單調性、奇偶性、周期性單調性：定義：注意定義是相對與某個具體的區間而言。判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）導數法（適用於多項式函數）復合函數法和圖像法。應用：比較大小，證明不等式，解不等式。奇偶性：定義：注意區間是否關於原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數；f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函數。判別方法：定義法， 圖像法 ，復合函數法應用：把函數值進行轉化求解。周期性：定義：若函數f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數f(x)的周期。其他：若函數f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數f(x)的周期.應用：求函數值和某個區間上的函數解析式。四、圖形變換：函數圖像變換：（重點）要求掌握常見基本函數的圖像，掌握函數圖像變換的一般規律。常見圖像變化規律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯系起來思考）平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b注意：（ⅰ）有系數，要先提取系數。如：把函數y＝f(2x)經過 平移得到函數y＝f(2x＋4)的圖象。（ⅱ）會結合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意義。對稱變換 y=f(x)→y=f(－x),關於y軸對稱y=f(x)→y=－f(x) ,關於x軸對稱y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關於x軸對稱y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然後將y軸右邊部分關於y軸對稱。（注意：它是一個偶函數）伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx),y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數的圖象變換。一個重要結論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函數y=f(x)的圖像關於直線x=a對稱；五、反函數：（1）定義：（2）函數存在反函數的條件：（3）互為反函數的定義域與值域的關系：（4）求反函數的步驟：①將 看成關於 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇；②將 互換，得 ；③寫出反函數的定義域（即 的值域）。（5）互為反函數的圖象間的關系：（6）原函數與反函數具有相同的單調性；（7）原函數為奇函數，則其反函數仍為奇函數；原函數為偶函數，它一定不存在反函數。七、常用的初等函數：（1）一元一次函數：（2）一元二次函數：一般式兩點式頂點式二次函數求最值問題：首先要採用配方法，化為一般式，有三個類型題型：(1)頂點固定，區間也固定。如：(2)頂點含參數(即頂點變動)，區間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區間之內，何時在區間之外。(3)頂點固定，區間變動，這時要討論區間中的參數．等價命題 在區間 上有兩根 在區間 上有兩根 在區間 或 上有一根注意：若在閉區間 討論方程 有實數解的情況，可先利用在開區間 上實根分布的情況，得出結果，在令 和 檢查端點的情況。（3）反比例函數：（4）指數函數：指數函數：y= (a>o,a≠1)，圖象恆過點（0，1），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論，要能夠畫出函數圖象的簡圖。（5）對數函數：對數函數：y= (a>o,a≠1) 圖象恆過點（1，0），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論，要能夠畫出函數圖象的簡圖。注意：（1）比較兩個指數或對數的大小的基本方法是構造相應的指數或對數函數，若底數不相同時轉化為同底數的指數或對數，還要注意與1比較或與0比較。八、導 數1．求導法則：(c)/=0 這里c是常數。即常數的導數值為0。(xn)/=nxn－1 特別地：(x)/=1 (x－1)/= ( )/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k?f(x))/= k?f/(x)2．導數的幾何物理意義：k＝f/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點P(x0,f(x0))的切線的斜率。V＝s/(t) 表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。3．導數的應用：①求切線的斜率。②導數與函數的單調性的關系已知 （1）分析 的定義域;（2）求導數 （3）解不等式 ，解集在定義域內的部分為增區間（4）解不等式 ，解集在定義域內的部分為減區間。我們在應用導數判斷函數的單調性時一定要搞清以下三個關系，才能准確無誤地判斷函數的單調性。以下以增函數為例作簡單的分析，前提條件都是函數 在某個區間內可導。③求極值、求最值。注意：極值≠最值。函數f(x)在區間[a,b]上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個。f/(x0)＝0不能得到當x=x0時，函數有極值。但是，當x=x0時，函數有極值 f/(x0)＝0判斷極值，還需結合函數的單調性說明。4.導數的常規問題：（1）刻畫函數（比初等方法精確細微）；（2）同幾何中切線聯系（導數方法可用於研究平面曲線的切線）；（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關於 次多項式的導數問題屬於較難類型。2．關於函數特徵，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。3．導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。九、不等式一、不等式的基本性質：注意：(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用於不成立的命題。(2)注意課本上的幾個性質，另外需要特別注意：①若ab>0，則 。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數，不等號方向要改變。②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論。③圖象法：利用有關函數的圖象（指數函數、對數函數、二次函數、三角函數的圖象），直接比較大小。④中介值法：先把要比較的代數式與「0」比，與「1」比，然後再比較它們的大小二、均值不等式：兩個數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。基本應用：①放縮，變形；②求函數最值：注意：①一正二定三相等；②積定和最小，和定積最大。常用的方法為：拆、湊、平方；三、絕對值不等式：注意：上述等號「＝」成立的條件；四、常用的基本不等式：五、證明不等式常用方法：（1）比較法：作差比較：作差比較的步驟：⑴作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和。⑶判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。（2）綜合法：由因導果。（3）分析法：執果索因。基本步驟：要證……只需證……，只需證……（4）反證法：正難則反。（5）放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：⑴添加或捨去一些項，⑵將分子或分母放大（或縮小）⑶利用基本不等式，（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變數，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。（7）構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式；十、不等式的解法：（1）一元二次不等式： 一元二次不等式二次項系數小於零的，同解變形為二次項系數大於零；註：要對 進行討論：（2）絕對值不等式：若 ，則 ； ；注意：(1）解有關絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有：⑴對絕對值內的部分按大於、等於、小於零進行討論去絕對值；(2).通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負值。(3）.含有多個絕對值符號的不等式可用「按零點分區間討論」的方法來解。（4）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式；（5）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然後求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數軸上，取它們的公共部分。（6）解含有參數的不等式：解含參數的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論：①不等式兩端乘除一個含參數的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性.②在求解過程中，需要使用指數函數、對數函數的單調性時，則需對它們的底數進行討論.③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應的二次函數的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況（有時要分析△），比較兩個根的大小,設根為 （或更多）但含參數，要討論。十一、數列本章是高考命題的主體內容之一，應切實進行全面、深入地復習，並在此基礎上，突出解決下述幾個問題：（1）等差、等比數列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .（2）數列計算是本章的中心內容，利用等差數列和等比數列的通項公式、前 項和公式及其性質熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內容.（3）解答有關數列問題時，經常要運用各種數學思想.善於使用各種數學思想解答數列題，是我們復習應達到的目標. ①函數思想：等差等比數列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數，所以等差等比數列的某些問題可以化為函數問題求解.②分類討論思想：用等比數列求和公式應分為 及 ；已知 求 時，也要進行分類；③整體思想：在解數列問題時，應注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整體思想求解.（4）在解答有關的數列應用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉化為數學問題，再利用有關數列知識和方法來解決.解答此類應用題是數學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關的等比數列的第幾項不要弄錯.一、基本概念：1、 數列的定義及表示方法：2、 數列的項與項數：3、 有窮數列與無窮數列：4、 遞增（減）、擺動、循環數列：5、 數列{an}的通項公式an：6、 數列的前n項和公式Sn:7、 等差數列、公差d、等差數列的結構：8、 等比數列、公比q、等比數列的結構：二、基本公式：9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時，an是關於n的一次式；當d=0時，an是一個常數。11、等差數列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn=當d≠0時，Sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關於n的正比例式。12、等比數列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)13、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 (是關於n的正比例式)；當q≠1時，Sn= Sn=三、有關等差、等比數列的結論14、等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數列。15、等差數列{an}中，若m+n=p+q，則16、等比數列{an}中，若m+n=p+q，則17、等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數列。18、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。19、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列{an bn}、 、 仍為等比數列。20、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。21、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。22、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d23、三個數成等比的設法：a/q,a,aq；四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq324、{an}為等差數列，則 (c>0)是等比數列。25、{bn}（bn>0）是等比數列，則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數列。四、數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數列的通項結構。26、分組法求數列的和：如an=2n+3n27、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n28、裂項法求和：如an=1/n(n+1)29、倒序相加法求和：30、求數列{an}的最大、最小項的方法：① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3② an=f(n) 研究函數f(n)的增減性31、在等差數列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：(1)當 >0,d<0時，滿足 的項數m使得 取最大值.(2)當 <0,d>0時，滿足 的項數m使得 取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。十二、平面向量1．基本概念：向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。2． 加法與減法的代數運算：(1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）則a b=（x1+x2,y1+y2 ）．向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。向量加法有如下規律： ＋ = ＋ (交換律); +( +c)=( + )+c （結合律）;3．實數與向量的積：實數 與向量 的積是一個向量。(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜;(2) 當 a＞0時， 與a的方向相同；當a＜0時， 與a的方向相反；當 a=0時，a=0．兩個向量共線的充要條件：(1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數 ，使得b= ．(2) 若 =（ ）,b=（ ）則 ‖b ．平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數 ， ，使得 = e1+ e2．4．P分有向線段 所成的比：設P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同於P1、P2的任意一點，則存在一個實數 使 = ， 叫做點P分有向線段 所成的比。當點P在線段 上時， ＞0；當點P在線段 或 的延長線上時， ＜0；分點坐標公式：若 = ； 的坐標分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ ≠－1）， 中點坐標公式： ．5． 向量的數量積：（1）．向量的夾角：已知兩個非零向量 與b，作 = , =b,則∠AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。（2）．兩個向量的數量積：已知兩個非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．其中｜b｜cos 稱為向量b在 方向上的投影．（3）．向量的數量積的性質：若 =（ ）,b=（ ）則e· = ·e=｜ ｜cos (e為單位向量);⊥b ·b=0 （ ，b為非零向量）;｜ ｜= ;cos = = ．(4) ．向量的數量積的運算律：·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c．6.主要思想與方法：本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由於向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。十三、立體幾何1.平面的基本性質：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。能夠用斜二測法作圖。2.空間兩條直線的位置關系：平行、相交、異面的概念；會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。3.直線與平面①位置關系：平行、直線在平面內、直線與平面相交。②直線與平面平行的判斷方法及性質,判定定理是證明平行問題的依據。③直線與平面垂直的證明方法有哪些？④直線與平面所成的角：關鍵是找它在平面內的射影，范圍是{00.900}⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理. 三垂線定理及其逆定理主要用於證明垂直關系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.4.平面與平面(1)位置關系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況）(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質。(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據性質定理，可以證明線面垂直。(4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形；②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。
『陸』 高中數學必須五知識點總結
必修五知識點總結歸納必修五知識點總結歸納必修五知識點總結歸納必修五知識點總結歸納
（（（（一一一一））））解三角形解三角形解三角形解三角形
1、正弦定理：在C∆ΑΒ中，a、b、c分別為角Α、Β、C的對邊，R為C∆ΑΒ的外接圓的半徑，則有2sinsinsinabcRC===ΑΒ．
正弦定理的變形公式：①2sinaR=Α，2sinbR=Β，2sincRC=；
②sin2aRΑ=，sin2bRΒ=，sin2cCR=；
③::sin:sin:sinabcC=ΑΒ；
④sinsinsinsinsinsinabcabcCC++===Α+Β+ΑΒ．
2、三角形面積公式：111sinsinsin222CSbcabCac∆ΑΒ=Α==Β．
3、餘弦定理：在C∆ΑΒ中，有2222cosabcbc=+−Α，2222cosbacac=+−Β，
2222coscababC=+−．
4、餘弦定理的推論：222cos2bcabc+−Α=，222cos2acbac+−Β=，222cos2abcCab+−=．
5、射影定理：coscos,coscos,coscosabCcBbaCcAcaBbA=+=+=+
6、設a、b、c是C∆ΑΒ的角Α、Β、C的對邊，則：①若222abc+=，則90C=；
②若222abc+>，則90C<；③若222abc+<，則90C>．
(二二二二)數列數列數列數列
1、數列：按照一定順序排列著的一列數．
2、數列的項：數列中的每一個數．
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『捌』 高一數學必修二，必修五總結
高中數學必修2知識點
一、直線與方程
（1）直線的傾斜角
定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°
（2）直線的斜率
①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
當時，； 當時，； 當時，不存在。
②過兩點的直線的斜率公式：
注意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；
(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以後求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。
（3）直線方程
①點斜式：直線斜率k，且過點
注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。
當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等於x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b
③兩點式：（）直線兩點，
④截矩式：
其中直線與軸交於點,與軸交於點,即與軸、軸的截距分別為。
⑤一般式：（A，B不全為0）
注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：
平行於x軸的直線：（b為常數）； 平行於y軸的直線：（a為常數）；
（5）直線系方程：即具有某一共同性質的直線
（一）平行直線系
平行於已知直線（是不全為0的常數）的直線系：（C為常數）
（二）垂直直線系
垂直於已知直線（是不全為0的常數）的直線系：（C為常數）
（三）過定點的直線系
（ⅰ）斜率為k的直線系：，直線過定點；
（ⅱ）過兩條直線，的交點的直線系方程為
（為參數），其中直線不在直線系中。
（6）兩直線平行與垂直
當，時，
；
注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。
（7）兩條直線的交點
相交
交點坐標即方程組的一組解。
方程組無解 ； 方程組有無數解與重合
（8）兩點間距離公式：設是平面直角坐標系中的兩個點，
則
（9）點到直線距離公式：一點到直線的距離
（10）兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。
二、圓的方程
1、圓的定義：平面內到一定點的距離等於定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。
2、圓的方程
（1）標准方程，圓心，半徑為r；
（2）一般方程
當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為
當時，表示一個點； 當時，方程不表示任何圖形。
（3）求圓方程的方法：
一般都採用待定系數法：先設後求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。
3、直線與圓的位置關系：
直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況：
（1）設直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；
（2）過圓外一點的切線：①k不存在，驗證是否成立②k存在，設點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】
(3)過圓上一點的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
設圓，
兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
當時兩圓外離，此時有公切線四條；
當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；
當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；
當時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線；
當時，兩圓內含； 當時，為同心圓。
注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線
圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點
三、立體幾何初步
1、柱、錐、台、球的結構特徵
（1）稜柱：
幾何特徵：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行於底面的截面是與底面全等的多邊形。
（2）棱錐
幾何特徵：側面、對角面都是三角形；平行於底面的截面與底面相似，其相似比等於頂點到截面距離與高的比的平方。
（3）稜台：
幾何特徵：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側面是梯形 ③側棱交於原棱錐的頂點
（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其餘三邊旋轉所成
幾何特徵：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。
（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成
幾何特徵：①底面是一個圓；②母線交於圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。
（6）圓台：定義：以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉軸,旋轉一周所成
幾何特徵：①上下底面是兩個圓；②側面母線交於原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。
（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體
幾何特徵：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等於半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向後面正投影）；側視圖（從左向右）、
俯視圖（從上向下）
註：正視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；側視圖反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。
4、柱體、錐體、台體的表面積與體積
（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。
（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）
（3）柱體、錐體、台體的體積公式
（4）球體的表面積和體積公式：V= ； S=
4、空間點、直線、平面的位置關系
公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，那麼這條直線是所有的點都在這個平面內。
應用： 判斷直線是否在平面內
用符號語言表示公理1：
公理2：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那麼它們有且只有一條過該點的公共直線
符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。
符號語言：
公理2的作用：
①它是判定兩個平面相交的方法。
②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。
③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據。
公理3：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。
推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。
公理3及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據 ②它是證明平面重合的依據
公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行
空間直線與直線之間的位置關系
① 異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線
② 異面直線性質：既不平行，又不相交。
③ 異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線
④ 異面直線所成角：作平行，令兩線相交，所得銳角或直角，即所成角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。
求異面直線所成角步驟：
A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角
（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那麼這兩角相等或互補。
（8）空間直線與平面之間的位置關系
直線在平面內——有無數個公共點．
三種位置關系的符號表示：aα a∩α＝A a‖α
（9）平面與平面之間的位置關系：平行——沒有公共點；α‖β
相交——有一條公共直線。α∩β＝b
5、空間中的平行問題
（1）直線與平面平行的判定及其性質
線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。
線線平行線面平行
線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，
那麼這條直線和交線平行。線面平行線線平行
（2）平面與平面平行的判定及其性質
兩個平面平行的判定定理
（1）如果一個平面內的兩條相交直線都平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行
（線面平行→面面平行），
（2）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那麼這兩個平面平行。
（線線平行→面面平行），
（3）垂直於同一條直線的兩個平面平行，
兩個平面平行的性質定理
（1）如果兩個平面平行，那麼某一個平面內的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）
（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。（面面平行→線線平行）
7、空間中的垂直問題
（1）線線、面面、線面垂直的定義
①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。
②線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。
③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。
（2）垂直關系的判定和性質定理
①線面垂直判定定理和性質定理
判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直這個平面。
性質定理：如果兩條直線同垂直於一個平面，那麼這兩條直線平行。
②面面垂直的判定定理和性質定理
判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直。
性質定理：如果兩個平面互相垂直，那麼在一個平面內垂直於他們的交線的直線垂直於另一個平面。
9、空間角問題
（1）直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角：規定為。
②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大於直角的角，叫這兩條直線所成的角。
③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大於直角的角叫做兩條異面直線所成的角。
（2）直線和平面所成的角
①平面的平行線與平面所成的角：規定為。 ②平面的垂線與平面所成的角：規定為。
③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。
求斜線與平面所成角的思路類似於求異面直線所成角：「一作，二證，三計算」。
在「作角」時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在於斜線上一點到面的垂線，
在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直於棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那麼這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那麼所成的二面角為直二面角
④求二面角的方法
定義法：在棱上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內作垂直於棱的射線得到平面角
垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角
11. 解三角形
（1）正弦定理和餘弦定理
掌握正弦定理、餘弦定理，並能解決一些簡單的三角形度量問題．
（2）應用
能夠運用正弦定理、餘弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．
12. 數列
（1）數列的概念和簡單表示法
① 了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）．
② 了解數列是自變數為正整數的一類函數．
（2）等差數列、等比數列
① 理解等差數列、等比數列的概念．
② 掌握等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式．
③ 能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系或等比關系，並能用有關知識解決相應的問題．
④ 了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系．
13. 不等式
（1）不等關系
了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景．
（2）一元二次不等式
① 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．
② 通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系．
③ 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖．
（3）二元一次不等式組與簡單線性規劃問題
① 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．
② 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組．
③ 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決．
（4）基本不等式：
① 了解基本不等式的證明過程．
② 會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題．