❶ 初三數學的二次函數的要點是哪些
1.a>0時,開口向上;a<0時,開口向下.
2.當△>0時,圖像與x軸有兩個交點;當△=0時,圖像與x軸有一個交點;當△<0時,圖像與x軸沒有交點.當△≥0時,|x1-x2|=[(△)^(1/2)]/a(a分之根號△).(|x1-x2|表示兩根差的絕對值,也可以表示兩根在數軸上所對應的點之間的距離,也可以表示函數圖像與x軸的交點的距離)(注意:當△=0時,雖然兩根相等,但不能認為只有一個根,此時只能認為有兩個重根)
3.對稱軸為x=-2a/b,頂點坐標為(-2a/b,(4ac-b^2)/4a).
4.函數處處連續,處處可導.
5.是廣義的偶函數.
6.a>0時,|x+2a/b|越大,f(x)越大;a<0時,|x+2a/b|越大,f(x)越小.
7.a>0時,函數圖像下凸;a<0時,函數圖像上凸.
8.在頂點處曲線的曲率最大.
9.在x=-2a/b處取得最值和極值.
10.x趨於無窮大時,y是一個無窮大量.
11.圖像是一條拋物線,圖像上的每一個點到准線的距離等於到焦點的距離.
12.當b=0時,圖像關於y軸對稱.(0,c)是函數圖像與y軸的交點.
還有許多性質,只列舉以上性質,其餘的自己查資料.
❷ 二次函數知識點總結
二次函數知識點總結
數學中二次函數主要考察的就是學生們對公式的應用，下面是我推薦給大家的二次函數知識點總結，希望能帶給大家幫助。
二次函數知識點總結
二次函數概念
一般地，把形如y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常數，a≠0，b，c可以為0)的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。x為自變數，y為因變數。等號右邊自變數的最高次數是2。二次函數圖像是軸對稱圖形。
注意：“變數”不同於“自變數”，不能說“二次函數是指變數的最高次數為二次的多項式函數”。“未知數”只是一個數(具體值未知，但是只取一個值)，“變數”可在實數范圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念(函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個數或函數——也會遇到特殊情況)，但是函數中的字母表示的是變數，意義已經有所不同。從函數的定義也可看出二者的差別，如同函數不等於函數的關系。
二次函數公式大全
二次函數
I.定義與定義表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：
y=ax²+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax²;+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)²;+k [拋物線的.頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線]
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b²;)/4a x1,x2=(-b±√b²;-4ac)/2a
III.二次函數的圖象
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x??的圖象，
可以看出，二次函數的圖象是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P [ -b/2a ，(4ac-b²;)/4a ]。
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b²-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b²-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b²-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱函數)y=ax²;+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程(以下稱方程)，
即ax²;+bx+c=0
此時，函數圖象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
;❸ 急求！！初中數學二次函數所有知識的歸納。
不知道怎麼發給你 我亂刪減了很多····你還是到文庫里看看吧。。丫的就要中考了，我也很緊張啊
1、各象限內點的坐標的特徵
點P(x,y)在第一象限
點P(x,y)在第二象限
點P(x,y)在第三象限
點P(x,y)在第四象限
2、坐標軸上的點的特徵
點P(x,y)在x軸上 ，x為任意實數
點P(x,y)在y軸上 ，y為任意實數
點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上 x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）
3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特徵
點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上 x與y相等
點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上 x與y互為相反數
4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特徵
位於平行於x軸的直線上的各點的縱坐標相同。
位於平行於y軸的直線上的各點的橫坐標相同。
5、關於x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特徵
點P與點p』關於x軸對稱 橫坐標相等，縱坐標互為相反數
點P與點p』關於y軸對稱 縱坐標相等，橫坐標互為相反數
點P與點p』關於原點對稱 橫、縱坐標均互為相反數
6、點到坐標軸及原點的距離
點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：
（1）點P(x,y)到x軸的距離等於
（2）點P(x,y)到y軸的距離等於
（3）點P(x,y)到原點的距離等於
考點三、函數及其相關概念 （3~8分）
1、變數與常量
在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變數，數值保持不變的量叫做常量。
一般地，在某一變化過程中有兩個變數x與y，如果對於x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，那麼就說x是自變數，y是x的函數。
2、函數解析式
用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。
使函數有意義的自變數的取值的全體，叫做自變數的取值范圍。
3、函數的三種表示法及其優缺點
（1）解析法
兩個變數間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變數及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自變數x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。
（3）圖像法
用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。
4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟
（1）列表：列表給出自變數與函數的一些對應值
（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點
（3）連線：按照自變數由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。
考點四、正比例函數和一次函數 （3~10分）
1、正比例函數和一次函數的概念
一般地，如果 （k，b是常數，k 0），那麼y叫做x的一次函數。
特別地，當一次函數 中的b為0時， （k為常數，k 0）。這時，y叫做x的正比例函數。
2、一次函數的圖像
所有一次函數的圖像都是一條直線
3、一次函數、正比例函數圖像的主要特徵：一次函數 的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數 的圖像是經過原點（0，0）的直線。
k的符號 b的符號 函數圖像 圖像特徵
k>0 b>0 y
0 x
圖像經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。
b<0 y
0 x
圖像經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。
K<0 b>0 y
0 x
圖像經過一、二、四象限，y隨x的增大而減小
b<0
y
0 x
圖像經過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。
註：當b=0時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例。
4、正比例函數的性質，，一般地，正比例函數 有下列性質：
（1）當k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；
（2）當k<0時，圖像經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。
5、一次函數的性質，，一般地，一次函數 有下列性質：
（1）當k>0時，y隨x的增大而增大
（2）當k<0時，y隨x的增大而減小
6、正比例函數和一次函數解析式的確定
確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式 （k 0）中的常數k。確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式 （k 0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法。
考點五、反比例函數 （3~10分）
1、反比例函數的概念
一般地，函數 （k是常數，k 0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成 的形式。自變數x的取值范圍是x 0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數。
2、反比例函數的圖像
反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位於第一、三象限，或第二、四象限，它們關於原點對稱。由於反比例函數中自變數x 0，函數y 0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。
3、反比例函數的性質
反比例函數
k的符號 k>0 k<0
圖像
y
O x
y
O x
性質 ①x的取值范圍是x 0，
y的取值范圍是y 0；
②當k>0時，函數圖像的兩個分支分別
在第一、三象限。在每個象限內，y
隨x 的增大而減小。 ①x的取值范圍是x 0，
y的取值范圍是y 0；
②當k<0時，函數圖像的兩個分支分別
在第二、四象限。在每個象限內，y
隨x 的增大而增大。
4、反比例函數解析式的確定
確定及誒是的方法仍是待定系數法。由於在反比例函數 中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。
5、反比例函數中反比例系數的幾何意義
如下圖，過反比例函數 圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PM PN= 。 。
二次函數
考點一、二次函數的概念和圖像 （3~8分）
1、二次函數的概念
一般地，如果 ，那麼y叫做x 的二次函數。
叫做二次函數的一般式。
2、二次函數的圖像
二次函數的圖像是一條關於 對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。
拋物線的主要特徵：
①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。
3、二次函數圖像的畫法
五點法：
（1）先根據函數解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，並用虛線畫出對稱軸
（2）求拋物線 與坐標軸的交點：
當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，並向上或向下延伸，就得到二次函數的圖像。
當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然後順次連接五點，畫出二次函數的圖像。
考點二、二次函數的解析式 （10~16分）
二次函數的解析式有三種形式：
（1）一般式：
（2）頂點式：
（3）當拋物線 與x軸有交點時，即對應二次好方程 有實根 和 存在時，根據二次三項式的分解因式 ，二次函數 可轉化為兩根式 。如果沒有交點，則不能這樣表示。
考點三、二次函數的最值 （10分）如果自變數的取值范圍是全體實數，那麼函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當 時， 。
如果自變數的取值范圍是 ，那麼，首先要看 是否在自變數取值范圍 內，若在此范圍內，則當x= 時， ；若不在此范圍內，則需要考慮函數在 范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當 時， ，當 時， ；如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當 時， ，當 時， 。
考點四、二次函數的性質 （6~14分） 1、二次函數的性質
函數 二次函數
圖像 a>0 a<0
y
0 x
y
0 x
性質 （1）拋物線開口向上，並向上無限延伸；
（2）對稱軸是x= ，頂點坐標是（ ， ）；
（3）在對稱軸的左側，即當x< 時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側，即當x> 時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；
（4）拋物線有最低點，當x= 時，y有最小值，
（1）拋物線開口向下，並向下無限延伸；
（2）對稱軸是x= ，頂點坐標是（ ， ）；
（3）在對稱軸的左側，即當x< 時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當x> 時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；
（4）拋物線有最高點，當x= 時，y有最大值，
2、二次函數 中， 的含義： 表示開口方向： >0時，拋物線開口向上，，， <0時，拋物線開口向下
與對稱軸有關：對稱軸為x=
表示拋物線與y軸的交點坐標：（0， ）
3、二次函數與一元二次方程的關系
一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標。
因此一元二次方程中的 ，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點。
當 >0時，圖像與x軸有兩個交點；
當 =0時，圖像與x軸有一個交點；
當 <0時，圖像與x軸沒有交點。
補充：
1、兩點間距離公式（當遇到沒有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）
y
如圖：點A坐標為（x1，y1）點B坐標為（x2，y2）
則AB間的距離，即線段AB的長度為 A
0 x
B
2、函數平移規律（中考試題中，只佔3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節省做題的時間）
3、直線斜率： b為直線在y軸上的截距
4、直線方程： 一般兩點斜截距
1，一般 一般 直線方程 ax+by+c=0
2，兩點 由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點式:
--最最常用，記牢
3，點斜 知道一點與斜率
4，斜截 斜截式方程，簡稱斜截式: y＝kx＋b(k≠0)
5 ，截距 由直線在 軸和 軸上的截距確定的直線的截距
式方程，簡稱截距式：
記牢可大幅提高運算速度
5、設兩條直線分別為， ： ：
若 ，則有 且 。
若
6、點P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離:
對於點P（x0，y0）到直線滴一般式方程 ax+by+c=0 滴距離有
常用記牢
中考點擊
考點分析：
內容 要求
1、函數的概念和平面直角坐標系中某些點的坐標特點 Ⅰ
2、自變數與函數之間的變化關系及圖像的識別，理解圖像與變數的關系 Ⅰ
3、一次函數的概念和圖像 Ⅰ
4、一次函數的增減性、象限分布情況，會作圖 Ⅱ
5、反比例函數的概念、圖像特徵，以及在實際生活中的應用 Ⅱ
6、二次函數的概念和性質，在實際情景中理解二次函數的意義，會利用二次函數刻畫實際問題中變數之間的關系並能解決實際生活問題 Ⅱ
命題預測：函數是數形結合的重要體現，是每年中考的必考內容，函數的概念主要用選擇、填空的形式考查自變數的取值范圍，及自變數與因變數的變化圖像、平面直角坐標系等，一般佔2%左右．一次函數與一次方程有緊密地聯系，是中考必考內容，一般以填空、選擇、解答題及綜合題的形式考查，佔5%左右．反比例函數的圖像和性質的考查常以客觀題形式出現，要關注反比例函數與實際問題的聯系，突出應用價值，3—6分；二次函數是初中數學的一個十分重要的內容，是中考的熱點，多以壓軸題出現在試卷中．要求：能通過對實際問題情景分析確定二次函數的表達式，並體會二次函數的意義；會用描點法畫二次函數圖像，能叢圖像上分析二次函數的性質；會根據公式確定圖像的頂點、開口方向和對稱軸，並能解決實際問題．會求一元二次方程的近似值．
分析近年中考，尤其是課改實驗區的試題，預計2007年除了繼續考查自變數的取值范圍及自變數與因變數之間的變化圖像，一次函數的圖像和性質，在實際問題中考查對反比例函數的概念及性質的理解．同時將注重考查二次函數，特別是二次函數的在實際生活中應用．
初中數學助記口訣(函數部分)
特殊點坐標特徵:坐標平面點(x,y),橫在前來縱在後；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四個象限分前後；X軸上y為0,x為0在Y軸。
對稱點坐標:對稱點坐標要記牢,相反數位置莫混淆，X軸對稱y相反,Y軸對稱,x前面添負號；原點對稱最好記,橫縱坐標變符號。
自變數的取值范圍：分式分母不為零，偶次根下負不行；零次冪底數不為零，整式、奇次根全能行。
函數圖像的移動規律:若把一次函數解析式寫成y=k（x+0）+b、二次函數的解析式寫成y=a（x+h）2+k的形式，則用下面後的口訣「同左上加，異右下減」。
一次函數圖像與性質口訣:一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠。
二次函數圖像與性質口訣:二次函數拋物線，圖象對稱是關鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象現；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關聯；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標最重要,一般式配方它就現，橫標即為對稱軸,縱標函數最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式，不同表達能互換。
反比例函數圖像與性質口訣:反比例函數有特點,雙曲線相背離的遠;k為正,圖在一、三(象)限,k為負,圖在二、四(象)限;圖在一、三函數減,兩個分支分別減。圖在二、四正相反,兩個分支分別添;線越長越近軸,永遠與軸不沾邊。
正比例函數是直線，圖象一定過圓點，k的正負是關鍵，決定直線的象限，負k經過二四限，x增大y在減，上下平移k不變，由引得到一次線，向上加b向下減，圖象經過三個限，兩點決定一條線，選定系數是關鍵。
反比例函數雙曲線，待定只需一個點，正k落在一三限，x增大y在減，圖象上面任意點，矩形面積都不變，對稱軸是角分線x、y的順序可交換。
二次函數拋物線，選定需要三個點，a的正負開口判，c的大小y軸看，△的符號最簡便，x軸上數交點，a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點牽著圖象轉，三種形式可變換，配方法作用最關鍵。
1. 一元一次不等式解題的一般步驟：
去分母、去括弧，移項時候要變號；
同類項、合並好，再把系數來除掉；
兩邊除（以）負數時，不等號改向別忘了。
2. 特殊點坐標特徵:
坐標平面點(x,y),橫在前來縱在後；
(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四個象限分前後；
X軸上y為0,x為0在Y軸。
3. 平行某軸的直線:
平行某軸的直線，點的坐標有講究，
直線平行X軸,縱坐標相等橫不同；
直線平行於Y軸,點的橫坐標仍照舊。
4. 對稱點坐標:
對稱點坐標要記牢,相反數位置莫混淆，
X軸對稱y相反, Y軸對稱,x前面添負號；
原點對稱最好記,橫縱坐標變符號。
5. 自變數的取值范圍：
分式分母不為零，偶次根下負不行；
零次冪底數不為零，整式、奇次根全能行。
6. 函數圖像的移動規律:
若把一次函數解析式寫成y=k（x+0）+b，
二次函數的解析式寫成y=a（x+h）2+k的形式，
則用下面後的口訣：
「左右平移在括弧,上下平移在末稍,
左正右負須牢記,上正下負錯不了」。
7. 一次函數圖像與性質口訣:
一次函數是直線，圖像經過仨象限；
正比例函數更簡單,經過原點一直線；
兩個系數k與b,作用之大莫小看，
k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,
k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；
k的絕對值越大,線離橫軸就越遠。
8. 二次函數圖像與性質口訣:
二次函數拋物線，圖象對稱是關鍵；
開口、頂點和交點,它們確定圖象限；
開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關聯；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標最重要,一般式配方它就現，橫標即為對稱軸,縱標函數最值見。若求對稱軸位置, 符號反,一般、頂點、交點式，不同表達能互換。
9. 反比例函數圖像與性質口訣:
反比例函數有特點,雙曲線相背離的遠;
k為正,圖在一、三(象)限；k為負,圖在二、四(象)限;
圖在一、三函數減,兩個分支分別減；圖在二、四正相反,兩個分支分別添;線越長越近軸,永遠與軸不沾邊。
函數學習口決：正比例函數是直線，圖象一定過原點，k的正負是關鍵，決定直線的象限，負k經過二四限，x增大y在減，上下平移k不變，由引得到一次線，向上加b向下減，圖象經過三個限，兩點決定一條線，選定系數是關鍵；
反比例函數雙曲線，待定只需一個點，正k落在一三限，x增大y在減，圖象上面任意點，矩形面積都不變，對稱軸是角分線x、y的順序可交換；
二次函數拋物線，選定需要三個點，a的正負開口判，c的大小y軸看，△的符號最簡便，x軸上數交點，a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點牽著圖象轉，三種形式可變換，配方法作用最關鍵。
10. 求定義域：
求定義域有講究，四項原則須留意。
負數不能開平方，分母為零無意義。
指是分數底正數，數零沒有零次冪。
限制條件不唯一，滿足多個不等式。
求定義域要過關，四項原則須注意。
負數不能開平方，分母為零無意義。
分數指數底正數，數零沒有零次冪。
限制條件不唯一，不等式組求解集。
11. 解一元一次不等式：
先去分母再括弧，移項合並同類項。
系數化「1」有講究，同乘除負要變向。
先去分母再括弧，移項別忘要變號。
同類各項去合並，系數化「1」注意了。
同乘除正無防礙，同乘除負也變號。
12. 解一元一次不等式組：
大於頭來小於尾，大小不一中間找。
大大小小沒有解，四種情況全來了。
同向取兩邊，異向取中間。
中間無元素，無解便出現。
幼兒園小鬼當家，(同小相對取較小)
敬老院以老為榮，(同大就要取較大)
軍營里沒老沒少。(大小小大就是它)
大大小小解集空。(小小大大哪有哇)
13. 解一元二次不等式：
首先化成一般式，構造函數第二站。
判別式值若非負，曲線橫軸有交點。
a正開口它向上，大於零則取兩邊。
代數式若小於零，解集交點數之間。
方程若無實數根，口上大零解為全。
小於零將沒有解，開口向下正相反。
13.1 用公式法解一元二次方程
要用公式解方程，首先化成一般式。
調整系數隨其後，使其成為最簡比。
確定參數abc，計算方程判別式。
判別式值與零比，有無實根便得知。
有實根可套公式，沒有實根要告之。
14. 用常規配方法解一元二次方程：
左未右已先分離，二系化「1」是其次。
一系折半再平方，兩邊同加沒問題。
左邊分解右合並，直接開方去解題。
該種解法叫配方，解方程時多練習。
15. 用間接配方法解一元二次方程：
已知未知先分離，因式分解是其次。
調整系數等互反，和差積套恆等式。
完全平方等常數，間接配方顯優勢
【注】 恆等式
16. 解一元二次方程：
方程沒有一次項，直接開方最理想。
如果缺少常數項，因式分解沒商量。
b、c相等都為零，等根是零不要忘。
b、c同時不為零，因式分解或配方，
也可直接套公式，因題而異擇良方。
17. 正比例函數的鑒別：
判斷正比例函數，檢驗當分兩步走。
一量表示另一量， 有沒有。
若有再去看取值，全體實數都需要。
區分正比例函數，衡量可分兩步走。
一量表示另一量， 是與否。
若有還要看取值，全體實數都要有。
18. 正比例函數的圖象與性質：
正比函數圖直線，經過 和原點。
K正一三負二四，變化趨勢記心間。
K正左低右邊高，同大同小向爬山。
K負左高右邊低，一大另小下山巒。
19. 一次函數：
一次函數圖直線，經過 點。
K正左低右邊高，越走越高向爬山。
K負左高右邊低，越來越低很明顯。
K稱斜率b截距，截距為零變正函。
20. 反比例函數：
反比函數雙曲線，經過 點。
K正一三負二四，兩軸是它漸近線。
K正左高右邊低，一三象限滑下山。
K負左低右邊高，二四象限如爬山。
21. 二次函數：
二次方程零換y，二次函數便出現。
全體實數定義域，圖像叫做拋物線。
拋物線有對稱軸，兩邊單調正相反。
A定開口及大小，線軸交點叫頂點。
頂點非高即最低。上低下高很顯眼。
如果要畫拋物線，平移也可去描點，
提取配方定頂點，兩條途徑再挑選。
列表描點後連線，平移規律記心間。
左加右減括弧內，號外上加下要減。
二次方程零換y，就得到二次函數。
圖像叫做拋物線，定義域全體實數。
A定開口及大小，開口向上是正數。
絕對值大開口小，開口向下A負數。
拋物線有對稱軸，增減特性可看圖。
線軸交點叫頂點，頂點縱標最值出。
如果要畫拋物線，描點平移兩條路。
提取配方定頂點，平移描點皆成圖。
列表描點後連線，三點大致定全圖。
若要平移也不難，先畫基礎拋物線，
頂點移到新位置，開口大小隨基礎。
【注】基礎拋物線
22. 列方程解應用題：
列方程解應用題，審設列解雙檢答。
審題弄清已未知，設元直間兩辦法。
列表畫圖造方程，解方程時守章法。
檢驗准且合題意，問求同一才作答。
23. 兩點間距離公式：
同軸兩點求距離，大減小數就為之。
與軸等距兩個點，間距求法亦如此。
平面任意兩個點，橫縱標差先求值。
差方相加開平方，距離公式要牢記。
二次函數知識點：1．二次函數的概念：一般地，形如 （ 是常數， ）的函數，叫做二次函數。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數 ，而 可以為零．二次函數的定義域是全體實數．
2. 二次函數 的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函數，右邊是關於自變數 的二次式， 的最高次數是2．
⑵ 是常數， 是二次項系數， 是一次項系數， 是常數項．
二次函數的基本形式
1. 二次函數基本形式： 的性質：
結論：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
總結：
的符號
開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上
軸
時， 隨 的增大而增大； 時， 隨 的增大而減小； 時， 有最小值 ．
向下
軸
時， 隨 的增大而減小； 時， 隨 的增大而增大； 時， 有最大值 ．
2. 的性質：
結論：上加下減。同左上加，異右下減
總結：
的符號
開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上
軸
時， 隨 的增大而增大； 時， 隨 的增大而減小； 時， 有最小值 ．
向下
軸
時， 隨 的增大而減小； 時， 隨 的增大而增大； 時， 有最大值 ．
3. 的性質：
結論：左加右減。同左上加，異右下減
總結：
的符號
開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上
X=h 時， 隨 的增大而增大； 時， 隨 的增大而減小； 時， 有最小值 ．
向下
X=h 時， 隨 的增大而減小； 時， 隨 的增大而增大； 時， 有最大值 ．
4. 的性質：
總結：
的符號
開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上
X=h 時， 隨 的增大而增大； 時， 隨 的增大而減小； 時， 有最小值 ．
❹ 初中數學二次函數知識點詳細
二次函數的圖象與性質
二次函數
開口方向
對稱軸
頂點
增減性
最大（小）值
方法
二次函數y
=
ax2
、y
=
ax2+c、y
=
a（x-h）2
以及y
=
a（x-h）2
+k的形狀相同，只是位置不同，相互之間可以通過平移得到，一般式y
=
ax2+bx+c可以通過配方化成y
=
a（x-h）2
+k的形式。
二次函數解析式常見有三種形式：
①一般式：y
=
ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）
②頂點式：y
=
a（x-h）2
+k（a、h、k是常數，且a≠0）
③交點式：y=a（x-x1）（
x-x2）（a、x1、x2是常數，且a≠0，x1、x2是拋物線與x軸交點的橫坐標）。
拋物線y
=
ax2
的開口大小由∣a∣決定：∣a∣越大，開口越小；∣a∣越小，開口越大
❺ [急]初中數學二次函數知識點有哪些
頂點坐標.開口方向，對稱軸，函數的增減性，，最大值與最小值 平移 拋物線的做法 二次函數的性質
❻ 初三數學二次函數知識點總匯
一、內容綜述：
四種常見函數的圖象和性質總結 圖象
特殊點
性質
一
次
函
數
與x軸交點
與y軸交點（0，b）
(1)當k>0時，y隨x的增大而增大；
(2)當k<0時，y隨x的增大而減小.
正
比
例
函
數
與x、y軸交點是原點(0,0)。
(1)當k>0時，y隨x的增大而增大，且直線經過第一、三象限；
(2)當k<0時，y隨x的增大而減小，且直線經過第二、四象限
反
比
例
函
數
與坐標軸沒有交點，但與坐標軸無限靠近。
(1)當k>0時，雙曲線經過第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小；
(2) 當k<0時，雙曲線經過第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大。
二
次
函
數
與x軸交點或，其中是方程的解，與y軸交點，頂點坐標是 (-,)。
(1)當a>0時，拋物線開口向上，並向上無限延伸；對稱軸是直線x=-, y最小值=。
(2)當 a<0時，拋物線開口向下，並向下無限延伸；對稱軸是直線x=-, y最大值=
注意事項總結：
1．關於點的坐標的求法：
方法有兩種，一種是直接利用定義，結合幾何直觀圖形，先求出有關垂線段的長，再根據該點的位置，明確其縱、橫坐標的符號，並注意線段與坐標的轉化，線段轉換為坐標看象限加符號，坐標轉換為線段加絕對值；另一種是根據該點縱、橫坐標滿足的條件確定，例如直線y=2x和y=-x-3的交點坐標，只需解方程組就可以了。
2．對解析式中常數的認識：
一次函數y=kx+b (k≠0)、二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函數y=(k≠0),不同常數對圖像位置的影響各不相同，它們所起的作用，一般是按其正、零、負三種情況來考慮的，一定要建立起圖像位置和常數的對應關系。
3．對於二次函數解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，還應掌握「頂點式」y=a(x-h)2+k及「兩根式」y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即為圖象與x軸兩個交點的橫坐標）。當已知圖象過任意三點時，可設「一般式」求解；當已知頂點坐標，又過另一點，可設「頂點式」求解；已知拋物線與x軸交點坐標時，可設「兩根式」求解。總之，在確定二次函數解析式時，要認真審題，分析條件，恰當選擇方法，以便運算簡便。
4．二次函數y=ax2與y=a(x-h)2+k的關系：圖象開口方向相同，大小、形狀相同，只是位置不同。y=a(x-h)2+k圖象可通過y=ax2平行移動得到。當h>0時，向右平行移動|h|個單位；h<0向左平行移動|h|個單位；k>0向上移動|k|個單位；k<0向下移動|k|個單位；也可以看頂點的坐標的移動, 頂點從（0，0）移到（h,k)，由此容易確定平移的方向和單位。
二、例題分析：
例1．已知P(m, n)是一次函數y=-x+1圖象上的一點，二次函數y=x2+mx+n的圖象與x軸兩個交點的橫坐標的平方和為1，問點N(m+1, n-1)是否在函數y=-圖象上。
分析：P(m, n)是圖象上一點，說明P(m, n)適合關系式y=-x+1，代入則可得到關於m,n的一個關系，二次函數y=x2+mx+n與x軸兩個交點的橫坐標是方程x2+mx+n=0的兩個根，則x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和為1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1，又可得到關於m, n的一個關系，兩個關系聯立成方程組，可解出m, n，這種利用構造方程求函數系數的思想最為常見。
解：∵P(m,n)在一次函數y=-x+1的圖象上，
∴ n=-m+1, ∴ m+n=1.
設二次函數y=x2+mx+n的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標為x1,x2,
∴x12+x22=1,
又∵x1+x2=-m, x1x2=n,
∴ (x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1
由解這個方程組得：或。
把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0,
x2-3x+4=0, Δ<0.
∴ m=-3, n=4(捨去).
把m=1, n=0代入x2+mx+n=0,
x2+x=0, Δ>0
∴點N（2，-1），
把點N代入y=-,當x=2時，y=-3≠-1.
∴點N（2，-1）不在圖象y=-上。
說明：這是一道綜合題，包括二次函數與一次函數和反比例函數，而且需要用到代數式的恆等變形，與一元二次方程的根與系數關系結合，求出m、n值後，需檢驗判別式，看是否與x軸有兩個交點。當m=-3, n=4時，Δ<0，所以二次函數與x軸無交點，與已知不符，應在解題過程中捨去。是否在y=-圖象上，還需把點（2，-1）代入y=-，滿足此函數解析式，點在圖象上，否則點不在圖象上。
例2．直線 y=-x與雙曲線y=-的兩個交點都在拋物線y=ax2+bx+c上，若拋物線頂點到y軸的距離為2，求此拋物線的解析式。
分析：兩函數圖象交點的求法就是將兩函數的解析式聯立成方程組，方程組的解既為交點坐標。
解：∵直線y=-x與雙曲線y=-的交點都在拋物線y=ax2+bx+c上，
由解這個方程組，得x=±1.
∴當x=1時，y=-1.
當x=-1時，y=1.
經檢驗：，都是原方程的解。
設兩交點為A、B，∴A（1，-1），B（-1，1）。
又∵拋物線頂點到y軸的距離為2，∴ 拋物線的對稱軸為直線x=2或x=-2，
當對稱軸為直線x=2時，
設所求的拋物線解析式為y=a(x-2)2+k，又∵過A（1，-1），B（-1，1），
∴解方程組得
∴ 拋物線的解析式為y=(x-2)2-
即 y=x2-x-.
當對稱軸為直線x=-2時，設所求拋物線解析式為y=a(x+2)2+k,
則有解方程組得，
∴ 拋物線解析式為y=-(x+2)2+
y=-x2-x+.
∴所求拋物線解析式為：y=x2-x-或y=-x2-x+。
說明：在求直線和雙曲線的交點時，需列出方程組，通過解方程組求出x, y值，雙曲線的解析式為分式方程，所以所求x, y值需檢驗。拋物線頂點到y軸距離為2，所以對稱軸可在y軸左側或右側，所以要分類討論，求出拋物線的兩個解析式。
例3、已知∠MAN=30°，在AM上有一動點B，作BC⊥AN於C，設BC的長度為x，△ABC的面積為y，試求y與x之間的函數關系式。
分析：求兩個變數y與x之間的函數關系式，就是想辦法用x表示y,，BC=x,則想辦法先用含x的代數式表示AC。
解：如圖
在Rt△ABC中，
∵∠A=30°，∠BCA=90° BC=x，
∴AC=BC=x
∴
說明：在含有30°、45°、60°的直角三角形中，應注意利用邊之間的特殊倍數關系（如AC=BC）。
例4、如圖，銳角三角形ABC的邊長BC＝6，面積為12，P在AB上，Q在AC上，且PQ∥BC，正方形PQRS的邊長為x，正方形PQRS與△ABC的公共部分的面積為y。
（1）當SR恰落在BC上時，求x，
（2）當SR在△ABC外部時，求y與x間的函數關系式；
（3）求y的最大值。
略解：（1）由已知，△ABC的高AD=4。
∵△APQ∽△ABC，（如圖一）
設AD與PQ交於點E∴
∴
∴
(2)當SR在△ABC的外部時， 同樣有，
則，即AE=
∴y=ED·PQ＝x（4-）=-2+4x（）
（3）∵a=-<0,y=-其中,
∴當x=3時,y取得最大值6.
說明:此例將線段PQ的長設為x,正方形PQRS與△ABC的公共部分的面積設為y,尋找它們之間的函數關系.注意自變數的取值范圍;在y取最大值時,要注意頂點(3,6)的橫坐標是否在取值范圍內.
例5．（ 濰坊市中考題）某公園草坪的護欄是由50段形狀相同的拋物線組成的，為牢固起見，每段護欄需按間距0.4m加設不銹鋼管（如圖一）作成的立柱。為了計算所需不銹鋼管立柱的總長度，設計人員利用圖二所示的坐標系進行計算。
（1）求該拋物線的解析式； （2）計算所需不銹鋼管立柱的總長度。
分析：圖中給出了一些數量，並已經過護欄中心建立了平面直角坐標系， 所以求二次函數的解析式關鍵是找到一些條件建立方程組。因為對稱軸是 y軸，所以b=0,可以設二次函數為y=ax2+c.
解：（1）在如圖所示坐標中，設函數解析式為y=ax2+c,B點坐標為（0,0.5），C點坐標為（1，0）。
分別代入y=ax2+c得：
，解得
拋物線的解析式為：y=-0.5x2+0.5
（2）分別過AC的五等分點，C1，C2，C3，C4，作x軸的垂線，交拋物線於B1，B2，B3，B4，則C1B1，C2B2，C3B3，C4B4的長就是一段護欄內的四條立柱的長，點C3，C4的坐標為（0.2，0）、(0.6,0)，則B3，B4點的橫坐標分別為x3=0.2,x4=0.6.
將x3=0.2和x4=0.6分別代入
y=-0.5x2+0.5得y3=0.48,y4=0.32
由對稱性得知，B1，B2點的縱坐標：y1=0.32,y2=0.48
四條立柱的長為：C1B1=C4B4=0.32（m）
C2B2=C3B3=0.48（m）
所需不銹鋼立柱的總長為
(0.32+0.48)×2×50=80(m)。
答：所需不銹鋼立柱的總長為80m。
❼ 初三二次函數主要知識點
初三數學 二次函數 知識點總結
一、二次函數概念：
1．二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零．二次函數的定義域是全體實數．
2. 二次函數的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函數，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2．
⑵ 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項．
二、二次函數的基本形式
1. 二次函數基本形式：的性質：
a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 軸 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
2. 的性質：
上加下減。
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 軸 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
3. 的性質：
左加右減。
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 X=h 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
4. 的性質：
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 X=h 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
三、二次函數圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函數的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
方法二：
⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成
（或）
⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）
四、二次函數與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函數圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
六、二次函數的性質
1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
七、二次函數解析式的表示方法
1. 一般式：（，，為常數，）；
2. 頂點式：（，，為常數，）；
3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.
注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系
1. 二次項系數
二次函數中，作為二次項系數，顯然．
⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2. 一次項系數
在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．
⑴ 在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．
的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是「左同右異」
總結：
3. 常數項
⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；
⑵ 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；
⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．
總之，只要都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
二次函數解析式的確定：
根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；
4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．
九、二次函數圖象的對稱
二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱後，得到的解析式是；
4. 關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
關於頂點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱後，得到的解析式是．
5. 關於點對稱
關於點對稱後，得到的解析式是
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表達式．
十、二次函數與一元二次方程：
1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數：
① 當時，圖象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.
② 當時，圖象與軸只有一個交點；
③ 當時，圖象與軸沒有交點.
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，；
3. 二次函數常用解題方法總結：
⑴ 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函數中，，的符號，或由二次函數中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函數的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.
⑸ 與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：
拋物線與軸有兩個交點 二次三項式的值可正、可零、可負 一元二次方程有兩個不相等實根
拋物線與軸只有一個交點 二次三項式的值為非負 一元二次方程有兩個相等的實數根
拋物線與軸無交點 二次三項式的值恆為正 一元二次方程無實數根.
十一、函數的應用
二次函數應用
❽ 急求：九年級數學二次函數知識點歸納、、
二次函數
I.定義與定義表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P（h，k）]
交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線]
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x²的圖像，
可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2;+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2;+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
❾ 二次函數的知識點
二次函數
I.定義與定義表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P（h，k）]
交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線]
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x²的圖像，
可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2;+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2;+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
答案補充
畫拋物線y＝ax2時，應先列表，再描點，最後連線。列表選取自變數x值時常以0為中心，選取便於計算、描點的整數值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，並注意變化趨勢。
二次函數解析式的幾種形式
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0).
(2)頂點式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0).
(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，a≠0.
說明：(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h＝0時，拋物線y＝ax2+k的頂點在y軸上；當k＝0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上；當h＝0且k＝0時，拋物線y＝ax2的頂點在原點
答案補充
如果圖像經過原點，並且對稱軸是y軸，則設y=ax^2；如果對稱軸是y軸，但不過原點，則設y=ax^2+k
定義與定義表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
x是自變數，y是x的函數
二次函數的三種表達式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
②頂點式[拋物線的頂點 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交點式[僅限於與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進行如下轉化：
①一般式和頂點式的關系
對於二次函數y=ax^2+bx+c，其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交點式的關系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)