『壹』 初中數學最短路徑
解：
分別作點A關於BC和CD的對稱點E和F
連接EF交BC和CD於點M和點N
∵AM=EM，AN=FN
∴△AMN周長=AM+MN+AN=EM+MN+FN=EF
∴EF是△AMN周長的最小值
此時有：AB=EB，AD=FD
根據三角形外角定理有：
∠AMN=2∠DAN
∠ANM=2∠BAM
以上兩式相加得：
∠AMN+∠ANM
=2(∠DAN+∠BAM)
=2(∠BAD-∠MAN)
=2∠BAD-2(180°-∠AMN+∠ANM)
=2×120°-360°+2(∠AMN+∠ANM)
=2(∠AMN+∠ANM)-120°
解得：∠AMN+∠ANM=120°
『貳』 洋蔥數學最短路徑問題
確定終點的最短路徑問題 - 與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同於把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。
所謂單源最短路徑問題是指：已知圖G=（V，E），我們希望找出從某給定的源結點S∈V到V中的每個結點的最短路徑。首先，我們可以發現有這樣一個事實：如果P是G中從vs到vj的最短路，vi是P中的一個點，那麼，從vs沿P到vi的路是從vs到vi的最短路。
最短路徑演算法
Dijkstra演算法（迪傑斯特拉）是典型的最短路徑路由演算法，用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。Dijkstra演算法能得出最短路徑的最優解，但由於它遍歷計算的節點很多，所以效率低。可以用堆優化。
Dijkstra演算法是很有代表性的最短路演算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。
『叄』 初中數學最短路徑口訣
一、十二個基本問題概述
問題一：在直線 l 上求一點 P，使得 PA + PB 值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：連接 AB，與直線 l 的交點即為 P 點 .
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短 . PA + PB 最小值為 AB .
問題二：（「將軍飲馬問題」）在直線 l 上求一點 P，使得 PA + PB 值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：作點 B 關於直線 l 的對稱點 B＇，連接 AB' 與 l 的交點即為點 P．
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短． PA + PB 最小值為 AB' .
問題三：在直線 l1、l2 上分別求點 M、N，使得 △PMN 的周長最小．
初中數學最短路徑問題總結
作法：分別作點 P 關於兩條直線的對稱點 P' 和 P''，連接 P'P''，與兩條直線的交點即為點 M，N．
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短． PM + MN + PN 的最小值為線段 P'P'' 的長．
問題四：在直線 l1、l2 上分別求點 M、N，使四邊形 PQMN 的周長最小．
初中數學最短路徑問題總結
作法：分別作點 Q 、P 關於直線 l1、l2 的對稱點 Q' 和 P' 連接 Q'P'，與兩直線交點即為點 M，N.
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短． 四邊形 PQMN 周長的最小值為線段 Q'P' + PQ 的長．
問題五：（「造橋選址問題」）直線 m∥n，在 m、n 上分別求點 M、N，使 MN⊥m，
且 AM + MN + BN 的值最小．
初中數學最短路徑問題總結
作法：將點 A 向下平移 MN 的長度單位得 A'，連接 A'B，交 n 於點 N，過 N 作 NM⊥m 於 M .
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短 . AM + MN + BN 的最小值為 A'B + MN .
問題六：在直線 l 上求兩點 M , N （M 在左），使 MN = a , 並使 AM + MN + NB 的值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：將點 A 向右平移 a 個長度單位得 A'，作 A' 關於直線 l 的對稱點 A''，連接 A''B 交直線 l 於點 N，
將 N 點向左平移 a 個單位得 M .
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短 . AM + MN + NB 的最小值為 A''B + MN .
問題七：在 l1 上求點 A，在 l2 上求點 B，使 PA + AB 值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：作點 P 關於 l1 的對稱點 P'，作 P'B⊥l2 於點 B，交 l1 於點 A .
初中數學最短路徑問題總結
原理：點到直線，垂線段的距離最短 . PA + AB 的最小值為線段 P'B 的長 .
問題八：A 為 l1上一定點，B 為 l2 上一定點，在 l2 上求點 M，在 l1上求點 N，
使 AM + MN + NB 的值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：作點 A 關於 l2 的對稱點 A' , 點 B 關於 l1 的對稱點 B'，連接 A'B' 交 l2 於點 M，交 l1 於點 N．
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短． AM + MN + NB 的最小值為線段 A'B' 的長．
問題九：在直線 l 上求一點 P，使 | PA - PB | 的值最小．
初中數學最短路徑問題總結
作法：連接 AB，作 AB 的中垂線與直線 l 的交點即為 P 點．
初中數學最短路徑問題總結
原理：垂直平分上的點到線段兩端點的距離相等． | PA - PB | = 0 .
問題十：在直線 l 上求一點 P，使 | PA - PB | 的值最大．
初中數學最短路徑問題總結
作法：作直線 AB，與直線 l 的交點即為 P 點．
初中數學最短路徑問題總結
原理：三角形任意兩邊之差小於第三邊． | PA - PB | ≤ AB ， | PA - PB | 的最大值 = AB .
問題十一：在直線 l 上求一點 P，使 | PA - PB | 的值最大．
初中數學最短路徑問題總結
作法：作點 B 關於直線 l 的對稱點 B' 作直線 AB'，與直線 l 的交點即為 P 點．
初中數學最短路徑問題總結
原理：三角形任意兩邊之差小於第三邊． | PA - PB | ≤ AB' ， | PA - PB | 的最大值 = AB' .
問題十二：（「費馬點」）△ABC 中每一內角都小於 120°，在 △ABC 內求一點 P，
使得 PA + PB + PC 的值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：所求點為 「費馬點」 ，即滿足 ∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .
以 AB 、 AC 為邊向外作等邊 △ABD、△ACE，連接 CD、BE 相交於點 P，點 P 即為所求 .
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短 . PA + PB + PC 的最小值 = CD .
二、「費馬點」 —— 到三點距離之和最小的點
費馬點的構造方法：
① 所給三點的連線構成三角形（△ABC），並且這個三角形的每個內角都小於 120°；
② 如下圖所示：A , B , C 是給定的三點，
初中數學最短路徑問題總結
以 AC 為邊向外作正三角形得到點 D , 以 BC 為邊向外作正三角形得到點 E ,
連接 BD 和 AE 交於點 O，我們斷言點 O 就是 「費馬點」 .
費馬點的證明方法：
先證 △AEC ≌ △DBC .
△AEC 繞點 C 順時針旋轉 60°，可得到 △DBC，從而 △AEC ≌ △DBC .
於是 ∠OBC = ∠OEC，所以 O、B、E、C 四點共圓 .
拓展知識：四點共圓判定方法
若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等，那麼這二點和線段二端點四點共圓 .
初中數學最短路徑問題總結
所以 ∠BOE = ∠BCE = 60°，∠COE = ∠CBE = 60°，
於是 ∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°，同理可證 ∠AOC = ∠AOB = 120°，
所以 ∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .
初中數學最短路徑問題總結
將 O 點看作是 AE 上的點，隨著 △AEC 一起繞點 C 順時針旋轉 60° 得到點 O2 ,
所以 ∠OCO2 = 60°，OC = O2C , OA = O2D ,
所以 △OCO2 是等邊三角形，於是有 OO2 = OC .
所以 BD = OA + OB + OC .
『肆』 北師大版初一（七年級）上冊數學行程問題主要知識點
行程問題主要知識點
1、時間、路程、速度存在著重要的等量關系：時間×路程=速度，這是行程問題中的基本關系式，由此變形還可得到：速度=路程÷時間，時間=路程÷速度，同時，路程一定時，時間與速度成反比，時間（或速度）一定時，路程與速度（或時間）成正比；
2、行程問題有三種常見的題型
相遇問題、追及問題、航行問題，三種類型都有一般公式，這些必須牢記！
（1）、相遇問題：相遇時間×速度和=路程和
（2）、追及問題：追及時間×速度差=被追及問題
（3）、航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度
逆水速度=靜水速度-水流速度
（4）、飛行問題：類比航行問題
（5）、環路問題：甲乙同時同地背向而行：甲路程—乙路程=環路一周的距離
甲乙同時同地同向而行：快者的路程—慢者的路程=環路一周的距離
『伍』 初二數學最短路徑技巧
初中數學中解決最短路徑問題,關鍵在於我們要學會作定點關於動點所在直線的對稱點，或利用平移和展開圖來處理。這對於我們解決此類問題有事半功倍的作用。
1、 理論依據：「兩點之間線段最短」，「垂線段最短」，「點關於線對稱」，「線段的平移」「立體圖形展開圖」。教材中的例題「飲馬問題」，「造橋選址問題」「立體展開圖」。
2、知識點：「兩點之間線段最短」，「垂線段最短」，「點關於線對稱」，「線段的平移」。「飲馬問題」，「造橋選址問題」。考的較多的還是「飲馬問題」，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等。
3、解題總思路：找點關於線的對稱點實現「折」轉「直」，近兩年出現「三折線」轉「直」等變式問題考查。
下面給大家列出了相應問題的解題方法與關鍵點，希望大家多多練習，最後附上了答案。
『陸』 數學最短路徑問題最方便的解法是什麼
用於解決最短路徑問題的演算法被稱做「最短路徑演算法」 ，有時被簡稱作「路徑演算法」 。最常用 的路徑演算法有： Dijkstra 演算法、 A*演算法、 SPFA 演算法、 Bellman-Ford 演算法和 Floyd-Warshall 演算法， 本文主要介紹其中的三種。 最短路徑問題是圖論研究中的一個經典演算法問題，旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩 結點之間的最短路徑。 演算法具體的形式包括： 確定起點的最短路徑問題：即已知起始結點，求最短路徑的問題。 確定終點的最短路徑問題：與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的 問題。 在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同， 在有向圖中該問題等同於把所有路徑 方向反轉的確定起點的問題。 確定起點終點的最短路徑問題：即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。 全局最短路徑問題：求圖中所有的最短路徑。 Floyd 求多源、無負權邊的最短路。用矩陣記錄圖。時效性較差，時間復雜度 O(V^3)。 Floyd-Warshall 演算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法， 可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題。 Floyd-Warshall 演算法的時間復雜度為 O(N^3)，空間復雜度為 O(N^2)。 Floyd-Warshall 的原理是動態規劃： 設 Di,j,k 為從 i 到 j 的只以(1..k)集合中的節點為中間節點的最短路徑的長度。 若最短路徑經過點 k，則 Di,j,k = Di,k,k-1 + Dk,j,k-1； 若最短路徑不經過點 k，則 Di,j,k = Di,j,k-1。 因此，Di,j,k = min(Di,k,k-1 + Dk,j,k-1 , Di,j,k-1)。 在實際演算法中，為了節約空間，可以直接在原來空間上進行迭代，這樣空間可降至二維。 Floyd-Warshall 演算法的描述如下： 1.for k ← 1 to n do 2.for i ← 1 to n do 3.for j ← 1 to n do 4.if (Di,k + Dk,j<Di,j) then 5.Di,j ← Di,k + Dk,j; 其中 Di,j 表示由點 i 到點 j 的代價，當 Di,j 為∞表示兩點之間沒有任何連接。 Dijkstra 求單源、無負權的最短路。時效性較好，時間復雜度為 O（V*V+E） 。 源點可達的話，O（V*lgV+E*lgV）=>O（E*lgV） 。 當是稀疏圖的情況時，此時 E=V*V/lgV，所以演算法的時間復雜度可為 O（V^2） 。若是斐波那 契堆作優先隊列的話，演算法時間復雜度，則為 O（V*lgV + E） 。 Bellman-Ford 求單源最短路，可以判斷有無負權迴路（若有，則不存在最短路） ，時效性較好，時間復雜 度 O（VE） 。 Bellman-Ford 演算法是求解單源最短路徑問題的一種演算法。 單源點的最短路徑問題是指：給定一個加權有向圖 G 和源點 s，對於圖 G 中的任意一點 v， 求從 s 到 v 的最短路徑。 與 Dijkstra 演算法不同的是，在 Bellman-Ford 演算法中，邊的權值可以為負數。設想從我們可以 從圖中找到一個環路（即從 v 出發，經過若干個點之後又回到 v）且這個環路中所有邊的權 值之和為負。那麼通過這個環路，環路中任意兩點的最短路徑就可以無窮小下去。如果不處 理這個負環路，程序就會永遠運行下去。而 Bellman-Ford 演算法具有分辨這種負環路的能力。 SPFA是 Bellman-Ford 的隊列優化，時效性相對好，時間復雜度 O（kE）（k<<V） 。 。 與 Bellman-ford 演算法類似， SPFA 演算法採用一系列的鬆弛操作以得到從某一個節點出發到達圖 中其它所有節點的最短路徑。所不同的是，SPFA 演算法通過維護一個隊列，使得一個節點的 當前最短路徑被更新之後沒有必要立刻去更新其他的節點， 從而大大減少了重復的操作次數。 SPFA 演算法可以用於存在負數邊權的圖，這與 dijkstra 演算法是不同的。 與 Dijkstra 演算法與 Bellman-ford 演算法都不同，SPFA 的演算法時間效率是不穩定的，即它對於不 同的圖所需要的時間有很大的差別。 在最好情形下，每一個節點都只入隊一次，則演算法實際上變為廣度優先遍歷，其時間復雜度 僅為 O(E)。另一方面，存在這樣的例子，使得每一個節點都被入隊(V-1)次，此時演算法退化為 Bellman-ford 演算法，其時間復雜度為 O(VE)。 SPFA 演算法在負邊權圖上可以完全取代 Bellman-ford 演算法， 另外在稀疏圖中也表現良好。 但是 在非負邊權圖中，為了避免最壞情況的出現，通常使用效率更加穩定的 Dijkstra 演算法，以及 它的使用堆優化的版本。通常的 SPFA 演算法在一類網格圖中的表現不盡如人意。
『柒』 七年級上冊數學重點，把所有重要的知識點列出來，要簡潔點
初一數學知識點
第一章 有理數
1正數、負數、有理數、相反數、科學記數法、近似數
2數軸：用數軸來表示數
3絕對值：正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零
4正負數的大小比較：正數大於零，零大於負數，正數大於負數，絕對值大的負數值反而小 。
5有理數的加法法則：
同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加；
絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去減小的絕對值；
互為相反數的兩數相加為零；
一個數加上零，仍得這個數。
6有理數的減法（把減法轉換為加法）
減去一個數，等於加上這個數的相反數。
7有理數乘法法則
兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘；
任何數同零相乘，都得零。
乘積是一的兩個數互為倒數。
8有理數的除法（轉換為乘法）
除以一個不為零的數，等於乘這個數的倒數。
9有理數的乘方
正數的任何次冪都是正數；
零的任何次冪都是負數；
負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。
10混合運算順序
（1） 先乘方，再乘除，最後加減；
（2） 同級運算，從左到右進行；
（3） 如果有括弧，先做括弧內的運算，按照小括弧、中括弧、大括弧依次進行。
第二章 整式的加減
1 整式：單項式和多項式的統稱；
2整式的加減
（1） 合並同類項
（2） 去括弧
第三章 一元一次方程
1 一元一次方程的認識
2 等式的性質
等式兩邊加上或減去同一個數或者式子，結果仍然相等；
等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為零的數，結果仍相等。
3 解一元一次方程
一般步驟：去分母、去括弧、移項、合並同類項、系數化為一
第四章 圖形認識初步
1 幾何圖形：平面圖和立體圖
2 點、線、面、體
3 直線、射線、線段
兩點確定一條直線；
兩點之間，線段最短
4 角
角的度量度數
角的比較和運算
補角和餘角：等角的補角和餘角相等
初一下冊
第五章 相交線和平行線
1 相交線：對頂角相等
2 垂線
經過一點有且只有一條直線和已知直線垂直；
連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短（垂線段最短）
3 平行線
平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；
若兩直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也相互平行；
判定：同位角相等，兩直線平行；
內錯角相等，兩直線平行；
同旁內角互補，兩直線平行。
性質：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補。
4 命題：判斷一件事情的語句
5 平移
第六章 平面直角坐標系
1 有序數對：（a，b）
2 平面直角坐標系、原點、橫軸、縱軸、象限
3簡單應用：用坐標表示位置；用坐標表示平移。
第七章 三角形
1 與三角形有關的邊：
三角形的邊、高、中線、角平分線、穩定性
2 與三角形有關的角
內角：三角形的內角和是180度
外角：三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和；
三角形的一個外角大於與它不相鄰的任何一個內角。
2 多邊形
內角：多邊形的內角和為（n-2）*180；
外角：多邊形的外角和為360度。
第八章 二元一次方程組
1 二元一次方程與二元一次方程組的介紹
2 二元一次方程組的解法
代入法 消元法（加減法）
3 二元一次方程組的實際應用
第九章 不等式和不等式組
1 不等式及其解集：含有不等關系號的式子；
2 不等式的性質
性質1 不等式的兩邊加減同一個數或式子，不等號的方向不變；
性質2 不等式兩邊乘或除以同一個正數，不等號的方向不變；
性質3 不等式的兩邊乘或除以同一個負數，不等號的方向改變。
3 一元一次不等式在實際問題中的應用
4 一元一次不等式組及其解法：大大取大；小小取小；大於大的，小於小的取兩邊，大於小的，小於大的去中間。
第十章 實數
1 平方根：正數有兩個平方根，它們互為相反數；
零的平方根是零；
負數沒有平方根；
正數算術平方根是正數；
零的算術平方根是零。
2 立方根：正數的立方根是正數；
負數的立方根是負數；
零的立方根是零。
3 實數：有理數和無理數的統稱。無理數即是無限不循環小數。
我也不知道你要多簡潔的，這算是比較全面的。。。