⑴ 數學公理的定義
公理是一個漢語詞彙，讀音為gōng lǐ，是指依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。
在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。和定理不同，一個公理（除非有冗餘的）不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為定理了。
中文名
公理
外文名
axiom
拼音
gōng lǐ
注音
ㄍㄨㄙ ㄌㄧˇ
適用范圍
數學，物理學
快速
導航
詞語概念
公理系統
實例
公理集合論
公理化
更多的探討
歷史發展
古希臘
經由可靠的論證（三段論、推理規則）由前提（原有的知識）導至結論（新的知識）的邏輯演繹方法，是由古希臘人發展出來的，並已成為了現代數學的核心原則。除了重言式之外，沒有任何事物可被推導，若沒有任何事物被假定的話。公理即是導出特定一套演繹知識的基本假設。公理不證自明，而所有其他的斷言（若談論的是數學，則為定理）則都必須藉助這些基本假設才能被證明。然而，對數學知識的解釋從古至今已不太一樣，且最終「公理」這一詞對今日的數學家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。
古希臘人認為幾何學也是數種科學的其中之一，且視幾何學的定理和科學事實有同等地位。他們發展並使用邏輯演繹方法來作為避免錯誤的方法，並以此來建構及傳遞知識。亞里斯多德的後分析篇是對此傳統觀點的一決定性的闡述。
「公理」，以傳統的術語來說，是指在許多科學分支中所共有的一個不證自明的假設。
在各種科學領域的基礎中，或許會有某些未經證明而被接受的附加假定，此類假定稱為「公設」。公理是許多科學分支所共有的，而各個科學分支中的公設則是不同的。公設的有效性必須建立在現實世界的經驗上。確實，亞里斯多德曾言，若讀者懷疑公設的真實性，這門科學之內容便無法成功傳遞。
傳統的做法在《幾何原本》中很好地描繪了出來，其中給定一些公設（從人們的經驗中總結出的幾何常識事實），以及一些「公理」（極基本、不證自明的斷言）。
公設
能從任一點畫一條直線到另外任一點上去。
能在一條直線上造出一條連續的有限長線段。
能以圓心和半徑來描述一個圓。
每個直角都會相互等值。
（平行公設）若一條直線與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩個直角，那麼這兩條直線在各自不斷地延伸後，會在內角和小於兩直角的一側相交。
公理
等同於相同事物的事物會相互等同
若等同物加上等同物，則整體會相等。
若等同物減去等同物，則其差會相等。
相互重合的事物會相互等同。
整體大於部分。
近代的發展
近150年來，數學家所學到的是，將意思從數學陳述（公理、公設[1] 、命題、定理）和定義中抽離出去是很有用的。此一抽象化（或甚至可說是公式化）使得數學知識變得更一般化，容許多重不同的意思，且因此可以用在多重的方面上。
結構主義的數學走得更遠，並發展出沒有「任一」特定應用的理論和公理（如體論、群論、拓撲學、向量空間）。「公理」和「公設」之間的差異消失了。歐幾里得公設因為可以導出大量的幾何事實而被創造出來。這些復雜事實的真實性依賴於對基本假定的承認。然而，若舍棄第五公設，則可以得到有更多內容的理論，如雙曲幾何。我們只需要准備以更彈性的方式來使用「線」和「平行」等術語。
⑵ 定理，定律，公理的區別和概念分別是
1、概念：
定理是經過受邏輯限制的證明為真的陳述。
定律是對客觀事實的一種表達形式，通過大量具體的客觀事實歸納而成的結論。
公理是指依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。
2、區別：
定律是描述客觀世界變化規律的表達式或者文字。
公理是不需要認證的，是大家公認的，可以直接拿來用的。
定理是需要證明它是對的，才可以拿來用的。
⑶ 什麼叫「公理」公理，定理，定義，三者的內涵和外延有
定義：人根據某些基礎條件給出的一個概念，不需要證明，一般格式為「什麼是什麼」
公理：人為的根據某一領域的學科基礎，給出一個公認的規律，不需要證明。一般來說在一個領域內公理都很少而且很基礎。
定理：根據定義和公理得到的推論。需要證明。一般來說同一領域內有無數的定理，有些定理應用范圍很廣而很出名，有些定理相對應用范圍小。
⑷ 定義,公理,定理,命題 的區別
首先、定義和公理是任何理論的基礎，定義解決了概念的范疇，公理使得理論能夠被人的理性所接受。
其次、定理和命題就是在定義和公理的基礎上通過理性的加工使得理論的再延伸，我認為它們的區別主要在於，定理的理論高度比命題高些，定理主要是描述各定義（范疇）間的邏輯關系，命題一般描述的是某種對應關系（非范疇性的）。而推論就是某一定理的附屬品，是該定理的簡單應用。
最後、引理就是在證明某一定理時所必須用到的其它定理。而在一般情況下，就像前面所提到的定理的證明是依賴於定義和公理的。
定義就是規定意義，相當於取名字，定理就是根據定義和公理推導演繹出來的命題。
公理就是人們通過實際生活觀察到的一些人們共同贊同的但又無法證明的；
根本差別在於:定義不可證明,而定理一定是經過了證明的!
數學就是在定義和公理(經驗的總結,不需證明,如過兩點可畫一條直線)基礎上,演繹出的一整套定理組成的邏輯體系.(演繹的過程就是證明定理)
定義:對概念的內涵或語詞的意義所做的簡要而准確的描述
定理:通過理論證明能用來作為原則或規律的命題或公式
⑸ 什麼是公理什麼是定理
公理」：是人們在長期實踐中總結出來的基本數學知識並作為判定其它命題真假的根據
「定理」：用推理的方法得到的真命題叫做「定理」，這種推理的方法也叫「證明」.
公理是一些前提假設，這些前提假設規定了整個理論的最基本的概念之間的關系，它們並不需要任何事實和經驗的支持，只要它們本身在邏輯上沒有矛盾就可以了。它們不能被推出，因為它們是最基本的東西。所有的定理都是由公理推出來的。
一個典型的例子是非歐幾何的基本公理，它們提出時並沒有任何事實和經驗的支持，而且是違反直觀的，盡管後來發現確實有事實支持這樣一種幾何的存在，但這並不能說明公理一定是需要經驗的。
⑹ 初中數學定義和公理
直線、線段、射線
1. 過兩點有且只有一條直線.
（簡：兩點決定一條直線）
2.兩點之間線段最短
3.同角或等角的補角相等.
同角或等角的餘角相等.
4. 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
5. 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短. （簡：垂線段最短）
平行線的判斷
1.平行公理 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.
2.如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行（簡：平行於同一直線的兩直線平行）
3.同位角相等，兩直線平行.
4.內錯角相等，兩直線平行.
5.同旁內角互補，兩直線平行.
平行線的性質
1.兩直線平行，同位角相等.
2.兩直線平行，內錯角相等.
3.兩直線平行，同旁內角互補.
三角形三邊的關系
1.三角形兩邊的和大於第三邊、三角形兩邊的差小於第三邊.
三角形角的關系
1. 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等於180°.
2.直角三角形的兩個銳角互余.
3.三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和.
4. 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角.
全等三角形的性質、判定
1.全等三角形的對應邊、對應角相等.
2.邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.
3. 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.
4.推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等.
5. 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等.
6. 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.
角的平分線的性質、判定
性質：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
判定：到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上.
等腰三角形的性質
1.等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角).
2.推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊並且垂直於底邊 .
3.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合.
4.推論3 等邊三角形的各角都相等，並且每一個角都等於60° .
等腰三角形判定
1等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）
2.三個角都相等的三角形是等邊三角形.
3.有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形.
線段垂直平分線的性質、判定
1. 定理： 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 .
2.逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
3.線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合.
軸對稱、中心對稱、 平移、旋轉
1. 關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形
2.如果兩個圖形關於某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線
3.兩個圖形關於某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上
4.若兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直線對稱.
5.關於中心對稱的兩個圖形是全等的.
關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分.
6. 若兩個圖形的對應點連線都經過某一點,並且被這一點平分，那麼這兩個圖形關於這一點成中心對稱.
7.平移或旋轉前後的圖形是不變的.中心對稱是旋轉的特殊形式。
勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等於斜邊c的平方，即a2+b2=c2 .
勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系a2+b2=c2 ，那麼這個三角形是直角①直角三角形中，如果一個銳角等於30°那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半.
②直角三角形斜邊上的中線等於斜邊上的一半.
n邊形、四邊形的內角和、外角和
1.四邊形的內角和等於360°.
2.四邊形的外角和等於360°
3.多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等於（n-2）180°.
4.推論 任意多邊的外角和等於360°.
平行四邊形性質
1.平行四邊形的對角相等.
2.平行四邊形的對邊相等.
3.夾在兩條平行線間的平行線段相等.
4.平行四邊形的對角線互相平分.
平行四邊形判定
1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
2.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形. 3.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
4.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
5. 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形
矩形性質
1. 矩形的四個角都是直角 .
2. 矩形的對角線相等.
矩形判定
1.有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
2.有三個角是直角的四邊形是矩形.
3. 對角線相等的平行四邊形是矩形 .
菱形性質
1、菱形的四條邊都相等.
2. 菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角.
3、菱形面積=對角線乘積的一半，即
菱形判定
1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
2.四邊都相等的四邊形是菱形
3.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
正方形性質
1.正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.
2.正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.
正方形判定
1.四個角都是直角，四條邊都相等的四邊形是正方形
2.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.
等腰梯形性質
1.等腰梯形在同一底上的兩個角相等.
2.等腰梯形的兩條對角線相等.
等腰梯形判定
1.同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
2.對角線相等的梯形是等腰梯形.
①經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰.
②經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊.
三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它的一半.
⑺ 關於數學的定義，命題，公理和定理的含義！
公理是不需要證明，人人都知道的。
定理是從性質得到的，需要證明。
定則和定理相似
定義是解釋，是性質
命題是提出來的，有正確和錯誤區別，也需要證明