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求線段最小值的知識點初中數學

發布時間: 2022-09-09 13:19:02

⑴ 初中數學求線段和差最值知識

初中階段我們學過三種路徑最值問題,一是兩點之間線段最短;二是將軍飲馬問題;三是直線外一點與直線上一點的連線中,垂線段最短。

一、直接利用公理(定理)求最值

1、公理:兩點直接線段最短

2、定理:三角形的兩邊之和大於第三邊,兩邊之差小於第三邊(由上面公理證明而得)

3、定理:直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短。(簡稱垂線段最短)

所有的線段和差問題都是直接利用或者轉化為第1點或第3點來求最值,這是咱們思考這類問題的出發點,大家要死死記住。

二、結合圖形三大變換求最值

1、應用平移變換、軸對稱變換將線段和差轉化為可以利用公理(定理)求最值(將軍飲馬問題)

2、應用旋轉變換將線段和差轉化為可以利用公理(定理)求最值(費馬點問題)

【將軍飲馬問題】

【費馬點問題】

三.例題

1.如圖,A、B兩個小集鎮在河流CD的同側,分別到河的距離為AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,現在要在河邊建一自來水廠,向A、B兩鎮供水,鋪設水管的費用為每千米3萬,請你在河流CD上選擇水廠的位置M,使鋪設水管的費用最節省,並求出總費用是多少?

作點B關於直線CD的對稱點B',連接AB',交CD於點M

則AM+BM = AM+B'M = AB',水廠建在M點時,費用最小

如右圖,在直角△AB'E中,

AE = AC+CE = 10+30 = 40

EB' = 30

所以:AB' = 50

總費用為:50×3 = 150萬

2.如圖,C為線段BD上一動點,分別過點B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,連接AC、EC。已知AB=5,DE=1,BD=8,設CD=x.

(1)用含x的代數式表示AC+CE的長;

(2)請問點C滿足什麼條件時,AC+CE的值最小?

(3)根據(2)中的規律和結論,請構圖求出代數式的最小值

3.兩條公路OA、OB相交,在兩條公路的中間有一個油庫,設為點P,如在兩條公路上各設置一個加油站,,請你設計一個方案,把兩個加油站設在何處,可使運油車從油庫出發,經過一個加油站,再到另一個加油站,最後回到油庫所走的路程最短.

分析 這是一個實際問題,我們需要把它轉化為數學問題,經過分析,我們知道此題是求運油車所走路程最短,OA與OB相交,點P在∠AOB內部,通常我們會想到軸對稱,分別做點P關於直線OA和OB的對稱點P1、P2 ,連結P1P2分別交OA、OB於C、D,C、D兩點就是使運油車所走路程最短,而建加油站的地點,那麼是不是最短的呢?我們可以用三角形的三邊關系進行說明.

解:分別做點P關於直線OA和OB的對稱點P1、P2,

連結P1P2分別交OA、OB於C、D,

則C、D就是建加油站的位置.

若取異於C、D兩點的點,

則由三角形的三邊關系,可知在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短.

點評:在這里沒有詳細說明為什麼在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短,請同學們思考弄明白。

4.如圖∠AOB = 45°,P是∠AOB內一點,PO = 10,Q、P分別是OA、OB上的動點,求△PQR周長的最小值.

分別作點P關於OA、OB的對稱點P1、P2,連接P1P2,

交OA、OB於點Q,R,連接OP1,OP2,

則OP = OP1 = OP2 = 10

且∠P1OP2 = 90°

由勾股定理得P1P2 = 10

5.如圖,等腰Rt△ABC的直角邊長為2,E是斜邊AB的中點,P是AC邊上的一動點,則PB+PE的最小值為

即在AC上作一點P,使PB+PE最小

作點B關於AC的對稱點B',連接B'E,交AC於點P,則B'E = PB'+PE = PB+PE

B'E的長就是PB+PE的最小值

在直角△B'EF中,EF = 1,B'F =3

根據勾股定理,B'E =

6.等腰△ABC中,∠A = 20°,AB = AC = 20,M、N分別是AB、AC上的點,求BN+MN+MC的最小值

分別作點C、B關於AB、AC的對稱點C’、B’,連接C’B’交AB、AC於點M、N,則BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’,BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值

∵∠BAC’ =∠BAC,∠CAB’ =∠CAB

∴∠B’AC’ = 60°

∵AC’ = AC,AB’ = AB,AC = AB

∴AC’ = AB’

∴△AB’C’是等邊三角形

∴B’C’ = 20

7.如圖,在等邊△ABC中,AB = 6,AD⊥BC,E是AC上的一點,M是AD上的一點,且AE = 2,求EM+EC的最小值

⑵ 怎樣求兩線段和的最小值

摘要:有一類中考試題是求兩線段和的最小值,這類題只要利用好兩個知識點:
1.線段公理——兩點之間,線段最短。
2.對稱的性質——①關於一條直線對稱的兩個圖形全等;②對稱軸是兩個對稱圖形對應點連線的垂直平分線,問題就不難獲解,下面以中考題為例來說明。

⑶ 求線段的最小值問題

平面幾何中線段和的最小值問題是初中學生較難解決的問題之一,也是棘手問題。下面就這個問題瀏覽了05年度全國部分省市的有關中考試題,本文下面將結合中考試題為例予以剖析,供參考。

一、以正方形為載體,求線段和的最小值
例1. 如圖1,四邊形ABCD是正方形,邊長是4,E是BC上一點,且CE=1,P是對角線BD上任一點,則PE+PC的最小值是_____________。

分析:由於BD是正方形ABCD的對角線,連接AP,易證△ADP≌△CDP,所以PA=PC,此時求PE+PC的最小值就轉化為求PA+PE的最小值,連接AE,在△PAE中,因為PA+PE以AE,故當點P為A與BD的交點時(即當A、P、E三點共線時),PA+PE的最小值為AE,由勾股定理可求AE,所求問題可解。

解:連接PA,∵BD為正方形ABCD的對角線
∴AD=CD,∠ADP=∠CDP
又DP=DP,∴△ADP≌△CDP
∴PA=PC
連接AE
∵CE=1,∴BE=3
在Rt△ABE中,
根據三角形中兩邊的和大於第三邊可知,當P為AE與BD的交點時,PA+PE的最小值為AE,即PA+PE≥AE,∴PA+PE≥5,即PE+PC≥5,∴PE+PC的最小值為5(僅當A、P、E三點共線時取等號)。

⑷ 幾何題中求線段最小值的一般思路是什麼

你想問的是「求兩點到一條直線上任意一點連接的兩條線段長度之和的最小值」吧?

一般來說,是以直線為對稱軸,做兩點AB之中任意一點的對稱點A',然後連接A'B,與直線交點C。此時A'C=AC。因為A'B兩點之間直線最短,所以最小值為AC+BC=A'C+BC=A'B。

⑸ 初中數學中考壓軸題中,入兩條線段的和的最小值和最大值的一般的思維和方法,就這這種類型的題目不怎麼

和最小:把直線同側兩點轉化為異側兩點,方法是求兩點中隨便哪一點關於直線的堆成點。
利用「三角形兩邊之和大於第三邊」原理。
當直線上的點位於某一點與另一點的連線與直線交點時,和最小。

差最大:把異側兩點化為同側兩點進行考察。

⑹ 初中求最小值時何時用「兩點之間線段最短」,何時用「垂線段最短」

最值問題是初中數學的重要內容,也是一類綜合性較強的問題,它貫穿初中數學的始終,是中考的熱點問題,它主要考察學生對平時所學的內容綜合運用,無論是代數問題還是幾何問題都有最值問題,在中考壓軸題中出現比較高的主要有利用重要的幾何結論(如兩點之間線段最短、三角形兩邊之和大於第三邊、兩邊之差小於第三邊、垂線段最短等)。利用一次函數和二次函數的性質求最值。

一、「最值」問題大都歸於兩類基本模型:
Ⅰ、歸於函數模型:即利用一次函數的增減性和二次函數的對稱性及增減性,確定某范圍內函數的最大或最小值
Ⅱ、歸於幾何模型,這類模型又分為兩種情況:
(1)歸於「兩點之間的連線中,線段最短」。凡屬於求「變動的兩線段之和的最小值」時,大都應用這一模型。
(2)歸於「三角形兩邊之差小於第三邊」凡屬於求「變動的兩線段之差的最大值」時,大都應用這一模型。

二、 利用函數模型求最值
例1 、如圖(1),平行四邊形 中, ,E為BC上一動點(不與B重合),作 於 ,設 的面積為 當 運動到何處時, 有最大值,最大值為多少?
【觀察與思考】容易知道 是 的函數,為利用函數的性質求 的最大值,
就應先把 關於 的函數關系式求出來,而這又需要藉助幾何計算。 (1)
解:如圖(1`),延長 交 的延長線於 易知 。
對稱軸 當 , 隨 的增大而增大。
當 ,即E與C重合時, 有最大值, 。
【說明】可以看出,函數是解決「數量」最值問題的最基本的方法。

三、利用幾何模型求最值
(1)歸入「兩點之間的連線中,線段最短」
例1、幾何模型:
條件:如下左圖, 、 是直線 同旁的兩個定點.
問題:在直線 上確定一點 ,使 的值最小.
方法:作點 關於直線 的對稱點 ,連結 交 於點 ,則 的值最小(不必證明).
模型應用:
(1)如圖1,正方形 的邊長為2, 為 的中點, 是 上一動點.連結 ,由正方形對稱性可知, 與 關於直線 對稱.連結 交 於 ,則 的最小值是___________;
(2)如圖2, 的半徑為2,點 在 上, , , 是 上一動點,求 的最小值;
(3)如圖3, , 是 內一點, , 分別是 上的動點,求 周長的最小值.
例2 如圖(1)所示,在一筆直的公路 的同一旁有兩個新開發區 ,已知 千米,直線 與公路 的夾角 新開發區B到公路 的距離 千米。
(1)求新開發區A到公路 的距離;
(2)現從 上某點 處向新開發區 修兩條公路 ,使點 到新開發區 的距離
之和最短,請用尺規作圖在圖中找出點 的位置(不用證明,不寫作法,保留作圖痕跡),並求出此時 的值。

⑺ 求解答,初中數學線段最值,速給好評,謝謝兩條直線平行,求am+mn+nb 的最小值,mn垂直於兩條

兩點之間直線最短,當ab相連是垂直過兩條平行線的一條直線,相當於ab是mn的延長線是am+mn+bn的值最小

⑻ 初中數學 距離的最小值

什麼的最小值?四邊形周長么?
如果是求周長最小值的話方法如下:
如果作點A關於CD的對稱點A',由對稱性質可知,
CD上任意一點與A的連線跟這點與A'的連線相等(此為原理,這個如果懂的話應該不用多說了吧,以下為過程)
我們已知EF是定值,AB也是定值(這個不必說,應該懂吧)
所以要使四條邊的和最小,就只要讓AF,BE的和最小。那麼怎麼辦呢?
只需作點A關於CD的對稱點A',再連接A'F,這里由前面的原理可知,AF=A'F(這圖中沒有EF,不好說明,樓主自己畫圖理解理解)然後將A'F沿EF方向平移到A"E,那麼A"E=AF。到這里就已經成功了不止一半了,我們已經漸漸地將AF與BE放在一起了。最後只需連接A"B,則AF+BF的最小值便可以知道了(兩點之間線段最短不必多說吧),由此便得出四邊形周長的最小值了。(碼字辛苦,望採納)

⑼ 求初中數學的知識點(初一,二的就行了)要帶些例題和解法。

一、基本知識
一、數與代數A、數與式:
1、有理數
有理數:①整數→正整數/0/負整數
②分數→正分數/負分數
數軸:①畫一條水平直線,在直線上取一點表示0(原點),選取某一長度作為單位長度,規定直線上向右的方向為正方向,就得到數軸。②任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。③如果兩個數只有符號不同,那麼我們稱其中一個數為另外一個數的相反數,也稱這兩個數互為相反數。在數軸上,表示互為相反數的兩個點,位於原點的兩側,並且與原點距離相等。④數軸上兩個點表示的數,右邊的總比左邊的大。正數大於0,負數小於0,正數大於負數。
絕對值:①在數軸上,一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。②正數的絕對值是他的本身、負數的絕對值是他的相反數、0的絕對值是0。兩個負數比較大小,絕對值大的反而小。
有理數的運算:
加法:①同號相加,取相同的符號,把絕對值相加。②異號相加,絕對值相等時和為0;絕對值不等時,取絕對值較大的數的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值。③一個數與0相加不變。
減法:減去一個數,等於加上這個數的相反數。
乘法:①兩數相乘,同號得正,異號得負,絕對值相乘。②任何數與0相乘得0。③乘積為1的兩個有理數互為倒數。
除法:①除以一個數等於乘以一個數的倒數。②0不能作除數。
乘方:求N個相同因數A的積的運算叫做乘方,乘方的結果叫冪,A叫底數,N叫次數。
混合順序:先算乘法,再算乘除,最後算加減,有括弧要先算括弧里的。
2、實數
無理數:無限不循環小數叫無理數
平方根:①如果一個正數X的平方等於A,那麼這個正數X就叫做A的算術平方根。②如果一個數X的平方等於A,那麼這個數X就叫做A的平方根。③一個正數有2個平方根/0的平方根為0/負數沒有平方根。④求一個數A的平方根運算,叫做開平方,其中A叫做被開方數。
立方根:①如果一個數X的立方等於A,那麼這個數X就叫做A的立方根。②正數的立方根是正數、0的立方根是0、負數的立方根是負數。③求一個數A的立方根的運算叫開立方,其中A叫做被開方數。
實數:①實數分有理數和無理數。②在實數范圍內,相反數,倒數,絕對值的意義和有理數范圍內的相反數,倒數,絕對值的意義完全一樣。③每一個實數都可以在數軸上的一個點來表示。
3、代數式
代數式:單獨一個數或者一個字母也是代數式。
合並同類項:①所含字母相同,並且相同字母的指數也相同的項,叫做同類項。②把同類項合並成一項就叫做合並同類項。③在合並同類項時,我們把同類項的系數相加,字母和字母的指數不變。
4、整式與分式
整式:①數與字母的乘積的代數式叫單項式,幾個單項式的和叫多項式,單項式和多項式統稱整式。②一個單項式中,所有字母的指數和叫做這個單項式的次數。③一個多項式中,次數最高的項的次數叫做這個多項式的次數。
整式運算:加減運算時,如果遇到括弧先去括弧,再合並同類項。
冪的運算:AM+AN=A(M+N)
(AM)N=AMN
(A/B)N=AN/BN 除法一樣。
整式的乘法:①單項式與單項式相乘,把他們的系數,相同字母的冪分別相乘,其餘字母連同他的指數不變,作為積的因式。②單項式與多項式相乘,就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加。③多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項,再把所得的積相加。
公式兩條:平方差公式/完全平方公式
整式的除法:①單項式相除,把系數,同底數冪分別相除後,作為商的因式;對於只在被除式里含有的字母,則連同他的指數一起作為商的一個因式。②多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項分別除以單項式,再把所得的商相加。
分解因式:把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變化叫做把這個多項式分解因式。
方法:提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法。
分式:①整式A除以整式B,如果除式B中含有分母,那麼這個就是分式,對於任何一個分式,分母不為0。②分式的分子與分母同乘以或除以同一個不等於0的整式,分式的值不變。
分式的運算:
乘法:把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母。
除法:除以一個分式等於乘以這個分式的倒數。
加減法:①同分母分式相加減,分母不變,把分子相加減。②異分母的分式先通分,化為同分母的分式,再加減。
分式方程:①分母中含有未知數的方程叫分式方程。②使方程的分母為0的解稱為原方程的增根。
B、方程與不等式
1、方程與方程組
一元一次方程:①在一個方程中,只含有一個未知數,並且未知數的指數是1,這樣的方程叫一元一次方程。②等式兩邊同時加上或減去或乘以或除以(不為0)一個代數式,所得結果仍是等式。
解一元一次方程的步驟:去分母,移項,合並同類項,未知數系數化為1。
二元一次方程:含有兩個未知數,並且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程組:兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。
適合一個二元一次方程的一組未知數的值,叫做這個二元一次方程的一個解。
二元一次方程組中各個方程的公共解,叫做這個二元一次方程的解。
解二元一次方程組的方法:代入消元法/加減消元法。
一元二次方程:只有一個未知數,並且未知數的項的最高系數為2的方程
1)一元二次方程的二次函數的關系
大家已經學過二次函數(即拋物線)了,對他也有很深的了解,好像解法,在圖象中表示等等,其實一元二次方程也可以用二次函數來表示,其實一元二次方程也是二次函數的一個特殊情況,就是當Y的0的時候就構成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐標系中表示出來,一元二次方程就是二次函數中,圖象與X軸的交點。也就是該方程的解了
2)一元二次方程的解法
大家知道,二次函數有頂點式(-b/2a,4ac-b2/4a),這大家要記住,很重要,因為在上面已經說過了,一元二次方程也是二次函數的一部分,所以他也有自己的一個解法,利用他可以求出所有的一元一次方程的解
(1)配方法
利用配方,使方程變為完全平方公式,在用直接開平方法去求出解
(2)分解因式法
提取公因式,套用公式法,和十字相乘法。在解一元二次方程的時候也一樣,利用這點,把方程化為幾個乘積的形式去解
(3)公式法
這方法也可以是在解一元二次方程的萬能方法了,方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a,X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a
3)解一元二次方程的步驟:
(1)配方法的步驟:
先把常數項移到方程的右邊,再把二次項的系數化為1,再同時加上1次項的系數的一半的平方,最後配成完全平方公式
(2)分解因式法的步驟:
把方程右邊化為0,然後看看是否能用提取公因式,公式法(這里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化為乘積的形式
(3)公式法
就把一元二次方程的各系數分別代入,這里二次項的系數為a,一次項的系數為b,常數項的系數為c
4)韋達定理
利用韋達定理去了解,韋達定理就是在一元二次方程中,二根之和=-b/a,二根之積=c/a
也可以表示為x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韋達定理,可以求出一元二次方程中的各系數,在題目中很常用
5)一元一次方程根的情況
利用根的判別式去了解,根的判別式可在書面上可以寫為「△」,讀作「diao ta」,而△=b2-4ac,這里可以分為3種情況:
I當△>0時,一元二次方程有2個不相等的實數根;
II當△=0時,一元二次方程有2個相同的實數根;
III當△<0時,一元二次方程沒有實數根(在這里,學到高中就會知道,這里有2個虛數根)
2、不等式與不等式組
不等式:①用符號〉,=,〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式,不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數,不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數,不等號方向相反。
不等式的解集:①能使不等式成立的未知數的值,叫做不等式的解。②一個含有未知數的不等式的所有解,組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。
一元一次不等式:左右兩邊都是整式,只含有一個未知數,且未知數的最高次數是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式組:①關於同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起,就組成了一元一次不等式組。②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分,叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程,叫做解不等式組。
一元一次不等式的符號方向:
在一元一次不等式中,不像等式那樣,等號是不變的,他是隨著你加或乘的運算改變。
在不等式中,如果加上同一個數(或加上一個正數),不等式符號不改向;例如:A>B,A+C>B+C
在不等式中,如果減去同一個數(或加上一個負數),不等式符號不改向;例如:A>B,A-C>B-C
在不等式中,如果乘以同一個正數,不等號不改向;例如:A>B,A*C>B*C(C>0)
在不等式中,如果乘以同一個負數,不等號改向;例如:A>B,A*C<B*C(C<0)
如果不等式乘以0,那麼不等號改為等號
所以在題目中,要求出乘以的數,那麼就要看看題中是否出現一元一次不等式,如果出現了,那麼不等式乘以的數就不等為0,否則不等式不成立;
3、函數
變數:因變數,自變數。
在用圖象表示變數之間的關系時,通常用水平方向的數軸上的點自變數,用豎直方向的數軸上的點表示因變數。
一次函數:①若兩個變數X,Y間的關系式可以表示成Y=KX+B(B為常數,K不等於0)的形式,則稱Y是X的一次函數。②當B=0時,稱Y是X的正比例函數。
一次函數的圖象:①把一個函數的自變數X與對應的因變數Y的值分別作為點的橫坐標與縱坐標,在直角坐標系內描出它的對應點,所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。②正比例函數Y=KX的圖象是經過原點的一條直線。③在一次函數中,當K〈0,B〈O,則經234象限;當K〈0,B〉0時,則經124象限;當K〉0,B〈0時,則經134象限;當K〉0,B〉0時,則經123象限。④當K〉0時,Y的值隨X值的增大而增大,當X〈0時,Y的值隨X值的增大而減少。
二空間與圖形
A、圖形的認識
1、點,線,面
點,線,面:①圖形是由點,線,面構成的。②面與面相交得線,線與線相交得點。③點動成線,線動成面,面動成體。
展開與折疊:①在稜柱中,任何相鄰的兩個面的交線叫做棱,側棱是相鄰兩個側面的交線,稜柱的所有側棱長相等,稜柱的上下底面的形狀相同,側面的形狀都是長方體。②N稜柱就是底面圖形有N條邊的稜柱。
截一個幾何體:用一個平面去截一個圖形,截出的面叫做截面。
視圖:主視圖,左視圖,俯視圖。
多邊形:他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。
弧、扇形:①由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個扇形。
2、角
線:①線段有兩個端點。②將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線只有一個端點。③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點。④經過兩點有且只有一條直線。
比較長短:①兩點之間的所有連線中,線段最短。②兩點之間線段的長度,叫做這兩點之間的距離。
角的度量與表示:①角由兩條具有公共端點的射線組成,兩條射線的公共端點是這個角的頂點。②一度的1/60是一分,一分的1/60是一秒。
角的比較:①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點旋轉而成的。②一條射線繞著他的端點旋轉,當終邊和始邊成一條直線時,所成的角叫做平角。始邊繼續旋轉,當他又和始邊重合時,所成的角叫做周角。③從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線。
平行:①同一平面內,不相交的兩條直線叫做平行線。②經過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行,那麼這兩條直線互相平行。
垂直:①如果兩條直線相交成直角,那麼這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。③平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
垂直平分線:垂直和平分一條線段的直線叫垂直平分線。
垂直平分線垂直平分的一定是線段,不能是射線或直線,這根據射線和直線可以無限延長有關,再看後面的,垂直平分線是一條直線,所以在畫垂直平分線的時候,確定了2點後(關於畫法,後面會講)一定要把線段穿出2點。
垂直平分線定理:
性質定理:在垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等;
判定定理:到線段2端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上
角平分線:把一個角平分的射線叫該角的角平分線。
定義中有幾個要點要注意一下的,就是角的角平分線是一條射線,不是線段也不是直線,很多時,在題目中會出現直線,這是角平分線的對稱軸才會用直線的,這也涉及到軌跡的問題,一個角個角平分線就是到角兩邊距離相等的點
性質定理:角平分線上的點到該角兩邊的距離相等
判定定理:到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上
正方形:一組鄰邊相等的矩形是正方形
性質:正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質
判定:1、對角線相等的菱形2、鄰邊相等的矩形
二、基本定理
1、過兩點有且只有一條直線
2、兩點之間線段最短
3、同角或等角的補角相等
4、同角或等角的餘角相等
5、過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
6、直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短
7、平行公理 經過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行
8、如果兩條直線都和第三條直線平行,這兩條直線也互相平行
9、同位角相等,兩直線平行
10、內錯角相等,兩直線平行
11、同旁內角互補,兩直線平行
12、兩直線平行,同位角相等
13、兩直線平行,內錯角相等
14、兩直線平行,同旁內角互補
15、定理 三角形兩邊的和大於第三邊
16、推論 三角形兩邊的差小於第三邊
17、三角形內角和定理 三角形三個內角的和等於180°
18、推論1 直角三角形的兩個銳角互余
19、推論2 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和
20、推論3 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角
21、全等三角形的對應邊、對應角相等
22、邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等
23、角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的 兩個三角形全等
24、推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等
25、邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等
26、斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
27、定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
28、定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點,在這個角的平分線上
29、角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
30、等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角)
31、推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊並且垂直於底邊
32、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合
33、推論3 等邊三角形的各角都相等,並且每一個角都等於60°
34、等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等,那麼這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)
35、推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形
36、推論 2 有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形
37、在直角三角形中,如果一個銳角等於30°那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半
38、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊上的一半
39、定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
40、逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上
41、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合
42、定理1 關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形
43、定理 2 如果兩個圖形關於某直線對稱,那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線
44、定理3 兩個圖形關於某直線對稱,如果它們的對應線段或延長線相交,那麼交點在對稱軸上
45、逆定理 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那麼這兩個圖形關於這條直線對稱
46、勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等於斜邊c的平方,即a2+b2=c2
47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系a2+b2=c2,那麼這個三角形是直角三角形
48、定理 四邊形的內角和等於360°
49、四邊形的外角和等於360°
50、多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等於(n-2)×180°
51、推論 任意多邊的外角和等於360°
52、平行四邊形性質定理1 平行四邊形的對角相等
53、平行四邊形性質定理2 平行四邊形的對邊相等
54、推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55、平行四邊形性質定理3 平行四邊形的對角線互相平分
56、平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
57、平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊 形是平行四邊形
58、平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
59、平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形
60、矩形性質定理1 矩形的四個角都是直角
61、矩形性質定理2 矩形的對角線相等
62、矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形
63、矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形
64、菱形性質定理1 菱形的四條邊都相等
65、菱形性質定理2 菱形的對角線互相垂直,並且每一條對角線平分一組對角
66、菱形面積=對角線乘積的一半,即S=(a×b)÷2
67、菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
68、菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
69、正方形性質定理1 正方形的四個角都是直角,四條邊都相等
70、正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等,並且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角
71、定理1 關於中心對稱的兩個圖形是全等的
72、定理2 關於中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經過對稱中心,並且被對稱中心平分
73、逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點,並且被這一點平分,那麼這兩個圖形關於這一點對稱
74、等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等