⑴ 舉例說明什麼是數學認知結構和數學知識結構
一、數學認知結構的概念
簡單地講，數學認知結構就是學生頭腦里獲得的數學知識結構，只不過是一種經過學生主觀改造後的數學知識結構，它是數學知識結構與學生心理結構相互作用的產物，其內容包括數學知識和這些數學知識在頭腦里的組織方式與特徵。
二、數學認知結構與數學知識結構的區別
數學認知結構和數學知識結構是兩個不同的概念，它們之間既有密切的內在聯系，又在嚴格的區別。兩者的聯系主要反映為學生的數學認知結構是由教材中的數學知識結構轉化而來的，數學知識結構是數學認知結構賴以形成的物質基礎和客觀依據、兩者的區別主要表現在以下幾個方面：
l．概念的內涵不同。數學知識結構是由數學概念和命題構成的數學知識體系，它以最簡約、最概括的方式反映了人類對世界數量關系和空間形式的認識成果，是科學真理的客觀反映。而數學認知結構是一種經過學生主觀改造的數學知識結構，它是數學知識結構與兒童心理結構高度融合的結果，其內容既反映了數學知識的客觀性，又體現了認知主體的主觀性。
2．信息的表達方式不同。數學知識結構和數學認知結構都是表達信息的，但兩者在信息表達的方式上卻有著明顯的區別。教材中的數學知識結構是用文字和符號詳盡表達有關世界數量關系和空間形式認識成果的信息的。它表現為一個邏輯嚴密、結構相對完善的數學知識體系。在這個體系內部知識的邏輯起點和知識表達形式以及前後內容之門的聯系。在其載體——數學教材中都有明確而具體的表述。而學生頭腦里的數學認知結構則主要是以語義的方式概括地、簡約地表達信息的，並且通常以直覺的方式將信息儲存在頭腦里。這種表達方式表明，「認知結構已經將知識表徵和個人智力活動方式融為一體」
3．結構的構造方式不同。數學具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，作為小學課程內容的數學雖然經過了教材編寫者的教學法處理，但其內容仍然是一個較為嚴密的邏輯體系，前後內容連貫有序，整個結構相對完善。而學生頭腦里的數學認知結構，內容之間並無嚴格的邏輯順序，它既不是一種條理清楚的線性結構，也不是一種排列有序的網狀結構。數學知識結構一旦被學生內化為認知結構以後，其內容之間的邏輯順序和層次性往往就被淡化了，不同內容之間表現出一種相互融合的態勢，其內部結構也不像數學教材知識結構那樣清晰可辨。
4．結構的完備性不同。教材中的數學知識結構在內容上都是相對系統的、完備的、無缺口的，結構本身就涵蓋了它的全部組成內容。如「分數的意義和性質」一知識結構，其內容就包括了分數的意義和單位，分數與除法的關系、分數的分類、假分數與帶分數和整數的互化、分數的基本性質及約分和通分等，這些內容構成了一個完整的、無缺口的單元知識結構。而數學認知結構，由於學習者本身在接收、理解上的失誤和學習後的遺忘等原因，在內容上常常是有缺口的，不完備的。如「分數的意義和性質」一知識結構轉化成學生的數學認知結構以後，他們並不一定對每一內容都非常清晰，某些內容可能是模糊的，甚至是被完全遺忘了的。因而對學習主體來說它可能是一個內容不完備的數學知識結構。由此表明，學生的數學認知結構盡然是由教材知識結構轉化而來的，但並不是教材上寫了的和老師講了的內容就一定能夠完整無缺地接受和保存下來，在其內容上經常有可能出現某些缺口。
5．內容的科學性不同。數學教材知識結構中的內容都是經過嚴格邏輯論證和實踐檢驗，能正確反映客觀世界數量關系和空間形式普遍規律的科學真理，通常不存在什麼錯誤。而數學認知結構中的內容，由於是數學知識結構與學生心理結構相結合的產物，是經過學生主觀改造過的數學知識結構，所以它並不一定都是科學的。其內容可能是正確的，也可能是錯誤的，更可能是部分正確部分錯誤的。很明顯，學生頭腦里掌握的數學知識，其內容的科學性是有待檢驗的。我們不能把學生數學認知結構內容的科學性程度簡單地伺數學教材知識結構內容的科學性程度等同起來，從而掩蓋學生在學習過程中可能產生的某些錯誤認識。
（一）認知結構遷移理論是根據奧蘇伯爾的有意義諺語學習理論（即同化論）發展而來的。
認知結構就是學生頭腦中的知識結構。廣義地說，它是學生頭腦中全部內容和組織；狹義地說，它是學生在某一學科領域內觀念的內容和組織。
奧蘇伯爾認為，「為遷移而教」的實質是塑造學生良好的認知結構。可以從教學技術、教材內容及教材呈現這三個方面，確保學生形成良好的認知結構，以利於遷移。設計先行組織者先行組織者是在學習新材料之前呈現給學生的一種引導性學習材料，它以通俗的言語概括說明將要學習的新材料與認知結構中原有知識的聯系，為新知識的學習提供認知框架。先行組織者可以是一條定律、一個概念或一段概括性的說明文字，也可以是形象化的模型。
⑵ 如何進行小學數學復習
小學數學復習方法
古語曰：學而時習之，溫故而知新。意思是說，學習，然後找一定的時間去復習它，通過復習舊的知識從而知道新的知識。這里強調的就是復習對於學習的重要作用。可見在古代，古人即已認識到：學與習是兩回事。所謂學習，"學"是指接受新知識，"習"就是指要復習，要進一步理解、歸納、總結和記憶已學過的知識。在學習過程中，只學不習，學習的東西很快就會遺忘。早在1885年，德國的心理學家艾濱浩斯就通過實驗發現，剛記住的材料一小時後只能保持44％，一天後還能記住33％，兩天後留下的就只有28％了。所以，人們通過一學再學來刺激記憶，鞏固記憶，讓自己所學的東西不致被很快遺忘，或者不被遺忘的太多，甚至永不忘記，這就是初學之後的再次學習、重復學習，就是復習。凡是在學習上取得成功的學生，都對及時科學地復習有深切體會，從某種意義上講，這也是同一間教室里的同學為什麼會在學習成績上拉開檔次的一個原因。而且，復習是對前面已學過的由新變舊的知識進行鞏固，進行系統再加工，並根據學習情況，進行適當調整。這個復習的過程，不僅僅讓人只是被動而簡單地鞏固記憶，還能從再學習中，經二次，甚至三次、多次地反復學習，獲得第一次、第二次即前面的復習中未曾學到或者未理解、理解不深的新知識。這便是"溫故而知新"。溫，就是復習，故，就是已經學過的。溫習舊的而獲得新的知識。一些記性好的同學，就是因為能經常從不同的角度、不同的層次上進行復習，做到"每天有復習，每周有小結，每章有總結"，從而形成了驚人的記憶力。因此，很多學生對所學知識記不住，並不是腦子笨，而是不善於復習，或復習沒有達到一定的程度。
某種意義上說，復習比學習更重要。小學數學畢業總復習，是小朋友對六年來數學學習的一個系統的整理，是對小學階段數學知識的一個重構，更是一種提升。此階段復習效率的高低關繫到小學數學教學目的任務是否能圓滿完成，影響到小朋友今後在數學方面的發展。因此，做好小學數學總復習，提高復習效率尤其顯得重要。那麼，我們應該如何進行復習呢？
一、復習原則
所謂的原則是指，經過長期檢驗所整理出來的合理化現象。遵照原則行動，事情必會順利。違背原則行動，結果一定很慘。那麼在復習中應該抓住哪些原則呢？
1.抓重點
數學總復習，決不能只是多做一些題目，應該復習數學的基礎知識。小學數學一共有十二冊書，內容很多，要抓住教材中最主要的內容復習。如復習數的概念時，就要抓整數、分數和小數的意義和性質。又如整、小數應用題，千變萬化，種類很多，復習時就要抓數量關系和分析、思考應用題的一般方法。對一些掌握較好的知識，只要適當復習，引起回憶就可以了；對一些還沒有掌握住的知識，就需要重點復習，把它們徹底弄懂。
2.抓串連
數學知識相互之間有密切聯系的，總復習時不能把它們孤立起來死記硬背。要注意知識的系統性，把有關的知識串連起來，能幫助我們理解，幫助我們記憶。如比、分數和整數除法之間是有關的，比的性質、分數的性質和除法的商不變規律也是一致的，弄清它們之間的聯系，就能掌握住一大片知識。
3.抓比較
有些數學知識之間容易混淆，要把那些往往會弄錯的概念、練習題列舉出來，相互比較，把它們正確地區別開來。例如求比值和化簡比的方法在有的時候可以是相同的，但在處理二者的結果時，往往容易混淆，因此在總復習時，要把多方面的知識進行比較，靈活的綜合運用，這對提高解題能力是很重要的。
4.抓合理安排
另外，還應當合理安排時間，切不可整天埋頭去啃書本、做練習，要積極參加體育鍛煉和文娛活動。豐富的課餘生活能調節大腦，提高復習的效率。
二、復習方法
復習是指對學過的知識重新學習的過程。復習包括課後復習和系統復習兩種。課後復習的主要目的在於理解和鞏固當天學到的知識。系統復習的主要目的是對周、月、學期或學年學過的知識進行全面深入的復習，目的在於融會貫通，理解和掌握學科知識的體系。系統復習本質上是對前段學習的知識進行相對集中的再加工的過程。那麼在復習中應該怎麼樣進行復習呢？
1.及時復習。人們對於剛學過的東西，總是一開始忘得快，過一段時間就逐漸減慢。所以小朋友在復習時，必須要注意這個規律，做到及時復習。你們每天從學校回來都學了一些新東西，您可以先復習當天所學的內容，復習之後再做作業。同時在每天晚上睡覺前想一想："我今天都學了什麼！"然後在頭腦里把這些東西回憶一遍。如果不及時復習，時間一長你們就忘記了，許多內容最後集中到一小段時間復習，效果自然不好。
2.分散復習。如果有60分鍾的復習內容，您是一下子復習完呢？還是分成幾段間隔復習呢？心理學家很早就對這個問題進行了實驗，實驗的結果表明：分散復習要比長時間的集中復習效果好。對於小朋友來說，其身心發育的特點也要求採用分散復習的方式。所以，您不妨每次復習20分鍾，中間休息之後再復習，這樣你們就不會疲勞，復習的效果也會更好。
3.交叉復習。當你們同時面臨幾門課程的復習任務時，最好採用交叉復習的方式，即這10分鍾復習語文，休息後換成數學，再之後又變成別的什麼，這樣復習的好處是不會使你們產生厭倦心理。
4.多種方式復習。長時間用同一種方式復習效果不好，尤其對於你們更是如此。想想看，我們成人學習英語時，有時是默讀，有時大聲朗讀，有時抄寫，不斷變換方式或者結合並用。對於小朋友更要這樣。比如復習語文，可以以朗讀、背誦、默寫、造句、寫作文等不同的方式變換進行。復習數學，就可以看書、記公式、做練習題（計算題、應用題），而且習題也要注意變化題型。
5.靈活應變。您們在復習時，不能只看一會兒書或做幾道題就算完事了，而是要盡可能根據自己的實際情況隨時作出調整。如果發現某一部分的內容自己已經掌握了，您就可以跳過這一段，復習下面的內容。如果你做了幾道這方面的題目仍然出錯，就需要您加強對這一部分的復習力度。根據復習時間的長短，您也要採用不同的復習策略：如果時間很寬裕，您就可以從頭至尾將書過一遍；如果時間緊迫，再平均分配時間顯然不合適，就得重點復習自己的薄弱環節，有時只研讀平日整理的錯題庫也能達到理想的效果
三、復習指導
復習是鞏固和強化所學知識必不可少的手段，是學習過程中至關重要的環節。復習不單是機械的重復，而更應包含者對知識的理解和運用。平常學習好一些的小朋友應該利用復習之機，在知識的遷移、在能力的訓練上下功夫，做到觸類旁通、舉一反三，使自己在學習上再上新層次，進入更高的學習境界。學習一般的同學更應該加大復習力度，鞏固基本知識掌握基本技能，做到溫故而知新。那麼如何有效利用時間，提高復習效率呢？
1.制定合理的復習計劃
每位小朋友應該根據復習的課程，制定切實可行的計劃。俗話說："凡事預則立，不預則廢。"期末考試科目多，內容龐雜，很多小朋友復習起來感覺到千頭萬緒，無從下手。這就要求我們根據學科特點制定出適合於自己的切實可行的復習計劃，對後幾天的學習作出詳細、科學、合理的安排，以便心中有數。當然，光有計劃還不夠，還需要小朋友們集中精力，充分利用時間保證計劃的落實。那麼時間哪裡來呢？一般執行復習計劃所需的時間，來自四個方面：一是上課時間，二是作業和考試時間，三是學校安排的自習時間，四是課余時間。這四塊時間相加，組成了執行復習的時間。有人說一個用"分"計算時間的人，比一個用"時"計算時間的人，時間多出59倍！魯迅先生正是把別人喝咖啡的時間都用上，把一些零散的時間"焊接"起來，才鑄就了令人羨慕的豐碑。我們要充分利用點點滴滴的時間，爭取多記幾個公式，多背一段文章，多溫習一遍老師在課上講的重點，保持這樣的"擠"的恆心與韌勁，才能把有限的時間變成無限的力量！
2.完整的看一遍教材，理清知識要點,構建知識網路
3.我們平時學習的時候，大腦中接受的是相對單一的知識點,一學期下來，許多小朋友會感到頭腦里裝了很多東西，很多很亂。所以在復習時我們應該將平時所學習的知識進行整理、歸納理清教材的思路，完整地把教材看一遍，這樣我們能夠在頭腦中構建起一個知識網路，從而形成一個完整的知識體系，便於知識的提取。
3.明確重點,攻克難點,側重疑點
在對知識點進行梳理的時候我們應抓住重點、難點和疑點。對於重點應吃透，並盡可能在實際中進行運用。對於難點則要努力攻破,一方面可以結合教材中的內容進行理解，另一方面小朋友之間可以加強交流，在交流中解決這些難點。而復習更重要的是查漏補缺，對於一知半解的疑點決不可輕易放過，任何問題在我們的頭腦中都不應是模稜兩可的，可以准備一本本子把平時的練習中所出現的錯誤都記錄下來，再進行一次分析，以避免下次再犯同樣的錯誤。
4.講究方法,適當做題
復習的方法多種多樣，不同的方法也許適用於不同的人，我們應在實際運用中找到適合自己的復習方法，同時應注意不斷地變換自己的復習方法。有時我們常會感到一種本來十分靈驗的方法，經過一段時間後變得不再靈驗了，這就要求我們及時地改變方法，以不斷提高復習的效率。當然復習時適當地做題是必不可少的，可心選做不同類型的題目，在練習中使知識點得到了鞏固，運用能力得到了提高。復習中，要做很多的練習，我認為練習方法也要"巧"。首先，對於像概念、法則、單詞、生字詞這些重要而基礎的知識進行記憶鞏固，有針對地做練習。二要精練多思，提高練習的效率。練習中要多思考，多聯想，多小結，把所學的知識聯系起來進行比較，做題不能只看數量不重質量，做過之後發現了錯誤要及時研究改正，總結經驗以免再犯，達到"溫故知新"的效果。
5.調整心態，考前虛心，考時自信
要有虛心的心態，意識到自己還有許多不明確的知識點，還有沒完全掌握的技能方法，這樣才能在復習時深入鑽研，仔細琢磨。而在考試時同學們應調整好自己的心態，努力放鬆自己，以必勝的信心，坦然面對考試。在復習的最後階段，我們可以將一些期末的練習題當作正式的期末考試，利用它們來調整自己的心理狀態，並不斷積累經驗，提高自己的應試技巧，從而使自己在走進正式考場時能進入一個最佳狀態。
四、上好復習課
課堂復習是總復習的中心環節，是你獲得科學文化知識的主要途徑。如果小朋友不會聽課，聽不懂，學不會，就會增加課後復習的困難和壓力，造成不良循環。同時由於長期積累，可能導致厭學心理，既不利於提高學習效果，也不利於心理健康。因此，在復習課中，小朋友要注意以下幾點。
1.認真聽。小朋友在課堂上要聚精會神地聽講，充分理解教師講課的內容及其表達方式的含義，如節奏的快慢、聲音的高低等。
2.注意看。小朋友在課堂上要全神貫注地注視教師板書的內容，對教師用彩色粉筆標記的部分、用電化教具突出演示的部分尤其要仔細觀察，認真領會和重點記憶。
3.多動腦。小朋友在課堂上要積極思考，要邊聽、邊看、邊思考，要與教師講課的進程保持同步，要多問幾個為什麼，要把新舊知識聯系起來思考，做到融會貫通，舉一反三。
4.主動練。小朋友在課堂上要大膽發言，勤學多練，從而加深理解，提高聽課效果。
5.做筆記。小朋友在課堂上對教師講課中的要點、難點都要簡明扼要地寫在筆記上，以備課後復慣用。
6.善歸納。小朋友在課堂上對教師課堂講授的內容，要抓住綱目，歸納要點，力求當堂理解。
五、復習注意心理調節。
專家研究，兒童、青少年和成人在生理發展、認知和情感領域方面有質的不同。學生在不同的年齡階段，其心理生理也不同。小朋友正處於身體發展時期，各種器官發育迅速，尤其是大腦和高級神經系統有很大的發展。這個時候的你具有好奇、好動、愛表現、善模仿等特點。感知能力、模仿力和記憶力強，形象思維好。但隨著年齡的增長，小朋友們的心理負擔加重，害羞感加強，甚至還出現了焦慮心理。而過度焦慮又是學習中的一大障礙。它導致緊張和害怕，從而使知識的輸出和存儲效果降低，影響學習。因此在復習中要注意調節自己的心理，以全身心狀態投入到復習中去。
1.要注意克服總復習出現的厭煩心理。隨著總復習的越來越深入，復習的東西越來越多，練習、模擬不斷，心理不免產生煩躁情緒。這時候同學們一定要明白堅持就是勝利這個道理，克服厭煩心理，下決心堅持下去。
2.總復習時要經受住挫折。在總復習階段有各種各樣的練習和考試，不可避免地有一兩次沒考好，沒發揮出正常水平，這是總復習階段的正常現象。偶爾沒考好的因素很多，要經受住這樣的挫折，總結經驗教訓。
3.同學們在總復習時心理處於高度緊張的狀態，隨著越來越多的練習，似乎不會的東西也越來越多了，甚至還出現了焦慮心理。其實，這是總復習當中必然會遇到的現象，這正說明你已找到各個環節中的漏洞了。在這時候你千萬別打退堂鼓，要有自信心，相信自己，以一顆平常心去對待，以後再復習就感到比較自如了。
⑶ 如何引領學生實現數學知識的自主重構
教學一節好的課其實就是各個教學環節的優化,如導入、目標、導讀、總結與作業等方面的優化.
1、導入的優化：導入課的方法很多,例如題目導入法
2、教學目標的優化：依據課文特點,依據文體特點學習品析語言的方法,教會方法,然後讓他用你教會的方法去學習.作為一個教師,心中特別應該有一個方法目標,同樣一個問題,不同年級是不一樣的.應該考慮七年級教會,八年級提升,九年級拔高.
3、導學過程的優化：導學思路藝術化,教材處理,導學方法科學化.不同的課文用不同的思路設計.