1. 關於數學的知識有哪些
如下：
1、數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，從某種角度看屬於形式科學的一種。
2、數學在人類歷史發展和社會生活中發揮著不可替代的作用，也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。
3、數學起源於人類早期的生產活動，古巴比倫人從遠古時代開始已經積累了一定的數學知識，並能應用實際問題。從數學本身看，他們的數學知識也只是觀察和經驗所得，沒有綜合結論和證明，但也要充分肯定他們對數學所做出的貢獻。
4、數學被應用在很多不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學在這些領域的應用一般被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並促成全新數學學科的發展.數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際應用為目標。雖然有許多工作以研究純數學為開端，但之後也許會發現合適的應用。
2. 世界數學史分為哪四個時期
學術界通常將數學發展劃分為以下四個時期：數學形成時期、初等數學時期、變數數學時期、近現代數學時期。
一、數學形成時期；萌芽時期是最初的數學知識積累時期，是數學發展過程中的漸變階段。這一時期的數學知識是零散的、初步的、非系統的，但是這是數學發展史的源頭，為數學後續的發展奠定了基礎。
這是人類建立最基本的數學概念的時期。人類從數數開始逐漸建立了自然數的概念，簡單的計演算法，並認識了最基本最簡單的幾何形式，算術與幾何還沒有分開。
中國歷史悠久，發掘出來的大量石器、陶器、青銅器、龜甲以及獸骨上面的圖形和銘文表明: 幾何觀念遠在舊石器時代就已經在中國逐步形成。早在五六千年前，古中國就有了數學符號，到三千多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的數字已十分常見。
這時，自然數記數都採用了十進位制。甲骨文中就有從一到十再到百、千、萬的十三個記數單位。這說明古中國也形成了數學的基本概念。
二、初等數學時期（公元前600年至17世紀中葉）；初等數學時期從公元前五世紀到公元十七世紀，延續了兩千多年、由於高等數學的建立而結束。
這個時期最明顯的結果就是系統地創立了初等數學，也就是現在中小學課程中的算術、初等代數、初等幾何(平面幾何和立體幾何)和平面三角等內容。
初等數學時期可以根據內容的不同分成兩部分，幾何發展的時期(到公元二世紀)和代數優先發展時期(從二世紀到十七進紀)。又可以按照歷史條件的不同把它分成「希臘時期」、「東方時期」和「歐洲文藝復興時期」。
希臘時期正好和希臘文化普遍繁榮的時代一致。希臘是一個文明古國，但是，和四大文明古國巴比倫、埃及、印度、中國相比，在文明史上，希臘文明要晚一段時間。
三、變數數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）；變數數學產生於17世紀，經歷了兩個決定性的重大步驟：第一步是解析幾何的產生；第二步是微積分（Calculus），即高等數學中研究函數的微分。它是數學的一個基礎學科。
內容主要包括極限、微分學、積分學、方程及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。
積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
四、近現代數學時期（19世紀20年代）；現代數學。現代數學時期，大致從19世紀初開始。數學發展的現代階段的開端，以其所有的基礎。代數、幾何、分析中的深刻變化為特徵。近代數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。
17世紀，數學的發展突飛猛進，實現了從常量數學到變數數學的轉折。中國近代數學的研究是從1919年五四運動以後才真正開始的。
(2)數學簡史有什麼知識擴展閱讀：
歷史介紹：
數學史研究的任務在於，弄清數學發展過程中的基本史實，再現其本來面貌，同時透過這些歷史現象對數學成就、理論體系與發展模式作出科學、合理的解釋、說明與評價，進而探究數學科學發展的規律與文化本質。作為數學史研究的基本方法與手段，常有歷史考證、數理分析、比較研究等方法。
史學家的職責就是根據史料來敘述歷史，求實是史學的基本准則。從17世紀始，西方歷史學便形成了考據學，在中國出現更早，尤鼎盛於清代乾嘉時期，時至今日仍為歷史研究之主要方法，只不過隨著時代的進步，考據方法在不斷改進，應用范圍在不斷拓寬而已。
當然，應該認識到，史料存在真偽，考證過程中涉及到考證者的心理狀態，這就必然影響到考證材料的取捨與考證的結果。就是說，歷史考證結論的真實性是相對的。同時又應該認識到，考據也非史學研究的最終目的，數學史研究又不能為考證而考證。
3. 介紹有關數學史和數學文化
發展史
世界數學發展史 數學，起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語Μαθηματικ? mathematikós）意思是「學問的基礎」，源於ματθημα（máthema）（「科學，知識，學問」）。 數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破。 除了認知到如何去數實際物質的數量，史前的人類亦了解如何去數抽象物質的數量，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。 更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統，如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數系統。 從歷史時代的一開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關多計算，為了了解數字間的關系，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。 到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變數概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關系和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。 數學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現，並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說，「存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部分為新的數學定理及其證明。」
http://ke..com/view/1284.html?wtp=tt#5
4. 數學史訊息
《九章算術》是中國古代數學專著，是算經十書中最重要的一種。該書內容十分豐富，系統總結了戰國、秦、漢時期的數學成就。同時，《九章算術》在數學上還有其獨到的成就，不僅最早提到分數問題，也首先記錄了盈不足等問題。該書經多次增補，成書時間已不可考，但據估算最遲在公元一世紀已有了現傳本。 許多人曾為它作過注釋，其中不乏歷史上的數學名人，最著名的有劉徽（公元263年）、李淳風（公元656年）等人。
《九章算術》的主要內容:
《九章算術》的內容十分豐富，全書採用問題集的形式，收有246個與生產、生活實踐有聯系的應用問題，其中每道題有問（題目）、答（答案）、術（解題的步驟，但沒有證明），有的是一題一術，有的是多題一術或一題多術．這些問題依照性質和解法分別隸屬於方田、粟米、衰（音崔cui）分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插圖，今傳本已只剩下正文了。
《九章算術》的九章的主要內容分別是：
第一章「方田」：田畝面積計算；
第二章「粟米」：穀物糧食的按比例折換；
第三章「衰分」：比例分配問題；
第四章「少廣」：已知面積、體積、求其一邊長和徑長等；
第五章「商功」：土石工程、體積計算；
第六章「均輸」：合理攤派賦稅；
第七章「盈不足」：即雙設法問題；
第八章「方程」：一次方程組問題；
第九章「勾股」：利用勾股定理求解的各種問題．
《九章算術》的數學成就
《九章算術》中的數學成就是多方面的:
(1)、在算術方面的主要成就有分數運算、比例問題和「盈不足」演算法．《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作，在第二、三、六章中有許多比例問題，在世界上也是比較早的．「盈不足」演算法需要給出兩次假設，是一項創造，中世紀歐洲稱它為「雙設法」，有人認為它是由中國經中世紀阿拉伯國家傳去的．
(2)、在幾何方面，主要是面積、體積計算．
(3)、在代數方面，主要有一次方程組解法、開平方、開立方、一般二次方程解法等．「方程」一章還在世界數學史上首次引入了負數及其加減法運演算法則．作為一部世界科學名著，《九章算術》在隋唐時期就已傳入朝鮮、日本．現在它已被譯成日、俄、德、英、法等多種文字．
關於《九章算術》的歷史考證:
現傳本《九章算術》成書於何時，目前眾說紛紜，多數認為在西漢末到東漢初之間，約公元一世紀前後，《九章算術》的作者不詳．很可能是在成書前一段歷史時期內通過多人之手逐次整理、修改、補充而成的集體創作結晶．由於二千年來經過輾轉手抄、刻印，難免會出現差錯和遺漏，加上《九章算術》文字簡略有些內容不易理解，因此歷史上有過多次校正和注釋。
關於對《九章算術》所做的注住要有:三國時曹魏劉徽注，唐朝李淳風注，南宋楊輝著《詳解九章演算法》選用《九章算術》中80道典型的題作過詳解並分類，清李潢(？～1811年)所著《九章算術細草圖說》對《九章算術》進行了校訂、列算草、補插圖、加說明，尤其是圖文並茂之作．現代錢寶琮(1892～1974年)曾對包括《九章算術》在內的《算經十書》進行了校點，用通俗語言、近代數學術語對《九章算術》及劉、李注文詳加註釋．80年代以來，今人白尚恕、郭書春、李繼閔等都有校注本出版．
對《九章算術》的評價和其對後世的影響:
《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作；其中盈不足的演算法更是一項令人驚奇的創造；「方程」章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運演算法則。在代數方面，《九章算術》在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；現在中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同。注重實際應用是《九章算術》的一個顯著特點。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地區遠至歐洲。
《九章算術》是幾代人共同勞動的結晶，它的出現標志著中國古代數學體系的形成．後世的數學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數學知識的。唐宋兩代都由國家明令規定為教科書。1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻，這是世界上最早的印刷本數學書。
可以說,《九章算術》是中國為數學發展做出的又一傑出貢獻
5. 數學史是什麼
數學史是研究數學科學發生發展及其規律的科學，簡單地說就是研究數學的歷史。它不僅追溯數學內容、思想和方法的演變、發展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數學科學的發展對人類文明所帶來的影響。因此，數學史研究對象不僅包括具體的數學內容，而且涉及歷史學、哲學、文化學、宗教等社會科學與人文科學內容，是一門交叉性學科。
6. 讀《數學簡史》第一章：文明早期
眼看著又要開始上班，上學期買的《數學簡史》再看一遍，外國人寫的書里很少涉及到古代中國的數學歷史，非常少，少得可憐。在第一章里提到新石器時代的早期圖案時提到中國的掛毯上能找到美麗的實例。學科的歷史發展不僅僅關注本國的發展更要放眼世界從時間的發展歷程中去了解。要想證明在任何時間在某一領域領先於其他國家需要有文獻記錄，光靠傳說是不行的。中國有，在第二章「古代東方」最後有一些介紹，不著急，先關注第一章。
一
人類最初有數和形的觀念要追溯到舊石器時代.在那幾百萬年的時間里,人們以小的群體聚集在一起,生活在和動物相差不多的情形之下,主要精力是用最原始的方法在任何可能的地方採集食物他們為打獵和捕魚造出了器具,發展了語言彼此交流,並且在舊石器時代後期創造了各種藝術形式,諸如雕像和繪畫,來豐富自己的生活.在法國和西班牙的洞穴里,大約15000年前的繪畫很可能帶有儀典的意義,但無疑表現了當時的人們對圖形的非凡了解;用數學的語言來說,就是表現了對空間中物體的二維映像的了解。
（數與形由來已久，在舊石器時代就已經產生，在我們的數學課堂裡面可以向學生介紹並附上圖片更加。）
不過,直到從僅僅食物採集轉化到真正從事糧食生產,從打獵捕魚真正進入到農業,人們對於數量和空間關系的了解才有了相當的進步這種根本的改變,是一次人們對大自然的態度由被動變主動的革命,從此歷史進入了新石器時代。
（舊石器時代—新石器時代，數學有了本質的變化，從現在數學概念上去關注「數量關系」和「空間關系」兩個維度）
人類歷史上這一偉大事件大約發生在10000年以前,當時覆蓋在歐洲和亞洲的冰層開始融化,大地出現了森林和沙漠,人們尋找食物的游牧流浪也慢慢地結束了.大部分漁民和獵人被原始的農民所取代,只要土地還夠肥沃,農民就會停留在固定的地方人們
開始建造更為長久的住所,不久為了應對氣候變化和敵人劫掠又產生了鄉村。考古已經發掘出許多這種新石器時代的定居所,出土
文物顯示出最初的手工業如制陶、木工和紡織是怎樣逐漸發展起來的.村民們用谷倉儲存余糧,就能夠對付冬天和困難的時期。當
時的人們已經會烤麵包、釀啤酒,在新石器時代後期還會熔鑄黃銅、青銅器具新發明出現了,特別是制陶的轉盤和車輪;船和住
所也改善了。不過所有這些非凡的創新只是發生在局部的地方,很少流傳到別的地方去。例如美洲印第安人在白人剛到美洲時還並不了解車輪的技巧。雖然如此,與舊石器時代比起來,技術進步的節奏是大大地加快了。
（停留，建造房屋及相關用品；有了交易促進了語言的發展及交際）
鄉村之間有著可觀的貿易往來,范圍之廣可以使相隔數百里的地方發生聯系.人們發現了熔化和製造的手藝,最初用黃銅,接著就有青銅的器具和兵械.這些強烈刺激了貿易活動,推動了語言的進一步形成,當然這些語言里的字表現的還是很具體的東西,抽象的內容很少,但是已經有些簡單的數字和圖形關系的詞彙了。許多大洋洲人、美洲人和非洲人的部落在與白人最初接觸的時期還
過著這樣的生活,有些部落現在仍舊生活在這樣的情形下.只要我們拋棄某些先入為主的偏見,就有可能去研究他們的生活習慣和
表達方式,從而在某種程度上了解他們。
二
數詞—如亞當斯密( Adam Smith)所說,可以表達某些「人類心智所能形成的最抽象的觀念——是慢慢地被使用起來的。它們開始出現時是定性的而不是定量的,不過是一、二和多之間的區別。斐濟古語中十條船稱作"bola」,+個椰子稱作「koro」，一千個
子稱作「 saloro」數的概念的古代定性的起源,還能在某些語言中，如希臘語或凱爾特語( Celtic)中的一些特殊的雙字詞中看到蛛絲馬跡.當數的概念延伸後,後面的數首先由加法形成3是2加1,4是2加2,5是2加3。
這里還有一些來自澳大利亞人的例子
在默里河( Murray River)地區:1=enea,2= petcheval,3=petcheval-enea, 4=petcheval-petcheval
在卡米拉羅易( Kamilaroi)地區:1=mal，2=buan,.3= guliba，4=bulan bulan, 5=bulan guliba, 6= guliba guliba
手工品貿易的發展刺激了數的概念的具體化,數排列起來並組合成大的單位,人們常用的是一隻手或兩只手的手指,貿易上這
是自然的方式。首先以五為進位基數,後來以十為進位基數,再加上加法或減法來完成計數,如此12是10+2,9是10-1.有的時候手指和腳趾總共的數目20,也會被選為進位基數。在易勒斯(W.C.Eels)所調查過的原始美洲人的307種計數法中,146種是十進位的,106種是五進位的或五和十進位的、二十進位的或五和二十進位的。墨西哥的瑪雅人和歐洲的凱爾特人用的就是最典型的二十進位系統。
人們又用相同的重復計數:木棍上的刻痕、繩子上的繩結、把鵝卵石或貝殼五個擺成一堆這些做法很像舊時客店老闆所用
的計數棍.從這樣計數到引進特殊的符號代表5,10,20等,只有一步之遙,而且我們發現在文字歷史開始時期,也就是在所謂文明的
黎明期,人們的確已經使用符號了。
（刻痕計數比較普遍，材質一般為木頭或者獸骨，優點是易保存，缺點不宜攜帶，但是保存下來的足以證明本民族的悠久歷史文化）
使用計數棍最古老的例子之一可以遠溯於舊石器時代,是1937數年在摩拉維亞( Moravia)的韋斯托尼采( Vestonice)發現的,這是一根幼狼的骨頭,7英寸(1英寸=2.54厘米)長,刻著55道深刻痕，其中前25道是5道一組.隨後是單獨一道2倍長的刻痕作為這
系列的結束;然後又從一道2倍長的刻痕開始新的系列的30道刻痕。考古還發現了其他這樣有刻痕的計數棒。
於是我們就清楚了雅各布.格林(譯者注: Jakob Grimm,他與弟弟威廉·格林一起創作了《格林童話》,以格林兄弟而聞名)書里
所說並且被人們反復引用的話,「計數始於數手指」的古老說法是錯誤的。用手指計數,也就是一五一十地計數,只是在社會發展到一定階段才出現的。一旦到達這種程度,數就可以用一個基數表示出來,然後再由此構成更大的數目。於是開始了算術的原始形式,
14被表示為10+4,有的時候是15-1.當20不被表示為10+10,而是2×10的時候乘法就開始了,這種二重運算被視為加法和乘法之間的一種中間道路,被人們使用了幾千年,特別是在埃及和在印度河流域雅利安之前( pre-Aryan)的摩亨佐一達羅( Mohenjo-Daro)
文化中。除法的開始是當10被表示為「整體的一半」的時候,雖然那時有意識地構成分數還是極其稀少的.例如在北美洲部落,人們
只發現了很少這種構成的實例,並且幾乎全部都是1/2,個別情況有1/3或1/4.一個奇特的現象是,當時人們非常喜愛很大的數目,這種喜愛或許是由誇大殺死敵人數量的合乎人情的慾望而刺激出來的;這種傾向的痕跡也出現在《聖經》和其他宗教或非宗教的典籍里。
（這句話很有意思，不管哪個年代的人都有很強烈的虛榮心，那個時代的人們是想通過自身創造的更大的數來證明自己更強大；如今的人們創造更大的數是為了掩蓋自己更虛偽。）
三
以後丈量物體的長度和容積也成為必需,當時量度標准粗放,常常就以人體的某個部分作為標准,於是就出現了像一指、一腳
一拃這樣的單位。英語中的「ell」（譯者注:相當於45英寸,原字是臂肘意)、「fathom」(譯者注:約6英尺(1英尺=0.3048米)或8英尺長,原文是指兩臂伸直時兩手指尖之間的距離)、「cubit（譯者注:原文是指從肘至中指末端的長度)就顯示人們的這種習慣，建造房子時,如印第安的農民或中歐高架房的居民,會用直尺擺在地上保持房子蓋直拐角成直角,英語里「 straight(直)」是與 stretch
(伸展)」有關系的,表示把繩子拉開；由"line(線)」到"linen(細麻布)則反映出編織的手藝和幾何學起源之間的關系.這是測量
需求進化的一種方式。
（度量需要標准，而人的身體中的部分器官是最方便的工具。我覺得還因為大多數人身材差不多，才選用手、腳來作為標准去度量。）
新石器時代的人們對於幾何圖形也逐漸產生了敏銳的感覺。陶器的燒制和著色、燈芯草的編織、籃筐和衣料的編織以及後來金屬的製造都促使人們去了解平面與空間的關系。舞蹈動作一定也起了相當的作用，新石器時代的裝飾很樂於表現和諧、對稱和相似數的關系也會出現在這種圖形中,就像某些史前圖形中就顯示了三角形的數字,還有的顯示了「神聖的」數字。
圖1-4是陶器、編織物或籃筐上出現的一些有趣的幾何圖形圖1的設計見於波西尼亞( Bosnia)新石器時代陶器和美索不達米亞( Mesopotamian)烏爾(Ur)時期的藝術品⊙圖2的裝飾圖案出自古埃及王朝統治前(約公元前4000前3500年)的埃及陶器。圖3顯示的圖形是初期鐵器時代(中歐,約公元前1000—前500年)原南斯拉夫的盧布爾雅那( Ljubljana)附近的高架房居民所用的。圖4的圖形中方形里填三角形,三角形里填圓形,是匈牙利肖普朗( Sopron)附近的墓葬出土的瓮上的花紋,它顯示了構造三角形數的努力,在後期的畢達哥拉斯數學中有著重要的作用.
（三角形數和其它形數都是有其歷史淵源的，正因為這些數背後的原因才能夠吸引無數的人喜歡上數學並開始研究它。）
這類圖形在歷史上一直很流行。在米諾斯(Minoan)和早期希臘的雙瓶、後拜占庭和阿拉伯的鑲嵌細工、波斯和中國的掛毯上都能找到美麗的實例。最初的早期圖形可能含有宗教或魔法的意義,後來其中的美學形象逐漸成為主流。在石器時代的宗教里我們可以體會到人們面對自然界、面對社會結構以及面對個人經歷的初步嘗試,宗教儀式里大量充斥著我們現在認為是魔幻的內容,而且這種魔幻的元素與當時數和形以及雕刻、音樂和繪畫中的觀念結合在一起.有的數(例如3,4,7)和有的圖形(如五角星和萬十字)被看作是有魔力的,有些學者甚至認為數學的這一方面正是數學發展中的決定因素,雖然數學的社會根源到當今時代已經變得模糊不清,但在人類歷史的早期時代卻是相當明顯的.「近代的」數字學是來自新石器時代甚或舊石器時代巫術或神秘儀式的一件遺物。
四
即使在社會結構離我們的科技文明很遙遠的部落中,也能發現人們在時間的計算上,與日、月、星辰運動的知識密切相關農
業和商業發達一些以後,這一知識就增加了更多科學的成色。人類歷史很早的時候就開始使用陰歷,將植物生長的變化形式與月亮盈虧的變化聯系在一起.原始的人們也注意到冬至和夏至,還有黎明時昴宿星的升起.最早期文明的人類會利用他們遙遠的史前時代的天文學知識,還有的民族以星座作為航行的指南。從這種天文學人們得到了球、角方向和圓的一些知識,甚至還有更加復雜圖形的知識。
（現在講究創新，比如stem課程，我覺得從數學發展的過程中可以去挖掘。因為數學發展的過程中離不開多學科的相輔相成，交錯影響。說到stem，再看到這里，國外的stem還是符合數學的本質的。可是不去研究而只是為了一個名聲簡直就是嘩眾取寵。有些課程不是拿來就可以教的，需要有沉澱，需要研究，需要找到與自身相結合起來的點，也就是自身實際情況，孩子的實際情況。）
近年來,人們更加註意史前石頭遺跡可能具有的天文和歷法意義，諸如英國大約公元前200年的巨石陣如果遺跡具有天文歷法意義,馬上就產生了一個問題這種天文的因此也就是數學的知識是怎樣從某一中心傳播過來的。這個中心也許是美索不達米亞(亦稱「兩河流域」)(彌漫說),或者具有本地生成的起源(這種觀點近來得到很多支持).美洲的文明發展似乎就獨立於歐洲文明和非洲文明,至少關聯很小。
五
以上數學開端的簡短展示表明,一種科學的歷史發展不一定會經歷過我們現在在書本中所劃分的那些階段.人類所知道的一些最古老的幾何形狀比如繩結和圖案,只是在近年來才受到充分的科學關注。另一方面,數學的一些比較基礎的部分,例如圖表法
或初等統計學,只開始於相對現代的時期。正如施派澤(A. Speiser)刻薄而略帶誇張的評論:
初等數學已經有著顯著的日益冗長的趨向,這似乎是它所固有的,其實初等數學可能開始得很晚,因為開創性的數學家只偏愛去注意那些有趣而優美的問題.
六
在此也許正該提到三個古老的數學文明,它們是米諾斯一邁錫尼( inoans-Mycenaeans)文明、瑪雅文明和印加文明,這些文明本身不乏精彩,卻對數學以後的發展少有影響。它們的科學不能算「初期的」科學,而是屬於下一章要談到的古代東方科學。
人們在克里特島( Crete)和希臘大陸的米諾斯-邁錫尼文明的廢墟里發現了公務中使用的數學符號,這些符號出現在稱為A
類線形文字和B類線形文字的手跡里,屬於大約公元前1800—前1200年的時期數字表示和埃及一樣(當然符號不同)使用加的方
式,1,10.100,100各有特殊符號.另外還有簡單分數的符號,不全是單位分數。因為書寫者不曾烘烤他們書寫的泥板,保留下的只有
城市最後發生大火時受到烘烤的部分,我們對於這一文明的數學為知識程度的認識是不全的,它也許可以和埃及的數學相媲美.至
少我們知道荷馬( Homer)筆下的英雄中有能在泥板上做算術的抄寫員。
（偶然事件，得以保存到現在靠著一把火）
中美洲的瑪雅文明,主要建立在現在的尤卡坦( Yucatan)和瓜地馬拉,持續了1500年之久,在大約公元200–900年的所謂經典
時期達到高峰.瑪雅的算術主要解讀於非手寫的石刻遺跡、法典和西班牙的史籍.與他們的天文學,特別是他們的歷法系統緊密相
關的是二十進位制(至今依然),用點表示從1到4,橫杠表示5到15的數目.對於更大的數,他們使用以20為基的位置制,20的冪也用與20相同的符號也就是單位符號表示.用於歷法時則有一些修改這種位置體系需要表示0的符號,常常是一種貝殼或半睜眼符號.這一系統及其與歷法的聯系還流傳到中美洲的其他民族.大家認為在墨西哥城發現的著名阿茲特克(Aztecs）時期日歷石就是在11世紀末傳到這個地方的。
印加從13世紀中葉開始在南美的安第斯山脈中部和以西的地方建起了廣大的帝國,首都是庫斯科( Cuzco).帝國龐大的社會
制度在管理、手工業和工程方面很強勢,在交流和信息上不使用書寫文字,使用一種結繩文字.結繩中最基本的是彩色棉或毛的一根主繩,與主繩相結的繩子上又結有成組的繩結,各組間有一定距離。每組結的數目是1–9個,比如說,4個結的一組後面是2個結的
一組,然後是8個結的一組,就表示428.因此說這是一個位置系統，其中0表示為兩結間一段較大的距離。繩子的不同顏色表示不同物體:羊、士兵等;繩子的位置以及繩子所聯結的繩子,對於會「讀」結繩文字的記錄人來說,可能就是一段非常復雜的統計故事。
（結繩計數：1、結的位置很重要；2、顏色不同表示的事物也不一樣；3、每一個結繩背後都有一個統計故事，現代人很難理解它們背後的故事。
我們的數學課堂需要把這些有趣的故事講給學生們聽。不要總講知識，說些道理，可以改變形式，比如講點故事也是挺好的嘛。）
結繩文字里可能會有數百根結在一起的繩子,目前發現最大的一件垂有1800根繩子,可能表示的是軍人或工人的團隊.人們
只發現了400來件結繩,都是出土於墓葬,因為西班牙人曾將其視為邪惡而加以銷毀。
這種結繩文字告訴我們,沒有書寫技藝也能具有發達的社會文明.巨石陣那樣的文化是否可能擁有現在已經永遠失傳的類似
交流和存儲信息的方法?這些繩結得以保存是因為掩埋在沿太平洋的沙漠地區,那些埋在不太乾燥地區的就都丟失了。
7. 中國數學簡史
中國數學簡史
（轉自上海市數學會網站，中央大學數學系阮浩耘）
中國是世界文明古國之一，地處亞洲東部，瀕太平洋西岸。數學在中國的發展源遠流長，成就輝煌。下面我們依歷史的發展，分段敘述。
先秦萌芽時期
黃河流域和長江流域是中華民族文化的搖籃，大約在公元前2000年，在黃河中下游產生了第一個奴隸制國家——夏朝。其後有商、殷兩代(約1500 B.C. - 1027 B.C.)、及周朝(約1027 B.C. - 221 B.C.)。歷史上又稱公元前八世紀至秦王朝的建立(221 B.C.)為春秋戰國時期。
據《易·系辭》記載：「上古結繩而治，後世聖人易之以書契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數文字，共有13個獨立符號，記數用合文書寫，其中有十進制制的記數法，出現最大的數字為三萬。
算籌是中國古代的計算工具，而這種計算方法稱為籌算。算籌的產生年代已不可考究，但可以肯定的是籌算在春秋時代已很普遍。
表示一個多位數字時，採用十進制值制，各位值的數目從左到右排列，縱橫相間(法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當)，並以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運算建立起良好的條件。
籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。
在幾何學方面《史記·夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、准、繩等作圖和測量工具，並早已發現「勾三股四弦五」這個勾股定理(西方稱勾股定理)的特例。戰國時期，齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規范，包含了一些測量的內容，並涉及到一些幾何知識，例如角的概念。
戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關於某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題，強調抽象的數學思想，例如「至大無外謂之大一，至小無內謂之小一」、「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其它數學命題是相當可貴的數學思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發展。
此外，講述陰陽八卦，預言吉凶的《易經》已有了組合數學的萌芽，並反映出二進制的思想。
漢唐初創時期
這一時期包括從秦漢到隋唐1000多年間的數學發展，所經歷的朝代依次為秦、漢、魏、晉、南北朝、隋、唐。
秦漢是中國古代數學體系的形成時期。為使不斷豐富的數學知識系統化、理論化，數學方面的專書陸續出現。
西漢末年(公元前一世紀)編纂的天文學著作《周髀算經》在數學方面主要有兩項成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測太陽高、遠的陳子測日法，為後來重差術的先驅。此外，還有較復雜的開方問題和分數運算等。
《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作，約成書於東漢初年(公元前一世紀)。全書採用問題集的形式編寫，共收集了246個問題及其解法，分屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例演算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面，《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則，在世界數學史上都是最早的記載；書中關於線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說，它注重應用，注重理論聯系實際，形成了以籌算為中心的數學體系，對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進制值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過這些國家傳到歐洲，促進了世界數學的發展。
魏晉時期中國數學在理論上有了較大的發展。其中趙爽和劉徽的工作被認為是中國古代數學理論體系的開端。趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明的最早的數學家之一，對《周髀算經》做了詳盡的注釋。劉徽注釋《九章算術》，不僅對原書的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，且在論述過程中多有創新，更撰寫《海島算經》，應用重差術解決有關測量的問題。劉徽其中一項重要的工作是創立割圓術，為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的演算法。
南北朝時期的社會長期處於戰爭和分裂狀態，但數學的發展依然蓬勃。《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》就是這個時期的作品。《孫子算經》給出「物不知數」問題，導致求解一次同餘組問題；《張丘建算經》的「百雞問題」引出三個未知數的不定方程組問題。
祖沖之、祖暅父子的工作在這一時期最具代表性，他們在《九章算術》劉徽注的基礎上，將傳統數學大大向前推進了一步，成為重視數學思維和數學推理的典範。他們同時在天文學上也有突出的貢獻。其著作《綴術》已失傳，根據史料記載，他們在數學上主要有三項成就：(1)計算圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113；(2)得到祖暅定理(冪勢既同，則積不容異)並得到球體積公式；(3)發展了二次與三次方程的解法。
隋朝大興土木，客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通撰《緝古算經》，主要是討論土木工程中計算土方、工程的分工與驗收以及倉庫和地窖的計算問題。
唐朝在數學教育方面有長足的發展。656年國子監設立算學館，設有算學博士和助教，由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》(包括《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《綴術》)，作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。
此外，隋唐時期由於歷法需要，創立出二次內插法，為宋元時期的高次內插法奠定了基礎。而唐朝後期的計算技術有了進一步的改進和普及，出現很多種實用算術書，對於乘除演算法力求簡捷。
宋元全盛時期
唐朝亡後，五代十國仍是軍閥混戰的繼續，直到北宋王朝統一了中國，農業、手工業、商業迅速繁榮，科學技術突飛猛進。從公元十一世紀到十四世紀(宋、元兩代)，籌算數學達到極盛，是中國古代數學空前繁榮，碩果累累的全盛時期。這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章演算法細草》(11世紀中葉)，劉益的《議古根源》(12世紀中葉)，秦九韶的《數書九章》(1247)，李冶的《測圓海鏡》(1248)和《益古演段》(1259)，楊輝的《詳解九章演算法》(1261)、《日用演算法》(1262)和《楊輝演算法》(1274-1275，朱世傑的《算學啟蒙》(1299)和《四元玉鑒》(1303)等等。
宋元數學在很多領域都達到了中國古代數學，甚至是當時世界數學的巔峰。其中主要的工作有：(1)高次方程數值解法；(2)天元術與四元術，即高次方程的立法與解法，是中國數學史上首次引入符號，並用符號運算來解決建立高次方程的問題；(3)大衍求一術，即一次同餘式組的解法，現在稱為中國剩餘定理；(4)招差術和垛積術，即高次內插法和高階等差級數求和。
另外，其它成就包括勾股形解法新的發展、解球面直角三角形的研究、縱橫圖(幻方)的研究、小數(十進分數)具體的應用、珠算的出現等等。
這一時期民間數學教育也有一定的發展，以及中國和伊斯蘭國家之間的數學知識的交流也得到了發展。
西學輸入時期
這一時期從十四世紀中葉明王朝建立到二十世紀清代結束共500多年。數學除珠算外出現全面衰弱的局面，當中涉及到中算的局限、十三世紀的考試制度中已刪減數學內容、明代大興八段考試制度等復雜的問題，不少中外數學史家仍探討當中涉及的原因。十六世紀末，西方初等數學開始傳入中國，使中國數學研究出現了一個中西融合貫通的局面。鴉片戰爭後，近代高等數學開始傳入中國，中國數學轉入一個以學習西方數學為主的時期。直到十九世紀末，中國的近代數學研究才真正開始。
明代最大的成就是珠算的普及，出現了許多珠算讀本，及至程大位的《直指演算法統宗》(1592)問世，珠算理論已成系統，標志著從籌算到珠算轉變的完成。但由於珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳，數學出現長期停滯。
隋及唐初，印度數學和天文學知識曾傳入中國，但影響較細。到了十六世紀末，西方傳教士開始到中國活動，和中國學者合譯了許多西方數學專著。其中第一部且有重大影響的是義大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷(1607)，其嚴謹的邏輯體系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術。此外，《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創，且沿用至今。在輸入的西方數學中僅次於幾何的是三角學。在此之前，三角學只有零星的知識，而此後獲得迅速發展。介紹西方三角學的著作有鄧玉函編譯的《大測》(2卷，1631)、《割圓八線表》(6卷)和羅雅谷的《測量全義》(10卷，1631)。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》(137卷，1629-1633)中，介紹了有關圓錐曲線的數學知識。
入清以後，會通中西數學的傑出代表是梅文鼎，他堅信中國傳統數學「必有精理」，對古代名著做了深入的研究，同時又能正確對待西方數學，使之在中國紮根，對清代中期數學研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數學家還有王錫闡和年希堯等人。
清康熙帝愛好科學研究，他「御定」的《數理精蘊》(53卷，1723)，是一部比較全面的初等數學書，對當時的數學研究有一定影響。
干嘉年間形成一個以考據學為主的干嘉學派，編成《四庫全書》，其中數學著作有《算經十書》和宋元時期的著作，為保存瀕於湮沒的數學典籍做出重要貢獻。
在研究傳統數學時，許多數學家還有發明創造，例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》(1859)中得到三角自乘垛求和公式，現在稱之為「李善蘭恆等式」。這些工作較宋元時期的數學進了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學家和數學家傳記《疇人傳》(46卷，1795-1810)，開數學史研究之先河。
1840年鴉戰爭後，閉關鎖國政策被迫中止。同文館內添設「算學」，上海江南製造局內添設翻譯館，由此開始第二次翻譯引進的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》後9卷(1857)，使中國有了完整的《幾何原本》中譯本；《代數學》(13卷，1859)；《代微積拾級》(18卷，1859)。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》(3卷)，華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數術》(25卷，1872)，《微積溯源》(8卷，1874)，《決疑數學》(10卷，1880)等。在這些譯著中，創造了許多數學名詞和術語，至今仍在應用。
1898年建立京師大學堂，同文館並入。
1905年廢除科舉，建立西方式學校教育，使用的課本也與西方其它各國相仿。
近現代數學發展時期
這一時期是從20世紀初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標志劃分為兩個階段。
中國近現代數學開始於清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有：1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來(1915年轉留法)，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家，為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位，成為第一位獲得博士學位的中國數學家。隨著留學人員的回國，各地大學的數學教育有了起色。最初只有北京大學1912年成立時建立的數學系，1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學(今南京大學)和清華大學建立數學系，不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系，到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵(1927)、陳省身(1934)、華羅庚(1936)、許寶騄(1936)等人，他們都成為中國現代數學發展的骨幹力量。同時外國數學家也有來華講學的，例如英國的羅素(1920)，美國的伯克霍夫(1934)、奧斯古德(1934)、維納(1935)，法國的阿達馬(1936)等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。1936年《中國數學會學報》和《數學雜志》相繼問世，這些標志著中國現代數學研究的進一步發展。
4 中國數學簡史
解放以前的數學研究集中在純數學領域，在國內外共發表論著600餘種。在分析學方面，陳建功的三角級數論，熊慶來的亞純函數與整函數論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數論與代數方面，華羅庚等人的解析數論、幾何數論和代數數論以及近世代數研究取得令世人矚目的成果；在幾何與拓撲學方面，蘇步青的微分幾何學，江澤涵的代數拓撲學，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創性的工作：在概率論與數理統計方面，許寶騄在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴密證明。此外，李儼和錢寶琮開創了中國數學史的研究，他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作，使我國的民族文化遺產重放光彩。
1949年11月即成立中國科學院。1951年3月《中國數學學報》復刊(1952年改為《數學學報》)，1951年10月《中國數學雜志》復刊(1953年改為《數學通報》)。1951年8月中國數學會召開建國後第一次全國代表大會，討論了數學發展方向和各類學校數學教學改革問題。
建國後的數學研究取得長足進步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素數論》(1953)、蘇步青的《射影曲線概論》(1954)、陳建功的《直角函數級數的和》(1954)和李儼的《中算史論叢》(5輯，1954-1955)等專著，到1966年，共發表各種數學論文約2萬余篇。除了在數論、代數、幾何、拓撲、函數論、概率論與數理統計、數學史等學科繼續取得新成果外，還在微分方程、計算技術、運籌學、數理邏輯與數學基礎等分支有所突破，有許多論著達到世界先進水平，同時培養和成長起一大批優秀數學家。
60年代後期，中國的數學研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷，後經多方努力狀況略有改變。1970年《數學學報》恢復出版，並創刊《數學的實踐與認識》。1973年陳景潤在《中國科學》上發表《大偶數表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數學家在函數論、馬爾可夫過程、概率應用、運籌學、優選法等方面也有一定創見。
1978年11月中國數學會召開第三次代表大會，標志著中國數學的復甦。1978年恢復全國數學競賽，1985年中國開始參加國際數學奧林匹克數學競賽。1981年陳景潤等數學家獲國家自然科學獎勵。1983年國家首批授於18名中青年學者以博士學位，其中數學工作者佔2/3。1986年中國第一次派代表參加國際數學家大會，加入國際數學聯合會，吳文俊應邀作了關於中國古代數學史的45分鍾演講。近十幾年來數學研究碩果累累，發表論文專著的數量成倍增長，質量不斷上升。1985年慶祝中國數學會成立50周年年會上，已確定中國數學發展的長遠目標。代表們立志要不懈地努力，爭取使中國在世界上早日成為新的數學大國。
（轉自上海市數學會網站，中央大學數學系阮浩耘）
8. 數學簡史
數學是中國古代科學中一門重要的學科，根據中國古代數學發展的特點，可以分為五個時期：萌芽；體系的形成；發展；繁榮和中西方數學的融合。
一、中國古代數學的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產生以後，數與形的概念有了進一步的發展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字元號取代結繩記事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創造了規、矩、准、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。
商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用十個天乾和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發展為六十四卦，表示64種事物。
公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，並舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環矩可以為圓等例子。《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為「六藝」之一的數已經開始成為專門的課程。
春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。
戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，尤其是對於正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名家認為經過抽象以後的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出「矩不方，規不可以為圓」，把「大一」(無窮大)定義為「至大無外」，「小一」(無窮小)定義為「至小無內」。還提出了「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等命題。
而墨家則認為名來源於物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。
墨家不同意「一尺之棰」的命題，提出一個「非半」的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的「非半」，這個「非半」就是點。
名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理論的發展是很有意義的。
二、中國古代數學體系的形成
秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系正是形成於這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。
《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。
《九章算術》有幾個顯著的特點：採用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。
這些特點是同當時社會條件與學術思想密切相關的。秦漢時期，一切科學技術都要為當時確立和鞏固封建制度，以及發展社會生產服務，強調數學的應用性。最後成書於東漢初年的《九章算術》，排除了戰國時期在百家爭鳴中出現的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重於與當時生產、生活密切相結合的數學問題及其解法，這與當時社會的發展情況是完全一致的。
《九章算術》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，並成為這些國家當時的數學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數學的發展。
三、中國古代數學的發展
魏、晉時期出現的玄學，不為漢儒經學束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利於數學從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經》，漢末魏初徐岳撰《九章算術》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術》注、《九章重差圖》都是出現在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。
趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明與推導的最早的數學家之一。他在《周髀算經》書中補充的「勾股圓方圖及注」和「日高圖及注」是十分重要的數學文獻。在「勾股圓方圖及注」中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在「日高圖及注」中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創性的，在中國古代數學發展中佔有重要地位。
劉徽約與趙爽同時，他繼承和發展了戰國時期名家和墨家的思想，主張對一些數學名詞特別是重要的數學概念給以嚴格的定義，認為對數學知識必須進行「析理」，才能使數學著作簡明嚴密，利於讀者。他的《九章算術》注不僅是對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程中有很大的發展。劉徽創造割圓術，利用極限的思想證明圓的面積公式，並首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250。
劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恆為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓台的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。
東晉以後，中國長期處於戰爭和南北分裂的狀態。祖沖之父子的工作就是經濟文化南移以後，南方數學發展的具有代表性的工作，他們在劉徽注《九章算術》的基礎上，把傳統數學大大向前推進了一步。他們的數學工作主要有：計算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖暅原理；提出二次與三次方程的解法等。
據推測，祖沖之在劉徽割圓術的基礎上，算出圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個結果。他又用新的方法得到圓周率兩個分數值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計算方面，比西方領先約一千年之久；
祖沖之之子祖暅總結了劉徽的有關工作，提出「冪勢既同則積不容異」，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應用這個公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。
隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通的《緝古算經》，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數學的情況。王孝通在不用數學符號的情況下，立出數字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為後來天元術的建立打下基礎。此外，對傳統的勾股形解法，王孝通也是用數字三次方程解決的。
唐初封建統治者繼承隋制，656年在國子監設立算學館，設有算學博士和助教，學生30人。由太史令李淳風等編纂注釋《算經十書》，作為算學館學生用的課本，明算科考試亦以這些算書為准。李淳風等編纂的《算經十書》，對保存數學經典著作、為數學研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經》、《九章算術》以及《海島算經》所作的註解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由於歷法的需要，天算學家創立了二次函數的內插法，豐富了中國古代數學的內容。
算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優點，但也存在布籌佔用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術上是重要的改革。尤其是「珠算」，它繼承了籌算五升十進與位值制的優點，又克服了籌算縱橫記數與置籌不便的缺點，優越性十分明顯。但由於當時乘除演算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應用。
唐中期以後，商業繁榮，數字計算增多，迫切要求改革計算方法，從《新唐書》等文獻留下來的算書書目，可以看出這次演算法改革主要是簡化乘、除演算法，唐代的演算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算，它既適用於籌算，也適用於珠算。
四、中國古代數學的繁榮
960年，北宋王朝的建立結束了五代十國割據的局面。北宋的農業、手工業、商業空前繁榮，科學技術突飛猛進，火葯、指南針、印刷術三大發明就是在這種經濟高漲的情況下得到廣泛應用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經十書》，1213年鮑擀之又進行翻刻。這些都為數學發展創造了良好的條件。
從11～14世紀約300年期間，出現了一批著名的數學家和數學著作，如賈憲的《黃帝九章演算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章演算法》《日用演算法》和《楊輝演算法》，朱世傑的《算學啟蒙》《四元玉鑒》等，很多領域都達到古代數學的高峰，其中一些成就也是當時世界數學的高峰。
從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章演算法纂類》中載有賈憲「增乘開平方法」、「增乘開立方法」；在《詳解九章演算法》中載有賈憲的「開方作法本源」圖、「增乘方法求廉草」和用增乘開方法開四次方的例子。根據這些記錄可以確定賈憲已發現二項系數表，創造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數學發生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。
把增乘開方法推廣到數字高次方程(包括系數為負的情形)解法的是劉益。《楊輝演算法》中「田畝比類乘除捷法」卷，介紹了原書中22個二次方程和 1個四次方程，後者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。
秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數為10)的問題。為了適應增乘開方法的計算程序，奏九韶把常數項規定為負數，把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數時，秦九韶採取繼續求根的小數，或用減根變換方程各次冪的系數之和為分母，常數為分子來表示根的非整數部分，這是《九章算術》和劉徽注處理無理數方法的發展。在求根的第二位數時，秦九韶還提出以一次項系數除常數項為根的第二位數的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。
元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數的內插值問題。秦九韶在「綴術推星」題、朱世傑在《四元玉鑒》「如象招數」題都提到內插法(他們稱為招差術)，朱世傑得到一個四次函數的內插公式。
用天元(相當於x)作為未知數符號，立出高次方程，古代稱為天元術，這是中國數學史上首次引入符號，並用符號運算來解決建立高次方程的問題。現存最早的天元術著作是李冶的《測圓海鏡》。
從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，是宋元數學家的又一項傑出的創造。留傳至今，並對這一傑出創造進行系統論述的是朱世傑的《四元玉鑒》。
朱世傑的四元高次聯立方程組表示法是在天元術的基礎上發展起來的，他把常數放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世傑的最大貢獻是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數，其他元組成的多項式作為這未知數的系數，列成若干個一元高次方程式，然後應用互乘相消法逐步消去這一未知數。重復這一步驟便可消去其他未知數，最後用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發展，比西方同類方法早400多年。
勾股形解法在宋元時期有新的發展，朱世傑在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內容。
已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經余弧，求赤經余弧和赤緯度數，是一個解球面直角三角形的問題，傳統歷法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統的勾股形解法、沈括用會圓術和天元術解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結果不夠精確。但他們的整個推算步驟是正確無誤的，從數學意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。
中國古代計算技術改革的高潮也是出現在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術書目，其數量遠比唐代為多，改革的主要內容仍是乘除法。與演算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現。但如果把現代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的演算法和口訣，那麼應該說它最後完成於元代。
宋元數學的繁榮，是社會經濟發展和科學技術發展的必然結果，是傳統數學發展的必然結果。此外，數學家們的科學思想與數學思想也是十分重要的。宋元數學家都在不同程度上反對理學家的象數神秘主義。秦九韶雖曾主張數學與道學同出一源，但他後來認識到，「通神明」的數學是不存在的，只有「經世務類萬物」的數學；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的「用假象真，以虛問實」則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對縱橫圖結構進行研究，揭示出洛書的本質，有力地批判了象數神秘主義。所有這些，無疑是促進數學發展的重要因素。
中西方數學的融合
中國從明代開始進入了封建社會的晚期，封建統治者實行極權統治，宣傳唯心主義哲學，施行八股考試制度。在這種情況下，除珠算外，數學發展逐漸衰落。
16世紀末以後，西方初等數學陸續傳入中國，使中國數學研究出現一個中西融合貫通的局面；鴉片戰爭以後，近代數學開始傳入中國，中國數學便轉入一個以學習西方數學為主的時期；到19世紀末20世紀初，近代數學研究才真正開始。
從明初到明中葉，商品經濟有所發展，和這種商業發展相適應的是珠算的普及。明初《魁本對相四言雜字》和《魯班木經》的出現，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，後者把算盤作為家庭必需用品列入一般的木器傢具手冊中。
隨著珠算的普及，珠算演算法和口訣也逐漸趨於完善。例如王文素和程大位增加並改善撞歸、起一口訣；徐心魯和程大位增添加、減口訣並在除法中廣泛應用歸除，從而實現了珠算四則運算的全部口訣化；朱載墒和程大位把籌算開平方和開立方的方法應用到珠算，程大位用珠算解數字二次、三次方程等等。程大位的著作在國內外流傳很廣，影響很大。
1582年，義大利傳教士利瑪竇到中國，1607年以後，他先後與徐光啟翻譯了《幾何原本》前六卷、《測量法義》一卷，與李之藻編譯《圜容較義》和《同文算指》。1629年，徐光啟被禮部任命督修歷法，在他主持下，編譯《崇禎歷書》137卷。《崇禎歷書》主要是介紹歐洲天文學家第谷的地心學說。作為這一學說的數學基礎，希臘的幾何學，歐洲玉山若乾的三角學，以及納皮爾算籌、伽利略比例規等計算工具也同時介紹進來。
在傳入的數學中，影響最大的是《幾何原本》。《幾何原本》是中國第一部數學翻譯著作，絕大部分數學名詞都是首創，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認為對它「不必疑」、「不必改」，「舉世無一人不當學」。《幾何原本》是明清兩代數學家必讀的數學書，對他們的研究工作頗有影響。
其次應用最廣的是三角學，介紹西方三角學的著作有《大測》《割圓八線表》和《測量全義》。《大測》主要說明三角八線(正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢、余矢)的性質，造表方法和用表方法。《測量全義》除增加一些《大測》所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角。所有這些，在當時歷法工作中都是隨譯隨用的。
1646年，波蘭傳教士穆尼閣來華，跟隨他學習西方科學的有薛鳳柞、方中通等。穆尼閣去世後，薛鳳柞據其所學，編成《歷學會通》，想把中法西法融會貫通起來。《歷學會通》中的數學內容主要有比例對數表》《比例四線新表》和《三角演算法》。前兩書是介紹英國數學家納皮爾和布里格斯發明增修的對數。後一書除《崇禎歷書》介紹的球面三角外，尚有半形公式、半弧公式、德氏比例式、納氏比例式等。方中通所著《數度衍》對對數理論進行解釋。對數的傳入是十分重要，它在歷法計算中立即就得到應用。
清初學者研究中西數學有心得而著書傳世的很多，影響較大的有王錫闡《圖解》、梅文鼎《梅氏叢書輯要》(其中數學著作13種共40卷)、年希堯《視學》等。梅文鼎是集中西數學之大成者。他對傳統數學中的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進行整理和研究，使瀕於枯萎的明代數學出現了生機。年希堯的《視學》是中國第一部介紹西方透視學的著作。
清康熙皇帝十分重視西方科學，他除了親自學習天文數學外，還培養了一些人才和翻譯了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙養齋匯編官，會同陳厚耀、何國宗、明安圖、楊道聲等編纂天文演算法書。1721年完成《律歷淵源》100卷，以康熙「御定」的名義於1723年出版。其中《數理精蘊》主要由梅彀成負責，分上下兩編，上編包括《幾何原本》、《演算法原本》，均譯自法文著作；下編包括算術、代數、平面幾何平面三角、立體幾何等初等數學，附有素數表、對數表和三角函數表。由於它是一部比較全面的初等數學網路全書，並有康熙「御定」的名義，因此對當時數學研究有一定影響。
綜上述可以看到，清代數學家對西方數學做了大量的會通工作，並取得許多獨創性的成果。這些成果，如和傳統數學比較，是有進步的，但和同時代的西方比較則明顯落後了。
雍正即位以後，對外閉關自守，導致西方科學停止輸入中國，對內實行高壓政策，致使一般學者既不能接觸西方數學，又不敢過問經世致用之學，因而埋頭於究治古籍。乾嘉年間逐漸形成一個以考據學為主的乾嘉學派。
隨著《算經十書》與宋元數學著作的收集與注釋，出現了一個研究傳統數學的高潮。其中能突破舊有框框並有發明創造的有焦循、汪萊、李銳、李善蘭等。他們的工作，和宋元時代的代數學比較是青出於藍而勝於藍的；和西方代數學比較，在時間上晚了一些，但這些成果是在沒有受到西方近代數學的影響下獨立得到的。
與傳統數學研究出現高潮的同時，阮元與李銳等編寫了一部天文數學家傳記—《疇人傳》，收集了從黃帝時期到嘉慶四年已故的天文學家和數學家270餘人(其中有數學著作傳世的不足50人)，和明末以來介紹西方天文數學的傳教士41人。這部著作全由「掇拾史書，荃萃群籍，甄而錄之」而成，收集的完全是第一手的原始資料，在學術界頗有影響。
1840年鴉片戰爭以後，西方近代數學開始傳入中國。首先是英人在上海設立墨海書館，介紹西方數學。第二次鴉片戰爭後，曾國藩、李鴻章等官僚集團開展「洋務運動」，也主張介紹和學習西方數學，組織翻譯了一批近代數學著作。
其中較重要的有李善蘭與偉烈亞力翻譯的《代數學》《代微積拾級》；華蘅芳與英人傅蘭雅合譯的《代數術》《微積溯源》《決疑數學》；鄒立文與狄考文編譯的《形學備旨》《代數備旨》《筆算數學》；謝洪賚與潘慎文合譯的《代形合參》《八線備旨》等等。
《代微積拾級》是中國第一部微積分學譯本；《代數學》是英國數學家德·摩根所著的符號代數學譯本；《決疑數學》是第一部概率論譯本。在這些譯著中，創造了許多數學名詞和術語，至今還在應用，但所用數學符號一般已被淘汰了。戊戌變法以後，各地興辦新法學校，上述一些著作便成為主要教科書。
在翻譯西方數學著作的同時，中國學者也進行一些研究，寫出一些著作，較重要的有李善蘭的《尖錐變法解》《考數根法》；夏彎翔的《洞方術圖解》《致曲術》《致曲圖解》等等，都是會通中西學術思想的研究成果。
由於輸入的近代數學需要一個消化吸收的過程，加上清末統治者十分腐敗，在太平天國運動的沖擊下，在帝國主義列強的掠奪下，焦頭爛額，無暇顧及數學研究。直到1919年五四運動以後，中國近代數學的研究才真正開始。