1. 初中數學二次函數知識點詳細
二次函數的圖象與性質
二次函數
開口方向
對稱軸
頂點
增減性
最大（小）值
方法
二次函數y
=
ax2
、y
=
ax2+c、y
=
a（x-h）2
以及y
=
a（x-h）2
+k的形狀相同，只是位置不同，相互之間可以通過平移得到，一般式y
=
ax2+bx+c可以通過配方化成y
=
a（x-h）2
+k的形式。
二次函數解析式常見有三種形式：
①一般式：y
=
ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）
②頂點式：y
=
a（x-h）2
+k（a、h、k是常數，且a≠0）
③交點式：y=a（x-x1）（
x-x2）（a、x1、x2是常數，且a≠0，x1、x2是拋物線與x軸交點的橫坐標）。
拋物線y
=
ax2
的開口大小由∣a∣決定：∣a∣越大，開口越小；∣a∣越小，開口越大
2. 初中二次函數知識點總結
作為初中數學重難考點之一，二次函數一直被很多同學頭疼。下面我就整理了初中二次函數知識點，供大家參考。
1、二次函數解析式的表示方法
1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0），如：y=2x2+3x+4；
2.頂點式：y=a(x-h)2+k（a，h，k為常數，a≠0），如：y=2(x-5)2+3；
3.兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標），如：y=2(x-1)(x+3).
注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b2-4ac≥0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化。
2、常見二次函數的圖像與性質
3、二次函數圖象的對稱
二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1.關於x軸對稱
y=ax2+bx+c關於x軸對稱後，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；
y=a(x-h)2+k關於x軸對稱後，得到的解析式是y=-a(x-h)2-k；
2.關於y軸對稱
y=ax2+bx+c關於y軸對稱後，得到的解析式是y=ax2-bx+c；
y=a(x-h)2+k關於y軸對稱後，得到的解析式是y=a(x+h)2+k；
3.關於原點對稱
y=ax2+bx+c關於原點對稱後，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；
y=a(x-h)2+k關於原點對稱後，得到的解析式是y=-a(x+h)2-k；
4.關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
y=ax2+bx+c關於頂點對稱後，得到的解析式是y=-ax2-bx+c-(b2/2a)；
y=a(x-h)2+k關於頂點對稱後，得到的解析式是y=-a(x-h)2-k
5.關於點(m,n)對稱
y=a(x-h)2+k關於點(m,n)對稱後，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2+2n-k；
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此|a|永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表達式。
4、用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)。
3. 二次函數知識點總結
在數學中，二次函數的最高階必須是二次的。在數學中，二次函數主要研究學生對公式的應用，是數學知識的重點。二次函數知識點 總結 有哪些？一起來看看二次函數知識點總結，歡迎查閱！
數學二次函數知識點歸納
計算 方法
1.樣本平均數：⑴ ;⑵若 ， ，…， ,則 (a―常數， ， ，…， 接近較整的常數a);⑶加權平均數： ;⑷平均數是刻劃數據的集中趨勢(集中位置)的特徵數。通常用樣本平均數去估計總體平均數，樣本容量越大，估計越准確。
2.樣本方差：⑴ ;⑵若 , ,…, ,則 (a―接近 、 、…、 的平均數的較「整」的常數);若 、 、…、 較「小」較「整」，則 ;⑶樣本方差是刻劃數據的離散程度(波動大小)的特徵數，當樣本容量較大時，樣本方差非常接近總體方差，通常用樣本方差去估計總體方差。
3.樣本標准差：
三、 應用舉例(略)
初三數學知識點：第四章 直線形
★重點★相交線與平行線、三角形、四邊形的有關概念、判定、性質。
☆ 內容提要☆
一、 直線、相交線、平行線
1.線段、射線、直線三者的區別與聯系
從「圖形」、「表示法」、「界限」、「端點個數」、「基本性質」等方面加以分析。
2.線段的中點及表示
3.直線、線段的基本性質(用「線段的基本性質」論證「三角形兩邊之和大於第三邊」)
4.兩點間的距離(三個距離：點-點;點-線;線-線)
5.角(平角、周角、直角、銳角、鈍角)
6.互為餘角、互為補角及表示方法
7.角的平分線及其表示
8.垂線及基本性質(利用它證明「直角三角形中斜邊大於直角邊」)
9.對頂角及性質
10.平行線及判定與性質(互逆)(二者的區別與聯系)
11.常用定理：①同平行於一條直線的兩條直線平行(傳遞性);②同垂直於一條直線的兩條直線平行。
12.定義、命題、命題的組成
13.公理、定理
14.逆命題
二、 三角形
分類：⑴按邊分;
⑵按角分
1.定義(包括內、外角)
2.三角形的邊角關系：⑴角與角：①內角和及推論;②外角和;③n邊形內角和;④n邊形外角和。⑵邊與邊：三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。⑶角與邊：在同一三角形中，
3.三角形的主要線段
討論：①定義②__線的交點―三角形的×心③性質
① 高線②中線③角平分線④中垂線⑤中位線
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形
4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形)的判定與性質
5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②專用方法
6.三角形的面積
⑴一般計算公式⑵性質：等底等高的三角形面積相等。
7.重要輔助線
⑴中點配中點構成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線
8.證明方法
⑴直接證法：綜合法、分析法
⑵間接證法―反證法：①反設②歸謬③結論
⑶證線段相等、角相等常通過證三角形全等
⑷證線段倍分關系：加倍法、折半法
⑸證線段和差關系：延結法、截余法
⑹證面積關系：將面積表示出來
三、 四邊形
分類表：
1.一般性質(角)
⑴內角和：360°
⑵順次連結各邊中點得平行四邊形。
推論1：順次連結對角線相等的四邊形各邊中點得菱形。
推論2：順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形。
⑶外角和：360°
2.特殊四邊形
⑴研究它們的一般方法:
⑵平行四邊形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定義、性質和判定
⑶判定步驟：四邊形→平行四邊形→矩形→正方形
┗→菱形――↑
⑷對角線的紐帶作用：
3.對稱圖形
⑴軸對稱(定義及性質);⑵中心對稱(定義及性質)
4.有關定理：①平行線等分線段定理及其推論1、2
②三角形、梯形的中位線定理
③平行線間的距離處處相等。(如，找下圖中面積相等的三角形)
5.重要輔助線：①常連結四邊形的對角線;②梯形中常「平移一腰」、「平移對角線」、「作高」、「連結頂點和對腰中點並延長與底邊相交」轉化為三角形。
6.作圖：任意等分線段。
二次函數知識點總結
I.定義與定義表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限於與x軸有交點A(x? ，0)和 B(x?，0)的拋物線]
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱函數)y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax^2+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象;
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱坐標，是最值的取值.
6.用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函數知識很容易與 其它 知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的 熱點 考題，往往以大題形式出現.
二次函數知識點總結大全
二次函數概念
一般地，把形如y=ax?+bx+c(其中a、b、c是常數，a≠0，b，c可以為0)的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。x為自變數，y為因變數。等號右邊自變數的最高次數是2。二次函數圖像是軸對稱圖形。
注意：「變數」不同於「自變數」，不能說「二次函數是指變數的最高次數為二次的多項式函數」。「未知數」只是一個數(具體值未知，但是只取一個值)，「變數」可在實數范圍內任意取值。在方程中適用「未知數」的概念(函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個數或函數——也會遇到特殊情況)，但是函數中的字母表示的是變數，意義已經有所不同。從函數的定義也可看出二者的差別，如同函數不等於函數的關系。
二次函數公式大全
二次函數
I.定義與定義表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：
y=ax?+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax?;+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)?;+k [拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線]
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b?;)/4a x1,x2=(-b±√b?;-4ac)/2a
III.二次函數的圖象
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x??的圖象，
可以看出，二次函數的圖象是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P [ -b/2a ，(4ac-b?;)/4a ]。
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b?-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b?-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b?-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b?-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱函數)y=ax?;+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程(以下稱方程)，
即ax?;+bx+c=0
此時，函數圖象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
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4. 初中二次函數所有知識點 數學高分必看重點
二次函數是初中 數學 比較重點的一部分，下面我為大家總結了初中二次函數所有知識點，僅供大家參考。
二次函數的定義
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)的函數叫做x的二次函數.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函數.
注意：(1) 二次函數 是關於自變數的二次式，二次項系數a必須是非零實數，即a≠0，而b，c是任意實數，二次函數的表達式是一個整式;
(2)二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)，自變數x的取值范圍是全體實數;
(3)當b=c=0時，二次函數y=ax2是最簡單的二次函數;
(4)一個函數是否是二次函數，要化簡整理後，對照定義才能下結論，例如y=x2-x(x-1)化簡後變為y=x，故它不是二次函數.
拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。
二次函數的三種表達式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
②頂點式[拋物線的頂點 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交點式[僅限於與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進行如下轉化：
①一般式和頂點式的關系
對於二次函數y=ax^2+bx+c，其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交點式的關系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
以上就是我為大家總結的初中二次函數所有知識點，僅供參考，希望對大家有所幫助。
5. 初中數學二次函數知識點總結 一定要收藏
二次函數是數學中比較難的一部分，下面是我整理的 二次函數知識點 ，供參考。
二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[僅限於與x軸有交點A(x₁，0)和B(x₂，0)的拋物線]
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
拋物線的性質1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
二次函數解題技巧平移
二次函數圖像經過平移變換不會改變圖形的形狀和開口方向，因此a值不變。頂點位置將會隨著整個圖像的平移而變化，因此只要按照點的移動規律，求出新的頂點坐標即可確定其解析式。
例1.將二次函數y=x2-2x-3的圖像向上平移2個單位，再向右平移1個單位，得到的新的圖像解析式為_____
分析：將y=x2-2x-3化為頂點式y=(x-1)2-4，a值為1，頂點坐標為(1，-4)，將其圖像向上平移2個單位，再向右平移1個單位，那麼頂點也會相應移動，其坐標為(2，-2),由於平移不改變二次函數的圖像的形狀和開口方向，因此a值不變，故平移後的解析式為y=(x-2)2-2。
軸對稱
此圖形變換包括x軸對稱和關於y軸對稱兩種方式。
二次函數圖像關於x軸對稱的圖像，其形狀不變，但開口方向相反，因此a值為原來的相反數。頂點位置改變，只要根據關於x軸對稱的點的坐標特徵求出新的頂點坐標，即可確定其解析式。
二次函數圖像關於y軸對稱的圖像，其形狀和開口方向都不變，因此a值不變。但是頂點位置會改變，只要根據關於y軸對稱的點的坐標特徵求出新的頂點坐標，即可確定其解析式。
6. 初中數學二次函數公式及知識點整理
二次函數是一個非常難的部分，下面我就大家整理一下初中數學二次函數公式及知識點整理，僅供參考。
定義與定義表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大)，則稱y為x的二次函數。
拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)。
2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)。當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b²-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交於(0，c)。
6.拋物線與x軸交點個數：
Δ=b²-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b²-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b²-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)
二次函數頂點坐標公式推導
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k
[拋物線的頂點P(h，k)]
對於二次函數y=ax^2+bx+c
其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
推導：
y=ax^2+bx+c y=a(x^2+bx/a+c/a) y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2) y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
對稱軸x=-b/2a
頂點坐標(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
數學二次函數考點及要求
考點：函數以及函數的定義域、函數值等有關概念，函數的表示法，常值函數
考核要求：(1)通過實例認識變數、自變數、因變數，知道函數以及函數的定義域、函數值等概念;(2)知道常值函數;(3)知道函數的表示方法，知道符號的意義.
考點：用待定系數法求二次函數的解析式
考核要求：(1)掌握求函數解析式的方法;(2)在求函數解析式中熟練運用待定系數法.
注意求函數解析式的步驟：一設、二代、三列、四還原.
考點：畫二次函數的圖像
考核要求：(1)知道函數圖像的意義，會在平面直角坐標系中用描點法畫函數圖像;(2)理解二次函數的圖像，體會數形結合思想;(3)會畫二次函數的大致圖像.
考點： 二次函數 的圖像及其基本性質
考核要求：(1)藉助圖像的直觀、認識和掌握一次函數的性質，建立一次函數、二元一次方程、直線之間的聯系;(2)會用配方法求二次函數的頂點坐標，並說出二次函數的有關性質.
注意：(1)解題時要數形結合;(2)二次函數的平移要化成頂點式.
以上就是我為大家整理的初中數學二次函數公式及知識點整理。
7. 初中二次函數知識點總結
作為九年級數學重難考點之一，二次函數一直被很多同學頭疼。下面我整理了初中二次函數知識點總結，希望能幫到你！
一、定義與定義表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.）
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
二、二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2；+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）。
頂點式：y=a(x-h)^2；+k[拋物線的頂點P（h，k）]。
交點式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限於與x軸有交點A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]。
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：h=-b/2ak=(4ac-b^2；)/4ax1，x2=(-b±√b^2；-4ac)/2a。
三、二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax²+bx+c。
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），即ax²+bx+c=0。
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同。
當h>0時，y=a(x-h)²的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到。
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。
當h>0，k>0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k的圖象。
當h>0，k<0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象。
當h<0，k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象。
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象。
因此，研究拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)²+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2.拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)．
3.拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小．
4.拋物線y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x₂-x₁|。
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5.拋物線y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱坐標，是最值的取值．
6.用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現。
四、拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）。
6.拋物線與x軸交點個數
Δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x=-b±√b^2－4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）。
8. [急]初中數學二次函數知識點有哪些
知識點1：二次函數的定義
一般地，如果，那麼叫做的二次函數.
[注意]⑴二次函數中，x，y都是變數，是常數，自變數x的取值范圍是全體實數，b，c可以是任意實數，但是不為0的實數；
⑵若，則變成，當時，是一次函數；當時，則為常數函數；
⑶判斷一個函數是否是二次函數必須滿足三個條件：①函數關系式必須是整式；②化簡後自變數的最高次數必須為2；③化簡後二次項的系數必須不為0；
知識點2：二次函數的圖象
⑴二次函數中隱藏了一個重要條件為.
⑵二次函數的圖象是一條軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線，對稱軸與拋物線的交點叫拋物線的頂點；的頂點是坐標原點，對稱軸是軸.
⑶若平行於軸的直線交拋物線於兩點，由對稱性可知，關於軸對稱，線段的垂直平分線就是軸.
知識點3：描點法畫二次函數的圖象的步驟
⑴列表，一般以0為中心，選取自變數的值，為方便，一般取整數.
⑵描點，把自變數與函數的每對對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在平面直角坐標系內描出對應的點.
⑶連線，用平滑的曲線按自變數從小到大的順序把各點連接起來.
[注意]⑴描點法畫出的只是整個函數圖象的一部分，由於自變數可取一切實數，所以圖象是向兩方無限延伸的；
⑵點越多，圖象越精確；
⑶圖象必須用平滑的曲線連接，不能產生尖點；
⑷二次函數的圖象記作拋物線.
知識點4：二次函數的性質
⑴拋物線的頂點是坐標原點，對稱軸是軸.
⑵函數的圖像與的符號關系.
①當時拋物線開口向上頂點為其最低點當時，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；
②當時拋物線開口向下頂點為其最高點當時，當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；
⑶頂點是坐標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.
知識點5：二次函數的圖象
⑴二次函數的圖象是對稱軸平行於（包括重合）軸的拋物線.
⑵二次函數的圖象是由向上（或向下）平移得到的.
當時，二次函數向上平移個單位得到.
當時，二次函數向下平移個單位得到.
⑶二次函數的圖象是由向左（或向右）平移得到的.
當時，二次函數向右平移個單位得到.
當時，二次函數向左平移個單位得到.
⑷二次函數的圖象是由向左（或向右）平移個單位，然後向上（或向下）平移個單位得到的.對稱軸為直線，頂點坐標為
⑸二次函數的一般形式可以通過配方法轉化為頂點式：
因此拋物線的對稱軸為；
頂點坐標為.
[注意]①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
②幾個不同的二次函數，若相同，則開口方向、大小、形狀完全相同，只是頂點的位置不同，頂點決定拋物線的位置，拋物線的移動主要就看頂點的移動，平移與上、下、左、右移動的先後順序無關.
③平行於軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.
知識點6：二次函數圖象的畫法
⑴描點法，其步驟如下：
把二次函數化為的形式；
確定開口方向、對稱軸和頂點坐標；
在對稱軸兩側，以頂點為中心，左右對稱描點畫圖。
[注意]若拋物線與軸有交點，最好選取交點描點，特別是畫拋物線的草圖時，應抓住以下五點：⑴開口方向；對稱軸；⑶頂點；⑷與軸的交點了；⑸與軸的交點.
⑵平移法，其步驟如下：
①利用配方法把二次函數化為確定頂點；
②作出的圖象；
③將拋物線的圖象平移，使其頂點移到
知識點7：求拋物線的頂點、對稱軸的方法
⑴公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
⑵配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
⑶運用拋物線的對稱性：由於拋物線是軸對稱圖形，所以對稱點的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
[注意]用配方法求得的頂點，可再用公式法或對稱性進行驗證.
知識點8：二次函數的性質
⑴拋物線中，的作用
①決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
②和共同決定拋物線對稱軸的位置.由於拋物線的對稱軸是直線
，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側.
③的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：
ⅰ，拋物線經過原點;ⅱ,與軸交於正半軸；ⅲ,與軸交於負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.
④幾種特殊的二次函數的圖像特徵如下：
函數解析式 開口方向、對稱性、函數極值 對稱軸 頂點坐標
當時,開口向上,對稱軸左側隨的增大而減小,對稱軸右側隨的增大而增大,頂點為最低點，當取頂點橫坐標時,取得頂點縱坐標為函數最小值；當時,開口向下,對稱軸左側隨的增大而增大,對稱軸右側隨的增大而減小,頂點為最高點,當取頂點橫坐標時,取得頂點縱坐標為函數最大值. （軸） （0,0）
（軸） (0, )
(,0)
(,)
()
知識點9：用待定系數法求二次函數的解析式
⑴一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
⑵頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
⑶交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.
知識點10：直線與拋物線的交點
⑴軸與拋物線得交點為(0, ).
⑵與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).
⑶拋物線與軸的交點
二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.
拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
⑷平行於軸的直線與拋物線的交點
同⑶一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數根.
⑸一次函數的圖像與二次函數的圖像的交點，由方程組 的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.
⑹拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
知識點11：指定范圍內二次函數的極值
求二次函數在指定范圍內的最值，即二次函數自變數的取值范圍受到某些限制時（此時函數圖象僅為拋物線的一部分），往往結合圖象通過觀察或計算這段拋物線端點處的函數值並與頂點處的函數值進行比較，以確定二次函數的最值.
如果自變數的取值范圍是，那麼首先要看是否在自變數的取值范圍之內.
若在此范圍之內，則當時，.
若不在此范圍內，則需考慮函數在范圍內的增減性：
若在內時，函數隨的增大而增大，則
當時，
當時，
若在內時，函數隨的增大而減小，則
當時，
當時，
9. 初中數學二次函數常見知識點
二次函數是數學中比較難的部分，下面我就大家整理一下初中數學二次函數常見知識點，僅供參考。
二次函數常見考點總結
考點：函數以及函數的定義域、函數值等有關概念，函數的表示法，常值函數
考核要求：(1)通過實例認識變數、自變數、因變數，知道函數以及函數的定義域、函數值等概念;(2)知道常值函數;(3)知道函數的表示方法，知道符號的意義.
考點：用待定系數法求二次函數的解析式
考核要求：(1)掌握求函數解析式的方法;(2)在求函數解析式中熟練運用待定系數法.
注意求函數解析式的步驟：一設、二代、三列、四還原.
考點：畫 二次函數 的圖像
考核要求：(1)知道函數圖像的意義，會在平面直角坐標系中用描點法畫函數圖像;(2)理解二次函數的圖像，體會數形結合思想;(3)會畫二次函數的大致圖像.
二次函數頂點坐標公式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k
[拋物線的頂點P(h，k)]
對於二次函數y=ax^2+bx+c
其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
交點式：y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限於與x軸有交點A(x? ，0)和 B(x?，0)的拋物線]
其中x1，2= -b±√b^2-4ac
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
______
h=-b/2a= (x?+x?)/2 k=(4ac-b^2)/4a 與x軸交點：x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函數的常見考法
(1)考查一些帶約束條件的二次函數最值;
(2)結合二次函數考查一些創新問題。
二次函數頂點坐標公式推導
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k
[拋物線的頂點P(h，k)]
對於二次函數y=ax^2+bx+c
其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
推導：
y=ax^2+bx+c y=a(x^2+bx/a+c/a) y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2) y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
對稱軸x=-b/2a
頂點坐標(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
以上就是我為大家整理的初中數學二次函數常見知識點。
10. 初中數學二次函數知識點詳細
二次函數的圖象與性質
二次函數
開口方向
對稱軸
頂點
增減性
最大（小）值
y
=
ax2
a>0時，開口向上；a<0拋時，開口向下。
x=0
（0，0）
當a>0時，在對稱軸左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側，y隨x的增大而增大；
當a<0時，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸右側，y隨x的增大而減小。
當a>0時，當x=0時，=0；
當a<0時，當x=0時，=0；
y
=
ax2+c
x=0
（0，c）
當a>0時，當x=0時，=c；
當a<0時，當x=0時，=c；
y
=
a（x-h）2
x=h
（h，0）
當a>0時，當x=h時，y最小=0；
當a<0時，當x=h時，y最大=0；
y
=
a（x-h）2
+k
x=h
（h，k）
當a>0時，當x=h時，y最小=k；
當a<0時，當x=h時，y最大=k；
y
=
ax2+bx+c
x=
（，）
當a>0時，當x=h時，y最小=k；
當a<0時，當x=h時，y最大=k；
其中h=，k=
★二次函數y
=
ax2
、y
=
ax2+c、y
=
a（x-h）2
以及y
=
a（x-h）2
+k的形狀相同，只是位置不同，相互之間可以通過平移得到，一般式y
=
ax2+bx+c可以通過配方化成y
=
a（x-h）2
+k的形式。
3.二次函數的解析式
二次函數解析式常見有三種形式：
①一般式：y
=
ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）
②頂點式：y
=
a（x-h）2
+k（a、h、k是常數，且a≠0）
③交點式：y=a（x-x1）（
x-x2）（a、x1、x2是常數，且a≠0，x1、x2是拋物線與x軸交點的橫坐標）。
★拋物線y
=
ax2
的開口大小由∣a∣決定：∣a∣越大，開口越小；∣a∣越小，開口越大。