⑴ 數學中圓的基本方程是什麼
圓的標准方程：在平面直角坐標系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圓的一般方程：把圓的標准方程展開，移項，合並同類項後，可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和標准方程對比，其實D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。
⑵ 圓系方程知識整合
定義
定義：在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。
簡要說明
在方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中，若圓心(a,b)為定點，r為參變數，則它表示同心圓的圓系方程．若r是常量，a（或b）為參變數，則它表示半徑相同，圓心在同一直線上（平行於x軸或y軸）的圓系方程． 經過兩圓x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0與x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0 的交點圓系方程為： x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1) 經過直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的交點圓系方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0
類型1：方程 表示半徑為定長 的圓系
類型2：方程 表示以 為圓心的同心圓系。
拓展1：方程 表示圓心落在直線 上，半徑為 的圓系。
拓展2：方程 表示圓心落在直線 上，半徑為 的圓系。
拓展3：方程 表示圓心落在直線 上的圓系。
拓展4：方程 表示圓心落在圓 上，半徑為 的圓系。
類型3：共軸圓系 若⊙C1與⊙C2交於A、B兩點，則直線AB稱為這兩個圓的根軸。經過A、B兩點的所有的圓形成一個圓系，這圓系內任何兩個圓的根軸均為直線AB，因此我們稱這種圓系為共軸圓系。
理解
理解：1.例題：求x+(m+1)y+m=0所過定點 解：可將原式化為x+y+m(y+1)=0 即為x+y=0；y+1=0 解得恆過點（1，-1） 由此我們理解到當除了x，y（為一次冪）還有一未知數m時,依然可求得一定點。 由此可聯想：當有二次方程組x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0與x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0我們便能求出兩定點。 過一已知圓與一直線的兩個交點的圓系方程為： x^2＋y^2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（Ax+By+C)=0
理解2：有二次方程組x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0 ①式 x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0 ②式 ①式+②式得x^2+y^2+D1x+E1y+F1+x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0 此方程僅符合交點坐標(即帶入交點後成立） 加入參數λ讓方程代表恆過兩點的所有圓。
例題
例1：求過兩圓x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的交點且面積最小的圓的方程。 分析：本題若先聯立方程求交點，再設所求圓方程，尋求各變數關系，求半徑最值，雖然可行，但運算量較大。自然選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉化為求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。 解：圓x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程為 x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0，即2x+2y-11=0 過直線2x+2y-11=0與圓x^2+y^2=25的交點的圓系方程為 x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0，即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0 依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心(-λ,-λ)必在公共弦所在直線2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，則λ=-11/4 代回圓系方程得所求圓方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8
總結
圓系方程的主要智慧是將參數的形態放置在圖像中。 參數不僅可在一次環境中表示一個變數，可在直角坐標系中表示一條數軸，還可讓二次圖像以一定的條件變化成無數條函數圖像。
⑶ 圓系方程的原理 總是似懂非懂,清楚地講一講.
根本原理是：
點(x,y)在圓上(x,y)是圓方程C(X,Y)=0的根 (1)
給定C1,C2兩個圓,如果P(x,y)是兩圓交點,那麼(x,y)就是a*C1+b*C2=0的根,a和b可以任取,因為由(1),C1(x,y)=C2(x,y)=0.因此再由(1),所有形如a*C1+b*C2=0的圓都過P.
這樣就能具體情況具體分析了,包括a*C1+b*C2=0退化為直線的情況,以及與a*C1+b*C2=0類似的其它圓方程.
⑷ 數學必修二圓的切線方程知識點
切線方程是數學中的一個專業名詞，主要應用於求解圓、橢圓、雙曲線、拋物線中的數值。下面是我給大家帶來的數學必修二圓的切線方程知識點，希望對你有幫助。
數學圓的切線方程知識點(一)
數學圓的切線方程知識點(二)
切線的判定定理：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
切線的識別方法有三種：
(1)和圓只有一個公共點的直線是圓的切線。
(2)和圓心的距離等於圓的半徑的直線是圓的切線。
(3)切線的判定定理：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線
⑸ 圓系方程怎麼解
圓的方程怎麼解
1. 基本問題說明
在解析幾何中，經常會遇到各種與圓的方程有關的問題，要麼直接求解圓的方程解析式或它的參數（圓心和半徑），要麼與直線等綜合在一起，為高考的常考內容。
因此，圓的方程基本問題（包括與圓的方程密切相關的一簇基本問題）是高中數學最常見的基本問題之一。
考查時，它既可以作為一個單獨問題出現在簡單的選擇題或填空題中，也可以與其它基本問題綜合的方式出現在解答題或難度較大的選擇題或填空題中——要麼就是待求解的最終問題，要麼只是其中一個中間步驟的問題。
2. 解決基本問題的一般方法
a) 求圓的方程
根據題目特徵，從圓的方程標准形式、一般形式和參數方程中選取一種，並將所需基本量求出來後，即可得到圓的方程；也可以利用待定系數思想，先設含參的圓的方程，然後代入已知條件或與其它方程聯立求解。
b) 判定圓與圓之間的位置關系
可能的位置關系包括相離、外切、相交、內切和內含，如圖：
一般方法（如圖）幾何法：比較圓心間的距離d與兩圓的半徑R和r（不妨假設R>r）之間的和、差的大小關系；代數法：聯立兩圓方程，再利用判定。定義法：交點數——0個表示相離或內含、1個表示外切或內切、2個表示相交。切線法：切線數——4條表示相離、3條表示相切、2條表示相交、1條表示內切、0條表示內含。
思考：當R=r時，試分析和理解上面幾種情況的特性(變化)。
c) 判定直線與圓的位置關系
可能的位置關系包括相離、相切和相交，如圖：
一般方法
幾何法：比較圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的大小關系。
代數法：聯立直線與圓的方程，再利用判定。
定義法：交點數——0個表示相離、1個表示相切、2個表示相交。
d) 求過圓上一點的切線方程
3. 典型示例
講解：
本題考查了直線與圓的位置關系、圓的最短弦長、直線方程等知識點。
含參直線與圓的位置關系中，利用數形結合法求證恆相交時，要抓住關鍵一點：求證含參直線的定點及其與圓的位置關系。當然，務必記住數形結合法的要領：畫好圖、理清關系、轉化求證問題。
本題自然也可以用圓與直線位置關系判定的一般方法求解：首先根據求證問題，將其轉化為求證圓心到直線的距離小於半徑。因此，可根據點到直線距離列出代數式；然後根據必修1知識，求解分式的最值，並將其與半徑比較即可。這種方法非常考驗基本功，相對復雜得多，難度也大些。因此，擅長畫圖和圖像分析的同學，應優先使用數形結合法求解。再多說一句，有相當一部分所謂難題並不是其真的有多難，往往是因為同學選取了更復雜、更有難度的解題路徑所致。因此，平時要多思考、多歸納、多總結。
過圓內一點的最短弦——為與過該點的直徑相垂直且過該點的弦。
講解：
本題利用幾何法處理圓與圓之間位置關系的相關問題，過程簡捷、思路清晰。
根式的主要處理技巧之一：首先整理等式，若只有一項含根式，則一般含根式放一邊，其餘放在等號的另一邊；若有兩項含根式，一般等號兩邊各放一項；若是其它情況，則要仔細觀察項與項的各自特徵及其聯系，然後再靈活整理。然後再兩邊平方（可能需要多次），即可去掉根號。
思考：若本題第一問改為「(1)圓C1與圓C2相切；」，則解答有何不同？（提示：圓與圓之間相切和相離時均有兩種情況，即外切與內切—— =0、相離與內含——<0）。
提示：更多例題見後續的綜合應用部分，這里就不再贅述了。
⑹ 高一下冊數學圓的方程知識點
圓的標准方程：
在平面直角坐標系中，以點O(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的標准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
特別地，以原點為圓心，半徑為r(r0)的圓的標准方程為x^2+y^2=r^2。
圓的一般方程：
方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可變形為(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4.故有：
(1)、當D^2+E^2-4F0時，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以(D^2+E^2-4F)/2為半徑的圓;
(2)、當D^2+E^2-4F=0時，方程表示一個點(-D/2，-E/2);
(3)、當D^2+E^2-4F0時，方程不表示任何圖形。
圓的參數方程：
以點O(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的參數方程是 x=a+r*cos, y=b+r*sin, (其中為參數)
圓的端點式：若已知兩點A(a1,b1),B(a2,b2)，則以線段AB為直徑的圓的方程為 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0
圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。
經過圓 x^2+y^2=r^2上一點M(a0，b0)的切線方程為 a0*x+b0*y=r^2
在圓(x^2+y^2=r^2)外一點M(a0，b0)引該圓的兩條切線，且兩切點為A,B，則A,B兩點所在直線的方程也為 a0*x+b0*y=r^2
圓的方程：
1、圓的定義：平面內到一定點的距離等於定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。
2、圓的方程
（1）標准方程，圓心，半徑為r；
（2）一般方程
當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為
當時，表示一個點；當時，方程不表示任何圖形。
（3）求圓方程的方法：
一般都採用待定系數法：先設後求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。
3、直線與圓的位置關系：
直線與圓的'位置關系有相離，相切，相交三種情況：
（1）設直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；
（2）過圓外一點的切線：①k不存在，驗證是否成立②k存在，設點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程
（3）過圓上一點的切線方程：圓（x—a）2+（y—b）2=r2，圓上一點為（x0，y0），則過此點的切線方程為（x0—a）（x—a）+（y0—b）（y—b）=r2
4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
設圓，
兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
當時兩圓外離，此時有公切線四條；
當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；
當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；
當時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線；
當時，兩圓內含；當時，為同心圓。
注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線
圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點
數學如何預習：
上課前對即將要上的數學內容進行閱讀，做到心中有數，以便於掌握聽課的主動權。這樣有利於提高學習能力和養成自學的習慣，所以它是數學學習中的重要一環。
看書要動筆。（不動筆墨不讀書）
①一般採用邊閱讀、邊思考、邊書寫的方式，把內容的要點、層次、聯系劃出來或打上記號，寫下自己的看法或在弄不懂的地方與問題上做記號；
②預習時一旦發現舊知識掌握得不好，甚至不理解時，就要及時翻書查閱摘抄，採取措施補上，為順利學習新內容創造條件。
③了解本節課的基本內容，也就是知道要講些什麼，要解決什麼問題，採取什麼方法，重點關鍵在哪裡等等。
④要把某一本練習冊所對應的章節拿出來大致看一遍，看哪些題一下能看會，哪些題根本看不懂，然後帶著疑問去聽課。
成數概念：
一數為另一數的幾成，泛指比率：應在生產組內找標准勞動力，互相比較，評成數。
表示一個數是另一個數的十分之幾的數，叫做成數。
通常用在工農業生產中表示生產的增長狀況。幾成就是十分之幾。
例如，糧食產量增產「二成」。
「二成」即是十分之二，也就是糧食產量增加了20%。
在計算成數時，設有甲、乙兩數，求乙數對於甲數的比，並把比值化成純小數，那麼所得的純小數叫做乙數對於甲數的成數。其中小數第一位叫做「成」或「分」，第二位叫做「厘」。
例如，計劃糧食產量為5萬斤，實際多產了1萬斤，那麼糧食增產的成數是1÷5=0.2，即糧食增產了二成。
成數與其他數的互化：
方法：分數X10=成數成數/10=小數（成數除以10等於小數）成數X10=百分數
⑺ 圓系方程怎麼理解
圓系方程是圓系方程是一種特殊的方程。
在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。例如求半徑到直線距離的方程就可以叫圓系方程。
總結：若直線方程記為lL，圓方程記為C1，C2,則有：
（1）過直線與圓交點的圓可記為C1+aL或L+aC1。
（2）兩圓相交，過兩圓交點的直線為C1-C2 (即是量方程消除X,Y的平方項）。
（3）兩圓相交，過兩圓交點的圓為為C1-aC2或C2-aC1。
註：以上各式中a為待定系數，由具體題目確定。
圓系方程的推導過程：已知圓A：x²+y²+D1x+E1y+F1=0與圓B：x²+y²+D2x+E2y+F2=0，方程：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ（x²+y²+D2x+E2y+F2)=0……①，當λ≠－1時，方程①表示過圓A與圓B的交點的圓系的方程，當λ＝0時，表示圓A，但不能表示。
⑻ 圓系方程都有哪些
²圓系方程，是個大概念。但我們常常使用的，不外乎以下幾種。
第一種：圓心為定點c(a,b)，半徑r是變化的。(x-a)²＋(y-b)²＝r².
第二種：半徑是定長r,圓心不定。
第三種：圓與某個坐標軸相切。半徑固定或者變化。
第四種：圓與某兩條直線（包括坐標軸）相切。半徑不定。
第五種：圓心在某條直線上（或者曲線）運動。半徑固定。
等等。其實我們沒有必要去對它進行【歸類】，見招拆招就行。
一般地，【過兩個圓的交點的圓，構成了一族圓，構成了此類的」圓系方程」】。
已知圓1：x²＋y²＋dx＋ey＋f＝0與
已知圓2：x²＋y²＋dx＋ey＋f＝0相交於兩點a,b。則過a,b的圓的方程可以寫為
（x²＋y²＋dx＋ey＋f）＋λ（x²＋y²＋dx＋ey＋f）＝0
的形式。其中λ為參數。
這時候，如果再加上一個其他的條件，就可以製造出一道很不錯的題目。如：
求以相交兩圓x²＋y²＋4x＋y＋1＝0與x²＋y²＋2x＋2y＋1＝0的公共線為直徑的圓的方程。
⑼ 什麼是圓系方程
圓系方程是符合某種條件的一組圓的共同的方程，每一個圓都可以用這個方程來表示。假如f(x,y)=0，g(x,y)=0分別表示兩個圓方程，且兩圓有交點，則圓系方程f(x,y)+tg(x,y)=0表示經過兩圓交點的一組圓的方程，但這些方程中不包括g(x,y)=0這個圓的方程。圓和直線也一樣，字母t作為直線方程的系數，不過沒有不包括的。
⑽ 圓系方程的理解
理解：1.例題：求x+(m+1)y+m=0所過定點
解：可將原式化為x+y+m(y+1)=0
即為x+y=0；y+1=0
解得恆過點（1，-1）
由此我們理解到當除了x，y（為一次冪）還有一未知數m時,依然可求得一定點。
由此可聯想：當有二次方程組x2+y2+D1x+E1y+F1=0與x2+y2+D2x+E2y+F2=0我們便能求出兩定點。
過一已知圓與一直線的兩個交點的圓系方程為：
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（Ax+By+C)=0
理解2：有二次方程組x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①式
x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②式
①式+②式得x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0
此方程僅符合交點坐標(即帶入交點後成立）
加入參數λ讓方程代表恆過兩點的所有圓。