『壹』 數學函數的周期性
函數的周期性定義：若T為非零常數，對於定義域內的任一x，使 恆成立，則f(x)叫做周期函數，T叫做這個函數的一個周期。
函數周期性的關鍵的幾個字「有規律地重復出現」。
當自變數增大任意實數時（自變數有意義），函數值有規律的重復出現
假如函數f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),則說T是函數的一個周期.T的整數倍也是函數的一個周期.
1.概念的提出：將日歷中「星期」隨日期變化的周期性的出現和正弦函數值隨角的變化周期性的出現進行對比，尋求出兩者實質：當「自變數」增大某一個值時，「函數值」有規律的重復出現。
出示函數周期性的定義：對於函數y=f（x），假如存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那麼就把函數y=f（x）叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期。
「當自變數增大某一個值時，函數值有規律的重復出現」這句話用數學語言的表達.
2.定義:對於函數y=f(x),如果存在一個不為零的常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,f(x+T)=f(x)
概念的具體化：
當定義中的f(x)=sinx或cosx時，思考T的取值。
T=2kπ(k∈Z且k≠0)
所以正弦函數和餘弦函數均為周期函數，且周期為 T=2kπ(k∈Z且k≠0)
展示正、餘弦函數的圖象。
周期函數的圖象的形狀隨x的變化周期性的變化。（用課件加以說明。）
強調定義中的「當x取定義域內的每一個值」
令(x+T)2=x2,則x2+2xT+T2=x2
所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0
所以T=0或T=-2x
強調定義中的「非零」和「常數」。
例:三角函數sin(x+T)=sinx
cos(x+T)=cosx中的T取2π
3. 最小正周期的概念：
對於一個函數f(x)，如果它所有的周期中存在一個最小的正數，那麼這個最小正數叫f(x)的最小正周期。
對於正弦函數y=sinx, 自變數x只要並且至少增加到x+2π時，函數值才能重復取得。所以正弦函數和餘弦函數的最小正周期是2π。（說明：如果以後無特殊說明，周期指的就是最小正周期。）
在函數圖象上，最小正周期是函數圖象重復出現需要的最短距離。
4.例：求下列函數的周期：
（1）y=3cosx
分析：cosx中的自變數只要且至少增加到x+2π時，函數cosx的值才重復出現，因而函數3cosx的值也才重復出現，因此y=3cosx的周期是2π．（說明cosx前面的系數和周期無關。）
（2）y=sin(x+π/4)
分析略，說明在x後面的角也不影響周期。
（3）y=sin2x
分析：因為sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自變數x只要且至少增加到x+π時,函數值就重復出現。所以原函數的周期為π。（說明x的系數對函數的周期有影響。）
（4） y=cos(x/2+π/4) （分析略）
（5）y=sin(ωx+φ) （分析略）
結論：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ為常數,A0, xR) 的函數的周期為T=2π/ω
周期函數性質：
（1）若T（≠0）是f(X)的周期，則-T也是f(X)的周期。
（2）若T（≠0）是f(X)的周期，則nT（n為任意非零整數）也是f(X)的周期。
（3）若T1與T2都是f(X)的周期，則T1±T2也是f(X)的周期。
（4）若f(X)有最小正周期T*，那麼f(X)的任何正周期T一定是T*的正整數倍。
（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分別是f(X)的兩個周期，則 （Q是有理數集）
（6）若T1、T2是f(X)的兩個周期，且 是無理數，則f(X)不存在最小正周期。
（7）周期函數f(X)的定義域M必定是雙方無界的集合。
『貳』 什麼是函數周期性
函數周期性的概念．
教學過程設計
師：上節課我們學習了利用單位圓中的正弦線作正弦函數的圖象．今天我們將利用正弦函數圖象，研究三角函數的一個重要性質．請同學們觀察y=sinx，x∈R的圖象：
（老師把圖畫在黑板左上方．）
師：通過觀察，同學們有什麼發現？
生：正弦函數的定義域是全體實數，值域是〔-1，1〕．圖象有規律地不斷重復出現．
師：規律是什麼？
生：當自變數每隔2π時，函數值都相等．
師：正弦函數的這種性質叫周期性．我們將會發現，不但正弦函數具有這種性質，其它的三角函數和不少的函數也都具有這樣的性質，因此我們就把它作為今天研究的課題：函數的周期性．（老師在黑板左上方寫出課題）
師：我們先看函數周期性的定義．（老師板書）
定義 對於函數y=f（x），如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那麼就把函數y=f（x）叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期．
師：請同學們逐字逐句的閱讀定義，找出定義中的要點．
生：首先T是非零常數，第二是自變數x取定義域內的每一個值時都有f（x+T）=f（x）．
師：找得准！那麼為什麼要這樣規定呢？
師：如果T=0，那麼f（x+T）=f（x）恆成立，函數值當然不變，沒有研究價值；如果T為變數，就失去了「周期」的意義了．「每一個值」的含義是無一例外．
師：除這兩條外，定義中還有一個隱含的條件是什麼？
生：如果x屬於y=f（x）的定義域，則T+x也應屬於此定義域．
師：對．否則f（x+T）就沒有意義．
師：函數周期性的定義有什麼用途？
生：它為我們提供判定函數是否具有周期性的理論依據．
師：下面我們看例題．
（老師板書）
例1 證明y=sinx是周期函數．
生：因為由誘導公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一個周期．故它就是周期函數．
例2
師：要想判斷T是不是函數y=f（x）的周期有什麼方法？我們現有的理論依據只有定義，如何使用定義？
對於定義域內的每一個x，都有f（x+T）=f（x），而不是有（存在著）某一個x，使f（x+T）=f（x）成立．要想證明T不是周期，只要找到一個x0，使得f（x0+T）≠f（x0）即可．所以乙是正確的．
師：分析得好！同學對概念的學習應該做到真正能弄清每句話的含義，而不能只停留在字面的意思讀懂了．這樣才可能透徹地理解概念，為進一步的學習打下牢固的基礎．
例3 已知f（x+T）=f（x）（T≠0），求證f（x+2T）=f（x）．
師：此題用文字如何敘述？誰能給予證明？
生：若不等於零的常數T是f（x）的一個周期，證明2T仍是f（x）的周期．
因為T是f（x）的周期，所以f（x+T）=f（x），f〔（x+T）+T〕=f（x+T），即f（x+2T）=f（x）．
因此2T是f（x）的周期．
師：這個命題推廣可得到什麼結論？
生：如果T是f（x）的周期，那麼2T，3T，…，nT（n∈Z）也都是f（x）的周期．
師：這說明如果一個函數是周期函數，所有的周期就構成一個無窮集合．這無數個周期中，我們有必要研究在它們中間是否存在著最小正周期．這是為什麼？
生甲：如果發現一個函數存在最小正周期，就可以確定這個函數的所有周期．
生乙：更具有實用性．如果找到最小正周期，就可以在其定義域的一個長度為最小正周期的范圍內對函數進行研究．
師：這位同學思考問題有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的實質，還進一步想到我們研究函數周期性的目的，那就是要研究一個周期函數在整個定義域上的性質，只要研究它在一個周期內的性質，然後經過周期延拓即可．如果能夠確定最小正周期，可使研究的范圍縮小在最小正周期的范圍內．這無疑給我們研究周期函數的性質帶來方便．
（老師在函數的周期性定義下板書）
如果在所有的周期中存在著一個最小正周期，就把它叫做最小正周期．
例4 證明f（x）=sinx（x∈R）的最小正周期是2π．
師：例1證明了y=sinx是周期函數，並且找到了一個周期T=2π．例
是2π．要想證明這個命題，只要證明什麼？
生：只要證明任何比2π小的正數都不是它的周期．
師：如何證？能否逐一證明比2π小的正數都不行呢？當然不行．因為比2π小的正數是無限的．那這樣的命題應如何證？
生：反證法．假設存在T∈（0，2π）使得y=sinx對於任意的x∈R都成立．推出矛盾即可．
師：你能具體的給予證明嗎？
生：假設T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那麼根據周期函數的定義，當x為任意值時都有
sin（x+T）=sinx．
即
cosT=1．
這與T∈（0，2π）時，cosT＜1矛盾．這個矛盾證明了y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．
師：請同學們在課堂練習本上證明y=cosx的最小正周期是2π．
師：通過上面的例題和練習我們得出這樣的結論，正弦函數y=sinx（x∈R）和餘弦函數y=cosx（x∈R）都是周期函數，2πk（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．
例5 求y=3cosx的周期．
師：以後求周期如果沒有特殊要求，都求的是最小正周期
生：因為y=cosx的周期是2π，所以y=3cosx的周期也是2π．
師：好．好在他能利用我們總結出的結論，也就是新知識歸結到舊知識上去．你能再具體的證明嗎？
生：可以從數和形兩個角度來證明．
解（一） 因為對一切x∈R，3cos（x+2π）=3cosx，所以y=3cosx的周期是2π．
解（二） 因為y=3cosx圖象是把y=cosx圖象上的每點的橫坐標不變，縱坐標擴大3倍得到的，當自變數x（x∈R）增加到x+2π且必須增加到x+2π時，函數cosx的值才重復出現，因而函數3cosx的值也才重復出現，因此y=3cosx的周期是2π．
師：數和形是我們研究數學問題的兩個方面，他都想到了，並且能完整的敘述清楚，若把此題推廣，能得到什麼結論？
生：y=Asinx，y=Acosx（A≠0，是常數）的周期都是2π，也就是說函數周期的變化與系數A無關．
例6 求y=sin2x的周期．
（請不同解法的三位同學在黑板上板演）
生甲：
解 因為y=sin（2x＋2π）=sin2x，對於任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．
生乙：
解 因為y＝sin（2x＋2π）＝sin2（x＋π）＝sin2x，所以y＝sin2x的周期是π．
生丁：
解 設2x＝u，因為y＝sinu的周期是2π，所以
y＝sin（u＋2π）=sinu，
即
sin（2x+2π）＝sin2（x+π）＝sin2x，
所以y=sin2x的周期是π．
師：我們一起來分析三個同學的解法．解法一是錯誤的，錯誤在對於周期函數定義中任意x都有f（x＋T）=f（x）的本質沒弄清楚，要證明y=sin2x是周期函數，應證明對於任意x∈R，都有y=sin2x=sin2（x+T），而不是y=sin2x=sin（2x+T）．解法（二），（三）是正確的．區別在於解法（三）經過換元，把要研究的新問題y＝sin2x的周期轉化為已有的舊知識y＝sinu的周期．這種轉換的意識、換元的思想是很重要的．
師：其實這個問題也可以從圖象的變換來考慮．我們先看如何由y＝sinx的圖象得到y＝sin2x的圖象．使y=sinx的圖象上的每點的縱坐標
當自變數每增加2π且必須增加2π時，函數值重復出現，現在就是當
sin2x的周期是π．
師：通過這個例題我們看到，誰對函數的周期有影響？是x的系數．有怎樣的影響？帶著這個問題同學們做下面的題目．
例7
y＝2sin（u＋2π）=2sinu，
師：通過這個例題，進一步驗證了我們的猜想，函數的周期的變化僅與自變數x的系數有關．我們把例7寫成一般式．
例8 求y=Asin（ωx+ ）的周期．（其中A，ω， 為常數，且A≠0，ω＞0，x∈R）
解 設u＝ωx＋ ．因為y＝sinu的周期是2π，所以
sin（u＋2π）=sinu，
師：這樣就證明了我們的猜想，不但函數的周期僅與自變數的系數
（老師板書）
師：以後再求正弦函數或餘弦函數的周期，可由上面的結論直接寫出它的周期．
師：（總結）通過今天的課，同學們應明確以下幾個問題．
（一）研究函數周期的意義是什麼？
周期函數是反映現實世界中具有周期現象的數學模型．如果能找到函數的最小正周期T，那麼只要在以T為氏度的區間內．就可以研究函數的圖象與性質，然後推斷出函數在整個定義域的圖象和性質．這給我們研究函數帶來了方便．
（二）對於函數周期的定義應注意：
1．f（x＋T）=f（x）是反映周期函數本質屬性的條件．對於任意常數T（T≠0），如果在函數定義域中至少能找到一個x，使f（x＋T）＝f（x）不成立，我們就斷言y=f（x）不是周期函數．對於某個確定的常救T≠0．如果在函數定義域中至少能找到一個x，使f（x＋T）＝f（x）不成立．我們能斷言T不是函數y=f（x）的周期，但不能說明y＝f（x）不是周期函數．
2．定義中的「每一個值」是關鍵詞．
此函數對於任意確定的常數T≠0，盡管f（x＋T）=f（x）對函數定義域（-∞，+∞）中幾乎所有x都成立．但僅僅由於x的個別值x=0，x=-T時，等式不成立．因此函數f（x）不是周期函數．
（三）周期函數的周期與最小正周期的區別與聯系．
1．周期函數的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函數的周期有無數個．
如：f（x）=c（常數），任意非零實數都是它的周期，但由於不存在不等於零的最小正實數，所以f（x）=c沒有最小正周期．這個例子也同時說明不是只有三角函數才具有周期性．
2．周期函數的最小正周期一定是這個函數的周期，反之不然．
例如，2π是y=sinx的最小正周期，也是函數的周期；4π是函數的周期，但不是最小正周期．
作業：課本P178第6題，P132第4題．
課堂教學設計說明
此教學方案是按照「教師為主導，學生為主體，課本為主線．」的原則而設計的．教師的主導作用在於激發學生的求知慾，為學生創設探索的情境，指引探索的途徑，引導學生不斷地提出新問題，解決新問題．
函數周期性概念的教學是本節課的重點．概念教學是中學數學教學的一項重要內容，不能因其易而輕視．也不能因其難而迴避．概念教學應面向全體學生，但由於函數的周期的概念比較抽象，所以學生對它的認識不可能一下子就十分深刻．因此，進行概念教學時，除了逐字逐句分析，還要通過不同的例題，讓學生暴露出問題，通過老師的引導，使學生對概念的理解逐步深入．
『叄』 函數的周期性是什麼
函數的周期性定義：若存在一非零常數T，對於定義域內的任意x，使f(x)=f(x+T) 恆成立，則f(x)叫做周期函數，T叫做這個函數的一個周期。
十七世紀伽俐略在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數或稱為變數關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。
1637年前後笛卡爾在他的解析幾何中，已注意到一個變數對另一個變數的依賴關系，但因當時尚未意識到要提煉函數概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數的一般意義，大部分函數是被當作曲線來研究的。
函數的由來：
中文數學書上使用的「函數」一詞是轉譯詞。是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1859年）一書時，把「function」譯成「函數」的。
中國古代「函」字與「含」字通用，都有著「包含」的意思。李善蘭給出的定義是：「凡式中含天，為天之函數。」中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變數。這個定義的含義是：「凡是公式中含有變數x，則該式子叫做x的函數。」
所以「函數」是指公式里含有變數的意思。我們所說的方程的確切定義是指含有未知數的等式。但是方程一詞在我國早期的數學專著《九章算術》中，意思指的是包含多個未知量的聯立一次方程，即所說的線性方程組。
『肆』 數學 函數周期性
函數的周期性定義：若t為非零常數，對於定義域內的任一x，使
恆成立，則f(x)叫做周期函數，t叫做這個函數的一個周期。
函數周期性的關鍵的幾個字「有規律地重復出現」。
當自變數增大任意實數時（自變數有意義），函數值有規律的重復出現
假如函數f(x)=f(x+t)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=t),則說t是函數的一個周期.t的整數倍也是函數的一個周期.
『伍』 高中數學 什麼是函數周期性
已知a為常數，f(x)不等於0，且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)
f(X)是否為周期函數？若是，求他的一個周期
這是一道老題，也是一道運用類比思想的好題。
解析：
f(x)不等於0，且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)，看到這個條件你會想到什麼？
我想大部分同學第一次遇到這個題會感到茫然，情理之中。下面先看這樣一道題，
例， 已知a為常數，f(x)不等於0，且f(x+a)=(f(x)+1)/(1-f(x))是否存在周期？存在的話是多少？
我想一見到這道題，同學們都會想到tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）。繼而發生類比，至此可知例題中的函數周期是存在的，tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）的周期為 派，即4·派/4，這里 派/4相當於題中的a，可知例題中的函數是存在的，切周期為4a。
那麼若把派/4換成-派/4，則tan（x-派/4）=（tanx-1）/（tanx+1），類比原題中的函數可知，原函數的周期是存在的，周期是tan（x-派/4）的周期，即 派。也就是
-4a，當然，4a也是它的周期之一。
解答完畢。
這道題還有其他方法，不過需要有很強的觀察力才能想到上面方法。
至此我們知道，題來自書中，書中的概念，公式要熟記。也就是基礎知識必須扎實。
函數的周期性
（一）概念
對於函數 ，如果存在一個不為零的常數 ，使得當< style='' > 取定義域內的每一個值時， 是函數的一個周期，故 是周期函數，假設 ，當 未必是函數的一個周期，但若 是函數的一個周期，而 任一有理數是 的周期，用數學歸納法易證 的周期，換言之，一個周期函數必有其周期集合，且此集合是一個至少一方無界的無窮點集。
（5）周期函數的定義域至少是一方無界
因函數的周期集合是定義域的子集，由（4）知周期集合至少一方無界，故定義域至少一方無界。
（6）周期函數的定義域內的點不一定是連續的，可能是有間斷的，如函數 ，假設 ，對任 代入上式，有
∵
於是 矛盾，故 是以T為周期的函數，證明
（1）對任意正整數 ， 的周期
（2） 的所有周期都是T的整數倍
註：若
證：
（1） 的任意一個周期，且 ，使 （ ，則
也是 與T的最小性矛盾，故 是數集A上的周期函數，則 有最小正周期T，則T也是函數 周期，則任 從而 的周期。
（2）由（1）知T也是 的最小正周期，則存在 是
即 的周期，且為正數，這與T是 的最小正周期
3. 函數 以 為最小正周期
證（ 充分性）設<0" > 是<1" style='width:27pt; > 的最小正周期，令<2" style= > ，則<3" >
∴ <4" style='width:81.75pt; >
∴ <5" style='width:4in; >
假設T不是 的周期，
則<9" style='width:317.25pt; >
即 的周期與已知 是 是數集B上的周期函數，且 ，則復合函數 為B上的周期函數。
證明：設T是 （ ）的周期，則對任意
即 為B上周期函數
推論：若 ， ， （ 仍為周期函數
（2）若T是
如 ，而 最小正周期 ， 是數集B上具有最小正周期T的函數，則T也是復合函數 的最小正周期。
證：由（1）T也是復合函數 的周期，即對任 有 ，即 與 （ ），則它們的和、差、積是A上以 ）為周期的周期函數
證：
但是，如果 與 分別是 的最小正周期，那麼 與 的最小公倍數不一定是 與 的最小正周期都是 ，並不是 ，顯然 的最小正周期
（5）對於定義在R上的函數 ），則 為一個周期的周期函數，反之，若 為函數 ，且 是以 ，那麼 （ 數代換，令 代 代入 ，求證 ，求證 是定義在R上的函數，且 的值。
3. 已知函數 的任意一個值都有 是周期函數。
4. 對任意整數 ， ， ，求 在R上有意義，滿足（1） ，（2） 為奇函數，試求 滿足 ，且 在區間（0，10）內實根的個數為（ ）
A. 2 B. 3 C. 9 D. 7
7. 定義在R上的偶函數 成立，且當 （ ）
A. C. D.
8. 設 是定義在實數集R上的函數，對一切實數 ，有 ，求證： ， ，其中， ，使 ，且 是以T為周期的函數。
10. 定義在實數集R上的函數 ，有
且 ，使 ，試問 與 是定義在實數集R上的函數，且滿足條件
（1）對任何 （*）
（2） ，使 是否周期函數
12. 已知 上為奇函數（偶函數）試討論1. 解：
（1）∵
∴
∴ （或 是周期函數，且2T是其一個周期；（2）若 是周期函數，且2T是其一個周期
， ，
的周期為8 ∴ 而
，
∴ ① 以 有 ，故 為以2T為周期的推論
註：若 是周期函數，且 是其一個周期
證：∵ 代 得4. 解：由 （如題3）
即6是
5. 解：∵ ，即 ∴
是一個周期為4的周期函數，則 為R上的奇函數，則
，
因此方程7. 解：由 以2為周期
當
當 ，當 時， ，則 ，故選C。
令∴ ∴ 以9. 分析：記 使 為以T為周期的函數
由
證：設 ，則
且
即 是以T為周期的函數，令 即將 得證
， 代換
由已知 ∴ 11. 證：在（*）中，令
由 知 ，在此式中令
又由（*）可知
∴ 是偶函數
∴ 又
得12. 證明：因 是 ，則必存在 ，若 上為奇函數，
即同理可證：若 為偶函數，則補充中心對稱
證：設 （ ）
，又由
，故<img style="width:0px;height:0px" id="2" style='width:93.75pt; > ，故 在 上，反之同理可證。
以上有點高深 建議只看思想
『陸』 什麼是周期性
周期性（periodicity ）
周期性指反復發作，病程中出現發作期與緩解期交替出現的情況。發作期可為數周甚至數月，緩解期可長達數月或幾年。
2.指的是做簡諧運動的質點所做具有往復特徵的運動總是周而復始地進行著， 而每一個循環所經歷的時間都是相同的具有嚴格的周期性特徵。
周期性是定期或隔一定期間發生的量(在時間或空間)，並且能用不同的上下文來印述：
鍾使時間有一定的間隔。
節拍器標示出時間的間隔。
以一定的時間間隔出版的刊物稱為雜志或期刊。
在數學上，一個函數輸出的數值會定期的發生重復，稱為周期函數。
在化學上，周期表是將有相同特性的元素排列在相同間隔上，加以分類的表格。
在物理學，周期是時間循環的數值結果，是完成一次完整的自轉所費的時間， 周期的倒數就是頻率。
在樂理，周期性被描述成"可以預期的提升期望"。
駐波是間隔一定距離的冠部。
在金融界，周期性是貸款支付的時間間隔。
以時間測量的周期稱為頻率，它的度量單位是赫茲。
『柒』 高一數學 函數的周期性
都不需要背，只要勞記：若f(x+T)=f(x)，則T必為其周期就可以了：）