1. 怎樣提高數學思維
思維是一種技術，是可以訓練的；思維又是一種藝術，只能是潛移默化，不能立竿見影。在數學教學中,應注重對學生數學思維的訓練，要教會學生分析問題的基本方法，這樣有利於培養學生的正確思維方式。除了根據數學思維的特點來開發學生的數學思維外，我們還可以從以下幾方面培養開發學生的數學思維。
（1）追根究底，培養思維的深刻性
思維的深刻性指善於透過紛繁復雜的表面現象發現問題本質。在數學教學中，對於概念中的重點字、詞，教師要進行強調，並講清它們的含義；對於數學定理、公理中的條件和結論，要徹底講清楚,要讓學生深刻地理解所學的知識，對所學的知識追根究底，透過現象看本質，抓住問題的本質所在；對於數學中相關聯的內容,要引導學生學會對比和類比，使他們通過比較，加深對所學知識的理解，同時也有助於對所學知識的記憶 。
（2）多角度、多層次考慮問題，培養學生思維的廣闊性
思維的廣闊性指善於全面地考察問題，從事物多種多樣的聯系和關系中去認識事物。在數學教學中，要教育學生學會多角度、多層次、全面地思維，找到數學知識間的內在聯系。我們知道數學知識間的聯系是無處不在的，如：一元二次方程、二次函數和一元二次不等式就聯系密切；二次函數中，函數值為零就變成了一元二次方程；函數值大於或小於零時，就是一元二次不等式，找到知識間的聯系後，就能很快地利用二次函數的圖象，解一元二次不等式。在數學教學中不僅要把握數學問題的整體，而且要抓住它的基本特徵和特殊因素，找到問題的突破口，從而解決數學問題，這樣有利於培養學生思維的廣闊性。
（3）活學活用，培養思維的靈活性
思維的靈活性是指能夠根據客觀條件的發展和變化及時地改變方法，尋找新的解決問題的途徑。在數學教學中，教師要讓學生在掌握所學知識的同時，還要注意教授學生一些數學的基本思維和方法，如：化歸的思維方法、轉化的思維方法、比較的方法、形與數互相結合和轉化的思維方法，以及在解題時經常用到的分析法和綜合法等等，幫助學生在解題時，尋找問題的突破口，抓住問題實質，提高分析問題、解決問題的能力。對於數學中的公式，要讓學生知道公式的正用、逆用、變用、活用、巧用及綜合運用，能靈活地運用公式，解答數學題。教師要鼓勵學生用非常規的方法去解題，大膽嘗試，這都有利於培養學生思維的靈活性，要克服思維的呆板，避免循規蹈矩，提高應變能力。
（4）多練精練，培養思維的敏捷性
思維的敏捷性是指思維過程的簡縮性和快速性。數學教學中，做題是必不可少的一個重要環節，只有做一定量的題，才能掌握數學知識。教師在教學中，可以通過適當的練習，讓學生掌握所學的知識，熟悉所學的公式，學會解題的方法和技巧,能迅速從題中抓住本質，找到解題的關鍵。練習題要精選，既要達到鞏固所學知識的目的，又要避免同一類型的題大量地重復做，只有這樣才能做到在解題時，正確地、敏捷地解出答案。
（5）鼓勵發散思維,培養思維的創造性
思維的創造性是指獨立思考創造出有社會(或個人) 價值的具有新穎性成分的成果的智力品質。創造性思維是創造力的核心。心理學家吉爾福特認為智力結構中的每一種能力都與創新有關，但發散思維與創新的關系最為密切。發散思維是一種開放性的思維。在數學教學中,要啟發學生多思考、多提問。勤思善問是創新思維的開始，教師應當允許學生有不同的看法和新見解，對於學生的探索精神以及獨到的、新穎的解題方法或解題思路，教師要給予肯定和鼓勵。在平時的例題講解中，採用題型發散、解法發散、縱橫發散、變更命題發散、轉化發散、遷移發散等多種形式，對學生進行多思、多變、多解的解題輔導，使他們思考問題時，注重多途徑、多方案，解決問題時注重舉一反三，觸類旁通，這對於培養學生思維的創造性至關重要。要讓學生在思想上擺脫傳統的習慣，多從反習慣、反傳統、反常規思路上考慮問題，要提倡做題時，能標新立異、獨辟蹊徑、推陳出新，這些都有助於提高學生思維的創新能力。
（6）學會檢驗，培養思維的批判性
思維的批判性是指思考問題時，不受別人暗示的影響，能嚴格而客觀地評價、檢驗思維的結果的思維品質。在數學教學中，教師不僅要教給學生能解出結果，而且要讓他們知道來龍去脈，並教給他們要用各種方式進行檢驗，要檢驗自己的結論是否正確、是否符合題意，去偽存真，能夠及時找到問題所在，並自行改正，養成檢驗的好習慣。另外教師在數學教學中,還要針對學生容易出錯的地方，講一些錯例辨析題，通過這類型題的比較，讓學生發現問題所在，提高他們的辨誤水平，避免再犯同樣的錯誤。告訴學生，凡事要自己去思考，不要盲從、不要迷信，有批判地接受，要敢於和善於發現問題，這對提高他們思維的批判性是有益處的。對學生數學思維品質的培養，是數學教學的一項重要任務，它不是一朝一夕的事，數學教師要在傳授知識的同時，注意對學生思維品質的培養，提高學生的思維能力，教師要大膽改革教學，提高學生的數學素質。
（7）突出情感教育，激發思維的積極性
①激發學習興趣。我國數學家王梓坤院士教導我們：「數學教師的職責之一就在於培養學生對數學的興趣，這等於給了他們長久鑽研數學的動力，優秀的數學教師之所以在學生中永誌不忘，就是由於他點燃了學生心靈中熱愛數學的熊熊火焰。」因此，教師可以利用創設問題情境，利用教學認知矛盾，揭示新舊知識的聯系，以數學知識本身的魅力與內在美，用直觀的演示實驗、精彩的導言來激發學生的學習興趣。
②根據學生的個體差異，進行差異教學。研究表明，學生的數學思維能力表現出明顯的個體差異。因此，教師對優等生要發揮其特長，指出其問題，更上一層樓；對中等生要激發其上進心，創造條件，促使其進步；對差生要熱情關心，找出其症結，並採取個別指導的形式，幫助其克服困難，樹立信心。總之，教學要面向全體學生，調動每個學生的積極性，讓每個學生都在原有的基礎上得到充分發展。
（8）注重數學語言教學，提高思維精度
語言是思維的載體，思維需要用語言或文字表述。著名科學家愛因斯坦認為：「一個人的發展和他形成概念的方法很大程度上是取決於語言。」數學語言是進行數學思維和數學交流的工具。數學語言水平的高低，在一定程度上影響著數學思維的發展。所以，在數學教學中要充分認識數學語言對思維活動的影響，注重數學語言教學，培養學生用數學語言進行思維的習慣，發展學生的思維能力。在教學中應注意：
①從規范書寫與正確表達做起。如果老師對數學概念、術語理解不深刻，語言表達不準確、不規范，甚至出現科學性錯誤，或者書寫格式不合邏輯，出錯題或做錯解，對學生的影響是難以估量的。因此，老師在課堂教學要做到語言規范，言必有序，言必有理，言必有據。所有言語要合乎一般語法法則和邏輯要求，概念教學要准確到位，清晰明了，推理分析要條理清楚、層次分明。
②鼓勵數學交流。在課堂教學中，盡可能多地讓學生說，如同位相商、小組討論、集體討論、自由議論、自己對自己說、質疑問難、全班評議等。通過交流，可以使學生的思想清晰活躍，思路明確開闊，因果分明，邏輯清楚。
（9）創設情境問題，提供思維空間
①鋪墊型情境。教師可以以符合學生認知水平的、富有啟發性的、常規問題或已知的數學事實為素材，創設鋪墊型情境。通過由淺入深、由此及彼、由正及反等不同的方式，不同層次的聯想，變化發展出不同的新問題，從而為各種層次的學生提供廣闊的思維空間，這對培養學生思維的開放性和合理推理能力有重要作用。
②認知沖突型情境。教師可以以富有挑戰性、探究性，且處於學生認知結構的最近發展區的非常規問題為素材，創設認知沖突性情境，引起學生的認知沖突，激起學生強烈的探究慾望和學習動機。要讓學生從解決面臨的情境問題出發，不斷地分解、轉化問題，提出新的有關問題，並通過新問題的解決，最終使情境問題獲得解決。
③思維策略型情境。教師可以以思維策略多樣、解題方法典型、解題過程能體現某種完整的數學思想方法的問題作為素材，創設思維策略性情境。當學生的思維受阻後，教師可以從不同角度、不同的層次引導學生進行辯證分析，使學生獲得不同程度的啟發，從而使他們產生不同的解法。同時，教師還可以引導學生對解法或策略進行適用性研究，拓展其使用范圍。這對克服思維定勢等原因產生的消極影響，拓展思維的深度和廣度，優化思維品質，培養思維的靈活性和創造性具有重要作用。
④試誤型情境。學生在理解、應用數學知識和方法的過程中，常因各種原因，犯一些似是而非的錯誤，教師如果能從中選擇素材，就可創設試誤型情境，藉此為學生嘗試錯誤提供時間與空間，並通過反思錯誤的原因，提出批駁型問題，加深學生對知識、方法的理解和掌握，提高他們對錯誤的認識與警戒，培養他們思維的批判性和嚴謹性。這不僅能激發學生飽滿的學習熱情，促使他們以積極的態度、旺盛的精力主動探索，而且能使他們在情境中沉思、在情境中受感染、在情境中領悟。
（10）引導學生反思，挖掘思維潛力
數學研究本身就是一個不斷反思的過程，反思推進了數學的進步。在數學學習中，反思是一種積極的探究行為，是促進知識同化遷移的可靠途徑；反思可以溝通新舊知識間的聯系，深化對知識的理解；反思能促使學生從不同方面多角度觀察事物，質疑問題，有利於創新思維和創造能力的培養。良好的反思能力的形成必將使學生的思維能力得到大大地提升。因此，在教學中，應緊密結合學生的認知活動，適時引導學生進行反思。
①聽課反思。在聽課過程中，要指導學生學會反思這節課的主要內容與特點、學習的目標、教師思考問題的方法、自己對知識的理解程度，並可要求學生注意捕捉引起反思的問題或提出具有反思性的見解。
②解題反思。這是在解題過程中，反思求解數學問題的思維模式，它通過對問題解答的結論的正確性進行檢驗或提出疑問、能否將問題進行變式或把當前問題推廣到一般情況等問題的追問，使學生對自己思維方式進行有針對性的反思、調控，從而選擇最佳解題策略。
③學習習慣反思。指導學生經常反思自己對數學的興趣、學習信心和能力、學習的態度與情緒、存在的薄弱環節等，學會及時調整自己，改正不良習慣，積極向上，通過引導學生反思使學生的思維能力得到有效的培養和開發。
（11）完善認識結構，優化思維品質
知識是思維的基礎，沒有一定的知識積累，思維過程就無法進行。學生只有掌握了科學的符合邏輯結構的規律性的知識，才能通過運用這些知識作為分析、綜合、判斷、推理的基礎，實現知識的遷移。因此，要特別重視數學基本概念、基本原理的教學，不僅要講清每一章節的知識結構，同時，還要注意各學科間知識的橫向聯系。學生的知識結構越完整，思維的依據就越充分，思維過程就越容易進行。
①注重數學知識的整體性。數學是一門結構化的學科，數學各個分支、各章節內容之間是互相滲透、相互蘊含的，數學知識是充滿關系的有機整體。在平時的教學中，既要注意知識面之間的縱向聯系，把孤立的知識組成知識鏈，又要注意知識之間的橫向聯系，把知識鏈進一步組成知識網，使學生在頭腦里形成一個經緯交織、融會貫通的知識網路，以利於塑造學生良好的認知結構，培養學習的遷移能力，進而從不同角度激活思維的靈活性、獨創性。
②揭示知識形成的過程。知識形成過程是構建知識結構的物質基礎。首先，要強調揭示知識發生的過程，因為概念的概括與判斷及推理過程包含著極豐富的推理方法、思想方法和思維方法，它們是知識結構中的活躍元素。要注意充分地揭示概念提出的背景，引導學生去探索概念的抽象、概括的過程，揭示概念形成的條件和發生過程。其次，要強調知識的發展、深化過程，這是知識形成過程最關鍵的一環，是數學教學過程的主幹。要在學生頭腦中織成知識的經緯和網路，壘砌知識的框架與結構。再次，要著眼於知識應用的過程。因為只有在知識的應用過程中，學生才能更深入地了解知識之間的內在聯系，才能悟出帶有觀念性的數學思考，才能有效地從整體上認識數學。實踐表明，這樣做不僅能夠利於學生對概念的記憶、理解和掌握，而且能夠鍛煉學生善於透過紛繁復雜的表面現象去發現問題的實質，揭示事物的內在聯系的能力，從而培養學生思維的深刻性。
③提煉數學思想方法。數學思想方法形成於數學知識結構的建立和數學問題的解決過程中，它具有極高的概括性和包容性。學生一旦掌握它，就能觸類旁通，並形成創新能力。因此，數學教學要注重數學思想方法的提煉。
（12）構建數學模式，發展思維能力
數學是研究「量化模式」的科學。數學是充滿模式的，法則是模式，一個確定的數學關系是一個模式，演算法、規範式也是一個模式。在教學中引導學生構建解題模式，不但可以向學生展示一些典型問題的解決過程，而且向學生提供了大量的「已知的、熟悉的、能解的問題」，為化歸思想提供了若乾重要的升降基地，成為解決新問題時的新的憑借與依託。因此，建構模式、認識模式、欣賞模式、理解和記憶模式、強化和應用模式，無論對於鞏固與應用學生已學的數學知識，還是對培養學生的數學技能都有著不可替代的作用。加強數學模式的教學是信息化社會對數學教育提出的新的要求，它能幫助學生從眾多信息中篩選有用的關鍵信息，提高分析問題的能力。
總之，在數學教學中培養學生思維能力是一個復雜的系統工程，是教師教學藝術的體現，是培養開發學生數學思維和創新思維的核心。因此，在教學過程中，教師應緊緊圍繞著這一點，從學生的實際出發，結合教學內容，有效地組織課堂教學，積極探索，努力實踐，把思維能力的培養切實落到教學工作中去，為培養高素質的高中人才做出自己的貢獻。
2. 如何把握數學本質進行教學
如何把握數學本質進行教學 篇1
一、概念的教學要基於學生已有的認知基礎
皮亞傑的建構主義理論認為，學生要在已有的知識經驗基礎上建構新知識。而數學概念的抽象性更要求基於學生已有的認知基礎上進行教學，關注學生的學習過程，所以教師要善於引導學生從原有經驗、原有的認識中逐步抽象概括出數學的形式化定義。如教學「倍的認識」一課，揭示「倍」概念的方式很多，但新知識與學生認知的最近發展區越接近，學生就會越容易理解。因此，這節課教師可以採用同化的方式引導學生獲取「倍」的概念，即利用學生已有認知結構中對「幾個幾」的理解來同化「幾的幾倍」。教師應鼓勵學生用自己的眼睛去觀察，用自己的語言去表達，用自己的思考去解讀「倍」的相關量的共性，使他們真正領悟每份數、份數與「幾的幾倍」的關系，這樣學生對「倍」的概念會建立得更好，理解會更深刻。
另外，教師在引導學生理解和掌握數學概念的過程中，還可以藉助豐富的數學史資料，展示概念的形成過程，讓學生體驗數學家們對數學知識、數學原理不畏艱難的探索過程。例如，自然數概念形成的漫長過程、不同民族對自然數和表示方法的創造、祖沖之對圓周率的探索過程等。
二、在數學活動中引導學生深刻理解概念的本質
所謂對數學概念的理解是指了解為什麼要學習這一概念，這一概念的現實原型是什麼，這一概念特有的數學內涵、數學符號是什麼，這些需要教師循序漸進地引導學生理解。如對一年級學生教學自然數的概念時要通過「數數」活動，而有些教師認為學生在幼兒園已有「數數」的經驗了，忽視對「數數」的教學。其實，學前兒童的「數數」還大多停留在念歌謠的層面上，對數缺乏深刻的認識。沒有「數」的過程，學生對數的理解是不深刻的。因此，教師要先設計「數數」這一數學活動，充分挖掘「數數」的教育價值，讓學生多形式地數數。如通過一個一個地數，讓學生知道某個集合的數量；通過2個2個或5個5個地數，豐富學生對數的認識；通過數列的變化規律，讓學生進一步認識數的特徵，發現自然數列的內在規律。
數學學科最基本的概念具有本質性、概括性，是學生學習數學知識的導航器，而循序漸進的引導是開啟學生思維活動的金鑰匙。如吳正憲老師執教「10的認識」一課的教學片斷。
如何把握數學本質進行教學 篇2
（1）突出現實背景，為自主建構運算定律提供支點。
學生對計算方法的選定，更多的是依賴於生活實踐中積累的真實想法與最自然化的理解。如：「天氣變冷了，李阿姨到批發市場去批發衣服。看中一件上衣56元，一條褲子44元，如果她想批8套這樣的衣服，一共要多少元？你可以用哪些方法解答？」面對這樣的問題，學生出現56×8+44×8和（56+44）×8兩種解決方法，然後教師組織學生對這兩種方法進行分析比較。學生除了得出兩種演算法有相同的結果外，更重要的是還驚喜地發現當上衣、褲子的單價正好可以湊成整十、整百時，把它們先合起來再乘會更簡便，從而得到了一種優化的解題方案。因此，教學中，教師需要創設一些情境來幫助學生真正從模仿走向理解。
（2）注重意義感悟，為自主建構運算定律打下基礎。
如上述案例中，在學生得出56×8+44×8=（56+44）×8後，教師可趁熱打鐵地追問學生：「如果不計算，你能用以前學過的知識來解釋這兩種解法為什麼相等嗎？」接著以數形結合的思想，引導學生根據乘法意義來理解兩種解法相等的算理。如：「學校擴建草坪（如右圖），求擴建後的草坪面積。」在數形圖的`幫助下，學生明白8個56加8個44等於8個100（即56+44）的道理。在後繼的練習中，教師有必要反復多樣地呈現這樣的情境，然後引導學生看著算式去思考，不斷思考算式的本意。
（3）逐步抽象概括，為自主建構運算定律搭建模型。
如在上述教學的基礎上，教師又安排了橫向比較抽象、逐步符號抽象和新舊對比抽象的三次抽象活動。橫向比較抽象（把例題中的「8套」改成「20套」，列成等式成立嗎？為什麼）脫離了具體數的抽象，從中引導學生初步總結出乘法分配律；逐步符號抽象（將「20套」改成「c套」，能列成等式嗎？為什麼？這里的c能表示哪些數？把「56元」改成「a元」，把「44元」改成「b元」，等式怎麼變）脫離了具體情境的抽象，從中引導學生進一步感悟乘法分配律的特徵，並得到乘法分配律的字母表達式；新舊對比抽象（「a+b」在這里表示一套衣服的價錢，除此之外，還能表示哪些數量？溝通舊知「速度和」「長寬和」等與新知間的聯系）脫離了具體數和具體情境的抽象，從中引導學生在溝通中完善關於運算定律的認知結構，並進一步加強對乘法分配律特徵的認識。乘法分配律模型的建構，在以上三次抽象的過程中自然生成了。
如何把握數學本質進行教學 篇3
開展有效的數學活動
數學教學是活動的教學，是讓學生經歷數學化過程的活動，是讓學生自己建構數學知識的活動。教學活動是否有效，關鍵是看活動能否引發學生的數學思考，能否提高學生的思維能力。如何在課堂上既讓學生在動手操作中獲得知識又使操作促進數學思維的發展，使數學活動發揮最大的數學價值。
數學家弗賴登塔爾說過：通過自身活動所得到的知識與能力比由旁人硬塞的理解得透徹，掌握得快，同時也善於應用，還可以保持較長久的記憶。在《東南西北》這課教學中，「東西、南北相對」、「東南西北順時針排的」這兩個知識是教學的重點，更是接下去學生根據一個方向找出其他三個方向的方法基礎。因此在本課教學中設計了兩個活動，以此激發學生的求知慾和探索精神，把外部的肢體活動和內部的數學思維有效結合，使學生的活動具有數學味，學生通過活動親身感悟到這兩個知識點，並體會到這兩個知識點的運用價值，為接下來的根據一個方向找出另三個方向的活動奠定了扎實的基礎，學生在活動中愉快地參與、自主地感悟、主動地學會並運用知識。在組織學生進行數學活動時，應把學生看作一個有豐富內在世界、獨立人格尊嚴和重大生命潛能的活的生命體，設計多渠道的、有挑戰的、有意義的數學活動，讓學生充分參與，並幫助學生在活動中體驗、在活動中感悟、在活動中發展。
發揮教師的價值引領
由於學生的認識水平正處於發展階段，生活閱歷也並不豐富，所以他們的發展常常不能自發完成，這決定了教師是課堂的靈魂。任何一個教學目標的實現，既離不開學生，也離不開教師。盡管課堂是動態生成的，但教學的過程必須服從教師課前預設的價值追求（不排除追求過程中的自覺調整與完善），服務於全體學生的多元發展。沒有教師的價值引領，就不可能有高質量的教學，學生的自主探究、合作交流就可能會喪失方向，成為信馬由韁式的活動。如，一位教師在教學「百以內的口算減法（24—19）」時，學生獨立思考後匯報了七八種方法。在交流的過程中，教師邊板書，邊反復用「真行！」「還有不同意見嗎？」加以引導。整個交流過程學生非常投入，教師也很滿意。
最後教師說：「小朋友，你們的辦法真多！以後就用自己喜歡的方法進行口算。」事實上，絕大多數的學生只理解其中的一種方法，並且幾乎仍停留在原有的認知水平上，思維沒有得到相應的發展，讓學生理解、掌握多種口算方法的目標成了空談。在這一教學片段中，教師沒有意識到各種方法之間的內在聯系，以及各種方法之間還有相對合理、簡潔的區別，沒有意識到自己有責任引導學生進行比較、歸類，在此基礎上做出選擇和自我調整，使學生的構建活動富有意義而不是雜亂無章。形式化的開放和放開只能帶來表面的熱鬧而缺乏實效。這就需要教師能夠准確把握學生的學習動態，做到「該出手時就出手」：即適時介入，充分發揮教師的價值引領作用。
3. 如何學好數學
你好，下面介紹幾種學習數學的方法，以供參考：
一、課內重視聽講，課後及時復習。
新知識的接受，數學能力的培養主要在課堂上進行，所以要特點重視課內的學習效率，尋求正確的學習方法。上課時要緊跟老師的思路，積極展開思維預測下面的步驟，比較自己的解題思路與教師所講有哪些不同。特別要抓住基礎知識和基本技能的學習，課後要及時復習不留疑點。首先要在做各種習題之前將老師所講的知識點回憶一遍，正確掌握各類公式的推理過程，慶盡量回憶而不採用不清楚立即翻書之舉。認真獨立完成作業，勤於思考，從某種意義上講，應不造成不懂即問的學習作風，對於有些題目由於自己的思路不清，一時難以解出，應讓自己冷靜下來認真分析題目，盡量自己解決。在每個階段的學習中要進行整理和歸納總結，把知識的點、線、面結合起來交織成知識網路，納入自己的知識體系。
二、適當多做題，養成良好的解題習慣。
要想學好數學，多做題目是難免的，熟悉掌握各種題型的解題思路。剛開始要從基礎題入手，以課本上的習題為准，反復練習打好基礎，再找一些課外的習題，以幫助開拓思路，提高自己的分析、解決能力，掌握一般的解題規律。對於一些易錯題，可備有錯題集，寫出自己的解題思路和正確的解題過程兩者一起比較找出自己的錯誤所在，以便及時更正。在平時要養成良好的解題習慣。讓自己的精力高度集中，使大腦興奮，思維敏捷，能夠進入最佳狀態，在考試中能運用自如。實踐證明：越到關鍵時候，你所表現的解題習慣與平時練習無異。如果平時解題時隨便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平時養成良好的解題習慣是非常重要的。
三、調整心態，正確對待考試。
首先，應把主要精力放在基礎知識、基本技能、基本方法這三個方面上，因為每次考試占絕大部分的也是基礎性的題目，而對於那些難題及綜合性較強的題目作為調劑，認真思考，盡量讓自己理出頭緒，做完題後要總結歸納。調整好自己的心態，使自己在任何時候鎮靜，思路有條不紊，克服浮躁的情緒。特別是對自己要有信心，永遠鼓勵自己，除了自己，誰也不能把我打倒，要有自己不垮，誰也不能打垮我的自豪感。
在考試前要做好准備，練練常規題，把自己的思路展開，切忌考前去在保證正確率的前提下提高解題速度。對於一些容易的基礎題要有十二分把握拿全分；對於一些難題，也要盡量拿分，考試中要學會嘗試得分，使自己的水平正常甚至超常發揮。
由此可見，要把數學學好就得找到適合自己的學習方法，了解數學學科的特點，使自己進入數學的廣闊天地中去。
如何學好數學
學好數學的方法其實跟讀其他科目沒太大差別，流程上可區分為六個步驟：
1. 預習
2. 專心聽講
3. 課後練習
4. 測驗
5. 偵錯、補強
6. 回想
以下就每一個步驟提出應注意事項，提供同學們參考。
1. 預 習 : 在課前把老師即將教授的單元內容瀏覽一次，並留意不了解的部份。
2. 專心聽講:
(1)新的課程開始有很多新的名詞定義或新的觀念想法，老師的說明講解絕對比同學們自己看書更清楚，務必用心聽，切勿自作聰明而自誤。
若老師講到你早先預習時不了解的那部份，你就要特別注意。
有些同學聽老師講解的內容較簡單，便以為他全會了，然後分心去做別的事，殊不知漏聽了最精彩最重要的幾句話，那幾句話或許便是日後測驗時答錯的關鍵所在。
(2)上課時一面聽講就要一面把重點背下來。定義、定理、公式等重點，上課時就要用心記憶，如此，當老師舉例時才聽得懂老師要闡述的要義。
待回家後只需花很短的時間，便能將今日所教的課程復習完畢。事半而功倍。只可惜大多數同學上課像看電影一般，輕松地欣賞老師表演，下了課什麼都不記得，白白浪費一節課，真可惜。
3. 課後練習 :
(1) 整理重點
有數學課的當天晚上，要把當天教的內容整理完畢，定義、定理、公式該背的一定要背熟，有些同學以為數學著重推理，不必死背，所以什麼都不背，這觀念並不正確。一般所謂不死背，指的是不死背解法，但是基本的定義、定理、公式是我們解題的工具，沒有記住這些，解題時將不能活用他們，好比醫師若不將所有的醫學知識、用葯知識熟記心中，如何在第一時間救人。很多同學數學考不好，就是沒有把定義認識清楚，也沒有把一些重要定理、公式」完整地〃背熟。
(2) 適當練習
重點整理完後，要適當練習。先將老師上課時講解過的例題做一次，然後做課本習題，行有餘力，再做參考書或任課老師所發的補充試題。遇有難題一時解不出，可先略過，以免浪費時間，待閑暇時再作挑戰，若仍解不出再與同學或老師討論。
(3) 練習時一定要親自動手演算。很多同學常會在考試時解題解到一半，就接不下去，分析其原因就是他做練習時是用看的，很多關鍵步驟忽略掉了。
4. 測驗 :
(1) 考前要把考試范圍內的重點再整理一次，老師特別提示的重要題型一定要注意。
(2) 考試時，會做的題目一定要做對，常計算錯誤的同學，盡量把計算速度放慢， 移項以及加減乘除都要小心處理，少使用「心算」 。
(3) 考試時，我們的目的是要得高分，而不是作學術研究，所以遇到較難的題目不要 硬幹，可先跳過，等到試卷中會做的題目都做完後，再利用剩下的時間挑戰難題，如此便能將實力完全表現出來，達到最完美的演出。
(4) 考試時，容易緊張的同學，有兩個可能的原因：
a. 准備不夠充分，以致缺乏信心。這種人要加強試前的准備。
b. 對得分預期太高，萬一遇到幾個難題解不出來，心思不能集中，造成分數更低。這種人必須調整心態，不要預期太高。
5. 偵錯、補強 :
測驗後，不論分數高低，要將做錯的題目再訂正一次，務必找出錯誤處，修正觀念，如此才能將該單元學的更好。
6. 回想：
一個單元學完後，同學們要從頭到尾把整個章節的重點內容回想一遍，特別注意標題，一般而言，每個小節的標題就是該小節的主題，也是最重要的。將主題重點回想一遍，才能完整了解我們在學些什麼東西。
還有：
中學階段如何提高數學成績
1、培養興趣，帶好奇心學習。
學數學要愛數學。數學是美麗的，它的美體現在結論的簡單明確，它是一種理性美和抽象美。數學就像一個花園，沒進門時看不出它的漂亮可一旦走進去，就會感覺它真美。許多數學家都把興趣放在學好數學的首要位置。其次是好奇心,學數學要有想法，要敢於去猜想，要帶著好奇心去學數學。要從解題過程找樂趣，找成就感。只要好奇心和求知慾變成了解決問題的渴求，就能自覺的提高運用數學知識真正去解決問題的能力。只有對學習數學充滿了樂趣，才能更自覺地學習和研究數學。
2、仔細看書，弄懂數學語言。
不愛讀數學教科書，是中學生的「通病」。數學教科書是用數學語言寫它成包括文字語言、符號語言、圖形語言。它語言簡潔、邏輯性強、內涵豐富、含義深刻，因而看數學教科書切不可浮光掠影，一目十行。
數學概念、定義、定理等都用文字語言表述，看書時務必留心。預習時要做到「五要」：①要用波浪線劃出重點；②要將公式及結論做記號；③要在看不懂、有疑問的地方用鉛筆畫問號；④要將簡單習題的答案、解題要點寫在後面；⑤如果定義、定理中的條件不止一個，就要把條件編上號碼。
符號語言有豐富的內涵，要寫得出，辯得清、記得牢。讀符號語言，要說得出它的涵義，辯得明它的特徵。
圖形語言既能反映元素的相對位置，又是數量關系的直接反映。因而觀看幾何圖形時要讀懂隱藏在圖形元素之間的內在聯系及數量關系；而觀看圖像，要從其形狀窺視出函數的性質。
如果課前、課後閱讀數學書能達到上述要求，學數學也就入門了；若由此養成讀書的良好習慣，提高成績則指日可待。
3、認真聽課，掌握思維方法。
聽課要全神貫注，隨著老師的講解積極思維。預習時似懂非懂的概念弄明白了么？疑團化解了么？老師口授的真知灼見、補充的例題、精彩的解法，要抓緊記錄下來。寫好聽課筆記，不但留下一份寶貴的資料，而且也能促使自己注意力集中。
聽課時還要做到不斷生疑、質疑，敢於提問、答問。要想想老師的講解是否完整無誤，解法是否嚴謹無瑕。板書的範例如果懂了，就應思謀新的解法；如果有疑點就應大膽質疑。爭著回答問題絕不是「圖表現」，而是闡述自己的見解，提高自己的口頭表達能力。即使自己回答錯了，將問題暴露後，也便於訂證。聽課最忌盲從，隨波逐流，人雲亦雲，不懂裝懂。
4、獨立鑽研，學會歸納總結。
養成良好的獨立鑽研學習的習慣必須做到：
①按時完成作業，鞏固所學知識。作業惟有按時完成，才能得以鞏固知識，盡量減少遺忘。而在完成作業的過程中，將增大知識復現率，促進自己的思考力，發揮解決問題的創造力。
善於學習的同學還應注意作業的保潔與收藏，因為這既是珍視自己的勞動成果，也是很好的復習資料。
②適時復習功課，形成知識網路。章節復習、單元復習、迎考復習等是數學學習不可或缺的一部份，它有承前啟後的作用。復習時應按照一定的系統歸納總結知識，總結方法，形成數學的「經緯網」。這里的「經」指的是數學的各個分支的知識；「緯」指的是相同的數學方法在不同分支中的應用。要想學好數學就必須織好數學的「經緯網」。
③應注重書寫的規范化。數學學科是一門專業性很強的學科，它對表達、敘述的過程，符號使用的規定都有嚴格的要求。因而在做練習、作業、考試時書寫都應規范化。
④運用所學知識，不斷開拓創新。數學有很強的聯貫性，新舊知識之間並沒有不可逾越的鴻溝。因此借書本知識，進行聯想，不但可以增強鑽研興趣，而且能培養自己的創造性思維能力。
注意了以上幾種做法，不但可以鞏固原有的知識，而且擴展了自己的知識領域，溝通了數學知識之間的內在聯系。有了良好的鑽研習慣，定能學好數學。
希望對你有幫助
4. 如何培養數學創新思維能力
1、用「求異」的思維去看待和思考事物
也就是，在我們的學習工作和生活中，多去有意識的關注客觀事物的不同性與特殊性。不拘泥於常規，不輕信權威，以懷疑和批判的態度對待一切事物和現象。
2、有意識從常規思維的反方向去思考問題
如果把傳統觀念、常規經驗、權威言論當作金科玉律，常常會阻礙我們創新思維活動的展開。因此，面對新的問題或長期解決不了的問題，不要習慣於沿著前輩或自己長久形成的、固有的思路去思考問題，而應從相反的方向尋找解決問題的辦法。
3、用發散性的思維看待和分析問題
發散性思維是創新思維的核心，其過程是從某一點出發，任意發散，既無一定方向，也無一定范圍。
發散性思維能夠產生眾多的可供選擇的方案、辦法及建議，能提出一些獨出心裁、出乎意料的見解，使一些似乎無法解決的問題迎刃而解。
4、主動地、有效地運用聯想
聯想是在創新思考時經常使用的方法，也比較容易見到成效。我們常說的「由此及彼、舉一反三、觸類旁通」就是聯想中的「經驗聯想」。
任何事物之間都存在著一定的聯系，這是人們能夠採用聯想的客觀基礎，因此聯想的最主要方法是積極尋找事物之間的關系，主動的、積極地、有意識的去思考他們之間聯系。
5、學會整合，宏觀的去看待
我們很多人擅長的是「就事論事」，或者說看到什麼就是什麼，思維往往會被局限在某個片區內。整合就是把對事物各個側面、部分和屬性的認識統一為一個整體，從而把握事物的本質和規律的一種思維方法。
5. 高中數學思想有那些
數學四大思想：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合；
函數與方程
函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。
笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪裡有等式，哪裡就有方程；哪裡有公式，哪裡就有方程；求值問題是通過解方程來實現的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關。而函數和多元方程沒有什麼本質的區別，如函數y＝f(x)，就可以看作關於x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以說，函數的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。
函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特徵，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究。它體現了「聯系和變化」的辯證唯物主義觀點。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解題中，善於挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。
函數知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數思想的幾種常見題型是：遇到變數，構造函數關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數觀點加以分析；含有多個變數的數學問題中，選定合適的主變數，從而揭示其中的函數關系；實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決。
等價轉化
等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利於強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。 轉化有等價轉化與非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因後果是充分必要的，才保證轉化後的結果仍為原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的，要對結論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應用時一定要注意轉化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。
著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什麼叫解題》的演講時提出：「解題就是把要解題轉化為已經解過的題」。數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。
等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數學語言的翻譯；它可以在符號系統內部實施轉換，即所說的恆等變形。消去法、換元法、數形結合法、求值求范圍問題等等，都體現了等價轉化思想，我們更是經常在函數、方程、不等式之間進行等價轉化。可以說，等價轉化是將恆等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由於其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。
在數學操作中實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標准化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數式、從無理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉化為比較直觀的問題，以便准確把握問題的求解過程，比如數形結合法；或者從非標准型向標准型進行轉化。按照這些原則進行數學操作，轉化過程省時省力，有如順水推舟，經常滲透等價轉化思想，可以提高解題的水平和能力。
分類討論
在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，並逐類求解，然後綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中佔有重要的位置。
引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：
① 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。
② 問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。
③ 解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a＝0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。
另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。
進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是「不漏不重」。
解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標准，正確進行合理分類，即標准統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最後進行歸納小結，綜合得出結論。
數形結合
中學數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程（組）、不等式（組）、函數等；一類是關於純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關於數形結合的知識，主要體現是解析幾何。
數形結合是一個數學思想方法，包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是藉助於數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。
恩格斯曾說過：「數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學。」數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。「數」與「形」是一對矛盾，宇宙間萬物無不是「數」和「形」的矛盾的統一。華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。
數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍。
6. 什麼是數學概念
眾所周知,概念是思維的基本形式之一,是對一切事物進行判斷和推理的基礎．數學概念是構成數學知識的基礎,是基礎知識和基本技能教學的核心,正確地理解數學概念是掌握數學知識的前提．因此數學概念的教學是數學教學的一個重要方面,但數學概念的抽象性使得數學概念的教學相對棘手．
概念的產生都有其必然性,我們要抓住概念產生的背景,讓學生了解數學概念的產生、發展、演變的原因以及在這些原因中所隱藏著數學概念間的內在聯系,將數學概念在數學思想的整體連貫性中的作用體現出來．
因此,教師在講授新的概念時,可以分析概念產生的背景．找出合適學生理解的、有趣而生動的切入點,讓學生更容易理解新概念,更容易對新知識找到共鳴,才能讓學生有更多的機會參與發現需要建立新概念的時機並加入到這一創造活動中去,從中感受和諧、連貫、嚴密、有用的數學之美．下面淺談一下在概念教學中用到的幾種方法．
一、從概念的產生背景著手,層層深入
對數這一概念就是學生在數學學習中遇到的一個非常抽象的概念,直接講授的方式會使學生難於理解．其實我們分析一下對數產生的背景,可以發現這是數學運算發展到一定的階段後,必然產生的一種新運算．加法發展到一定程度必然要引入減法,乘方發展到一定階段必然要出現開方一樣,對數也是為了生產生活中的計算需要而必然產生的．如果把這些概念的背景、運算方式列成表格,在對比過程中自然而然形成新的概念,使學生輕松地接受並理解它．
教師可以設置了一個這樣的教學引入過程： 首先提出兩個問題1、1個細胞一次分裂成兩個細胞,請問1個細胞需要分裂多少次以後才能分裂成128個?2、某人原來年薪為a萬元,假設他的工資以每年10%的速度增長,請問經過多少年以後他的年薪增長為原來的2倍?
這兩個例題中,運用的運算都是解指數方程：1、,2、．但第一題答案是特殊值,不需要引入新運算；第二題答案則不是特殊值了,在現有的運算中,答案算不出來．如何讓解決這一問題?
緊接著,教師再提出了幾種具有互逆關系的運算進行對比,如：3+x=10 x=10-3、5=8 x=、 ．
在接下來的教學中,我們就可以自然的將指數式化成對數式x=,引入新的運算概念．並且指出：指數式與對數式的關系（1）是等價的（2）它們只是寫法不一樣,讀法不一樣,a、b、N的名稱不一樣,所在位置不一樣,但代表的數一樣,含義一樣,數的范圍也是一樣,只要牢牢記住指數式和對數式中的字母a、b、N交換的方式、交換的位置,就可以自由的將指數式和對數式進行互化．在這個過程中,指數對數與加減、乘除、乘方開方之間關系是相類似的,這些概念之間的對比要貫穿教學始終,以便於學生的理解．
二、從概念的生活背景出發,創設學習情境
很多數學概念是人們在長期的現實生活中對事物進行高度抽象概括的產物,有具體的素材為基礎,有生動的現實原型,教師要善於結合生活實際,通過多種方式創造良好的學習情境激發學生的學習興趣,使學生覺得這些抽象的數學概念彷彿就在自己的身邊,伸手可摸．
等比數列這樣的概念就是直接源於生活的概念,在講授的過程中,現實生活中的實例隨手可得,如常見的細胞分裂問題,商店打折問題,放射性物質的重量問題,銀行利率,為自己家選擇合適的還貸方式等等實例可以信手拈來穿插在概念的講解、鞏固的過程中．
為了讓學生積極性充分發揮出來,我還設計了一個有趣的問題情境引入等比數列這一概念：
阿基里斯（希臘神話中的善跑英雄）和烏龜賽跑,烏龜在前方1里處,阿基里斯的速度是烏龜的10倍,當他追到1里處時,烏龜前進了里,當他追到了里,烏龜前進了里；當他追到了里,烏龜又前進了里……
（1）分別寫出相同的各段時間里阿基里斯和烏龜各自所行的路程；
（2）阿基里斯能否追上烏龜?
讓學生觀察這兩個數列的特點引出等比數列的定義,學生興趣十分濃厚,積極性和主動性高漲,課堂氣氛也十分活躍．
三、從概念的歷史背景出發,激發興趣
復數和虛數的概念有悠遠的歷史背景,是數發展到一定的階段的必然產物．在很長一段時間里,人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量,在學生的有限的知識結構中也找不到虛數的生活原型,所以學生很難完全理解它．因此,在講解這兩個概念時,可以將數的發展史、虛數與復數的出現歷程作簡單闡述,為了表述得清晰而有趣,教師可以把這過程製作成動畫短片：
從原始人分配食物開始,首先是自然數的出現,然後到分數的出現．接下來經過漫長的數的發展,人們又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數,如圓周率等．人們把它們寫成π等形式,稱它們為無理數．到19世紀,由於運算時經常需要開平方,如果被開方數是負數,比如,這道題還有解嗎?如果沒有解,那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁．這樣,可以讓學生融入教學中,跟著故事的結尾一起思索,然後引入新概念：數學家們就規定用符號"i "表示"-1"的平方根,即＝-1,虛數就這樣誕生了．實數和虛數結合起來,寫成 a＋bi的形式（a、b均為實數）,這就是復數．種引入概念的過程新穎別致,一開始就能抓住學生的眼球,吸引他們的注意力,使課堂教學輕松有趣．
四、從概念的專業背景出發,講求實用
許多數學概念在其他的專業領域應用也非常廣泛．把數學知識和其他專業知識有機結合在一起,可以讓學生充分認識到數學學習的重要性．
三角函數這一概念在很多專業領域都有重要的應用．在物理方面,簡單的和諧運動,星體的環繞運動,峰谷電；在心理生理方面,情緒周期性波動、智力體力的周期性變化、一天內的血壓狀況；天文地理方面,氣溫變化規律,月缺月圓、潮漲潮汐的規律；日常生活中,車輪的變化,這一切的研究都離不開三角函數．
因此三角函數的應用課里,可以設計一些有周期性變化規律的實際問題,讓學生建立簡單的三角函數模型,培養學生數學建模,分析問題、數形結合、抽象概括等能力,體驗數學在解決實際問題中的價值和作用,培養學生勤於思考、勇於探索的精神．
學生對新概念的學習只有在已有知識的基礎上才能構建,所以教師在教學時一定要注意教材所設計的知識結構．要做到既不脫離課本,又不拘泥於課本,要有大膽的創新精神．要根據學生實際情況,設計好每一堂概念課．
7. 數學的基本結構（張景中）
數學研究的對象，慢慢地顯露出了它的輪廓。它研究結構——從不同的系統中抽象出來的共同結構。
首先是集合。集合好像是一片空地、一張白紙、一群沒有分派角色的演員。
一旦在集合的元素之間引進一些關系，集合的元素就有了自己的個性，根據關系的性質，集合上開始出現結構。
結構不是人主觀上隨意指派的，也不是在理念世界永恆存在的，它是總結大量感性經驗上升為概念的結果。
布爾巴基學派認為，數學研究的基本結構即母結構有三種：
一種叫做代數結構。集合上有了運算，能夠從兩個元素生出第三個來，就叫做有了代數結構。前面我們剛剛談過的群，就是一種基本的代數結構。
一種叫序結構。集合中某些元素之間有先後順序關系，就叫做有了序結構。序結構也是應用極廣的一種結構。數的大小關系，生物的親子關系，類的包含關系，都是序關系。
還有一種叫拓撲結構。它用來描述連續性、分離性、附近、邊界這些空間性質。
我們看到，這幾種結構恰好都是現實世界的關系與形式在我們頭腦中的反映：
代數結構——運算——來自數量關系；
講序結構——先後——來自時間觀念；
拓撲結構——連續性——來自空間經驗。
然而這些東西一旦抽象成數學概念，成為脫離具體內容的*結構*，它就可以用到任何有類似性質的系統之中，而不一定與時空、數有關了。
一個系統可以具有幾種結構。如實數系，它有加減與乘除，這是兩種互相聯系的代數結構，它有大小之分，這是序結構，它的連續性體現了拓撲結構。
基本結構可以加上一些公理派生出子結構，兩種以上的結構可以加上聯結條件產生復合結構。對於實數，如果a>b，則a+c>b+c，這就表明代數結構與序結構聯系起來了。通過結構的變化、復合、交叉，形成形形色色的數學分支，表現為氣象萬千的數學世界。
當數學家遇到新的研究對象之後，他自然而然地會想，所遇的事物能不能放到某個已知的結構之中?如果可以，便馬上動用這個結構的全部已知性質作為克敵制勝的武器。
歷史上有過這樣的例子：數學家長期不能理解復數，把它叫做虛數。後來發現，復數可以用平面上的點表示，這個發現相當於把復數的代數結構與平面的拓撲結構掛上了鉤。復數的研究立刻有了實際意義，找到了應用，獲得飛速發展。這表明，把新的陌生的對象納入已知的結構之中是多麼重要。
布爾巴基學派也承認，把數學看成研究各種結構—-這些結構以幾種母結構為骨架不斷地生長、發展——的科學，仍然是對數學現狀的粗略的近似。
可以將數學看成是一個不斷發展著的大城市，城市的建築被街道分隔，又由街道聯系起來。街道形成結構，建築在結構的規范中生長。可是確有很多有特色的建築，它的特點無法由街道的結構來解釋。這就是結構觀點的概括性。它無法關心的某些與結構關系不大的局部狀況，有時也有重要的意義。例如，數論中的大量孤立的問題(如哥德巴赫問題)，就很難與已知結構很好地聯系起來。
布爾巴基學派也主張，結構不應當是靜止的，數學的發展可能會發現新的重要基本結構。因為數學是一門生命力旺盛的科學，對它不能「蓋棺論定」，不會有終極的真理。
總的看來，布爾巴基學派把數學看成以結構為對象的科學，這種觀點是與辯證唯物論一致的。因為：它否定了數學知識的先驗觀點，主張結構來源於人們實踐的經驗，正確地描述了數學中結構概念的抽象形成過程；它用整體的觀點看數學，著眼於數學各部門的內在聯系，說明了是什麼使數學統一起來並使它有多樣性；它用變化發展的觀點看數學，主張結構不是一成不變的；它主張數學的真理性最終要用科學的實踐來檢驗，用科學上的成功經驗支持結構觀點。
結構觀點的產生，不是偶然的。布爾巴基學派自己指出：這是半個多世紀以來(即從19世紀末期到20世紀中期)數學進步的結果。其實也可以說是兩千多年數學進步的結果。公理方法從歐幾里得開始，到非歐幾何產生之後，數學家開始有了現代的公理化觀點。這種方法經過第三次數學危機的考驗，特別是由於形式主義學派爾伯特的大力提倡，在數學實踐中已生根開花，終於更上一層樓，形成了「結構」的觀念。
一開始，人們追求公理的完備性或完全性。也就是說，在公理系統中，任何一個命題的成立與否，只能有唯一的解答。這樣，具有完全性的公理系統，實質上只能描述一種對象。例如，歐幾里得的幾何公理，所描述的對象形式上盡管可以多種多樣，但是本質上只有一種，這就使公理系統應用的廣泛性受到削弱。去掉平行公理，幾何公理系統失去了完備性，可是它的適用范圍更廣了。在去掉了平行公理的幾何體系中，證明了的定理，在歐氏幾何和羅氏幾何中都成立。如果再去掉一些公理，用剩下的公理推證出來的定理，在歐氏、羅氏和黎氏幾何中都成立，叫做「絕對幾何」的定理。
數學家們發現，公理系統的不完全性不是壞事，而是好事。不完全，可以容納更豐富的對象。公理是對所研究對象的限制。限制愈多，研究面愈窄；限制適當減少，研究成果的適用范圍就更豐富了。
在這種認識的啟迪下，數學家們研究了許多不完全的公理系統，如群、環、域、線性空間、概率論、測度論，等等。數學實踐證明，對不完全公理系統的研究有強大的生命力，它促使人們對公理系統進行分解，分解成一些更基本——更不完全的公理體系，終於促成了結構觀點的出現。
8. 怎樣學好數學
1、培養興趣，帶好奇心學習。
學數學要愛數學。數學是美麗的，它的美體現在結論的簡單明確，它是一種理性美和抽象美。數學就像一個花園，沒進門時看不出它的漂亮可一旦走進去，就會感覺它真美。許多數學家都把興趣放在學好數學的首要位置。其次是好奇心,學數學要有想法，要敢於去猜想，要帶著好奇心去學數學。要從解題過程找樂趣，找成就感。只要好奇心和求知慾變成了解決問題的渴求，就能自覺的提高運用數學知識真正去解決問題的能力。只有對學習數學充滿了樂趣，才能更自覺地學習和研究數學。
2、仔細看書，弄懂數學語言。
不愛讀數學教科書，是中學生的「通病」。數學教科書是用數學語言寫它成包括文字語言、符號語言、圖形語言。它語言簡潔、邏輯性強、內涵豐富、含義深刻，因而看數學教科書切不可浮光掠影，一目十行。
數學概念、定義、定理等都用文字語言表述，看書時務必留心。預習時要做到「五要」：①要用波浪線劃出重點；②要將公式及結論做記號；③要在看不懂、有疑問的地方用鉛筆畫問號；④要將簡單習題的答案、解題要點寫在後面；⑤如果定義、定理中的條件不止一個，就要把條件編上號碼。
符號語言有豐富的內涵，要寫得出，辯得清、記得牢。讀符號語言，要說得出它的涵義，辯得明它的特徵。
圖形語言既能反映元素的相對位置，又是數量關系的直接反映。因而觀看幾何圖形時要讀懂隱藏在圖形元素之間的內在聯系及數量關系；而觀看圖像，要從其形狀窺視出函數的性質。
如果課前、課後閱讀數學書能達到上述要求，學數學也就入門了；若由此養成讀書的良好習慣，提高成績則指日可待。
3、認真聽課，掌握思維方法。
聽課要全神貫注，隨著老師的講解積極思維。預習時似懂非懂的概念弄明白了么？疑團化解了么？老師口授的真知灼見、補充的例題、精彩的解法，要抓緊記錄下來。寫好聽課筆記，不但留下一份寶貴的資料，而且也能促使自己注意力集中。
聽課時還要做到不斷生疑、質疑，敢於提問、答問。要想想老師的講解是否完整無誤，解法是否嚴謹無瑕。板書的範例如果懂了，就應思謀新的解法；如果有疑點就應大膽質疑。爭著回答問題絕不是「圖表現」，而是闡述自己的見解，提高自己的口頭表達能力。即使自己回答錯了，將問題暴露後，也便於訂證。聽課最忌盲從，隨波逐流，人雲亦雲，不懂裝懂。
4、獨立鑽研，學會歸納總結。
養成良好的獨立鑽研學習的習慣必須做到：
①按時完成作業，鞏固所學知識。作業惟有按時完成，才能得以鞏固知識，盡量減少遺忘。而在完成作業的過程中，將增大知識復現率，促進自己的思考力，發揮解決問題的創造力。
善於學習的同學還應注意作業的保潔與收藏，因為這既是珍視自己的勞動成果，也是很好的復習資料。
②適時復習功課，形成知識網路。章節復習、單元復習、迎考復習等是數學學習不可或缺的一部份，它有承前啟後的作用。復習時應按照一定的系統歸納總結知識，總結方法，形成數學的「經緯網」。這里的「經」指的是數學的各個分支的知識；「緯」指的是相同的數學方法在不同分支中的應用。要想學好數學就必須織好數學的「經緯網」。
③應注重書寫的規范化。數學學科是一門專業性很強的學科，它對表達、敘述的過程，符號使用的規定都有嚴格的要求。因而在做練習、作業、考試時書寫都應規范化。
④運用所學知識，不斷開拓創新。數學有很強的聯貫性，新舊知識之間並沒有不可逾越的鴻溝。因此借書本知識，進行聯想，不但可以增強鑽研興趣，而且能培養自己的創造性思維能力。
注意了以上幾種做法，不但可以鞏固原有的知識，而且擴展了自己的知識領域，溝通了數學知識之間的內在聯系。有了良好的鑽研習慣，定能學好數學。
9. 怎樣提高六年級數學
怎樣提高 六年級數學 ?六年級的數學課非常重要，他起著承上啟下的作用。老師一定要引起重視，還要練好自己的基本功。下面是我為大家整理的關於怎樣提高六年級數學，希望對您有所幫助。歡迎大家閱讀參考學習!
1怎樣提高六年級數學
要 課前預習 ，課堂上認真聽講，課後獨立完成作業
多數學生對課前預習重視不夠。其實課前預習是學好數學很重要的一個環節，預習的情況如何，直接影響到課堂上的聽課效果。所以，我要求學生做好課前預習，並要求學生記下預習過程中發現的問題，以便在課堂上有的放矢，減少課堂上的壓力，相對減少了課堂上的內容。
突出思維，發展個性
六年級數學課必須突出學生的具體形象思維，給學生以能力的鑰匙，不給知識的包袱，促進具體形象思維向抽象 邏輯思維 的過渡，作為小學階段 思維訓練 的一門主課，六年級數學課應責無旁貸地促使學生思維從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡。這里特別要強調的是：在教學過程中思維材料的選擇上，要做到「不超綱，不超前」，知識與能力訓練盡量做到前後配合，否則，就不能促進學生的個性發展，增長才能的教學目的就會落空。
加強基礎知識和基本技能的培養
六年級學生是打好基礎的關鍵時期，基礎知識應該牢固地掌握，否則將會給以後的學習帶來困難。牢固掌握並非是讓學生死記硬背，而是讓他們真正理解。例如：在記憶比例的意義時，我讓學生明白，首先是一個式子，然後是相等的式子，最後是兩個比相等的式子。
培養學生的創造性思維能力
六年級數學應該特別重視培養學生的創造性思維能力。這不僅開闊了學生的解題思路，而且也有利於培養學生勇於探索新 方法 、新理論的創造精神。其實現行的教材編排有兩條線，一條是知識線，另一條是知識背後所隱藏的思想方法。因此，再講習題的時候，我往往是採用多種方法解題，而且經常是學生自己討論得出結論。
2數學興趣教學
激發學生興趣
愛因斯坦說：「興趣是最好的老師。」學生只有對所學知識產生了濃厚的興趣， 他才會積極主動地參與到課堂學習中來，充分發揮自己的聰明才智， 取得事半功倍的效果。 在小學數學課堂中，應採取哪些手段激發學生的興趣呢? 首先， 巧設導入語激趣。上課伊始， 教師應根據該節課的教學內容、教材重難點， 設計一段能引發學生學習興趣， 激發學生思考探究的導人語引入新課，以激活學生學習動力， 點燃學生思維火花。
其次， 設計擂台賽出情趣。小學生表現欲強， 愛爭強好勝， 喜歡受人誇獎。小學數學課堂教學中，教師如能抓住小學生這一年齡特點， 有意識地設計競賽題和競賽形式， 學生會興致盎然，熱情高漲， 學習空前活躍。如把基礎數學知識或口答題設計成搶答競賽形式， 把中等難度題設計成限時必答競賽形式， 把難度較大的題設計成小數奧賽形式， 讓學生以賽激趣， 以賽促學， 以賽提效。總之， 在小學數學課堂教學中， 教師根據教材內容和學生年齡特徵， 選用科學靈活的教學手段， 不斷創新激趣方法，會使數學課趣味盎然， 高潮迭起; 會使學生在學中玩， 在玩中學， 學得有趣， 學得愉快， 學得輕松， 學得主動， 學得深刻。
注重培養學生的自學能力
自學能力是所有能力中最重要的一種能力。對於小學生來講，最重要的是學會學習、學會思考、學會發現、學會創造，掌握一套適應自己的 學習方法 ，做到在任何時候學習任何一種知識時都能「處處無師勝有師」。為此，教師有必要更新觀念，研究數學的智慧，分析數學的方法，努力使學生像數學家那樣去學習、去思考、去發現、去應用、去創造數學知識。
在教學中，教師在學生掌握知識的基礎上，培養、發展學生的思維能力。比如，教師可要求學生課前預習?D?D學生把自己不懂的地方記錄下來，上課時帶著這些問題聽講，而對於在預習中已弄懂的內容可通過聽講來比較一下自己的理解與教師講解之間的差距、看問題的角度是否相同，如有不同，哪種好些;課後復習?D?D學生可先合上書本用自己的思路把課堂內容在腦子里「過」一遍，然後自己歸納出幾個「條條」來。教師要研究每個例題所反映出的原理，分析解剖每個例題的關鍵所在，思考這類例題還可以從什麼角度來提問，把已知條件和求解目標稍作變化又有什麼結果，解題中每一步運算的依據又是什麼，用到了哪些已有的知識，這類題 還可以用什麼方法求解，等等。
3數學思維訓練
強化小學生逆向思考的訓練，提高其逆向推理能力
數學知識內在聯系密切，因而在學習過程中不僅僅需要傳授其正向思維下的數學知識學習與思考能力，同時還應從 逆向思維 著手，通過不斷開展相應訓練來開展逆向思考的鍛煉，以此來持續、不間斷的提高其逆向推理能力，使得小學生數學思維能力的養成更加合理、全面，在問題分析與解決過程中更加得心應手。以猴子分桃為例，海灘邊有一堆桃子乃是兩只猴子的共同財產，而兩只猴子既正直又性急。
第一隻猴子迫不及待的將共同財產均分之後取走了屬於自己的那一份且沒有告知另一隻猴子，而另一隻猴子來到海灘之後在不知情的情況下再次將桃子分成了兩份，發現多了一個後將其仍入海中並取走了自己的那一份。如果這一堆桃子數量不少於100個，那麼第一隻猴子至少能夠取走多少個?從正向去解答顯得比較難，令小學生無從下手，此時數學教師可以鼓勵和引導學生從反向進行逆推，將第二隻猴子取走的桃子個數用X表示，那麼它取走之前的數量應為2X+1，教師向學生提問為什麼會是2X+1?當學生能夠准確回答上來之後，繼續進行反推，整堆桃子則應該為(2X+1)+(2X+1)+1，即4X+3。由於桃子總數在100個以上，所以X最終的結果為不小於25，即第一隻猴子至少能夠取走51個桃子。通過逆向思維來進行推理，顯然更能夠幫助學生解決實際問題，所以數學教師在課堂教學工作中應不斷強化小學生逆向思考的訓練，提高其逆向推理能力。
通過分析歸納，培養學生 創新思維 。
又如在教學完了平面圖形的面積計算公式後，我要求學生歸納出一個能概括各個平面圖形面積計算的公式，我讓學生進行討論，經過討論，學生們歸納出，在小學階段學過的面積公式都可以用梯形的面積計算公式來進行概括，因為梯形的面積計算公式是：(上底 +下底)×高÷2 。而長方形、正方形、平行四邊形的上底和下底相等
即可將這公式變成：底(長、邊長)×高(寬、邊長)×2÷2 = 底(長、邊長)×高(寬、邊長);又因為將圓面積公式是根據長方形的面積公式推導出來的，因此，梯形的面積公式對圓也同樣適用;當梯形的上底是零時，即梯形成了一個三角形，這時梯形的面積公式成了：底×高÷2 。這即成了三角形的面積公式。這樣，不僅使學生能熟練掌握已學過的平面圖形的面積公式，同時，也培養和提高了學生的創新能力。
4數學課堂教學新思路
探索新的課堂組織形式
大課堂教學有利於教師為中心的講解，但不利於以學生為中心的自主學習。要想真正把學生放在學習的中心地位，不改變長期延續的大課堂教學的組織形式是很難辦到的。為此，我們積極探索班級、小組、個人多種學習方式相結合的組織形式，重點加強小組研討的學習方式，相對削弱大課堂講解的學習方式。在這樣的課堂上，給學生提供充分的自主活動的空間和廣泛交流思想的機會，引導學生獨立探索、相互研究，大膽發表創新見解。在改革組織形式的探索過程中，我們深深體會到，培養學生探討問題、動手實踐和互相協作的能力是一項難度較大的工作。不僅要有教師的好心，還要有科學的引導方法，建立適應學生心理特點的激勵機制和組織嚴密的管理 措施 。學生經過了較好的培養，就能充分發揮個人在小組中的學習潛力和管理才能。小組中的骨幹成員不但能把同學很好地組織在一起，還能把握討論問題的方向和深度，大大提高教學效率。
課堂組織形式的變化，教師的主導作用顯得更加重要了。這主要表現在教學情景的設計要能調動起學生學習的積極性，學習過程中引導、點撥、釋疑、理論升華的"火候"掌握要適時、適度。因此，給教師提出了很高的要求，不但要有扎實寬厚的基礎知識，而且要有較高的教學機智、教學藝術和師德修養。我們也有這樣的教訓：教師做了大量工作，學生研討問題的積極性調動起來了，提出這樣、那樣一大堆問題，教師不知該如何"收場"了，就出現了"短暫繁榮"和"華而不實"的現象。學生的學習越是開放，教師的主導作用越重要。教師主導作用發揮得如何，是關繫到課堂教學改革成敗的關鍵。
逐步推行探索式、討論式的 教學方法
關於教學方法的改革，很重要的問題是觀念的轉變問題。目前不少教師還把教學過程看成是學生"接受"書本知識的過程。說得具體一點，就是教師把書本內容講清楚，或一問一答問清楚，學生用心記住，能按時完成作業和應付考試，就算圓滿完成了教學任務。這樣做其實把一種"隱形的"、寶貴的東酉--好奇心、思想方法、探索精神，特別是創新意識的培養統統丟掉了。
我們通過探索，認識到教學過程應該是這樣的：學生在教師設計的問題情景中，緊緊被問題吸引，自覺地、全身心地投入到學習活動中，用心思考，真誠交流，時而困惑，一時而高興，在跌宕起伏的情感體驗中，自主地完成對知識的構建。在這樣的學習過程中，學生不僅對知識理解十分深刻，而且"創造"著獲取知識的方法，體驗著獲取知識的愉悅。同時，在和諧誠懇的交流 中，充分展示著自己的個性和才能。
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