❶ 數學課堂教學中的幾個注意點
新課程擺脫了傳統數學教學的影響，動手實踐，自主探究與合作交流日益成為學生學習數學的重要方式而進入課堂，為目前的數學教學注入了活力。那麼如何才能提高數學課堂教學效益呢？我從以下幾點談談自己的體會：
一、獨立思考與合作交流
新課改倡導學生進行合作交流，其目的是讓每個學生都動起來，形成主動學習的願望，培養積極參與的意識。通過合作交流，讓學生學會交流和分享研究的信息，創意和成果，培養他們樂於合作的團隊精神。倡導合作學習，不是不要獨立思考，而是要以獨立思考為基礎。也就是說，沒有獨立思考就不可能提出問題，就不可能有學生自己的見解，交流就無法進行，因而，獨立思考是合作交流的前提。教師必須把握二者的關系，不是所有的數學問題都要通過合作交流來解決。但是需要學生合作交流來探討的問題，必須首先引導學生獨立思考，充分准備後方可進行。否則合作交流可能會出現學生的參與率低，僅成為「尖子生」的舞台，造成新的兩極分化；也可能出現交流不深入，走形式的現象，致使學生不能充分表達自己的意見和看法，討論問題不夠深入，達不到預期的教學目的。
二、教師講解與自主探索
新課程反對過度過濫的教師講解，但並不是說不要教師 的講解。實踐證明，在數學課堂中，教師適量，適時地講解是必不可少的，往往能起到「畫龍點睛」的作用。當學生在自主探索活動遇到困難時，憑他們現有的知識和經驗無法解決時，在交流中爭執不下時，教師的講解就顯得十分重要，學生常渴望老師的講解。但在新課程的實施中，出現了以自主探索代替教師講解，強調讓學生自主探索，就讓學生自己看書學習，而老師不講，把自己置身於學生學習之外，致使自主探索變成了自由探索。其實，當學生在自主探索時，教師應該在思維方式上進行點撥，在解決問題的方法上加以引導，在知識點上給予講解，這樣才能促進學生進一步自主探索，完成教學任務。因而，教師講解與自主探索都是不可缺少的，也是不能互相代替的。
三、積極發言與用心傾聽
現在，課堂討論已成為數學課堂進行合作學習的主要方式之一。討論和爭辯，形成了師生，生生之間多渠道的廣泛信息交流，是體現學生參與教學的好方法。但在實踐中往往容易形成學生脫離教學重點各行其道，談論和爭執與學習無關的話題；有的學生不善於傾聽，隨意打斷同學的發言，打擊了發言者的積極性，影響討論效果。因此，教師要正確引導學生，處理好積極發言與用心傾聽的關系，不但讓每一個學生學會正確發表自己的見解，提出自己觀點的能力，而且要學會用心傾聽別人發言，理解他人想法的習慣。只有這樣，才能保證課堂討論有序，有效的進行，通過討論達成共識。
四、過程與結論
新課程提倡學生動手，動口，動腦，積極參與數學的學習過程。鼓勵學生獨立而富有個性地學習，倡導主動參與合作學習，在學習中學會合作；倡導學生在探索中學習，親歷並體驗探索過程，在深入思考和交流中獲得感悟。要重視知識產生的過程，即就是重視學生分析問題，解決問題的思維過程。以前，由於教師習慣傳統的教學方法，直接教給學生結論，而忽視知識形成和產生的過程，忽視學生在學習過程中的情感體驗，導致了學生總覺得學習是枯燥無味的。目前，雖然在數學課堂實施新教法，但由於教師怕不能順利完成教學任務，不能放開讓學生積極思維，還有的在學生的合作交流未進行到底時，就草草收場，代替學生得出結論。這種重結論輕過程的不良現象，應注意克服。
❷ 什麼樣的數學知識應該成為數學課堂上講授和討論的內容
一、課堂「偽討論」的幾種表現
隨著新課程改革「自主、合作、探究」理念的提出，課堂討論作為一種教學方式更加為人們所關注並逐漸成為評價一堂課是否符合新課程理念的重要緯度之一。對課堂討論的關注和有效運用，使得我們的課堂更加開放而富有活力，但是在教學實踐中，到底什麼時候開展課堂討論，哪些問題適合在課堂上討論，很多教師還是比較茫然的，致使很多課堂討論走過場，圖形式，成了「偽討論」，常見的有以下幾種表現：
1．問題指向不明，討論泛化。有位教師教授「長方形面積計算」一課，在講完長方形面積計算公式之後，教師出示長方形木框對學生說：「如果給這個框子配一塊玻璃，玻璃要多大？請以同桌為單位進行討論，然後每個人說說自己的想法。」同學們先是一臉茫然，隨後進入熱鬧的討論。細察小組討論情形，有的學生在嬉笑並未參與討論，有的學生在互相推扯。幾分鍾後，教師讓各組匯報情況，可沒有人站起來說話，教師很是驚詫，指名一位學生回答。學生說：「配的玻璃和框子一樣大就好。」這句非數學結論的回答告訴我們，學生還不能用數學知識來解決問題。原因在於討論的問題不是很明確，學生不知道該討論什麼。當面對教師拋出的問題時，他們不知道所要討論的問題實際上就是要計算玻璃的面積，而且僅僅面積與木框面積相等還不行，玻璃的長寬還要與木框的長寬相等。由於教師沒有明確討論的方向，沒能有效激發學生的認知沖突，圍繞這個問題的討論也就沒能起到培養學生數學思維能力和用數學知識解決數學問題的作用。
2．無價值的討論，明知故「論」。在一次研究課上，某教師在執教《畫風》時，利用精美的課件引導學生了解了文本內容後，隨即出示問題：陳丹、宋濤、趙小藝三人畫出風了嗎？是怎樣畫的？請同學們分小組討論解決。學生立即湊在一起，唧唧喳喳地說個不停。不到一分鍾，討論結束，小組代表爭先恐後地交流本組的討論結果。教師提出的這個問題，實際上在他的教學中已經做出解答，學生心裡也已經非常清楚，這種既簡單又無討論意義的問題，很有明知故問和作秀之嫌。此外，教學中諸如「是不是」、「對不對」之類的純粹事實判斷性的問題，非此即彼，根本不能激發學生的多元思維，討論的意義也就不是很大。
3．超越極限討論，越難越「論」。有些教師認為在課堂中組織討論的難度越高越能顯示出教師和學生的能力，所以往往會設計一些難度較大的問題。如《赤壁賦》一文，有位教師讓學生討論「作者情感為何會由樂而悲？其感情轉變的線索是什麼？」學生因為不知道蘇軾在賦中表達的寓意和情感，不了解「桂掉」、「蘭槳」、「美人」在古詩詞中的意象所指，更沒有蘇軾那種人生失意的情感體驗，雖經討論，仍不知道如何做答。像這樣刻意追求討論問題的難度，反而會因問題的艱深而使學生望而卻步、不知所措。
我們為什麼要組織課堂討論？正是對這個問題缺乏正確的認識才導致了上述現象的發生。課堂討論的最終目的應該是通過這種教學方式，提高課堂教學實效，促進學生對學習內容的理解、掌握和深化，發展學生的思維能力，幫助學生形成運用學科知識分析問題、解決問題的能力。有了這樣清晰的定位，我們在組織課堂討論時就可以少一些盲目，少一些膚淺。
二、什麼時候適合開展課堂討論
在聽課中，筆者發現很多教師動輒讓學生討論，更有甚者一節課有多少個環節就有多少個討論。其實，課堂討論並不是越多越好，課堂討論也要講究時機。一般來說，在以下情境中的課堂討論才是有意義的。
1．當遇到教學重點和難點問題時。如《夢和淚》一文，通過課文學習獲得對冰心偉大人格的感知是課文的重點之一，但是僅通過學生獨立思考來理解往往比較困難，這時候教師就可以通過適當引導來組織學生進行討論。教師可以就這個問題分解設計幾個相關的子問題，如：作者選取了哪些材料來表現冰心的偉大人格？文章細致地描寫了冰心的哭，這表現冰心的什麼特徵？作者花大量的筆墨敘述冰心的父親和母親，這與寫冰心有什麼關系？等等。
2．當遇到某些容易混淆的內容時。例如，在學習《狼》一文時，學生分組討論。有學生問：「『其一犬坐於前』中的『犬』是什麼意思？」生答：「是名詞狗的意思。」有學生馬上反駁：「不對，課文明明寫狼，咋會是狗呢？」又如，數學教學中，圓的周長和面積是學生很容易混淆的知識點，這些容易出錯的地方都是教師引導學生進行課堂討論的很好的觸發點。
3．當問題的答案存在多種可能時。如《故都的秋》一文，就文章的理解課文提示里說的是「孤獨者的冷落之感」，而有學生提出文章表現的是「追求者的純真之情」，多種理解產生了。教師就可以此創設爭辯情境，打破學生迷信書本的思維定式，發展學生的思辨和創新能力。當然，這要與教學目標密切相關。
4．當課堂教學中出現有效生成時。課堂教學是動態的，課堂討論需要教師事先做好充分的准備，預設教學中適合討論的點和可能的討論方式，但是也要給課堂生成留有一席之地。教師可以就課堂上隨機出現的一些現象和問題迅速進行應對，並選擇其中的有效生成資源組織學生展開討論，這樣不僅能夠提高學生參與討論的積極性，激發他們的討論熱情，又能在討論的情境中深化學生對學習內容的理解，提高學習的效果。
三、什麼樣的問題適合課堂討論
明確了課堂討論的出發點和時機性後，經仔細分析，我們會發現，並不是所有的問題都適合課堂討論。那麼，有效的課堂討論問題應該具備怎樣的特徵呢？我想下面幾點可能是必不可少的：
1．問題要有明確的目標指向。即教師在設計討論問題的時候，要讓學生明白要討論的是什麼，或者教師在學生提出的問題基礎之上組織課堂討論的時候，要對含糊不清、模稜兩可的問題做進一步明確和提升，使得這些問題適合學生討論。比如，上文提到的關於「長方形面積計算」一課的教學，教師就可以將「如果給這個框子配一塊玻璃，玻璃要多大？」這個問題進一步明確為：「如果要給這個框子配一塊玻璃，使得這塊玻璃不大不小正好能裝到框子裡面，那麼你們認為這塊玻璃面積應該是多大？這塊玻璃的長、寬是唯一的嗎？」只有這樣，學生才不會面對問題一臉茫然，討論也不會偏離方向。
2．問題要與學習目標緊密相關。只有有助於學生學習目標達成的課堂討論才有實際意義。例如「《背影》中的『我』為什麼會三次流淚？」這個議題涉及了對作品主題的理解，教師可以引導學生就此展開相關的討論。
3．問題要有一定的不確定性。如果討論的問題具有明確的答案，就沒必要討論。類似「是不是」、「對不對」、「能不能」等事實性判斷的問題往往沒有討論的價值。小組討論的重要價值是讓學生的思維互相碰撞、互相啟發，讓他們的認識進入一個新的境界。如個別學生對《六國論》中把「時速禍焉」的「速」解釋為「招致」產生質疑，他們認為解釋為「加速」、「加快」也說得通。類似這樣的議題能激發學生討論的興趣，能引導學生的思維發展。
4．問題的思考難度比較恰當。一方面用來討論的問題應該是學生目前獨立理解不了、解決不了的議題。但另一方面，討論的問題也不能太難，學生應該具備討論問題所需的知識背景，否則討論就不可能深入下去。如上文提到的《赤壁賦》一文的教學，教師不用急於讓學生討論，可以先為學生補充介紹一下古詩詞的寫作手法及作者的生平經歷，讓學生獲得一定的知識積累之後，再拋出「作者情感為何會由樂而悲？其感情轉變的線索是什麼？」讓學生討論。這樣的課堂討論有知識積累做鋪墊，很容易達到深化理解的目的。另外，在問題的設計上盡量兼顧深淺程度不一的各類選題，這樣可讓班裡水平存在差異的各種學生都能參與討論，踴躍發言，各抒己見。
總之，問題的設計與選擇是課堂討論是否有效的關鍵因素。教師要根據教學目標和學生學習的需求，在仔細分析教學內容包括學科、課型、教學重難點等基礎上，找出最能體現本堂課知識聯系的、最具討論價值的討論點，在教學的適當時機組織學生討論，並把握好課堂討論的時間，讓學生的思維發生碰撞，真正從課堂討論中受益。
課堂討論的四大策略與五個「避免」
一、順利實施課堂討論的四大策略
（一）合理組織課堂討論
首先，討論小組的建立可以同桌為單位，也即雙人討論，兩人一組的討論學習是其他合作方式的基礎，每個人都是這個小組的「主角」，這種學習活動簡便易行。或者是前後排的學生分成小組開展討論，也即3～4人一組討論學習，這種方式進一步培養了學生的合作精神，也是課堂中常採用的一種方法。例如：教學「統計」一章時，可以讓部分學生收集數據，其他學生進行登記、匯總、製表；也可以根據學生的學習成績、學習習慣、性格、興趣、需要等因素加以分組。小組討論這種學習方式可以適度引進競爭機制，以增強學生的集體榮譽感，培養學生互相合作的精神。分組時不僅要重視學生智力因素的發展，而且要重視學生非智力因素的培養。每組各個層面的學生都應兼顧，取長補短，同時教師可設計不同層次的問題讓學生討論，使每個學生生動活潑、主動地發展。
其次，要有效地創設良好的課堂討論環境，有兩個途徑：一是激發學生的討論願望。主要方法有：①反激法，即當遇到「啟而不發」的局面時，可激發學生的好奇心和好勝心，促使他們產生一種急於用自己的見解和做法解決問題的願望。②誘引法，即根據學生的探究心理，通過設置矛盾，來引發學生的探究願望。
最後，必須創設師生平等研討的課堂情境。在討論中教師不「妄加」評判，而是充分尊重學生的不同見解，盡可能從不同角度開掘學生觀點的價值，使學生在「言論自由」的氣氛中獲得「成功感」。
（二）恰當把握討論的時機
課堂討論的成敗及作用的大小，在很大程度上取決於討論時機的選擇與把握。過早地討論，學生的認知水平還未達到最近發展區，學生找不到解決問題的切入點，白白地浪費時間而一無所獲。過遲討論，學生對問題已基本弄懂，討論的意義不大。教師應設計多層次的問題滿足各層面學生的多元需要，把握好學生思維的高潮，及時提出問題讓學生討論，以激發學生思維的火花。
課堂討論的時機掌握可關注下面幾個時間點。
當學生產生對新知的渴求之時。學生的認知需要常常來自於學生學習過程中出現的似乎明白，但又說不清楚，不能立即理解掌握的新知識、新技能，或者不能立即解決的實際問題。譬如在教學「不等式」一節時，教師提出一個有趣的問題：「一群猴子，一天結伴去偷桃子，在分桃子時，如果每個猴子分3個，那麼還剩59個；如果每個猴子分5個，就都能分到桃子，但剩下的一隻猴子分得的桃子不夠5個，你能求出有幾只猴子，幾個桃子嗎？」面對問題，學生產生了對新知的渴求心態。在這種心態的作用下，學生往往也對自己的想法產生懷疑，希望從別人的想法或別人對自己的評價中得到驗證，更希望從別人的發言中得到啟發。所以，這時組織討論效果最佳。
通過操作實驗探究規律之時。數學課程中有很多數學規律需要學生通過操作才能發現其奧妙，如：各種平面圖形的面積公式，圓柱體和圓錐體體積之間的關系等等，這時僅憑學生個人的才智是很難直接達成目標的，須挖掘集體智慧，在集思廣益中，實現學生真正的理解和掌握。
試圖處理開放性問題之時。例如這樣的一個開放性問題：有一個二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，已知當自變數x分別取－5，－1，4，7這四個值時，其中只有一個x所對應的函數值y≤0。試盡可能多地寫出滿足條件的函數的解析式。
解答開放性問題的方法多種多樣，而且結論並不唯一，不同學生常常發現不同的結論，學生間的交流能較好地完成這種差異的解決。學生在小組交流中能自由地表述自己的觀點和解題策略，傾聽同伴的意見，並從中互相啟發，互相補充，共同進步。在這個過程中，可促進學生溝通知識之間的聯系，更好地發揮其發散思維的能力。
（三）科學安排課堂討論的方式
討論的方式必須在教學實踐中不斷「隨物賦形」，而且在具體的實踐教學中要科學地採用恰當、有效的討論方式，才能將課堂討論的作用發揮得淋漓盡致。
目前較常見的討論方式是教師把題目一呈現，便立即讓學生討論，討論了兩三分鍾，教師便草草收場，這樣做往往是只注重表面形式，沒有實際效果。教師不能由於時間關系，等不到學生相互交流的充分展開就終結討論，而應給學生提供自主探究、合作交流的廣大空間。可以根據學生課堂學習的心理特點和課型特點，精心設計各種討論方式。
①導向式討論。這種方式是從主導者角度著眼安排討論程序，通常為：定向導入—循序點撥—歸納總結。這種討論方式的關鍵是選取「討論點」，使討論流程環環相扣，其特點是突出教師的主導作用，又體現學生的主體地位。
②自由式討論。這是一種從發展學生的個性、發揮學生自主性、培養主動探索精神著眼，側重於學生「自由探究」的討論方式。但「何時使用」和「如何控制」難度較大。
③競賽式討論，這是一種根據學生好勝、競爭的「開放性」心理，引進競爭機制來組織討論，解決某些問題，達到教學目標的方式。
（四）精心准備課堂討論的內容
有思考價值的問題可以引起學生大腦皮層的高度興奮，並能使學生產生強烈的求知慾望。受這種慾望的驅動，學習過程往往會變得主動而富有生氣，學生的積極性也被調動起來。課堂討論在通常情況下只安排幾分鍾或者十幾分鍾，這段時間的成效如何，很大程度上取決於討論內容的選取。什麼樣的內容有討論價值，什麼樣的內容能引起學生極大關注並能夠展開討論，至關重要。
因此教師在組織學生進行課堂討論時，首先必須選擇有探討價值的內容。組織討論必須把握教材的重點、難點，越是教材的核心問題，越要讓學生去主動學習，只有學生積極參與，進入角色，才能學有成效；其次是設計能展開討論的內容。討論的內容應有適當的難度，處於班內大多數學生的「最近發展區」，這就要求教師必須針對具體內容和學生的實際情況具體分析，做出恰當安排。譬如在講授「解直角三角形」的引入部分時，提出問題：「你走在街上，空中飛來一架飛機，你也許便會想到：飛機離我有多遠？」讓學生討論，充滿好奇心的學生便會自覺地設想各種方案進行討論，一些學生會利用解直角三角形的方法來看這個問題，甚至自己畫出圖形——直角三角形，這樣學習的效果是相當不錯的。
適合的討論內容才會產生好的效果，否則，不僅達不到提高學習效率的目的，而且會成為影響學生學習進步的障礙。還有課堂討論的問題一次不宜太多，討論的時間也不能太長。問題太多了，學生的思維就不易集中；時間太長了，教師就不能對課堂進行有效的控制和駕馭。
二、課堂討論的五個「避免」
課堂討論作為一種具體的教學方法在實際運用中往往容易步入一些誤區，因此要及時進行反思，避免以下情況出現。
（一）不準備就討論。在教學中發現了問題立即就讓學生討論，由於學生事先無准備，因而很難達到討論的目的。因此，不論採用哪種方式的討論，討論前師生都要做好充分准備，教師要向學生提出討論話題、指出注意事項、布置預習或提供閱讀參考資料，學生也都應該按照要求做好討論發言的准備。
（二）討論偏離核心主題。討論開始之後，學生可能會由於討論中的一些問題而轉移討論中心，從而使討論偏離論題。在討論中，教師要引導學生圍繞中心進行發言，並且根據討論的進展情況，引導學生深入開展討論，以求討論達到一定的深度。
（三）討論被部分學生把持。一個班的學生能力有高有低，語言表達能力有強有弱，少數很健談的或能力強的學生往往會把持討論，而一些能力較差的學生則退出討論，這樣，討論就沒有起到應起的作用。因此，教師要注意讓每個學生都能積極參加討論。
（四）無討論規則的討論。討論前制定一些討論規則是十分必要的，討論如果沒有規則，就會十分混亂。因此，在討論開始之前，應提醒參加者討論要遵守的規則。
（五）只討論不及時總結。討論結束後，如不進行適當的總結，就會使學生對討論的結果和討論中出現的問題缺乏一個明確的認識，反而會引起思想上的混亂，產生各方面的問題。因此在每次討論結束後，師生要及時進行總結，闡釋討論結果，指出討論中存在的問題等。
❸ 初中數學分式講堂
分式
第一節
分式的基本概念
形如A/B，A、B是整式，B中含有未知數且B不等於0的整式叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
掌握分式的概念應注意：判斷一個式子是否是分式，不要看式子是否是A/B的形式，關鍵要滿足。
（1）分式的分母中必須含有未知數。（2）分母的值不能為零，如果分母的值為零，那麼分式無意義。由於字母可以表示不同的數，所以分式比分數更具有一般性。整式和分式統稱為有理式。
帶有根號的式子叫做無理式，無理式和有理式統稱代數式
1.約分：
把一個分式的分子和分母的公因式(不為1的數）約去，這種變形稱為約分。
2.分式的乘法法則：
兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置後再與被除式相乘。3.
分式的加減法法則：
同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。4.通分：
異分母的分式可以化成同分母的分式，這一過程叫做通分。如：3/2和2/3可化為9/6和4/6.即：3*3/2*3，2*2/3*2！
5.異分母分式的加減法法則：
異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然後再按同分母分式的加減法法則進行計算。(1).定義：一般地，如果A，B表示兩個整式，並且B中含有字母，那麼式子
A/B
叫做分式（fraction）。
註：A/B=A×1/B
(2).組成：在分式
中A稱為分式的分子，B稱為分式的分母。
(3).意義：對於任意一個分式，分母都不能為0，否則分式無意義。
(4).分式值為0的條件：在分母不等於0的前提下，分子等於0,則分式值為0。
注:分式的概念包括3個方面：①分式是兩個整式相除的分式，其中分子為被除式，分母為除式，分數線起除號的作用；②分式的分母中必須含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，這是區別整式的重要依據；③在任何情況下，分式的分母的值都不可以為0，否則分式無意義。這里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一個字母來說的。也就是說，分式的分母不為零是隱含在此分式中而無須註明的條件。
第二節
分式的基本性質和變形應用
1.分式的基本性質:分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變。用式子表示為：A/B=A*C/B*C
A/B=A÷C/B÷C
（A,B,C為整式，且C≠0）
2.約分:把一個分式的分子和分母的公因式約去,這種變形稱為分式的約分．
3.分式的約分步驟:(1)如果分式的分子和分母都是單項式或者是幾個因式乘積的形式,將它們的公因式約去.(2)分式的分子和分母都是多項式,將分子和分母分別分解因式,再將公因式約去.
注:公因式的提取方法:系數取分子和分母系數的最大公約數,字母取分子和分母共有的字母,指數取公共字母的最小指數,即為它們的公因式.
4.最簡分式:一個分式的分子和分母沒有公因式時,這個分式稱為最簡分式.約分時,一般將一個分式化為最簡分式.
5.通分:把幾個異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.
6.分式的通分步驟:先求出所有分式分母的最簡公分母,再將所有分式的分母變為最簡公分母.同時各分式按照分母所擴大的倍數,相應擴大各自的分子.
注:最簡公分母的確定方法:系數取各因式系數的最小公倍數,相同字母的最高次冪及單獨字母的冪的乘積.
注:(1)約分和通分的依據都是分式的基本性質2.(2)分式的約分和通分都是互逆運算過程.
編輯本段第三節
分式的四則運算
1.同分母分式加減法則:同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減.用字母表示為：a/c±b/c=a±b/c
2.異分母分式加減法則:異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然後再按同分母分式的加減法法則進行計算.用字母表示為：a/b±c/d=ad±cb/bd
3.分式的乘法法則:兩個分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母.用字母表示為：a/b
*
c/d=ac/bd
4.分式的除法法則:(1).兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置後再與被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc
(2).除以一個分式，等於乘以這個分式的倒數:a/b÷c/d=a/b*d/c
第四節
分式方程
1.分式方程的意義:分母中含有未知數的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數的值;③驗根(求出未知數的值後必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數的取值范圍,可能產生增根).
分式方程的解法
①去分母{方程兩邊同時乘以最簡公分母(最簡公分母:①系數取最小公倍數②出現的字母取最高次冪③出現的因式取最高次冪）,將分式方程化為
正式方程;若遇到互為相反數時.不要忘了改變符號};②按解整式方程的步驟（移項，若有括弧應去括弧,注意變號,合並同類項，
系數化為1）求出未知數的值;③驗根(求出未知數的值後必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數的取值范圍,可能產生增根).
驗根時把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等於0，這個根就是增根。否則這個根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，則原方程無解。
如果分式本身約分了，也要帶進去檢驗。
在列分式方程解應用題時，不僅要檢驗所的解是否滿足方程式，還要檢驗是否符合題意。
一般的，解分式方程時，去分母後所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零，因此要將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為零，則是方程的解.
歸納：
解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是「去分母」，即方程兩邊同乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般思路和做法。
例題：
（1）x/(x+1)=2x/(3x+3)+1
兩邊乘3(x+1)
3x=2x+(3x+3)
3x=5x+3
2x=-3
x=-3/2
分式方程要檢驗
經檢驗，x=-3/2是方程的解
（2）2/（x-1）=4/（x^2-1）
兩邊乘(x+1)(x-1)
2(x+1)=4
2x+2=4
2x=2
x=1
分式方程要檢驗
把x=1帶入原方程，使分母為0，是增根。
所以原方程2/x-1=4/x^2-1
無解
一定要檢驗！！
檢驗格式：把x=a
帶入最簡公分母，若x=a使最簡公分母為0,則a是原方程的增根.若x=a使最簡公分母不為零,則a是原方程的根.
注意：可憑經驗判斷是否有解。若有解，帶入所有分母計算：若無解，帶入無解分母即可
❹ 在數學課堂講授進程中應注意哪些問題
講解注意的問題 學生對任何知識的真正掌握都是建立在新舊知識的有機結合和自己的獨立思考上。而在講授法中，教師把知識講解得清清楚楚，學生以聽講代替思考，即使有自己思維參與，也是被教師架空起來的，因為要跟教師同步進行，這樣也就把學生在獨立思考中所必然要碰到和解決的各種必要的疑問、障礙和困難隱蔽起來。所以利用講授教學法要注意：1、選擇合適的講授內容。在新課程教學中，在確定了以學定教的原則後，需要教師根據學生的情況和基礎選擇合適的教學方式和教學手段。有的教學內容，如概念的定義、歷史文化、數學法則，就常常需要使用講授式教學方法。還有，概念的定義和有的數學法則根本就是不允許探究的，只能使用講授式教學方法。如果讓學生根據教學創設的情境去自己給出概念的定義，我認為是不恰當的。要知道數學定義是運用非常准確精煉和非常嚴謹的語言來敘述的。讓學生自己去定義豈不是各說各的，而且學生有了先入為主的印象，會對學生正確的理解和記憶定義產生影響。例如，「負負得正」這個問題，它就不容易用生活來解釋，它不好找生活中的解釋模型，不好探究，用講授法就比較合適
❺ 如何講好一堂數學課
怎樣上好一節數學課
「數學是思維的體操」，這是眾所周知的。數學哺育著人養成誠實、正直、嚴肅認真、踏實細致、機智、頑強等當今時代迎接挑戰不可缺少的精神。因而數學教育在素質教育中具有特殊的地位。
數學課堂教學是對學生進行數學教育的一條重要渠道。是傳授知識，培養學生數學能力，使之形成數學觀念具有數學素質，並對其進行思想品德教育的基本組織形式和主要途徑。
數學課堂教學效果取決於每一節具體的數學教學，因而加強對怎樣上好一節數學課的研究，是作為一名數學教師應重視的一項研究課題，有著重要的意義與研討價值。
上好一節數學課的相關因素
數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的科學。具有高度的抽象性和概括性.數學課堂教學效果是受多種因素相制約的。如：學生，教師，教學內容，目的，方法等。在整個教學活動中，學生是根本因素，佔中心地位，是教學活動的出發點和落腳點。教學內容、目的、方法是實質性因素。教學活動都是為了實現教學目的而進行的，是通過具體的內容、方法來實現的。教師在整個教學過程中起主導作用。教師的思想品行、個性修養、業務水平、教學觀念教學能力等影響著課堂教學效果。
教師在教學中佔主導地位，是教學活動的組織者。要上好一節課，教師必須透徹理解教材，對學生做充分全面的估計，即對教材、對學生了如指掌。應將教學內容、教學方式加工，善於在知識的形成與發展階段，根據學生的具體情況精心設計安排，進行創造的勞動，使知識的發生和發展，符合學生的思維、發展及認識規律，使學生處於一個准數學發明者的思維過程中，培養學生的創新意識和精神，發揮學生的主體作用，積極思考，主動去獲取數學知識，達到學習、鞏固和深化所學知識的目的。
教師的語言、節奏、板書等素養是上好一節數學課的必備條件。數學教師的語言要准確精當，思路清晰，運用得體，快慢適度。力求達到生動、形象、清晰流暢，使之具有啟發性、思考性。提出的問題要緊扣中心，有系統，有坡度，一環緊扣一環，逐步深入。對教材的處理與安排富於彈性。根據學生課堂的反映反映調節教學節奏。形成好的課堂氣氛：有疑問、有沉思、有猜想、有爭議、有聯想、有創新等。教師在課堂上要創設問題情境。用疑問開啟學生思維的心扉給學生留有餘地，讓學生去聯想探索。鼓勵學生大膽質疑適度的點拔，激勵其主動地去獲取數學知識，形成一種活躍、生動的教學氛圍。
二、加強數學典型課的教學
數學課堂教學主要是通過數學基本課型來完成的。數學課型通常可分為：新授課、習題課、復習課、研究課、測驗課、講評課、導言課、活動課等。在數學教學中,新授課、習題課、復習課、研究課是最基本、最重要的典型課型。
1、典型課型的教學目的與課堂結構.
對數學典型課加以研究，有利於教師上好每一節課，有利於教師掌握數學課堂教學規律和基本要求，有利於教師根據教學目的，迅速准確地確定課型，採取最有效的教學方法和手段，提高教學質量。
新授課是以學生獲取新知識，新技能為特徵的一種課型，是數學課的主要課型。新授課的教學目的應是：通過新授課的教學，使學生正確理解數學基礎知識，進行基本訓練，通過知識的鞏固運用，使學生形成技能，在知識技能的獲得過程中，培養學生的數學能力。新授課的課堂結構主要是：復習、導入新課、講授新課。鞏固新知識點，總結、布置作業。
習題課是通過解題的形式，來形成學生的解題技能，發展智力。通過解題教學，進一步培養數學應用意識和能力。習題課的課堂結構是：範例引路、學生練習、變式訓練、小結、布置作業。
復習課的基本目的是鞏固和加深學生所學的基礎知識，使之系統化，進一步提高學生數學能力。復習課可為：單元復習、期末復習、學年復習三種形式。復習課的課堂結構是：提出復習目的和提綱，按復習重點將基本理論、法則、公式等加以回憶或再現，總結並形成知識結構，布置作業。
2、教學中應注意的問題：
（1）注意新舊知識的聯系與區別：每一節課教學，教師都應根據學生的原有認知基礎，認知水平，認知規律去組織教學內容。不要用教師的眼光去看待數學知識，否則會造成沒什麼可講的現象。要站在學生的角度上去設計教學。例如：「平面」這一概念，教材只有半頁內容，好象沒什麼可講的，但對學生來講，是由平面思維到空間想像的一大飛躍，所以很有必要仔細地給學生講清楚，
（2）重視學生知識結構的不斷完善：知識是人類經驗的概括與總結，任何知識都有其形成發展過程。數學教學就是向學生展示知識結構的建立、發展的過程。概念、定理、公式、法則的提出過程，問題的探索和深化過程，不斷完善學生的認知結構。不僅讓學生掌握知識的結論，更重要的是讓學生知道知識的形成過程。對學生來說，最常見的困難之源是：一個問題、一個發現、一個結論------很少以創始人當初所用的形式出現，他們已經被濃縮了，隱去了曲折、繁雜的思維過程，呈現出整理加工的嚴密、抽象、提煉的過程與結論。因而，教師教學的一項重要任務就是揭開數學這一嚴謹、抽象的面紗，將發現過程中活生生的數學「返樸歸鎮」的叫給學生。讓學生親自參與「知識再發現」的過程。經歷探索過程的磨礪，汲取更多的思維營養。
（3）加強數學思想方法的教學： 在知識發生、發展過程中，適時滲透數學思想方法在數學中。知識的發生過程，實際上也是思想方法的發生過程。像概念的形成、結論的推導、方法的思考、問題的發現、規律的被揭示等過程，都蘊藏著向學生滲透數學思想方法，訓練思維的極好機會。在思想方法的教學中應重視其形成過程的充分暴露，以揭示其深邃的思想基礎。由於數學思想方法的呈現形式是隱蔽的。在教學時教師須站在方法論的高度才能挖掘出課本中字里行間蘊藏的「奇珍異寶」。需要教師「精心提煉、著意滲透、反復孕育、經常應用、小步推進、分層達到」去實施數學思想方法的教學。
（4）加強數學思維訓練：數學方法不是數學家的靈感創造，而是有著廣泛的實際背景和深刻的哲理根據的，是體現於生活中的自然法則。知識是在思維活動中獲得的。學生的思維不會自然的發生。亞里士多德曾說：「思維自驚奇和疑問開始」。學生的思維是從問題開始的，疑問是思維的第一步。教學中，教師應當精心創設問題情景，如巧妙的導語，生動的開頭，可以使學生迅速進入學習的意境。使學生新的需要和原有的數學水平方法認知沖突。教師選擇問題時要有適當的難度，應處於學生能力的最近發展區，太容易了，學生就會乏味。太難了，學生產生畏懼心理，無法思考。伸手就可摘到的桃子，吃起來總覺得乏味，跳一跳才能摘到的桃子吃起來才覺得格外香甜可口。使學生處於「憤」、「悱」的心理狀態。從而引起學生的注意，激發學生思維的積極性，再加上確有成效的啟發引導，促使學生的思維活動持續發展。
（5）精選編例、習題
例、習題的選編，一方面要符合大綱精神，另一方面又要體現數學教學改革的潮流。縱觀近幾年的高考題，到處可見一批設計優美、構思巧妙的新穎題型。如生活應用題，開放探索型，閱讀理解型等。
數學題浩如煙海，令人眼花繚亂。雖然數學教材在例、習題上都做過精心的設計與安排，為教學提供方便。但他只具有普遍性，並非適合不同學校，不同班級和不同學生的特殊性。教學中教師一定要根據學生的具體情況精選編例、習題，可以使學生掌握解題的基本思想、方法，從題海中解放出來。選題時考慮：這道題起什麼作用，是弄清概念，鞏固新知，還是復習提高，培養數學能力，體現了什麼數學思想方法等等。通過典型題的「解剖麻雀」，使學生掌握解題規律，解題思想方法，提高解題能力，達到觸類旁通，聞一知十。
例、習題的選編要兼顧各個分支數學間的縱向滲透與橫向聯系，多角度、全方位的去觀察，要具有靈活性，多樣性，如一題多解，多題一解開放性習題，探索性習題等。分析、理解、充分提取已有的知識焦點。啟迪思維，發展智慧，培養思維的廣闊性和概括性品質。