『壹』 預備年級數學小結（圓和扇形這一章）
圓的有關性質
一，〖知識點〗圓、圓的對稱性、點和圓的位置關系、不在同一直線上的三點確定一個圓、三角形的外接圓、垂徑定理逆定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系、圓周角定理、圓內接四邊形的性質
〖大綱要求〗
1． 正確理解和應用圓的點集定義，掌握點和圓的位置關系；
2． 熟練地掌握確定一個圓的條件，即圓心、半徑；直徑；不在同一直線上三點。一個
圓的圓心只確定圓的位置，而半徑也只能確定圓的大小，兩個條件確定一條直線，三個條件確定一個圓，過三角形的三個頂點的圓存在並且唯一；
3． 熟練地掌握和靈活應用圓的有關性質：同（等）圓中半徑相等、直徑相等直徑是半
徑的2倍；直徑是最大的弦；圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一條直線都是對稱軸；圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心；圓具有旋轉不變性；垂徑定理及其推論；圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距之間的關系；
4． 掌握和圓有關的角：圓心角、圓周角的定義及其度量；圓心角等於同（等）弧上的
圓周角的2倍；同（等）弧上的圓周角相等；直徑（半圓）上的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；
5． 掌握圓內接四邊形的性質定理：它溝通了圓內外圖形的關系，並能應用它解決有關
問題；
6． 注意：（1）垂徑定理及其推論是指：一條弦①在「過圓心」②「垂直於另一條弦」
③「平分這另一條弦」④「平分這另一條弦所對的劣弧」⑤「 平分這另一條弦所對的優弧」的五個條件中任意具有兩個條件，則必具有另外三個結論（當①③為條件時要對另一條弦增加它不是直徑的限制），條理性的記憶，不但簡化了對它實際代表的10條定理的記憶且便於解題時的靈活應用，垂徑定理提供了證明線段相等、角相等、垂直關系等的重要依據；（2）有弦可作弦心距組成垂徑定理圖形；見到直徑要想到它所對的圓周角是直角，想垂徑定理；想到過它的端點若有切線，則與它垂直，反之，若有垂線則是切線，想到它被圓心所平分；（3）見到四個點在圓上想到有4組相等的同弧所對的圓周角，要想到應用圓內接四邊形的性質。
〖考查重點與常見題型〗
1． 判斷基本概念、基本定理等的正誤，在中考題中常以選擇題、填空題的形式考查學
生對基本概念和基本定理的正確理解，如：下列語句中，正確的有（ ）
(A)相等的圓心角所對的弧相等 (B)平分弦的直徑垂直於弦
(C)長度相等的兩條弧是等弧 (D)弦過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸
2． 論證線段相等、三角形相似、角相等、弧相等及線段的倍分等。此種結論的證明重
點考查了全等三角形和相似三角形判定，垂徑定理及其推論、圓周角、圓心角的性質及切線的性質，弦切角等有關圓的基礎知識，常以解答題形式出現。
二，〖知識點〗
相交弦定理、切割線定理及其推論
〖大綱要求〗
1． 正誤相交弦定理、切割線定理及其推論；
2． 了解圓冪定理的內在聯系；
3． 熟練地應用定理解決有關問題；
4． 注意（1）相交弦定理、切割線定理及其推論統稱為圓冪定理，圓冪定理是圓和相似
三角形結合的產物。這幾個定理可統一記憶成一個定理：過圓內或圓外一點作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點分（內分或外分）成兩線段長的積相等（至於切線可看作是兩條交點重合的割線）。使用時注意每條線段的兩個端點一個是公共點，另一個是與圓的交點；
（2）見圓中有兩條相交想到相交弦定理；見到切線與一條割線相交則想到切割線定理；若有兩條切線相交則想到切線長定理，並熟悉此時圖形中存在著一個以交點和圓心連線為對稱軸的對稱圖形。
〖考查重點與常見題型〗
證明等積式、等比式及混合等式等。此種結論的證明重點考查了相似三角形，切割線定
理及其推論，相交弦定理及圓的一些知識。常見題型以中檔解答題為主，也有一些出現在選擇題或填空題中。
『貳』 扇形與圓形有什麼區別
1、形狀
扇形的形狀：一條圓弧和經過這條圓弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形。
圓弧的形狀：圓上任意兩點間的部分。
扇形：
2、符號
扇形：符號:⌔；常用符號：扇形的角弧度θ，圓的半徑r，小扇形的弧長L。
圓弧：弧用符號「⌒」表示。例如，以A、B為端點的圓弧讀做圓弧AB或弧AB。大於半圓的弧叫優弧，小於半圓的弧叫劣弧。
(2)六年級數學圓形和扇形知識點擴展閱讀：
圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，大於半圓叫優弧，小於半圓叫劣弧。半圓也是弧，連接AB兩點的直線是弦AB，半圓既不是劣弧也不是優弧，它是區分劣弧和優弧的一個界限。
任意一條圓弧可以找出它所在的圓里的圓心，方法如下：
1、在圓弧上任意取3點A、C、C；
2、連接AB/BC形成兩條直線；
3、用尺子分別找出AB/BC兩條直線的中點D/E；
『叄』 小學六年級圓和扇形的數學
1、扇形的面積是所在圓面積的8分之5，扇形的圓心角是多少？
360×5/8=225（度）
2、甲圓半徑是乙圓半徑的5分之3，那麼甲圓面積是乙圓面積的多少？
若乙圓的半徑為r，則乙圓的面積為：r²Π
甲圓的半徑為r3/5，甲圓的面積為：（r3/5）²Π=9/25
×r²Π
甲圓面積比乙圓面積=r²Π：9/25
×r²Π=9/25
3、已知一個扇形的面積是18.84平方厘米，圓心角是60度，求這個扇形的周長？
扇形所在圓的面積為：18.84÷60/360=113.04（平方厘米）
半徑²為：113.04÷3.14=36（厘米）
半徑為：36開平方=6（厘米）
直徑為：6×2=12（厘米）
圓的周長為：12×3.14=37.68
扇形的弧為：37.68×60/360=6.28（厘米）
扇形的周長為：6.28+12=18.28（厘米）
4、一掛鍾從12點到14點，時針尖端移動的距離是31.4厘米，那麼時針掃過的面積是多少？
31.4是扇形的弧長，12點到14點，圓心角為：360÷12×2=60（度）
扇形所在圓周長為：31.4÷60/360=188.4（厘米）
圓的直徑為：188.4÷3.14=60（厘米）
半徑為：60÷2=30（厘米）
圓面積為：30×30×3.14=2826（平方厘米）
扇形面積（即時針掃過的面積）為：2826×60/360=471（平方厘米）
『肆』 圓形和扇形的認識
扇形是以圓形的圓心的二條半徑在圓上所截取的弘,這樣,以兩條半徑和一弘構成的即為扇形!大白話,
『伍』 小學六年級上冊數學必考知識點有哪些
第一單元分數乘法
（一）分數乘法意義：
1、分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數的和的簡便運算。＂分數乘整數＂指的是第二個因數必須是整數，不能是分數。
2、一個數乘分數的意義就是求一個數的幾分之幾是多少。
＂一個數乘分數＂指的是第二個因數必須是分數，不能是整數。（第一個因數是什麼都可以）
（二）分數乘法計演算法則：
1、分數乘整數的運演算法則是：分子與整數相乘，分母不變。
（1）為了計算簡便能約分的可先約分再計算。（整數和分母約分）（2）約分是用整數和下面的分母約掉最大公因數。（整數千萬不能與分母相乘，計算結果必須是最簡分數）。
2、分數乘分數的運演算法則是：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。（分子乘分子，分母乘分母）
（1）如果分數乘法算式中含有帶分數，要先把帶分數化成假分數再計算。
（2）分數化簡的方法是：分子、分母同時除以它們的最大公因數。
（3）在乘的過程中約分，是把分子、分母中，兩個可以約分的數先劃去，再分別在它們的上、下方寫出約分後的數。（約分後分子和分母必須不再含有公因數，這樣計算後的結果才是最簡單分數）。
（4）分數的基本性質：分子、分母同時乘或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
（三）積與因數的關系：
一個數（0除外）乘大於1的數，積大於這個數。a×b=c,當b >1時，c>a。
一個數（0除外）乘小於1的數，積小於這個數。a×b=c,當b <1時，c<a(b≠0)。
一個數（0除外）乘等於1的數，積等於這個數。a×b＝c，當b＝1時，c＝a。
在進行因數與積的大小比較時，要注意因數為0時的特殊情況。
（四）分數乘法混合運算
1、分數乘法混合運算順序與整數相同，先乘、除後加、減，有括弧的先算括弧裡面的，再算括弧外面的。
2、整數乘法運算定律對分數乘法同樣適用；運算定律可以使一些計算簡便。
乘法交換律：a×b＝b×a乘法結合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法分配律：a×（b±c）＝a×b±a×c
（五）倒數的意義：乘積為1的兩個數互為倒數。
1、倒數是兩個數的關系，它們互相依存，不能單獨存在。單獨一個數不能稱為倒數。（必須說清誰是誰的倒數）
2、判斷兩個數是否互為倒數的唯一標準是：兩數相乘的積是否為＂1＂。例如：a×b＝1則a、b互為倒數。
3、求倒數的方法：①求分數的倒數：交換分子、分母的位置。
②求整數的倒數：整數分之1。③求帶分數的倒數：先化成假分數，再求倒數。
④求小數的倒數：先化成分數再求倒數。
4、1的倒數是它本身，因為1×1＝1
0沒有倒數，因為任何數乘0積都是0，且0不能作分母。
5、真分數的倒數是假分數，真分數的倒數大於1，也大於它本身。
假分數的倒數小於或等於1。帶分數的倒數小於1。
（六）分數乘法應用題－－用分數乘法解決問題
1、求一個數的幾分之幾是多少？（用乘法）
已知單位＂1＂的量，求單位＂1＂的量的幾分之幾是多少，用單位＂1＂的量與分數相乘。
2、巧找單位＂1＂的量：在含有分數（分率）的語句中，分率前面的量就是單位＂1＂對應的量，或者＂占＂＂是＂＂比＂字後面的量是單位＂1＂。
3、什麼是速度？
速度是單位時間內行駛的路程。速度＝路程÷時間時間＝路程÷速度路程＝速度×時間
單位時間指的是1小時1分鍾1秒等這樣的大小為1的時間單位，每分鍾、每小時、每秒鍾等。
4、求甲比乙多（少）幾分之幾？
多：（甲－乙）÷乙少：（乙－甲）÷乙
第二單元位置與方向（二）1、什麼是數對？
數對：由兩個數組成，中間用逗號隔開，用括弧括起來。括弧裡面的數由左至右為列數和行數，即＂先列後行＂。
數對的作用：確定一個點的位置。經度和緯度就是這個原理。
2、確定物體位置的方法：
（1）、先找觀測點；（2）、再定方向（看方向夾角的度數）；（3）、最後確定距離（看比例尺）。
描繪路線圖的關鍵是選好觀測點，建立方向標，確定方向和路程。
位置關系的相對性：兩地的位置具有相對性在敘述兩地的位置關系時，觀測點不同，敘述的方向正好相反，而度數和距離正好相等。
相對位置：東－－西；南－－北；南偏東－－北偏西。
第三單元分數的除法
一、分數除法的意義：分數除法是分數乘法的逆運算，已知兩個數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
二、分數除法計演算法則：除以一個數（0除外），等於乘上這個數的倒數。
1、被除數÷除數＝被除數×除數的倒數。
2、除法轉化成乘法時，被除數一定不能變，＂÷＂變成＂×＂，除數變成它的倒數。
3、分數除法算式中出現小數、帶分數時要先化成分數、假分數再計算。
4、被除數與商的變化規律：
①除以大於1的數，商小於被除數：a÷b=c 當b>1時，c<a (a≠0)
②除以小於1的數，商大於被除數：a÷b=c 當b<1時，c>a (a≠0 b≠0)
③除以等於1的數，商等於被除數：a÷b＝c當b＝1時，c＝a
三、分數除法混合運算
1、混合運算用梯等式計算，等號寫在第一個數字的左下角。
2、運算順序：
①連除：同級運算，按照從左往右的順序進行計算；或者先把所有除法轉化成乘法再計算；或者依據＂除以幾個數，等於乘上這幾個數的積＂的簡便方法計算。加、減法為一級運算，乘、除法為二級運算。
②混合運算：沒有括弧的先乘、除後加、減，有括弧的先算括弧裡面，再算括弧外面。
（a±b）÷c＝a÷c±b÷c
第四單元比
比：兩個數相除也叫兩個數的比
1、比式中，比號（∶）前面的數叫前項，比號後面的項叫做後項，比號相當於除號，比的前項除以後項的商叫做比值。
連比如：3：4：5讀作：3比4比5
2、比表示的是兩個數的關系，可以用分數表示，寫成分數的形式，讀作幾比幾。
例：12∶20＝＝12÷20＝＝0．612∶20讀作：12比20
區分比和比值：比值是一個數，通常用分數表示，也可以是整數、小數。
比是一個式子，表示兩個數的關系，可以寫成比，也可以寫成分數的形式。
3、比的基本性質：比的前項和後項同時乘以或除以相同的數（0除外），比值不變。
4、化簡比：化簡之後結果還是一個比，不是一個數。
（1）、用比的前項和後項同時除以它們的最大公約數。
（2）、兩個分數的比，用前項後項同時乘分母的最小公倍數，再按化簡整數比的方法來化簡。也可以求出比值再寫成比的形式。
（3）、兩個小數的比，向右移動小數點的位置，也是先化成整數比。
5、求比值：把比號寫成除號再計算，結果是一個數（或分數），相當於商，不是比。
6、比和除法、分數的區別：
除法：被除數除號（÷）除數（不能為0）商不變性質除法是一種運算
分數：分子分數線（－）分母（不能為0）分數的基本性質分數是一個數
比：前項比號（∶）後項（不能為0）比的基本性質比表示兩個數的關系
商不變性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。
分數的基本性質：分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
分數除法和比的應用
1、已知單位＂1＂的量用乘法。
2、未知單位＂1＂的量用除法。
3、分數應用題基本數量關系（把分數看成比）
（1）甲是乙的幾分之幾？
甲＝乙×幾分之幾乙＝甲÷幾分之幾幾分之幾＝甲÷乙
（2）甲比乙多（少）幾分之幾？
4、按比例分配：把一個量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
5、畫線段圖：
（1）找出單位＂1＂的量，先畫出單位＂1＂，標出已知和未知。
（2）分析數量關系。（3）找等量關系。（4）列方程。
兩個量的關系畫兩條線段圖，部分和整體的關系畫一條線段圖。
第五單元圓
一、圓的特徵
1、圓是平面內封閉曲線圍成的平面圖形。
2、圓的特徵：外形美觀，易滾動。
3、圓心O：圓中心的點叫做圓心．圓心一般用字母O表示。
圓多次對折之後，摺痕的相交於圓的中心即圓心。圓心確定圓的位置。
半徑r：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。在同一個圓里，有無數條半徑，且所有的半徑都相等。半徑確定圓的大小。
直徑d：通過圓心且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一個圓里，有無數條直徑，且所有的直徑都相等。直徑是圓內最長的線段。
同圓或等圓內直徑是半徑的2倍：d＝2r或r＝d÷2
4、等圓：半徑相等的圓叫做同心圓，等圓通過平移可以完全重合。
同心圓：圓心重合、半徑不等的兩個圓叫做同心圓。
5、圓是軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。摺痕所在的直線叫做對稱軸。
有一條對稱軸的圖形：半圓、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。
有二條對稱軸的圖形：長方形
有三條對稱軸的圖形：等邊三角形
有四條對稱軸的圖形：正方形
有無條對稱軸的圖形：圓，圓環
6、畫圓
（1）圓規兩腳間的距離是圓的半徑。（2）畫圓步驟：定半徑、定圓心、旋轉一周。
二、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，周長用字母C表示。
1、圓的周長總是直徑的三倍多一些。
2、圓周率：圓的周長與直徑的比值是一個固定值，叫做圓周率，用字母π表示。
即：圓周率π＝周長÷直徑≈3．14
所以，圓的周長（c）＝直徑（d）×圓周率（π）－周長公式：c＝πd，c＝2πr
圓周率π是一個無限不循環小數，3．14是近似值。
3、周長的變化的規律：半徑擴大多少倍直徑也擴大多少倍，周長擴大的倍數與半徑、直徑擴大的倍數相同。
4、半圓周長＝圓周長一半＋直徑＝πr＋d
三、圓的面積s
1、圓面積公式的推導
如圖把一個圓沿直徑等分成若干份，剪開拼成長方形，份數越多拼成的圖像越接近長方形。
圓的半徑＝長方形的寬
圓的周長的一半＝長方形的長
長方形面積＝長×寬
所以：圓的面積＝圓的周長的一半（πr）×圓的半徑（r）
S圓＝πr×r＝πr2
2、幾種圖形，在面積相等的情況下，圓的周長最短，而長方形的周長最長；反之，在周長相等的情況下，圓的面積則最大，而長方形的面積則最小。
周長相同時，圓面積最大，利用這一特點，籃子、盤子做成圓形。
3、圓面積的變化的規律：半徑擴大多少倍，直徑、周長也同時擴大多少倍，圓面積擴大的倍數是半徑、直徑擴大的倍數的平方倍。
4、環形面積＝大圓－小圓＝πR2－πr2
扇形面積＝πr2×n÷360（n表示扇形圓心角的度數）
5、跑道：每條跑道的周長等於兩半圓跑道合成的圓的周長加上兩條直跑道的和。因為兩條直跑道長度相等，所以，起跑線不同，相鄰兩條跑道起跑線也不同，間隔的距離是：2×π×跑道寬度。
一個圓的半徑增加a厘米，周長就增加2πa厘米。
一個圓的直徑增加b厘米，周長就增加πb厘米。
6、任意一個正方形的內切圓即最大圓的直徑是正方形的邊長，它們的面積比是4∶π。
7、常用數據
π＝3．142π＝6．283π＝9．424π＝12．565π＝15．7
第六單元百分數（一）
一、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。百分數又叫百分比或百分率，百分數不能帶單位。
注意：百分數是專門用來表示一種特殊的倍比關系的，表示兩個數的比。
1、百分數和分數的區別和聯系：
（1）聯系：都可以用來表示兩個量的倍比關系。
（2）區別：意義不同：百分數只表示倍比關系，不表示具體數量，所以不能帶單位。分數不僅表示倍比關系，還能帶單位表示具體數量。百分數的分子可以是小數，分數的分子只可以是整數。
注意：百分數在生活中應用廣泛，所涉及問題基本和分數問題相同，分母是100的分數並不是百分數，必須把分母寫成＂％＂才是百分數，所以＂分母是100的分數就是百分數＂這句話是錯誤的。＂％＂的兩個0要小寫，不要與百分數前面的數混淆。一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到100％，出米率、出油率達不到100％，完成率、增長了百分之幾等可以超過100％。一般出粉率在70％、80％，出油率在30％、40％。
2、小數、分數、百分數之間的互化
（1）百分數化小數：小數點向左移動兩位，去掉＂％＂。
（2）小數化百分數：小數點向右移動兩位，添上＂％＂。
（3）百分數化分數：先把百分數寫成分母是100的分數，然後再化簡成最簡分數。
（4）分數化百分數：分子除以分母得到小數，（除不盡的保留三位小數）然後化成百分數。
（5）小數化分數：把小數成分母是10、100、1000等的分數再化簡。
（6）分數化小數：分子除以分母。
二、百分數應用題
1、求常見的百分率，如：達標率、及格率、成活率、發芽率、出勤率等求百分率就是求一個數是另一個數的百分之幾。
2、求一個數比另一個數多（或少）百分之幾，實際生活中，人們常用增加了百分之幾、減少了百分之幾、節約了百分之幾等來表示增加、或減少的幅度。
求甲比乙多百分之幾：（甲－乙）÷乙
求乙比甲少百分之幾：（甲－乙）÷甲
3、求一個數的百分之幾是多少。一個數（單位＂1＂）×百分率
3、已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。
部分量÷百分率＝一個數（單位＂1＂）
5、百分數應用題型分類
（1）求甲是乙的百分之幾－－（甲÷乙）×100％＝百分之幾
（2）求甲比乙多百分之幾－－（甲－乙）÷乙×100％
（3）求甲比乙少百分之幾－－（乙－甲）÷乙×100％
第七單元扇形統計圖的意義
1、扇形統計圖的意義：用整個圓的面積表示總數，用圓內各個扇形面積表示各部分數量同總數之間關系，也就是各部分數量占總數的百分比，因此也叫百分比圖。
2、常用統計圖的優點：
（1）條形統計圖直觀顯示每個數量的多少。
（2）折線統計圖不僅直觀顯示數量的增減變化，還可清晰看出各個數量的多少。
（3）扇形統計圖直觀顯示部分和總量的關系。
『陸』 圓和扇形 涉及到了哪些數學史
從數學起源來看，最早的數古埃及和美索不達米亞的數學，就中國和印度數學都在它們之後。
在現存紙草書中就有關於各種圖形面積公式，其中對於圓形面積，則是給出近似，在萊茵德紙草書第50題中提到，把圓的面積近似於正方形，但是沒有明確的證明。
古希臘三大幾何問題之一：化圓為方，即作一個與給定的圓面積相等的正方形。
最早研究化圓為方的是安納薩戈拉斯，，接著詭辯學派代表人安提燈豐首先提出了用圓內接正多邊形逼近圓面積方法來化圓為方。這也就是後來古希臘的「窮竭法」。中國的《九章算術》方田章「圓田術」圓面積公式。還有很多不一一列舉。
『柒』 六年級數學書里關於圓和扇形的所有公式
π是圓周率，R半徑
周長=2πR，
圓
r－半徑
d－直徑
C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd2/4
扇形
r—扇形半徑
a—圓心角度數
C＝2r＋2πr×(a/360)
S＝πr2×(a/360)
弓形
l－弧長
b－弦長
h－矢高
r－半徑
α－圓心角的度數
S＝r2/2·(πα/180-sinα)
＝r2arccos[(r-h)/r]
-
(r-h)(2rh-h2)1/2
＝παr2/360
-
b/2·[r2-(b/2)2]1/2
＝r(l-b)/2
+
bh/2
≈2bh/3
圓環
R－外圓半徑
r－內圓半徑
D－外圓直徑
d－內圓直徑
S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)/4